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Wahlteil B2

Aufgaben
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2.
Ein Körper $Q$ besitzt die Grundfläche $ABCD$ und die Deckfläche $EFGH$. Die Punkte haben in einem kartesischen Koordinatensystem die Koordinaten $A\ (1\ |\ 1\ |\ 0)$, $B\ (7\ |\ 7\ |\ 0)$, $C\ (3\ |\ 9\ |\ 0)$ und $D\ (-3\ |\ 3\ |\ 0)$.
Die Punkte der Deckfläche ergeben sich durch eine Verschiebung der Punkte $A$, $B$, $C$ und $D$ um fünf Längeneinheiten in Richtung der z-Achse, wobei $E$ über $A$ und $F$ über $B$ liegt.
Auf den Körper $Q$ wird eine Pyramide $P$ mit der Grundfläche $EFGH$ und der Spitze $S\ (2\ |\ 5\ |\ 10)$ gesetzt.
Der Körper $K$ wird aus $Q$ und $P$ zusammengesetzt.
(1 LE = 1 m)
2.1
Stelle $K$ grafisch dar.
Zeige, dass $ABCD$ ein Parallelogramm aber kein Rechteck ist.
Berechne die Größe der Fläche $EFS$ und deren Neigungswinkel zur Deckfläche $EFGH$.
2.2
Das Dreieck $EFS$ wird durch eine Gerade $h$, die parallel zur Kante $EF$ verläuft, in zwei gleich große Teilflächen geteilt. Die Gerade $h$ schneidet die Kante $ES$ im Punkt $E'$ und die Kante $FS$ im Punkt $F'$.
Bestimme die Höhe des dabei entstehenden Dreiecks $E'F'S'$.
2.3
Mit $K$ wird in einem Architektenbüro ein Ausstellungsgebäude modelliert, wobei der Mantel von $P$ das Dach des Gebäudes darstellt.
2.3.1
In der Dachfläche $EFS$ soll ein rechteckiges Fenster mit dem Flächeninhalt $\frac{4}{5}\sqrt{59}$ geplant werden.
Die oberen Eckpunkte des Fensters haben die Koordinaten $M\ (4\ |\ 5,5\ |\ 7,5)$ und $N\ (2\ |\ 3,5\ |\ 7,5)$.
Prüfe, ob ein solches Fenster eingebaut werden kann.
2.3.2
Die Neigung der Dachfläche $EFS$ soll auf 30° verändert werden, indem $S$ in Richtung der z-Achse verschoben wird.
Beurteile aufgrund deiner Ergebnisse, ob der Bau des Gebäudes mit der veränderten Dachneigung einen Dachraum zulässt, der als Atelier genutzt werden kann.
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2.1
$\blacktriangleright$  $\boldsymbol{K}$ grafisch darstellen
Die Koordinaten der Punkte $A$, $B$, $C$, $D$ und $S$ sind bereits in der Aufgabenstellung gegeben. Die Punkte der Deckfläche $EFGH$ erhälst du, indem du zu der jeweiligen $z$-Koordinate des Punktes der Grundfläche 5 hinzu addierst.
$\blacktriangleright$  Parallelogramm nachweisen
In dieser Teilaufgabe sollst du zeigen, dass $ABCD$ ein Parallelogramm, aber kein Rechteck ist.
Du musst also zeigen, dass jeweils die gegenüberliegenden Seiten parallel sind, aber nebeneinander liegende Seiten keinen rechten Winkel bilden.
Stelle dazu die Verbindungsvektoren auf. Die gegenüberliegenden Vektoren eines Vierecks sind parallel, wenn die beiden gegenüberliegenden Vektorenpaare des Vierecks gleich lang sind.
Für den rechten Winkel kannst du verwenden, dass zwei Vektoren senkrecht zueinander sind, wenn ihr Skalarprodukt Null ist.
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt $\boldsymbol{F_{EFS}}$ berechnen
Hier ist der Flächeninhalt des Dreiecks $F_{EFS}$ gesucht.
Dafür kannst du folgende Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks verwenden:
$F_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot \left|\overrightarrow{AB}\,\times \, \overrightarrow{AC}\right| $
$F_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot \left|\overrightarrow{AB}\,\times \, \overrightarrow{AC}\right| $
$\blacktriangleright$  Neigungswinkel der Fläche $\boldsymbol{EFS}$ zur Deckfläche $\boldsymbol{EFGH}$ berechnen
Der Neigungswinkel des Dreiecks $EFS$ gegenüber der Deckfläche $EFGH$ ist der ist der Schnittwinkel der beiden Ebenen, in denen die Flächen liegen. Diesen kannst du mit folgender Formel berechnen:
$\cos(\alpha) = \dfrac{\left| \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{m} \right|}{ \left| \overrightarrow{n} \right| \cdot \left|\overrightarrow{m} \right|}$
$\cos(\alpha) = \dfrac{\left| \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{m} \right|}{ \left| \overrightarrow{n} \right| \cdot \left|\overrightarrow{m} \right|}$
Dabei sind $\overrightarrow{n}$ und $\overrightarrow{m}$ Normalenvektoren der Ebenen, diese musst du also zunächst bestimmen.
2.2
$\blacktriangleright$  Höhe des Dreiecks $\boldsymbol{E'F'S}$ berechnen
Hier sollst du die Höhe des Dreiecks $E'F'S$ berechnen. Du kannst zunächst damit beginnen, die Koordinaten der Punkte $E'$ und $F'$ zu bestimmen. Du weißt bereits, dass der Punkt $E'$ auf der Strecke $\overline{SE}$ und der Punkt $F'$ auf der Strecke $\overline{SF}$ liegt. Des Weiteren kannst du der Aufgabenstellung entnehmen, dass der Flächeninhalt $F_{E'F'S}$ halb so groß ist wie $F_{EFS}$. Um die Höhe zu bestimmen, kannst du dir schließlich vor Augen halten, dass sie der Abstand der Strecke $\overline{E'F'}$ zum Punkt $S$ ist.
2.3.1
$\blacktriangleright$  Prüfen, ob das Fenster in das Dreick $\boldsymbol{EFS}$ passt
Hier sollst du überprüfen, ob ein rechteckiges Fenster mit gegebenem Flächeninhalt in die dreieckige Dachfläche $EFS$ passt. Die Zwei oberen Eckpunkte des Fensters sind mit den Punkten $M(4\,|\,5,5\,|\,7,5)$ und $N(2\,|\,3,5\,|\,7,5)$ bereits gegeben, sodass lediglich die zwei unteren Eckpunkte des Rechtecks unbekannt sind. Du kannst hier so vorgehen, dass du den Flächeninhalt des größtmöglichen Fensters mit den gegebenen Eckpunkten $M$ und $N$, welches noch in die Dachfläche $EFS$ passt, berechnest und dann überprüfst, ob der gewollte Flächeninhalt kleiner oder gleich groß ist. Wie du bereits weißt, berechnet sich der Flächeninhalt eines Rechtecks mit der Formel $F=a \cdot b$. Du kannst nun eine Seitenlänge bereits ausrechnen, da die Punkte $M$ und $N$ bereits gegeben sind. Danach kannst du die zweite Seitenlänge berechnen, indem du den Abstand der Gerade $\overrightarrow{e}$ durch die Punkte $E$ und $F$ zu einem der Punkte $M$ oder $N$ berechnest. Den Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden kannst du wie folgt berechnen:
$b = \dfrac{|(\overrightarrow{m}-\overrightarrow{0E}) \,\times \, \overrightarrow{EF}|}{|\overrightarrow{EF}|}$
$b = \dfrac{|(\overrightarrow{m}-\overrightarrow{0E}) \,\times \, \overrightarrow{EF}|}{|\overrightarrow{EF}|}$
2.3.1
$\blacktriangleright$  Beurteilen, ob der Dachraum mit der neuen Dachneigung als Atelier genutzt werden kann
Hier sollst du beurteilen, ob der Dachraum auch bei einer Neigung der Dachfläche $EFS$ von $\beta=30°$ als Atelier genutzt werden kann, wenn $S$ auf der $z$-Achse verschoben wird. Der Dachraum kann genau dann als Atelier genutzt werden, wenn sich mehrere Leute stehend darin aufhalten können. Um dies zu beurteilen, kannst du zunächst die neue Höhe des Dachraumes berechnen. Beachte bei der Beurteilung des Ergebnisses, dass dies lediglich die maximale Raumhöhe, genau in der Mitte des Raumes, darstellt. Überall sonst der Raum eine Dachschräge, sodass dort eine geringere Raumhöhe herrscht.
Bisher hatte der Dachraum eine Höhe von $5$m. Das kannst du daran erkennen, dass Der Punkt $S$ auf der $z$-Achse um genau $5$ höher liegt, als alle Punkte der Deckfläche $EFGH$. Bisher hatte die Dachfläche $EFS$ eine Neigung von $\alpha \approx 67°$. Diese soll sich nun auf $\beta = 30°$ verringern. Der Winkel der Dachfläche hängt folgendermaßen mit der Höhe des Dachraumes zusammen, wobei $x$ die halbe Breite des Dachraumes darstellt:
$ \text{tan}(\alpha) = \dfrac{5}{\text{x}}$
Auf die selbe Weise lässt sich dieser Zusammenhang auch mit dem Winkel $\beta$ darstellen. Dabei ist $y$ die neue Höhe des Dachraumes.
$ \text{tan}(\beta) = \dfrac{\text{y}}{\text{x}}$
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Lösungen TI
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2.1
$\blacktriangleright$  $\boldsymbol{K}$ grafisch darstellen
Die Koordinaten der Punkte $A$, $B$, $C$, $D$ und $S$ sind bereits in der Aufgabenstellung gegeben. Die Punkte der Deckfläche $EFGH$ erhälst du, indem du zu der jeweiligen $z$-Koordinate des Punktes der Grundfläche 5 hinzu addierst. Damit erhälst du folgende Koordinaten:
$E =\left(\begin{array}{c}1\\1\\5\end{array}\right)$ $\,$ $F = \left(\begin{array}{c}7\\7\\5\end{array}\right)$ $\,$ $G = \left(\begin{array}{c}3\\9\\5\end{array}\right)$ $\,$ $H = \left(\begin{array}{c}-3\\3\\5\end{array}\right)$
Der grafisch dargestellte Körper sieht dann wie folgt aus:
Wahlteil B2
Abb. 1: Körper K
Wahlteil B2
Abb. 1: Körper K
$\blacktriangleright$  Parallelogramm nachweisen
In dieser Teilaufgabe sollst du zeigen, dass $ABCD$ ein Parallelogramm, aber kein Rechteck ist.
Du musst also zeigen, dass jeweils die gegenüberliegenden Seiten parallel sind, aber nebeneinander liegende Seiten keinen rechten Winkel bilden.
Stelle dazu die Verbindungsvektoren auf. Die gegenüberliegenden Vektoren eines Vierecks sind parallel, wenn die beiden gegenüberliegenden Vektorenpaare des Vierecks gleich lang sind.
Für den rechten Winkel kannst du verwenden, dass zwei Vektoren senkrecht zueinander sind, wenn ihr Skalarprodukt Null ist.
1. Schritt: Länge der Seiten berechnen
$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ und $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$
Berechne dazu die Verbindungsvektoren:
$\begin{array}{rll} \overrightarrow{AD}&=&\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OA} =\left(\begin{array}{c}-3\\3\\0\end{array}\right) - \left(\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}-4\\2\\0\end{array}\right)\\[5pt] \overrightarrow{BC}&=&\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OB} =\left(\begin{array}{c}3\\9\\0\end{array}\right) - \left(\begin{array}{c}7\\7\\0\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}-4\\2\\0\end{array}\right)=\overrightarrow{AD}\\[5pt] \overrightarrow{AB}&=& \left(\begin{array}{c}6\\6\\0\end{array}\right)=\overrightarrow{DC} \end{array}$
$\overrightarrow{AD}=… $
Damit hast du gezeigt, dass das Viereck $ABCD$ ein Parallelogramm ist.
2. Schritt: rechten Winkel überprüfen
$\overrightarrow{AD} \circ \overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}-4\\ 2\\ 0\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}6\\ 6\\ 0\end{pmatrix}=-4 \cdot 6 + 2 \cdot 6 + 0 \cdot 0=-12\neq0$
$ $\overrightarrow{AD} \circ \overrightarrow{AB}=-12\neq0$
Damit hast du gezeigt, dass das Viereck $ABCD$ ein Paralellogramm, aber kein Rechteck ist.
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt $\boldsymbol{F_{EFS}}$ berechnen
Hier ist der Flächeninhalt des Dreiecks $F_{EFS}$ gesucht.
Dafür kannst du folgende Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks verwenden:
$F_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot \left|\overrightarrow{AB}\,\times \, \overrightarrow{AC}\right| $
$F_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot \left|\overrightarrow{AB}\,\times \, \overrightarrow{AC}\right| $
Wahlteil B2
Abb. 2: Kreuzprodukt
Wahlteil B2
Abb. 2: Kreuzprodukt
Der Flächeninhalt $F_{EFS}$ besträgt also ungefährt $23,04\text{m}$, da $1\text{LE}=1\text{m}$.
$\blacktriangleright$  Neigungswinkel der Fläche $\boldsymbol{EFS}$ zur Deckfläche $\boldsymbol{EFGH}$ berechnen
Der Neigungswinkel des Dreiecks $EFS$ gegenüber der Deckfläche $EFGH$ ist der ist der Schnittwinkel der beiden Ebenen, in denen die Flächen liegen. Diesen kannst du mit folgender Formel berechnen:
$\cos(\alpha) = \dfrac{\left| \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{m} \right|}{ \left| \overrightarrow{n} \right| \cdot \left|\overrightarrow{m} \right|}$
$\cos(\alpha) = \dfrac{\left| \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{m} \right|}{ \left| \overrightarrow{n} \right| \cdot \left|\overrightarrow{m} \right|}$
Dabei sind $\overrightarrow{n}$ und $\overrightarrow{m}$ Normalenvektoren der Ebenen, diese musst du also zunächst bestimmen.
1. Schritt: Normalenvektoren bestimmen
Der Normalenvektor Deckfläche ist durch $\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}$ gegeben, da die Deckfläche parallel zur $x$-$y$-Ebene ist. Der Normalenvektor $\overrightarrow{m}$ der Fläche $EFS$ berechnet sich wie folgt, wobei du das Ergebnis bereits aus dem vorigen Aufgabenpunkt kennst:
$\overrightarrow{m}= \overrightarrow{EF}\,\times \, \overrightarrow{ES} = \begin{pmatrix}6\\ 0\\ 0\end{pmatrix} \,\times \, \begin{pmatrix}1\\ 4\\ 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}30\\ -30\\ 18\end{pmatrix} $
$\overrightarrow{m}= \begin{pmatrix}30\\ -30\\ 18\end{pmatrix} $
2. Schritt: Schnittwinkel berechnen
Den Schnittwinkel $\alpha$ berechnest du mit der Formel für den Schnittwinkel:
$\begin{array}{} \cos(\alpha) = \dfrac{\left| \overrightarrow{n} \circ \overrightarrow{m} \right|}{ \left| \overrightarrow{n} \right| \cdot \left|\overrightarrow{m} \right|} = \dfrac{\left| \left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right) \circ \left(\begin{array}{c}30\\30\\18\end{array}\right) \right|}{ \left|\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right) \right| \cdot \left|\left(\begin{array}{c}30\\30\\18\end{array}\right) \right|} = \dfrac{18}{1 \cdot 46,09} \approx 0,39 \\[5pt] \alpha=\cos^{-1}\left(0,39\right) \approx 67,04 \end{array}$
$\alpha \approx 67,04$
Damit erhältst du den Schnittwinkel zwischen den beiden Flächen $EFS$ und $EFGH$, welcher $\alpha\approx 67,04°$ groß ist.
2.2
$\blacktriangleright$  Höhe des Dreiecks $\boldsymbol{E'F'S}$ berechnen
Hier sollst du die Höhe des Dreiecks $E'F'S$ berechnen. Du kannst zunächst damit beginnen, die Koordinaten der Punkte $E'$ und $F'$ zu bestimmen. Du weißt bereits, dass der Punkt $E'$ auf der Strecke $\overline{SE}$ und der Punkt $F'$ auf der Strecke $\overline{SF}$ liegt. Des Weiteren kannst du der Aufgabenstellung entnehmen, dass der Flächeninhalt $F_{E'F'S}$ halb so groß ist wie $F_{EFS}$. Um die Höhe zu bestimmen, kannst du dir schließlich vor Augen halten, dass sie der Abstand der Strecke $\overline{E'F'}$ zum Punkt $S$ ist.
1. Schritt: Koordinaten der Punkte $E'$ und $F'$ bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} F_{E'F'S} &=& \frac{1}{2} \cdot F_{EFS} \\[5pt] \frac{1}{2} \cdot (t \cdot \overrightarrow{SE} \times t \cdot \overrightarrow{SF})&=& \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot (\overrightarrow{SE} \times \overrightarrow{SF}) &\mid\, \cdot 2 \\[5pt] t^2 \cdot (\overrightarrow{SE} \times \overrightarrow{SF}) &=& \frac{1}{2} \cdot (\overrightarrow{SE} \times \overrightarrow{SF}) &\mid\, : \, (\overrightarrow{SE} \times \overrightarrow{SF}) \\[5pt] t^2 &=& \frac{1}{2} &\mid\, \sqrt{\,} \\[5pt] t &=& \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array}$
$t=\frac{\sqrt{2}}{2}$
Nun kannst du die Punkte $E'$ und $F'$ durch das Einsetzen von $t$ bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OE'} &=& \overrightarrow{OS} + t \cdot \overrightarrow{SE} &=& \begin{pmatrix} -\frac{\sqrt{2}}{2} + 2\\ -2\sqrt{2} + 5 \\ -\frac{5\sqrt{2}}{2} + 10 \end{pmatrix} \\[5pt] \overrightarrow{OF'} &=& \overrightarrow{OS} + t \cdot \overrightarrow{SF} &=& \begin{pmatrix} \frac{5\sqrt{2}}{2} + 2\\ \sqrt{2} + 5 \\ -\frac{5\sqrt{2}}{2} + 10 \end{pmatrix} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OE'} &=& \overrightarrow{OS} + t \cdot \overrightarrow{SE}\\[5pt] \overrightarrow{OF'} &=& \overrightarrow{OS} + t \cdot \overrightarrow{SF} \end{array}$
2. Schritt: Höhe des Dreiecks $\boldsymbol{E'F'S}$ bestimmen
Den Punkt auf der Strecke $\overline{E'F'}$, von dem aus das Lot durch den Punkt $S$ verläuft, kannst du $S'$ nennen. Du kannst die Höhe schließlich über die Mimimumfunktion deines CAS bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} | \overrightarrow{SS'} | &=& \text{MIN} \left( | \overrightarrow{E'} + s \cdot \overrightarrow{E'F'} - \overrightarrow{S} |\right) \\[5pt] | \overrightarrow{SS'} | &=& \text{MIN} \left( \sqrt{3 \cdot (12s^2 -10s +7)}\, \right) \\[5pt] | \overrightarrow{SS'} | &\approx& 3,841 \\[5pt] s &=& 0,41\overline{6} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} s &=& 0,41\overline{6} \end{array}$
Somit beträgt die Höhe des Dreiecks $E'F'S$ circa $3,84\text{m}$, denn $1\text{LE}=1\text{m}$.
2.3.1
$\blacktriangleright$  Prüfen, ob das Fenster in das Dreick $\boldsymbol{EFS}$ passt
Hier sollst du überprüfen, ob ein rechteckiges Fenster mit gegebenem Flächeninhalt in die dreieckige Dachfläche $EFS$ passt. Die Zwei oberen Eckpunkte des Fensters sind mit den Punkten $M(4\,|\,5,5\,|\,7,5)$ und $N(2\,|\,3,5\,|\,7,5)$ bereits gegeben, sodass lediglich die zwei unteren Eckpunkte des Rechtecks unbekannt sind. Du kannst hier so vorgehen, dass du den Flächeninhalt des größtmöglichen Fensters mit den gegebenen Eckpunkten $M$ und $N$, welches noch in die Dachfläche $EFS$ passt, berechnest und dann überprüfst, ob der gewollte Flächeninhalt kleiner oder gleich groß ist. Wie du bereits weißt, berechnet sich der Flächeninhalt eines Rechtecks mit der Formel $F=a \cdot b$. Du kannst nun eine Seitenlänge bereits ausrechnen, da die Punkte $M$ und $N$ bereits gegeben sind. Danach kannst du die zweite Seitenlänge berechnen, indem du den Abstand der Gerade $\overrightarrow{e}$ durch die Punkte $E$ und $F$ zu einem der Punkte $M$ oder $N$ berechnest. Den Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden kannst du wie folgt berechnen:
$b = \dfrac{|(\overrightarrow{m}-\overrightarrow{0E}) \,\times \, \overrightarrow{EF}|}{|\overrightarrow{EF}|}$
$b = \dfrac{|(\overrightarrow{m}-\overrightarrow{0E}) \,\times \, \overrightarrow{EF}|}{|\overrightarrow{EF}|}$
1. Schritt: Erste Seitenlänge $\boldsymbol{a}$ berechnen
$\begin{array}[t]{rll} a &=& \sqrt{(x_2-x_1)²+(y_2-y_1)²+(z_2-z_1)²} \\[5pt] a &=& \sqrt{(4-2)²+(5,5-3,5)²+(7,5-7,5)²} \\[5pt] a &=& \sqrt{2²+2²+0²} \\[5pt] a &=& \sqrt{8} \\[5pt] \end{array}$
$a=\sqrt{8}$
2. Schritt: Zweite Seitenlänge $\boldsymbol{b}$ berechnen
Um die zweite Seitenlänge zu erhalten, kannst du den Abstand der Gerade $\overrightarrow{e}$ durch die Punkte $E$ und $F$ zu einem der Punkte $M$ oder $N$ berechnen. In dieser Lösung wird der Punkt $M$ verwendet.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{e}&=& \overrightarrow{OE} + \lambda \cdot \overrightarrow{EF} \\[5pt] \overrightarrow{e}&=& \begin{pmatrix}1\\ 1\\ 5\end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix}6\\ 6\\ 0\end{pmatrix} \\[5pt] \end{array}$
Den Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden kannst du wie folgt berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} b &=& \dfrac{|(\overrightarrow{m}-\overrightarrow{0E}) \,\times \, \overrightarrow{EF}|}{|\overrightarrow{EF}|} \\[5pt] b &=& \dfrac{\left| \left( \left(\begin{array}{c}4\\5,5\\7,5\end{array}\right) - \left(\begin{array}{c}1\\1\\5\end{array}\right) \right) \times \left(\begin{array}{c}6\\6\\0\end{array}\right) \right|}{ \sqrt{6²+6²+0²} } \\[5pt] b &=& \dfrac{\left| \left(\begin{array}{c}3\\4,5\\2,5\end{array}\right) \times \left(\begin{array}{c}6\\6\\0\end{array}\right) \right|}{ \sqrt{72} } \\[5pt] b &=& \dfrac{\sqrt{15²+15²+9²}}{ \sqrt{72} } \\[5pt] b &=& \dfrac{23,04}{8,49} \\[5pt] b &\approx& 2,72 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} b &\approx& 2,72 \\[5pt] \end{array}$
3. Schritt: Flächeninhalt berechnen
Nun kannst du den Flächeninhalt des Rechtecks berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} F &=& a \cdot b \\[5pt] F &=& 2,71 \cdot \sqrt{8} \\[5pt] F &\approx& 7,67 \end{array}$
Das größtmögliche Fenster mit den Eckpunkten $M$ und $N$ hat damit einen Flächeninhalt von $7,67$. Das gewollte Fenster hat hingegen einen Flächeninhalt von nur $\frac{4}{5} \sqrt{54} \approx 6,145$. Damit ist der Einbau des gewollten Fensters möglich.
2.3.2
$\blacktriangleright$  Beurteilen, ob der Dachraum mit der neuen Dachneigung als Atelier genutzt werden kann
Hier sollst du beurteilen, ob der Dachraum auch bei einer Neigung der Dachfläche $EFS$ von $\beta=30°$ als Atelier genutzt werden kann, wenn $S$ auf der $z$-Achse verschoben wird. Der Dachraum kann genau dann als Atelier genutzt werden, wenn sich mehrere Leute stehend darin aufhalten können. Um dies zu beurteilen, kannst du zunächst die neue Höhe des Dachraumes berechnen. Beachte bei der Beurteilung des Ergebnisses, dass dies lediglich die maximale Raumhöhe, genau in der Mitte des Raumes, darstellt. Überall sonst der Raum eine Dachschräge, sodass dort eine geringere Raumhöhe herrscht.
Bisher hatte der Dachraum eine Höhe von $5$m. Das kannst du daran erkennen, dass Der Punkt $S$ auf der $z$-Achse um genau $5$ höher liegt, als alle Punkte der Deckfläche $EFGH$. Bisher hatte die Dachfläche $EFS$ eine Neigung von $\alpha \approx 67°$. Diese soll sich nun auf $\beta = 30°$ verringern. Der Winkel der Dachfläche hängt folgendermaßen mit der Höhe des Dachraumes zusammen, wobei $x$ die halbe Breite des Dachraumes darstellt:
$ \text{tan}(\alpha) = \dfrac{5}{\text{x}}$
Auf die selbe Weise lässt sich dieser Zusammenhang auch mit dem Winkel $\beta$ darstellen. Dabei ist $y$ die neue Höhe des Dachraumes.
$ \text{tan}(\beta) = \dfrac{\text{y}}{\text{x}}$
Schließlich kannst du die beiden Terme durcheinander dividieren und nach $y$ umstellen:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\text{tan}(\alpha)}{\text{tan}(\beta)} &=& \dfrac{\dfrac{5}{\text{x}}}{\dfrac{\text{y}}{\text{x}}} \\[5pt] \dfrac{\text{tan}(67°)}{\text{tan}(30°)} &=& \dfrac{5}{\text{y}} \\[5pt] 4,08 &=& \dfrac{5}{\text{y}} &\mid \, \cdot\text{y} \, \text{;} \, \div 4,08 \\[5pt] \text{y} &\approx& 1,23 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \text{y} &\approx& 1,23 \end{array}$
Damit hast du gezeigt, dass wenn sich die Neigung des Daches von circa 67° auf 30° ändert, der Dachraum nur noch eine maximale Höhe von weniger als $1,5$m hat. Dies liegt deutlich unter der Mindesthöhe, welche ein Raum besitzen sollte. Damit kann man diesen nicht sinnvoll als Atelier nutzen.
Bildnachweise [nach oben]
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2.1
$\blacktriangleright$  $\boldsymbol{K}$ grafisch darstellen
Die Koordinaten der Punkte $A$, $B$, $C$, $D$ und $S$ sind bereits in der Aufgabenstellung gegeben. Die Punkte der Deckfläche $EFGH$ erhälst du, indem du zu der jeweiligen $z$-Koordinate des Punktes der Grundfläche 5 hinzu addierst. Damit erhälst du folgende Koordinaten:
$E =\left(\begin{array}{c}1\\1\\5\end{array}\right)$ $\,$ $F = \left(\begin{array}{c}7\\7\\5\end{array}\right)$ $\,$ $G = \left(\begin{array}{c}3\\9\\5\end{array}\right)$ $\,$ $H = \left(\begin{array}{c}-3\\3\\5\end{array}\right)$
Der grafisch dargestellte Körper sieht dann wie folgt aus:
Wahlteil B2
Abb. 1: Körper K
Wahlteil B2
Abb. 1: Körper K
$\blacktriangleright$  Parallelogramm nachweisen
In dieser Teilaufgabe sollst du zeigen, dass $ABCD$ ein Parallelogramm, aber kein Rechteck ist.
Du musst also zeigen, dass jeweils die gegenüberliegenden Seiten parallel sind, aber nebeneinander liegende Seiten keinen rechten Winkel bilden.
Stelle dazu die Verbindungsvektoren auf. Die gegenüberliegenden Vektoren eines Vierecks sind parallel, wenn die beiden gegenüberliegenden Vektorenpaare des Vierecks gleich lang sind.
Für den rechten Winkel kannst du verwenden, dass zwei Vektoren senkrecht zueinander sind, wenn ihr Skalarprodukt Null ist.
1. Schritt: Länge der Seiten berechnen
$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ und $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$
Berechne dazu die Verbindungsvektoren:
$\begin{array}{rll} \overrightarrow{AD}&=&\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OA} =\left(\begin{array}{c}-3\\3\\0\end{array}\right) - \left(\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}-4\\2\\0\end{array}\right)\\[5pt] \overrightarrow{BC}&=&\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OB} =\left(\begin{array}{c}3\\9\\0\end{array}\right) - \left(\begin{array}{c}7\\7\\0\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}-4\\2\\0\end{array}\right)=\overrightarrow{AD}\\[5pt] \overrightarrow{AB}&=& \left(\begin{array}{c}6\\6\\0\end{array}\right)=\overrightarrow{DC} \end{array}$
$\overrightarrow{AD}=…$
Damit hast du gezeigt, dass das Viereck $ABCD$ ein Parallelogramm ist.
2. Schritt: rechten Winkel überprüfen
$\overrightarrow{AD} \circ \overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}-4\\ 2\\ 0\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}6\\ 6\\ 0\end{pmatrix}=-4 \cdot 6 + 2 \cdot 6 + 0 \cdot 0=-12\neq0$
$ \overrightarrow{AD} \circ \overrightarrow{AB}=-12\neq0$
Damit hast du gezeigt, dass das Viereck $ABCD$ ein Paralellogramm, aber kein Rechteck ist.
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt $\boldsymbol{F_{EFS}}$ berechnen
Hier ist der Flächeninhalt des Dreiecks $F_{EFS}$ gesucht.
Dafür kannst du folgende Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks verwenden:
$F_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot \left|\overrightarrow{AB}\,\times \, \overrightarrow{AC}\right| $
$F_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot \left|\overrightarrow{AB}\,\times \, \overrightarrow{AC}\right| $
Wahlteil B2
Abb. 2: Kreuzprodukt
Wahlteil B2
Abb. 2: Kreuzprodukt
Der Flächeninhalt $F_{EFS}$ besträgt also ungefährt $23,04\text{m}$, da $1\text{LE}=1\text{m}$.
$\blacktriangleright$  Neigungswinkel der Fläche $\boldsymbol{EFS}$ zur Deckfläche $\boldsymbol{EFGH}$ berechnen
Der Neigungswinkel des Dreiecks $EFS$ gegenüber der Deckfläche $EFGH$ ist der ist der Schnittwinkel der beiden Ebenen, in denen die Flächen liegen. Diesen kannst du mit folgender Formel berechnen:
$\cos(\alpha) = \dfrac{\left| \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{m} \right|}{ \left| \overrightarrow{n} \right| \cdot \left|\overrightarrow{m} \right|}$
$\cos(\alpha) = \dfrac{\left| \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{m} \right|}{ \left| \overrightarrow{n} \right| \cdot \left|\overrightarrow{m} \right|}$
Dabei sind $\overrightarrow{n}$ und $\overrightarrow{m}$ Normalenvektoren der Ebenen, diese musst du also zunächst bestimmen.
1. Schritt: Normalenvektoren bestimmen
Der Normalenvektor Deckfläche ist durch $\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}$ gegeben, da die Deckfläche parallel zur $x$-$y$-Ebene ist. Der Normalenvektor $\overrightarrow{m}$ der Fläche $EFS$ berechnet sich wie folgt, wobei du das Ergebnis bereits aus dem vorigen Aufgabenpunkt kennst:
$\overrightarrow{m}= \overrightarrow{EF}\,\times \, \overrightarrow{ES} = \begin{pmatrix}6\\ 0\\ 0\end{pmatrix} \,\times \, \begin{pmatrix}1\\ 4\\ 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}30\\ -30\\ 18\end{pmatrix} $
$ \overrightarrow{m}=\begin{pmatrix}30\\ -30\\ 18\end{pmatrix} $
2. Schritt: Schnittwinkel berechnen
Den Schnittwinkel $\alpha$ berechnest du mit der Formel für den Schnittwinkel:
$\begin{array}{} \cos(\alpha) = \dfrac{\left| \overrightarrow{n} \circ \overrightarrow{m} \right|}{ \left| \overrightarrow{n} \right| \cdot \left|\overrightarrow{m} \right|} = \dfrac{\left| \left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right) \circ \left(\begin{array}{c}30\\30\\18\end{array}\right) \right|}{ \left|\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right) \right| \cdot \left|\left(\begin{array}{c}30\\30\\18\end{array}\right) \right|} = \dfrac{18}{1 \cdot 46,09} \approx 0,39 \\[5pt] \alpha=\cos^{-1}\left(0,39\right) \approx 67,04 \end{array}$
$\alpha \approx 67,04$
Damit erhältst du den Schnittwinkel zwischen den beiden Flächen $EFS$ und $EFGH$, welcher $\alpha\approx 67,04°$ groß ist.
2.2
$\blacktriangleright$  Höhe des Dreiecks $\boldsymbol{E'F'S}$ berechnen
Hier sollst du die Höhe des Dreiecks $E'F'S$ berechnen. Du kannst zunächst damit beginnen, die Koordinaten der Punkte $E'$ und $F'$ zu bestimmen. Du weißt bereits, dass der Punkt $E'$ auf der Strecke $\overline{SE}$ und der Punkt $F'$ auf der Strecke $\overline{SF}$ liegt. Des Weiteren kannst du der Aufgabenstellung entnehmen, dass der Flächeninhalt $F_{E'F'S}$ halb so groß ist wie $F_{EFS}$. Um die Höhe zu bestimmen, kannst du dir schließlich vor Augen halten, dass sie der Abstand der Strecke $\overline{E'F'}$ zum Punkt $S$ ist.
1. Schritt: Koordinaten der Punkte $E'$ und $F'$ bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} F_{E'F'S} &=& \frac{1}{2} \cdot F_{EFS} \\[5pt] \frac{1}{2} \cdot (t \cdot \overrightarrow{SE} \times t \cdot \overrightarrow{SF})&=& \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot (\overrightarrow{SE} \times \overrightarrow{SF}) &\mid\, \cdot 2 \\[5pt] t^2 \cdot (\overrightarrow{SE} \times \overrightarrow{SF}) &=& \frac{1}{2} \cdot (\overrightarrow{SE} \times \overrightarrow{SF}) &\mid\, : \, (\overrightarrow{SE} \times \overrightarrow{SF}) \\[5pt] t^2 &=& \frac{1}{2} &\mid\, \sqrt{\,} \\[5pt] t &=& \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array}$
$ t=\frac{\sqrt{2}}{2}$
Nun kannst du die Punkte $E'$ und $F'$ durch das Einsetzen von $t$ bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OE'} &=& \overrightarrow{OS} + t \cdot \overrightarrow{SE} &=& \begin{pmatrix} -\frac{\sqrt{2}}{2} + 2\\ -2\sqrt{2} + 5 \\ -\frac{5\sqrt{2}}{2} + 10 \end{pmatrix} \\[5pt] \overrightarrow{OF'} &=& \overrightarrow{OS} + t \cdot \overrightarrow{SF} &=& \begin{pmatrix} \frac{5\sqrt{2}}{2} + 2\\ \sqrt{2} + 5 \\ -\frac{5\sqrt{2}}{2} + 10 \end{pmatrix} \end{array}$
$ \overrightarrow{OE'}=\dotsc, \overrightarrow{OF'}=\dotsc $
2. Schritt: Höhe des Dreiecks $\boldsymbol{E'F'S}$ bestimmen
Den Punkt auf der Strecke $\overline{E'F'}$, von dem aus das Lot durch den Punkt $S$ verläuft, kannst du $S'$ nennen. Du kannst die Höhe schließlich über die Mimimumfunktion deines CAS bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} | \overrightarrow{SS'} | &=& \text{MIN} \left( | \overrightarrow{E'} + s \cdot \overrightarrow{E'F'} - \overrightarrow{S} |\right) \\[5pt] | \overrightarrow{SS'} | &=& \text{MIN} \left( \sqrt{3 \cdot (12s^2 -10s +7)}\, \right) \\[5pt] | \overrightarrow{SS'} | &\approx& 3,841 \\[5pt] s &=& 0,41\overline{6} \end{array}$
$| \overrightarrow{SS'} |\approx 3,841$
Somit beträgt die Höhe des Dreiecks $E'F'S$ circa $3,84\text{m}$, denn $1\text{LE}=1\text{m}$.
2.3.1
$\blacktriangleright$  Prüfen, ob das Fenster in das Dreick $\boldsymbol{EFS}$ passt
Hier sollst du überprüfen, ob ein rechteckiges Fenster mit gegebenem Flächeninhalt in die dreieckige Dachfläche $EFS$ passt. Die Zwei oberen Eckpunkte des Fensters sind mit den Punkten $M(4\,|\,5,5\,|\,7,5)$ und $N(2\,|\,3,5\,|\,7,5)$ bereits gegeben, sodass lediglich die zwei unteren Eckpunkte des Rechtecks unbekannt sind. Du kannst hier so vorgehen, dass du den Flächeninhalt des größtmöglichen Fensters mit den gegebenen Eckpunkten $M$ und $N$, welches noch in die Dachfläche $EFS$ passt, berechnest und dann überprüfst, ob der gewollte Flächeninhalt kleiner oder gleich groß ist. Wie du bereits weißt, berechnet sich der Flächeninhalt eines Rechtecks mit der Formel $F=a \cdot b$. Du kannst nun eine Seitenlänge bereits ausrechnen, da die Punkte $M$ und $N$ bereits gegeben sind. Danach kannst du die zweite Seitenlänge berechnen, indem du den Abstand der Gerade $\overrightarrow{e}$ durch die Punkte $E$ und $F$ zu einem der Punkte $M$ oder $N$ berechnest. Den Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden kannst du wie folgt berechnen:
$b = \dfrac{|(\overrightarrow{m}-\overrightarrow{0E}) \,\times \, \overrightarrow{EF}|}{|\overrightarrow{EF}|}$
$b = \dfrac{|(\overrightarrow{m}-\overrightarrow{0E}) \,\times \, \overrightarrow{EF}|}{|\overrightarrow{EF}|}$
1. Schritt: Erste Seitenlänge $\boldsymbol{a}$ berechnen
$\begin{array}[t]{rll} a &=& \sqrt{(x_2-x_1)²+(y_2-y_1)²+(z_2-z_1)²} \\[5pt] a &=& \sqrt{(4-2)²+(5,5-3,5)²+(7,5-7,5)²} \\[5pt] a &=& \sqrt{2²+2²+0²} \\[5pt] a &=& \sqrt{8} \\[5pt] \end{array}$
$a = \sqrt{8}$
2. Schritt: Zweite Seitenlänge $\boldsymbol{b}$ berechnen
Um die zweite Seitenlänge zu erhalten, kannst du den Abstand der Gerade $\overrightarrow{e}$ durch die Punkte $E$ und $F$ zu einem der Punkte $M$ oder $N$ berechnen. In dieser Lösung wird der Punkt $M$ verwendet.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{e}&=& \overrightarrow{OE} + \lambda \cdot \overrightarrow{EF} \\[5pt] \overrightarrow{e}&=& \begin{pmatrix}1\\ 1\\ 5\end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix}6\\ 6\\ 0\end{pmatrix} \\[5pt] \end{array}$
Den Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden kannst du wie folgt berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} b &=& \dfrac{|(\overrightarrow{m}-\overrightarrow{0E}) \,\times \, \overrightarrow{EF}|}{|\overrightarrow{EF}|} \\[5pt] b &=& \dfrac{\left| \left( \left(\begin{array}{c}4\\5,5\\7,5\end{array}\right) - \left(\begin{array}{c}1\\1\\5\end{array}\right) \right) \times \left(\begin{array}{c}6\\6\\0\end{array}\right) \right|}{ \sqrt{6²+6²+0²} } \\[5pt] b &=& \dfrac{\left| \left(\begin{array}{c}3\\4,5\\2,5\end{array}\right) \times \left(\begin{array}{c}6\\6\\0\end{array}\right) \right|}{ \sqrt{72} } \\[5pt] b &=& \dfrac{\sqrt{15²+15²+9²}}{ \sqrt{72} } \\[5pt] b &=& \dfrac{23,04}{8,49} \\[5pt] b &\approx& 2,72 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} b &\approx& 2,72 \\[5pt] \end{array}$
3. Schritt: Flächeninhalt berechnen
Nun kannst du den Flächeninhalt des Rechtecks berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} F &=& a \cdot b \\[5pt] F &=& 2,71 \cdot \sqrt{8} \\[5pt] F &\approx& 7,67 \end{array}$
Das größtmögliche Fenster mit den Eckpunkten $M$ und $N$ hat damit einen Flächeninhalt von $7,67$. Das gewollte Fenster hat hingegen einen Flächeninhalt von nur $\frac{4}{5} \sqrt{54} \approx 6,145$. Damit ist der Einbau des gewollten Fensters möglich.
2.3.2
$\blacktriangleright$  Beurteilen, ob der Dachraum mit der neuen Dachneigung als Atelier genutzt werden kann
Hier sollst du beurteilen, ob der Dachraum auch bei einer Neigung der Dachfläche $EFS$ von $\beta=30°$ als Atelier genutzt werden kann, wenn $S$ auf der $z$-Achse verschoben wird. Der Dachraum kann genau dann als Atelier genutzt werden, wenn sich mehrere Leute stehend darin aufhalten können. Um dies zu beurteilen, kannst du zunächst die neue Höhe des Dachraumes berechnen. Beachte bei der Beurteilung des Ergebnisses, dass dies lediglich die maximale Raumhöhe, genau in der Mitte des Raumes, darstellt. Überall sonst der Raum eine Dachschräge, sodass dort eine geringere Raumhöhe herrscht.
Bisher hatte der Dachraum eine Höhe von $5$m. Das kannst du daran erkennen, dass Der Punkt $S$ auf der $z$-Achse um genau $5$ höher liegt, als alle Punkte der Deckfläche $EFGH$. Bisher hatte die Dachfläche $EFS$ eine Neigung von $\alpha \approx 67°$. Diese soll sich nun auf $\beta = 30°$ verringern. Der Winkel der Dachfläche hängt folgendermaßen mit der Höhe des Dachraumes zusammen, wobei $x$ die halbe Breite des Dachraumes darstellt:
$ \text{tan}(\alpha) = \dfrac{5}{\text{x}}$
Auf die selbe Weise lässt sich dieser Zusammenhang auch mit dem Winkel $\beta$ darstellen. Dabei ist $y$ die neue Höhe des Dachraumes.
$ \text{tan}(\beta) = \dfrac{\text{y}}{\text{x}}$
Schließlich kannst du die beiden Terme durcheinander dividieren und nach $y$ umstellen:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\text{tan}(\alpha)}{\text{tan}(\beta)} &=& \dfrac{\dfrac{5}{\text{x}}}{\dfrac{\text{y}}{\text{x}}} \\[5pt] \dfrac{\text{tan}(67°)}{\text{tan}(30°)} &=& \dfrac{5}{\text{y}} \\[5pt] 4,08 &=& \dfrac{5}{\text{y}} &\mid \, \cdot\text{y} \, \text{;} \, \div 4,08 \\[5pt] \text{y} &\approx& 1,23 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \text{y} &\approx& 1,23 \end{array}$
Damit hast du gezeigt, dass wenn sich die Neigung des Daches von circa 67° auf 30° ändert, der Dachraum nur noch eine maximale Höhe von weniger als $1,5$m hat. Dies liegt deutlich unter der Mindesthöhe, welche ein Raum besitzen sollte. Damit kann man diesen nicht sinnvoll als Atelier nutzen.
Bildnachweise [nach oben]
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