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Wahlteil A1

Aufgaben
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Analysis

1.1
Gegeben ist eine Funktion $f$ mit der Gleichung
$f(x) = x^3 + 3x^2 + \frac{9}{4}x$ mit $x\in\mathbb{R}$.
Der Graph von $f$ ist $G$.
1.1.1
Berechne die Nullstelle von $f$.
Ermittle die Koordinaten der lokalen Extrempunkte sowie des Wendepunktes von $G$ und weise jeweils eine hinreichende Bedingung nach. Gib die Art der Extrema an.
Skizziere $G$ in einem geeigneten Koordinatensystem.
1.1.2
Durch $G$ und die $x-$Achse wird eine Fläche $A$ vollständig begrenzt.
Berechne den Inhalt von $A$.
Gib eine benötigte Stammfunktion an.
Weise nach, dass der Punkt $P(-\dfrac{1}{4}\mid -\dfrac{1}{4})$ zur Fläche $A$ gehört.
1.1.3
Im Koordinatenursprung wird die Tangente $t$ an $G$ gelegt.
Bestimme eine Gleichung für $t$.
Ermittle eine Stelle $x$ mit $x\neq 0$, an der der Graph $G$ den gleichen Anstieg wie die Tangente $t$ hat.
Ermittle die Größe des Winkels, den $t$ mit der $x-$Achse einschließt.
1.1.4
Im Punkt $P(\dfrac{1}{2}\mid f(\dfrac{1}{2}))$ wird die Normale zu $G$ betrachtet.
Diese Normale schließt mit den Koordinatenachsen ein Dreieck ein.
Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks.
1.2
Betrachtet wird die Funktionsschar $f_a$ mit der Gleichung
$f_a(x)= x^3 + 3x^2 + a\cdot x\quad$ mit $x\in\mathbb{R}, a\in\mathbb{R}$
Untersuche die Anzahl der Schnittpunkte der Graphen von $f_a$ mit der $x-$Achse in Abhängigkeit von $a$.

(35P)
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Tipps
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1.1.1
$\blacktriangleright$ Nullstellen von $\boldsymbol{f}$ berechnen
Du sollst die Nullstellen von $f$, einer Funktion $3.$Grades, berechnen. Dafür klammerst du zuerst das $x$ aus.
Überlege, welchen Wert das $x$ außerhalb der Klammer haben muss, damit die Gleichung Null wird. Du erhältst so dein $x_1$. Die anderen Nullstellen berechnest du, indem du die Gleichung in der Klammer mit der pq-Formel löst.
$\blacktriangleright$ Koordinaten der Extremstellen und des Wendepunkts ermitteln
Die Funktion ist auf den kompletten reellen Zahlen definiert. Somit ist ein notwendiges Kriterium für eine Extrem- oder Wendestelle
$f'(x) = 0.$
$f'(x) = 0.$
Bestimme also die erste Ableitung von $f$ und berechne mithilfe der pq-Formel (oder der abc-Formel) die Nullstellen von $f'$.
Um festzustellen, um welche Art von Extremstelle es sich handelt, musst du zusätzlich die zweite Ableitung betrachten.
Falls $f''(x) < 0$ gilt, handelt es sich um ein Maximum.
Falls $f''(x) > 0$ gilt, handelt es sich um ein Minimum.
Setze diese Stellen in die ursprüngliche Funktionsgleichung von $f$ ein, um die $y$-Koordinaten zu bestimmen.
Ein notwendiges Kriterium für eine Wendestelle ist
$f''(x) = 0.$
$f''(x) = 0.$
Überprüfe, für welchen $x$-Wert dies erfüllt ist. Falls nun $f'''(x) \neq 0$ ist, handelt es sich um eine Wendestelle. Setze nun den $x$-Wert in die Funktionsgleichung von $f$ ein, um den Wendepunkt zu erhalten.
$\blacktriangleright$ Skizze anfertigen
Wähle das Koordinatensystem so, dass die Nullstellen, die Extrema und der Wendepunkt zu sehen sind. Trage die Punkte in das Koordinatensystem ein und überlege, ob der Graph vor und nach diesen Punkten eine positive oder negative Steigung hat.
1.1.2
$\blacktriangleright$ Flächeninhalt von $\boldsymbol{A}$ berechen
Die Fläche $A$ wird durch den Graphen $G$ und der $x$-Achse im Intervall der beiden Nullstellen von $f$ beschränkt. Das ist gerade das Integral der Funktion $f$ mit der unteren Grenze $x_1 = -\frac{3}{2}$ und der oberen Grenze $x_2 = 0.$ Bestimme also zuerst die Stammfunktion $F(x)$.
Der Flächeninhalt $I_{A}$ von $A$ ist gerade der Betrag der Differenz von $F(0)$ und $F(-\frac{3}{2})$.
$\blacktriangleright$ Nachweisen, dass der Punkt $\boldsymbol{P}$ zur Fläche $\boldsymbol{A}$ gehört
Die Fläche $A$ wird durch die $x$-Achse und den Graphen $G$ begrenzt. Um nun nachzuweisen, dass der Punkt $P(-\frac{1}{4} \mid -\frac{1}{4})$ zur Fläche $A$ gehört, reicht es aus zu zeigen, dass $P$ unterhalb der $x$-Achse und oberhalb von $f$ im Intervall $[-\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}]$ liegt.
Schaue dir die $y$-Koordinate genau an und überlege, wie die Lage bezüglich der $x$-Achse ist.
Berechne anschließend den Wert von $f(-\frac{1}{4})$ und vergleich ihn mit dem $y$-Wert von $P.$
1.1.3
$\blacktriangleright$ Gleichung der Tangente ermitteln
Eine Tangente wird an $G$ im Koordinatenursprung angelegt, d.h. sie geht durch den Punkt $(0 \mid 0)$ und hat die selbe Steigung wie der Graph an der Stelle $x=0.$ Bestimme also den Wert $m$= $f'(0).$ Die allgemeine Gleichung einer Tangente ist gegeben durch
$y = mx + c.$
$y = mx + c.$
Die Gerade geht durch den Ursprung, daraus kannst du auf den Wert der Konstanten $c$ schließen.
Stelle nun die Gleichung auf.
$\blacktriangleright$ Stelle mit der gleichen Steigung ermitteln
Du musst nun eine Stelle $x$ mit $x \neq 0$ ermitteln, die die gleiche Steigung hat wie die Tangente im Ursprung, d.h. löse die Gleichung $f'(x) = m$.
$\blacktriangleright$ Größe des Winkel der Tangente mit der $\boldsymbol{x}$-Achse bestimmen
Die Tangente am Koordinatenursprung schneidet die $x$-Achse in einem bestimmten Winkel $\alpha$.
Wahlteil A1
Abb. 2: Tangente im Koordinatenursprung
Wahlteil A1
Abb. 2: Tangente im Koordinatenursprung
Du berechnest diesen Winkel am einfachsten mit Hilfe der Winkelfunktionen. Dabei gilt
$\alpha = \tan^{-1} \left( \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}\right).$
$\alpha = \tan^{-1} \left( \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}\right).$
1.1.4
$\blacktriangleright$ Flächeinhalt des Dreiecks bestimmen
Die Normale $N$ geht durch den Punkt $P(\frac{1}{2} \mid f(\frac{1}{2}))$ und bildet dabei mit der $x$- und $y$-Achse ein Dreieck.
Bestimme also im ersten Schritt die Gleichung der Normalen, um die Schnittpunkte mit der $x$- und $y$-Achse zu ermitteln.
Eine Normale ist eine Gerade, sodass deren Gleichung die Form
$y = mx + c$
$y = mx + c$
annimmt. Dabei ist $m$ die Steigung und $c$ der Ordinatenabschnitt der Geraden.
Die Steigung $m_N$ einer Normalen in einem Punkt $P$ ist gerade
$m_N = -\frac{1}{m_T}.$
$m_N = -\frac{1}{m_T}.$
Dabei ist $m_T$ die Steigung der Tangenten im Punkt $P$.
Bestimme also den Wert von $f'(\frac{1}{2})$, um die Steigung zu berechnen und setze den Wert in die Gleichung der Tangente und die der Normalensteigung ein.
Jetzt kannst du das fehlende $c$ bestimmen, indem du die Normalengleichung nach $c$ umformst und die entsprechenden Werte einsetzt. Somit lautet die Normalengleichung $y = -\frac{1}{6} x + \frac{25}{12}.$
Bestimme nun den Schnnittpunkt der Normalen mit der $x$-Achse.
Da die $x$- mit der $y$-Achse einen rechten Winkel bildet, handelt es sich bei dem gesuchten Dreieck um ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Flächenihalt $A_{\text{Dreieck}}$ du mit
$A_{\text{Dreieck}} = \dfrac{\text{Länge} \cdot \text{Höhe}}{2}$
$A_{\text{Dreieck}} = \dfrac{\text{Länge} \cdot \text{Höhe}}{2}$
berechnen kannst.
1.2
$\blacktriangleright$ Anzahl der Nullstellen in Abhängigkeit von $\boldsymbol{a}$ bestimmen
Gegeben ist eine Funktionenschar $f_a$ deren Nullstellen du bestimmen sollst. Bei $f$ handelt es sich um eine Funktion $3.$ Grades, wobei bei jedem Summanden $x$ als Faktor auftrifft, sodass ein $x$ ausgeklammert werden kann. Behandle dabei die Variable $a$ als wäre es eine Zahl.
$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& x^3 + 3x^2 + a \cdot x \\[5pt] &=& x \cdot (\underbrace{x^2 + 3x + a}_{:=g_a(x)}) \end{array}$
Somit ist $x_1 $ ist eine Nullstelle von $f_a$ unabhängig von der Wahl von $a$.
Um die restlichen Nullstellen von $f_a$ zu bestimmen, bestimmst du die Nullstellen von $g_a$ mithilfe der pq-Formel.
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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1.1.1
$\blacktriangleright$ Nullstellen von $\boldsymbol{f}$ berechnen
Du sollst die Nullstellen von $f$, einer Funktion $3.$Grades, berechnen. Dafür klammerst du zuerst das $x$ aus.
$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& x^3 + 3x^2 + \dfrac{9}{4}x \\[5pt] &=& x \cdot (\underbrace{x^2 + 3x + \dfrac{9}{4}}_{:=g(x)}). \\[5pt] \end{array}$
Somit folgt automatisch, dass $x_1=0$ eine Nullstelle ist. Um die anderen Nullstellen zu bestimmen, berechnest du mithilfe der pq-Formel die Nullstellen von $g$.
$\begin{array}[t]{rll} 0 &=& x^2 + 3x + \dfrac{9}{4} \\[5pt] x_{2,3}&=& -\dfrac{3}{2} \pm \sqrt{\dfrac{9}{4} - \dfrac{9}{4}} \\[5pt] x_{2}&=& -\dfrac{3}{2}. \end{array}$
Da die Diskriminante null wird, sind die beiden Nullstellen von $f$ gegeben durch $x_1 =0 $ und $x_2=-\frac{3}{2}.$
$\blacktriangleright$ Koordinaten der Extremstellen und des Wendepunkts ermitteln
Die Funktion ist auf den kompletten reellen Zahlen definiert. Somit ist ein notwendiges Kriterium für eine Extrem- oder Wendestelle
$f'(x) = 0.$
$f'(x) = 0.$
Bestimme also die erste Ableitung von $f$ und berechne mithilfe der pq-Formel (oder der abc-Formel) die Nullstellen von $f'$.
$\begin{array}[t]{rll} f'(x) &=& 3x^2 + 6x + \frac{9}{4} \\[5pt] 0 &=& 3x^2 + 6x + \frac{9}{4} &\quad \scriptsize \mid\ :3 \\[5pt] 0 &=& x^2 + 2x + \frac{3}{4} \\[5pt] x_{1,2} &=& -\frac{2}{2} \pm \sqrt{1- \frac{3}{4}} \\[5pt] x_{1,2} &=& -1 \pm \frac{1}{2} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f'(x) &=& … \end{array}$
Die Nullstellen der ersten Ableitung $f'$ sind somit $x_1 = -\frac{3}{2}$ und $x_2 = -\frac{1}{2}.$
Um festzustellen, um welche Art von Extremstelle es sich handelt, musst du zusätzlich die zweite Ableitung betrachten.
Falls $f''(x) < 0$ gilt, handelt es sich um ein Maximum.
Falls $f''(x) > 0$ gilt, handelt es sich um ein Minimum.
$\begin{array}[t]{rll} f''(x) &=& 6x + 6 \\ f''(-\frac{3}{2}) &=& 6 \cdot (-\frac{3}{2}) + 6 = -3 < 0 \\ f''(-\frac{1}{2}) &=& 6 \cdot (-\frac{1}{2}) + 6 = 3 > 0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f''(x) &=& … \end{array}$
Somit liegt bei $x_1 = -\frac{3}{2}$ ein lokales Maximum vor und bei $x_2 = -\frac{1}{2}$ ein lokales Minimum.
Setze diese Stellen in die ursprüngliche Funktion $f$ ein, um die $y$-Koordinaten zu bestimmen. Da $x_1$ mit der Nullstelle von $f$ zusammenfällt, ist die $y$-Koordinate an dieser Stelle gleich null.
$\begin{array}[t]{rll} f(-\frac{1}{2}) &=& \left( -\frac{1}{2} \right) ^3 + 3 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) ^2 + \frac{9}{4} \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) \\[5pt] &=& -\frac{1}{8} + \frac{3}{4} - \frac{9}{8} \\[5pt] &=& -\frac{1}{2}. \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f(-\frac{1}{2}) &=& … \end{array}$
Demnach ist $(-\frac{3}{2} \mid 0)$ ein lokales Maximum und $(-\frac{1}{2} \mid -\frac{1}{2})$ ein lokales Minimum von $f.$
Ein notwendiges Kriterium für eine Wendestelle ist
$f''(x) = 0.$
$f''(x) = 0.$
Das ist gerade für $x=-1$ erfüllt, denn
$\begin{array}[t]{rll} f''(-1)&=& 6 \cdot (-1) + 6 \\[5pt] &=& 0. \end{array}$
Falls nun $f'''(-1) \neq 0$ ist, handelt es sich um eine Wendestelle.
$\begin{array}[t]{rll} f'''(x)&=& 6 \\[5pt] f'''(-1)&=& 6 \neq 0. \end{array}$
Somit liegt bei $x=-1$ eine Wendestelle vor.
$\begin{array}[t]{rll} f(6) &=& (-1)^3 + 3 \cdot (-1)^2 + \frac{9}{4} \cdot (-1) \\[5pt] &=& -1 + 3 - \frac{9}{4} \\[5pt] &=& -\frac{1}{4}. \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f(6) &=& … \end{array}$
Der Wendepunkt hat also die Koordinaten $(-1 \mid -\frac{1}{4}).$
$\blacktriangleright$ Skizze anfertigen
Wähle das Koordinatensystem so, dass die Nullstellen, die Extrema und der Wendepunkt zu sehen sind.
Wahlteil A1
Abb. 1: Graph $G$ der Funktion $f$
Wahlteil A1
Abb. 1: Graph $G$ der Funktion $f$
1.1.2
$\blacktriangleright$ Flächeninhalt von $\boldsymbol{A}$ berechen
Die Fläche $A$ wird durch den Graphen $G$ und der $x$-Achse im Intervall der beiden Nullstellen von $f$ beschränkt. Das ist gerade das Integral der Funktion $f$ mit der unteren Grenze $x_1 = -\frac{3}{2}$ und der oberen Grenze $x_2 = 0.$ Bestimme also zuerst eine Stammfunktion $F(x)$.
$\begin{array}[t]{rll} F(x) &=& \int f(x) \text{ dx} \\[5pt] &=& \frac{1}{4}x^4 + x^3 + \frac{9}{8}x^2. \end{array}$
Der Flächeninhalt $I_{A}$ von $A$ ist gerade der Betrag der Differenz von $F(-\frac{1}{2})$ und $F(-\frac{3}{2})$.
$\begin{array}[t]{rll} I_{A} &=& \mid F(0) - F(-\frac{3}{2}) \mid \\[5pt] &=& \left| \left( \frac{1}{4} \cdot 0^4 + 0^3 + \frac{9}{8} \cdot 0^2 \right) - \left( \frac{1}{4} \cdot \left( -\frac{3}{2} \right)^4 + \left( -\frac{3}{2} \right) ^3 + \frac{9}{8} \cdot \left( -\frac{3}{2} \right)^2\right) \right| \\ &=& \left| 0 - \frac{81}{64} + \frac{27}{8} - \frac{81}{32} \right| \\ &=& \left| \frac{1-8+18-81+216-162}{64} \right| \\ &=& \frac{27}{64}. \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} I_{A} &=& … \end{array}$
Der Flächeninhalt der eingeschlossenen Fläche $A$ ist demnach $\frac{27}{64}.$
$\blacktriangleright$ Nachweisen, dass der Punkt $\boldsymbol{P}$ zur Fläche $\boldsymbol{A}$ gehört
Die Fläche $A$ wird durch die $x$-Achse und den Graphen $G$ begrenzt. Um nun nachzuweisen, dass der Punkt $P(-\frac{1}{4} \mid -\frac{1}{4})$ zur Fläche $A$ gehört, reicht es aus zu zeigen, dass $P$ unterhalb der $x$-Achse und oberhalb von $f$ im Intervall $[-\frac{3}{2}, 0]$ liegt.
Aufgrund der negativen $y$-Koordinate ist es offensichtlich, dass $P$ unterhalb der $x$-Achse liegt.
Berechne nun den Wert von $f(-\frac{1}{4})$ und vergleiche ihn mit dem $y$-Wert von $P.$
$\begin{array}[t]{rll} f(-\frac{1}{4}) &=& \left( -\frac{1}{4} \right) ^3 + 3 \cdot \left( -\frac{1}{4} \right) ^2 + \frac{9}{4} \cdot \left( -\frac{1}{4} \right) \\[5pt] &=& -\frac{1}{64} + \frac{3}{16} - \frac{9}{16} \\ &=& -\frac{25}{64} < -\frac{1}{4}. \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f(-\frac{1}{4}) &=& … \end{array}$
Somit gehört der Punkt $P(-\frac{1}{4} \mid -\frac{1}{4})$ zur Fläche $A.$
1.1.3
$\blacktriangleright$ Gleichung der Tangente ermitteln
Eine Tangente wird an $G$ im Koordinatenursprung angelegt, d.h. sie geht durch den Punkt $(0 \mid 0)$ und hat die selbe Steigung wie der Graph an der Stelle $x=0.$ Bestimme also den Wert von $f'(0).$
$\begin{array}[t]{rll} f'(0)&=& 3 \cdot 0^2 + 6 \cdot 0 + \frac{9}{4} \\[5pt] &=& \frac{9}{4}. \end{array}$
Die Gleichung einer Tangente ist gegeben durch
$y = mx + c.$
$y = mx + c.$
In diesem Fall ist die Steigung $m = \frac{9}{4}$ und der Ordinatenabschnitt $c=0$, da die Tangente durch den Koordinatenursprung geht.
Die Gleichung der Tangenten ist demnach: $y = \frac{9}{4}x.$
$\blacktriangleright$ Stelle mit der gleichen Steigung ermitteln
Du musst nun eine Stelle $x$ mit $x \neq 0$ ermitteln, die die gleiche Steigung hat wie die Tangente im Ursprung, d.h. löse die Gleichung $f'(x) = \frac{9}{4}.$
$\begin{array}[t]{rll} 3x^2 + 6x + \frac{9}{4} &=& \frac{9}{4} &\quad \scriptsize \mid\ -\frac{9}{4} \\[5pt] 0 &=& 3x^2 + 6x \\[5pt] 0 &=& 3x \underbrace{(x +2)}_{=0, \text{ für } x=-2}. \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 3x^2 + 6x + \frac{9}{4} … \end{array}$
Somit sind die beiden Nullstellen von $f'(x)$ gegeben durch $x_1 = 0$ und $x_2 = -2.$ Da $x_1 = 0$ gerade die Stelle am Ursprung ist, liegt die gesuchte Stelle bei $x_2 = -2.$
$\blacktriangleright$ Größe des Winkel der Tangente mit der $\boldsymbol{x}$-Achse bestimmen
Die Tangente am Koordinatenursprung schneidet die $x$-Achse in einem bestimmten Winkel $\alpha$.
Wahlteil A1
Abb. 2: Tangente im Koordinatenursprung
Wahlteil A1
Abb. 2: Tangente im Koordinatenursprung
Du berechnest diesen Winkel am einfachsten mit Hilfe der Winkelfunktionen. Dabei gilt
$\alpha = \tan^{-1} \left( \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}\right).$
$\alpha = \tan^{-1} \left( \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}\right).$
Somit gilt für den gesuchten Winkel
$\begin{array}[t]{rll} \alpha &=& \tan^{-1} \left( \frac{\frac{9}{4}}{1}\right) \\[5pt] &\approx& 66,0° \end{array}$
Die Größe des gesuchten Winkels beträgt also ungefähr $66°.$
1.1.4
$\blacktriangleright$ Flächeinhalt des Dreiecks bestimmen
Die Normale $N$ geht durch den Punkt $P(\frac{1}{2} \mid f(\frac{1}{2}))$ und bildet dabei mit der $x$- und $y$-Achse ein Dreieck.
Bestimme also im ersten Schritt die Gleichung der Normalen, um die Schnittpunkte mit der $x$- und $y$-Achse zu ermitteln.
Eine Normale ist eine Gerade, sodass deren Gleichung die Form
$y = mx + c$
$y = mx + c$
annimmt. Dabei ist $m$ die Steigung und $c$ der Ordinatenabschnitt der Geraden.
Die Steigung $m_N$ einer Normalen in einem Punkt $P$ ist gerade
$m_N = -\frac{1}{m_T}.$
$m_N = -\frac{1}{m_T}.$
Dabei ist $m_T$ die Steigung der Tangenten im Punkt $P$.
Bestimme also den Wert von $f'(\frac{1}{2})$, um die Steigung zu berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} f'(\frac{1}{2}) &=& 3 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^2 + 6 \cdot \frac{1}{2} + \frac{9}{4} \\[5pt] &=& \frac{3}{4} + 3 + \frac{9}{4} \\[5pt] &=& 6. \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f'(\frac{1}{2}) &=& … \end{array}$
Die Steigung der Tangente an der Stelle $x=\frac{1}{2}$ beträgt also $m_T = 6$ und die Steigung der Normalen ist somit $m_N = - \frac{1}{6}.$
Nun weißt du, dass die Normale die Steigung $m_N = - \frac{1}{6}$ besitzt und durch den Punkt $P(\frac{1}{2} \mid f(\frac{1}{2}))$ geht. Dabei ist
$\begin{array}[t]{rll} f(\frac{1}{2})&=& \left( \frac{1}{2} \right) ^3 + 3 \cdot \left( \frac{1}{2} \right) ^2 + \frac{9}{4} \cdot \frac{1}{2} \\[5pt] &=& \frac{1}{8} + \frac{3}{4} + \frac{9}{8} \\[5pt] &=& 2. \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f(\frac{1}{2})&=& … \end{array}$
Jetzt kannst du das fehlende $c$ bestimmen, indem du die Normalengleichung nach $c$ umformst und die entsprechenden Werte einsetzt.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& m_N x + c &\quad \scriptsize \mid\ -m_N x\\[5pt] c &=& y - m_N x \\[5pt] &=& 2 - (-\frac{1}{6}) \cdot \frac{1}{2} \\[5pt] &=& \frac{25}{12}. \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y&=& … \end{array}$
Somit lautet die Normalengleichung $y = -\frac{1}{6} x + \frac{25}{12}.$
Bestimme nun den Schnnittpunkt der Normalen mit der $x$-Achse.
$\begin{array}[t]{rll} 0 &=& -\frac{1}{6} x + \frac{25}{12} \\[5pt] x &=& \frac{25}{2}. \end{array}$
Die Normale schneidet die $x$-Achse also an der Stelle $x=\frac{25}{2}.$
Da die $x$- mit der $y$-Achse einen rechten Winkel bildet, handelt es sich bei dem gesuchten Dreieck um ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Flächenihalt $A_{\text{Dreieck}}$ durch
$A_{\text{Dreieck}} = \dfrac{\text{Länge} \cdot \text{Höhe}}{2}$
$A_{\text{Dreieck}} = \dfrac{\text{Länge} \cdot \text{Höhe}}{2}$
gegeben ist.
Die Länge des Dreiecks ist die Strecke vom Ursprung bis zur Nullstelle der Normalen, also $\frac{25}{2}$ LE.
Die Höhe ist die Strecke vom Ursprung bis zum Ordinatenabschnitt der Normalen, also $\frac{25}{12}$ LE.
Somit ist der Flächeninhalt des Dreiecks ist gegeben durch
$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{Dreieck}}&=& \dfrac{25 \cdot 25}{2 \cdot 12 \cdot 2} \\[5pt] &=& \dfrac{625}{48}. \end{array}$
Somit beträgt der Flächeinhalt des Dreiecks $\frac{625}{48}$ Flächeneinheiten.
1.2
$\blacktriangleright$ Anzahl der Nullstellen in Abhängigkeit von $\boldsymbol{a}$ bestimmen
Gegeben ist eine Funktionenschar $f_a$ deren Nullstellen du bestimmen sollst. Bei $f$ handelt es sich um eine Funktion $3.$ Grades, wobei bei jedem Summanden $x$ als Faktor auftrifft, sodass ein $x$ ausgeklammert werden kann. Behandle dabei die Variable $a$ als wäre es eine Zahl.
$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& x^3 + 3x^2 + a \cdot x \\[5pt] &=& x \cdot (\underbrace{x^2 + 3x + a}_{:=g_a(x)}) \end{array}$
Somit ist $x_1 = 0$ ist eine Nullstelle von $f_a$ unabhängig von der Wahl von $a$.
Um die restlichen Nullstellen von $f_a$ zu bestimmen, bestimmst du die Nullstellen von $g_a$ mithilfe der pq-Formel.
$\begin{array}[t]{rll} 0 &=& x^2 + 3x + a \\[5pt] x_{2,3} &=& -\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4}-a} \end{array}$
Folglich gibt es für $a < \frac{9}{4}$ drei Nullstellen: $x_1 = 0$, $x_2 = -\frac{3}{2} - \sqrt{\frac{9}{4}-a}$ und $x_3 = -\frac{3}{2} + \sqrt{\frac{9}{4}-a}$.
Für $a=\frac{9}{4}$ gibt es zwei Nullstellen, nämlich $x_1 = 0$ und $x_2 = -\frac{3}{2}.$
Für $a > \frac{9}{4}$ gibt es nur eine Nullstelle $x_1 = 0.$
Bildnachweise [nach oben]
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