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Pflichtaufgabe B0

Aufgaben
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1.
Gegeben sind die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f$, $g$ und $h$ durch
$f(x)=\ x^2-x+1$, $g(x)=\ x^3-x+1$ und $h(x)=\ x^4+x^2+1$.
1.1
1.2
Die erste Ableitungsfunktion von $h$ ist $h'$.
Bestimme den Wert von $\displaystyle\int_{0}^{1}\;\mathrm h'(x)\ dx$.
2.
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=\ x^3-6x^2+11x-6$ ($x$ $\in$ $\mathbb{R}$).
2.1
Weise nach, dass der Wendepunkt des Graphen von $f$ auf der Geraden mit der Gleichung $y=\ x-2$ liegt.
2.2
Der Graph von $f$ wird verschoben. Der Punkt $(2\ |\ 0)$ des Graphen der Funktion $f$ besitzt nach der Verschiebung die Koordinaten $(3\ |\ 2)$. Der verschobene Graph gehört zu einer Funktion $h$.
Gib eine Gleichung von $h$ an.
3.
Die Gerade $g$ verläuft durch die Punkte $A\ (\ 0\ |\ 1\ |\ 2\ )$ und $B\ (\ 2\ |\ 5\ |\ 6\ )$.
3.1
Zeige, dass die Punkte $A$ und $B$ den Abstand $6$ haben.
Die Punkte $C$ und $D$ liegen auf $g$ und haben von $A$ jeweils den Abstand $12$.
Bestimme die Koordinaten von $C$ und $D$.
3.2
Die Punkte $A$, $B$ und $E\ (\ 1\ |\ 2\ |\ 5\ )$ sollen mit einem weiteren Punkt die Eckpunkte eines Parallelogramms bilden. Für die Lage des vierten Eckpunktes gibt es mehrere Möglichkeiten.
Gib für zwei dieser Möglichkeiten die Koordinaten des vierten Eckpunktes an.
4.
4.1
Ermittle mithilfe der Abbildung den Erwartungswert der Zufallsgröße $X$.
4.2
Das Zufallsexperiment wird zweimal durchgeführt. Dabei wird jeweils der Wert der Zufallsgröße $X$ notiert.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe dieser beiden Werte negativ ist.
Bildnachweise [nach oben]
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Tipps
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1.1
$\blacktriangleright$  Funktion angeben
Du hast einen Graphen einer Funktion und drei verschiedene Funktionsgleichungen gegeben. Um zu bestimmen, welche Funktionsgleichung zu dem Graphen gehört, kannst du das Verhalten der Funktionen für $x\to\pm\infty$ bestimmen. Damit kannst du gleichzeitig begründen, warum die zwei anderen Funktionen den Graphen nicht beschreiben.
Bestimme also den Limes der Funktionen.
1.2
$\blacktriangleright$  Integral berechnen
Bei dieser Teilaufgabe sollst du das Integral $\displaystyle\int_{0}^{1} h'(x)\;\mathrm dx$ bestimmen. Die Funktion $h'$ ist die Ableitungsfunktion der Funktion $h$. Die Funktion $h$ ist also eine Stammfunktion der Funktion $h'$. Damit kannst du das Integral berechnen.
2.1
$\blacktriangleright$  Wendepunkt nachweisen
Bei dieser Teilaufgabe sollst du zeigen, dass der Wendepunkt des Graphen von $f$ auf der Geraden $y=x-2$ liegt. Bilde die zweite und dritte Ableitung der Funktion $f$ und berechne die Koordinaten des Wendepunktes. Mit einer Punktprobe kannst du überprüfen, ob der Wendepunkt auf der Geraden liegt.
Die Funktion $f$ kannst du mit der Summen- und Faktorregel ableiten.
2.2
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung der Funktion $\boldsymbol{h}$ angeben
Den Graphen der Funktion $h$ erhältst du, indem du den Graphen der Funktion $f$ verschiebst. Der Punkt $(2\mid0)$ hat nach der Verschiebung die Koordinaten $(3\mid2)$. Um den Graphen von $h$ zu erhalten, wird der Graph von $f$ um $1\,\text{LE}$ in positive $\boldsymbol{x}$-Richtung und um $2\,\text{LE}$ in positive $\boldsymbol{y}$-Richtung verschoben.
Wird ein Graph um einen Wert $a$ in $x$-Richtung verschoben, so wird die Variable $x$ durch $x-a$ ersetzt. Bei der Verschiebung in positive $y$-Richtung wird der entsprechende Wert zu dem Funktionsterm addiert.
Um die Funktionsgleichung der Funktion $h$ zu erhalten, kannst du so vorgehen:
  1. Verschiebe den Graphen von $f$ in $x$-Richtung
  2. Verschiebe den neuen Graphen in $y$-Richtung
3.1
$\blacktriangleright$  Abstand zweier Punkte berechnen
Du musst den Abstand zweier Punkte $A (0 \mid 1 \mid 2)$ und $B(2 \mid 5 \mid 6)$ berechnen. Dazu nutzt du, dass der Abstand zweier Punkte der Länge ihres Verbindungsvektors entspricht.
$\blacktriangleright$  Koordinaten zweier Punkte berechnen
Die Punkte $C$ und $D$ liegen auf einer Geraden, die durch die Punkte $A$ und $B$ geht. Du sollst nun ihre Koordinaten bestimmen.
Dazu stellst du zuerst eine Gleichung für die Gerade durch $A$ und $B$ auf. Als Stützvektor wählst du zum Beispiel den Ortsvektor $\overrightarrow{OA}$ und als Richtungsvektor $\overrightarrow{AB}$.
Die beiden Parameter $s,k$ musst du bestimmen. Dazu nutzt du, dass die Punkte $C$ und $D$ zu $A$ jeweils den Abstand $12$ haben.
3.2
$\blacktriangleright$  Fehlenden Eckpunkt eines Parallelogramms berechnen
Die Punkte $A,B,E$ sollen mit einem unbekannten Punkt die Eckpunkte eines Parallelogramms bilden. Du sollst für zwei Möglichkeiten die Koordinaten des unbekannten Punktes bestimmen. Nenne den einen Punkt $F$ und den anderen Punkt $G$.
Hier nutzt du, dass bei einem Parallelogramm gegenüberliegende Seiten parallel sind. Die Seiten entsprechen gerade den Strecken zwischen den Punkten $A,B,E$ und $F$ oder $G$.
Überlege dir, welche Seiten parallel sein können. Es kann
  • die Seite $AB$ zur Seite $EF$ parallel sein.
  • die Seite $BE$ zur Seite $AG$ parallel sein.
Mache dir dazu eine Skizze.
Pflichtaufgabe B0
Abb. 1: Vom Punkt $E$ aus kann man zwei Parallelogramme konstruieren.
Pflichtaufgabe B0
Abb. 1: Vom Punkt $E$ aus kann man zwei Parallelogramme konstruieren.
Du siehst, dass du den Eckpunkt $\overrightarrow{OE}$ um $\overrightarrow{AB}$ und $-\overrightarrow{AB}$ verschieben kannst, um ein Parallelogramm zu erhalten.
4.1
$\blacktriangleright$  Erwartungswert bestimmen
Den Erwartungswert berechnest du, indem du den Wert $x_i$ der Zufallsgröße $X$ mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit $P(X=x_i)$ multipliziert. Die Formel zur Berechnung des Erwartungswertes lautet demnach:
$E(X)=x_1\cdot P(X=x_1)+x_2\cdot P(X=x_2)+…+x_n\cdot P(X=x_n)$
$$ E(X)=x_1\cdot P(X=x_1)+ $$ $$…$$
Die einzelnen Wahrscheinlichkeiten kannst du aus der Abbildung ablesen.
4.2
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
Du sollst nun die Wahrscheinlichkeit $Z$ bestimmen, wenn nach zweimaligen durchführen des Zufallsexperimentes die Summe der beiden Werte negativ ist.
Das Zufallsexperiment kann die drei Werte $-2$, $1$ und $2$ annehmen. Die Wahrscheinlichkeiten, mit denen diese Werte angenommen werden, siehst du in der Abbildung der Aufgabenstellung.
Überlege dir, für welche zwei Werte die Summe negativ wird und berechne die Wahrscheinlichkeit $Z$.
Damit die Summe zweier Werte negativ wird, gibt es zwei Möglichkeiten:
  1. Die Zufallsgröße nimmt zweimal den Wert $-2$ an.
  2. Die Zufallsgröße nimmt einmal den Wert $-2$ und einmal den Wert $1$ an.
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1.1
$\blacktriangleright$  Funktion angeben
Du hast einen Graphen einer Funktion und drei verschiedene Funktionsgleichungen gegeben. Um zu bestimmen, welche Funktionsgleichung zu dem Graphen gehört, kannst du das Verhalten der Funktionen für $x\to\pm\infty$ bestimmen. Damit kannst du gleichzeitig begründen, warum die zwei anderen Funktionen den Graphen nicht beschreiben.
Bestimme also den Limes der Funktionen.
Funktion $\boldsymbol{f}$:
$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{x\to\infty}f(x)&=&\lim\limits_{x\to\infty} \left(x^2-x+1\right) \\[5pt] &=&\infty \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{x\to-\infty}f(x)&=&\lim\limits_{x\to-\infty} \left(x^2-x+1\right) \\[5pt] &=&\infty \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{x\to\infty}f(x)&=& … \end{array}$
Funktion $\boldsymbol{g}$:
$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{x\to\infty}g(x)&=&\lim\limits_{x\to\infty} \left(x^3-x+1\right) \\[5pt] &=&\infty \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{x\to-\infty}g(x)&=&\lim\limits_{x\to-\infty} \left(x^3-x+1\right) \\[5pt] &=&-\infty \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{x\to\infty}g(x)&=& … \end{array}$
Funktion $\boldsymbol{h}$:
$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{x\to\infty}h(x)&=&\lim\limits_{x\to\infty} \left(x^4+x^2+1\right) \\[5pt] &=&\infty \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{x\to-\infty}h(x)&=&\lim\limits_{x\to-\infty} \left(x^4+x^2+1\right) \\[5pt] &=&\infty \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{x\to\infty}h(x)&=& … \end{array}$
Die Funktionen $f$ und $h$ streben für $x\to\pm\infty$ gegen unendlich. Die gesuchte Funktion strebt jedoch für $x\to-\infty$ gegen $-\infty$. Somit beschreiben die Funktionen $f$ und $h$ nicht den gesuchten Graphen. Bei der gesuchten Funktion handelt es sich um die Funktion $g$.
1.2
$\blacktriangleright$  Integral berechnen
Bei dieser Teilaufgabe sollst du das Integral $\displaystyle\int_{0}^{1} h'(x)\;\mathrm dx$ bestimmen. Die Funktion $h'$ ist die Ableitungsfunktion der Funktion $h$. Die Funktion $h$ ist also eine Stammfunktion der Funktion $h'$. Damit kannst du das Integral berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{0}^{1}h'(x)\;\mathrm dx&=& [h(x)]_0^1 \\[5pt] &=&\left[x^4+x^2+1\right]_0^1 \\[5pt] &=& 1^4+1^2+1-\left(0^4+0^2+1\right) \\[5pt] &=& 1+1+1-1 \\[5pt] &=& 2 \end{array}$
$ \displaystyle\int_{0}^{1}h'(x)\;\mathrm dx=2 $
Der gesuchte Wert beträgt $2$.
2.1
$\blacktriangleright$  Wendepunkt nachweisen
Bei dieser Teilaufgabe sollst du zeigen, dass der Wendepunkt des Graphen von $f$ auf der Geraden $y=x-2$ liegt. Bilde die zweite und dritte Ableitung der Funktion $f$ und berechne die Koordinaten des Wendepunktes. Mit einer Punktprobe kannst du überprüfen, ob der Wendepunkt auf der Geraden liegt.
Die Funktion $f$ kannst du mit der Summen- und Faktorregel ableiten.
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& x^3-6x^2+11x-6 \\[5pt] f'(x)&=& 3x^2-6\cdot2x+11\\[5pt] &=& 3x^2-12x+11\\[5pt] f''(x)&=& 3\cdot2x-12\\[5pt] &=& 6x-12\\[5pt] &=& 6\cdot(x-2)\\[5pt] f'''(x)&=& 6\quad \neq0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& … \end{array}$
Notwendige Bedingung:
$\begin{array}[t]{rll} f''(x)&=& 0\\[5pt] 6\cdot(x-2)&=& 0\\[5pt] x_1&=& 2 \end{array}$
Setze nun den Wert $x_1$ in den Funktionsterm von $f$ ein.
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& x^3-6x^2+11x-6 \\[5pt] f(2)&=& 2^3-6\cdot2^2+11\cdot2-6 \\[5pt] f(2)&=& 8-6\cdot4+22-6 \\[5pt] f(2)&=& 8-24+22-6 \\[5pt] f(2)&=& 0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& … \end{array}$
Der Graph hat damit einen Wendepunkt mit den Koordinaten $W(2\mid0)$. Führe nun eine Punktprobe durch, um zu überprüfen, ob der Punkt auf der Geraden $y=x-2$ liegt.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x-2 \\[5pt] 0&=& 2-2\\[5pt] 0&=& 0 \end{array}$
Der Wendepunkt des Graphen von $f$ liegt auf der Geraden $y=x-2$.
2.2
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung der Funktion $\boldsymbol{h}$ angeben
Den Graphen der Funktion $h$ erhältst du, indem du den Graphen der Funktion $f$ verschiebst. Der Punkt $(2\mid0)$ hat nach der Verschiebung die Koordinaten $(3\mid2)$. Um den Graphen von $h$ zu erhalten, wird der Graph von $f$ um $1\,\text{LE}$ in positive $\boldsymbol{x}$-Richtung und um $2\,\text{LE}$ in positive $\boldsymbol{y}$-Richtung verschoben.
Wird ein Graph um einen Wert $a$ in $x$-Richtung verschoben, so wird die Variable $x$ durch $x-a$ ersetzt. Bei der Verschiebung in positive $y$-Richtung wird der entsprechende Wert zu dem Funktionsterm addiert.
Um die Funktionsgleichung der Funktion $h$ zu erhalten, kannst du so vorgehen:
  1. Verschiebe den Graphen von $f$ in $x$-Richtung
  2. Verschiebe den neuen Graphen in $y$-Richtung
1. Schritt: Graph in $\boldsymbol{x}$-Richtung verschieben
Der Graph von $f$ wird um eine Längeneinheit in positive $x$-Richtung verschoben. Ersetze daher das $x$ durch $x-1$. Verwende beim Ausmultiplizieren die binomischen Formeln.
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& x^3-6x^2+11x-6 \\[5pt] f^*(x)&=&(x-1)^3-6\cdot(x-1)^2+11\cdot(x-1)-6\\[5pt] f^*(x)&=& x^3-3x^2+3x-1-6\cdot(x^2-2x+1)+11x-11-6\\[5pt] f^*(x)&=& x^3-3x^2+3x-1-6x^2+12x-6+11x-11-6\\[5pt] f^*(x)&=& x^3-9x^2+26x-24 \end{array}$
$ f^*(x) = x^3-9x^2+26x-24 $
2. Schritt: Graph in $\boldsymbol{y}$-Richtung verschieben
Um die Funktionsgleichung von $h$ zu erhalten, verschiebst du den Graphen von $f^*$ um zwei Längeneinheiten in positive $y$-Richtung. Addiere dazu den Wert $2$ zu dem Funktionsterm von $f^*$ hinzu.
$\begin{array}[t]{rll} h(x)&=& f^*(x)+2 \\[5pt] h(x)&=& x^3-9x^2+26x-24+2\\[5pt] h(x)&=& x^3-9x^2+26x-22 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} h(x)&=& f^*(x)+2 \\[5pt] h(x)&=& … \end{array}$
Eine Funktionsgleichung der Funktion $h$ lautet: $h(x)=x^3-9x^2+26x-22$
3.1
$\blacktriangleright$  Abstand zweier Punkte berechnen
Du musst den Abstand zweier Punkte $A (0 \mid 1 \mid 2)$ und $B(2 \mid 5 \mid 6)$ berechnen. Dazu nutzt du, dass der Abstand zweier Punkte der Länge ihres Verbindungsvektors entspricht.
Den Verbindungsvektor berechnest du über
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \pmatrix{2 \\ 5\\6} - \pmatrix{0\\1\\2} = \pmatrix{2 \\ 4 \\ 4}$
$\overrightarrow{AB} = … $
Die Länge dieses Vektors entspricht
$\vert \sqrt{2^2+4^2+4^2} \vert = \sqrt{36} = 6 $
Also haben die Punkte $A$ und $B$ den Abstand $6$.
$\blacktriangleright$  Koordinaten zweier Punkte berechnen
Die Punkte $C$ und $D$ liegen auf einer Geraden, die durch die Punkte $A$ und $B$ geht. Du sollst nun ihre Koordinaten bestimmen.
Dazu stellst du zuerst eine Gleichung für die Gerade durch $A$ und $B$ auf. Als Stützvektor wählst du zum Beispiel den Ortsvektor $\overrightarrow{OA}$ und als Richtungsvektor $\overrightarrow{AB}$:
$g: \overrightarrow{x} = \pmatrix{0 \\ 1 \\ 2} + r \cdot \pmatrix{2\\4\\4}$
Die Punkte $C$ und $D$ liegen auf der Geraden. Das bedeutet, dass du für $C$ und $D$ folgenden Ansatz machst
$\overrightarrow{OC} = \pmatrix{0 \\ 1 \\ 2} + s \cdot \pmatrix{2\\4\\4}$
$\overrightarrow{OD} = \pmatrix{0 \\ 1 \\ 2} + k \cdot \pmatrix{2\\4\\4}$
Die beiden Parameter $s,k$ musst du bestimmen. Dazu nutzt du, dass die Punkte $C$ und $D$ zu $A$ jeweils den Abstand $12$ haben und damit für ihre Verbindungsvektoren gilt:
$\vert \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} \vert = 12$
$\vert \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OA} \vert = 12$
Dabei kannst du $\overrightarrow{OA}$ durch einen festen Wert für $r$ darstellen.
Rechne also
$\left | \pmatrix{0\\1\\2} - \pmatrix{0 \\ 1 \\ 2} + s \cdot \pmatrix{2\\4\\4} \right| = \left | s \cdot \pmatrix{2\\4\\4} \right | = s \sqrt{36} = 6s = 12$
$\left | \pmatrix{0\\1\\2} - \pmatrix{0 \\ 1 \\ 2} + s \cdot \pmatrix{2\\4\\4} \right|= 12$
Daraus folgt $s = 2$. Für den Parameter gilt $k = -s = -2$, da durch das Quadrieren innerhalb der Wurzel eine Lösung verloren geht.
3.2
$\blacktriangleright$  Fehlenden Eckpunkt eines Parallelogramms berechnen
Die Punkte $A,B,E$ sollen mit einem unbekannten Punkt die Eckpunkte eines Parallelogramms bilden. Du sollst für zwei Möglichkeiten die Koordinaten des unbekannten Punktes bestimmen. Nenne den einen Punkt $F$ und den anderen Punkt $G$.
Hier nutzt du, dass bei einem Parallelogramm gegenüberliegende Seiten parallel sind. Die Seiten entsprechen gerade den Strecken zwischen den Punkten $A,B,E$ und $F$ oder $G$.
Überlege dir, welche Seiten parallel sein können. Es kann
  • die Seite $AB$ zur Seite $EF$ parallel sein.
  • die Seite $BE$ zur Seite $AG$ parallel sein.
Mache dir dazu eine Skizze.
Pflichtaufgabe B0
Abb. 1: Vom Punkt $E$ aus kann man zwei Parallelogramme konstruieren.
Pflichtaufgabe B0
Abb. 1: Vom Punkt $E$ aus kann man zwei Parallelogramme konstruieren.
Du siehst, dass du den Eckpunkt $\overrightarrow{OE}$ um $\overrightarrow{AB}$ und $-\overrightarrow{AB}$ verschieben kannst, um ein Parallelogramm zu erhalten.
Folglich ergeben sich die Komponentnen von $\overrightarrow{OF}$ zu
$\overrightarrow{OF} = \overrightarrow{OE} + \overrightarrow{AB} = \pmatrix{1\\2\\5} + \pmatrix{2\\4\\4} = \pmatrix{3\\6\\9}$
$\overrightarrow{OF} = … $
Die Komponenten von $\overrightarrow{OG}$ erhältst du mit
$\overrightarrow{OG} = \overrightarrow{OE} - \overrightarrow{AB} = \pmatrix{1\\2\\5} - \pmatrix{2\\4\\4} = \pmatrix{-1\\-2\\1} $
$\overrightarrow{OG} = … $
Folglich hat der Punkt $F$ die Koordinaten $(3 \mid 6 \mid 9)$. Der Punkt $G$ hat also die Koordinaten $(-1\mid -2 \mid 1)$.
4.1
$\blacktriangleright$  Erwartungswert bestimmen
Den Erwartungswert berechnest du, indem du den Wert $x_i$ der Zufallsgröße $X$ mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit $P(X=x_i)$ multipliziert. Die Formel zur Berechnung des Erwartungswertes lautet demnach:
$E(X)=x_1\cdot P(X=x_1)+x_2\cdot P(X=x_2)+…+x_n\cdot P(X=x_n)$
$$ E(X)=x_1\cdot P(X=x_1)+ $$ $$…$$
Die einzelnen Wahrscheinlichkeiten kannst du aus der Abbildung ablesen.
Du erhältst für die Werte $-2$ und $1$ die Wahrscheinlichkeit $P(X=-2)=P(X=1)=0,25$ und für den Wert $2$ die Wahrscheinlichkeit $P(X=2)=0,5$. Mit diesem Werten kannst du den Erwartungswert berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} E(X)&=& -2\cdot P(X=-2)+1\cdot P(X=1)+2\cdot P(X=2) \\[5pt] E(X)&=& -2\cdot 0,25+1\cdot 0,25+2\cdot 0,5 \\[5pt] E(X)&=& 0,75 \end{array}$
$ E(X) = 0,75 $
Der Erwartungswert der Zufallsgröße $X$ beträgt $0,75$.
4.2
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
Du sollst nun die Wahrscheinlichkeit $Z$ bestimmen, wenn nach zweimaligen durchführen des Zufallsexperimentes die Summe der beiden Werte negativ ist.
Das Zufallsexperiment kann die drei Werte $-2$, $1$ und $2$ annehmen. Die Wahrscheinlichkeiten, mit denen diese Werte angenommen werden, siehst du in der Abbildung der Aufgabenstellung. Es gilt: $P(X=-2)=P(X=1)=0,25$ und $P(X=2)=0,5$
Überlege dir, für welche zwei Werte die Summe negativ wird und berechne die Wahrscheinlichkeit $Z$.
Damit die Summe zweier Werte negativ wird, gibt es zwei Möglichkeiten:
  1. Die Zufallsgröße nimmt zweimal den Wert $-2$ an.
  2. Die Zufallsgröße nimmt einmal den Wert $-2$ und einmal den Wert $1$ an.
Du erhältst:
$\begin{array}[t]{rll} P(Z)&=& P(X=-2)\cdot P(X=-2)+P(X=1)\cdot P(X=-2)+P(X=-2)\cdot P(X=1) \\[5pt] &=& 0,25\cdot 0,25+0,25\cdot 0,25+0,25\cdot 0,25 \\[5pt] &=& 0,0625+0,0625+0,0625 \\[5pt] &=& 0,1875 \end{array}$
$ P(Z) = 0,1875$
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe beider Werte negativ ist beträgt $18,75\,\%$.
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