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Wahlteil A3

Aufgaben
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Analysis

$\,$
Gegeben ist eine Funktion $f$ mit der Gleichung
$f(x)= \dfrac{x^4-10x^2+9}{x^2}=x^2 - 10+ \dfrac{9}{x^2}$
$f(x)=x^2 - 10+ \dfrac{9}{x^2}$
mit $x\in\mathbb{D}_f$.
Ihr Graph ist $G$.
3.1
Gib den maximalen $\mathbb{D}_f$ an.
Begründe, dass $G$ achsensymmetrisch zur $y-$Achse ist.
Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte von $G$ mit der $x-$Achse und der lokalen Extrempunkte von $G$.
Weise die Art der Extrema nach.
Gib die benötigten Ableitungsfunktionen an.
Stelle den Graphen $G$ in einem geeigneten Koordinatenesystem dar.
Beschreibe das Verhalten von $G$ bei Annäherung an die Stelle $x=0$.
3.2
$G$ und die $x-$Achse begrenzen zwei Flächen vollständig.
Berechne die Summe der Inhalte beider Flächen.
Gib die verwendete Stammfunktion an.
3.3
Im Punkt $P(2\mid f(2))$ wird die Tangente $t$ an $G$ gelegt.
Bestimme eine Gleichung für $t$.
3.4
Gegeben ist eine ganzrationale Funktion $p$ mit einer Gleichung der Form
$p(x)=a\cdot x^2 + c\quad$ mit $a,c,x \in\mathbb{R}$.

Der Graph von $p$ schneidet $G$ in den Punkten $(1\mid f(1))$ und $(2\mid f(2))$.
3.4.1
Bestimme die Werte von $a$ und $c$.
3.4.2
Der Graph von $p$ und die $x-$Achse schließen eine Fläche vollständig ein.
Durch Rotation dieser Fläche um die $x-$Achse entsteht ein Rotationskörper.
Berechne die Größe des Volumens dieses Körpers.
3.5
Gegeben ist eine Schar von Funktionen $h_a$ mit der Gleichung
$h_a(x)=\dfrac{x^4-2a^2\cdot x^2 + a^4}{a^2\cdot x^2}=\dfrac{x^2}{a^2}-2 +\dfrac{a^2}{x^2}$
$h_a(x)=\dfrac{x^2}{a^2}-2 +\dfrac{a^2}{x^2}$

und ihre erste Ableitung
$h'_a(x)= \dfrac{2x^4-2a^4}{a^2x^3}=\dfrac{2}{a^2}x -\dfrac{2a^2}{x^3}$
$h'_a(x)=\dfrac{2}{a^2}x -\dfrac{2a^2}{x^3}$

mit $x\in\mathbb{R}, x\neq0, a\in\mathbb{R}, a>0$.
Die Graphen von $h_a$ sind $H_a$.
3.5.1
Weise nach, dass kein Graph $H_a$ einen Wendepunkt besitzt.
3.5.2
Berechne den Wert von $a$ für den Fall, dass die Normale im Punkt $(3\mid h_a(3))$ an den Graphen von $h_a$ den Anstieg $-\dfrac{2}{5}$ besitzt.

(35P)
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Tipps
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3.1
$\blacktriangleright$  Maximalen Definitionsbereich angeben
Du musst den maximalen Definitionsbereich angeben, also alle Zahlen, die in die Funktion $f$ eingesetzt werden können. Bei solchen Aufgaben musst du darauf achten, dass du keine Zahlen einsetzt, die dazuführen, dass du
  • durch $0$ teilst,
  • unter einer Wurzel eine negativen Zahl stehen hast,
  • negative Zahlen logarithmierst.
  • Beachte auch den Definitionsbereich der Spezialfälle wie die Umkehrungen der trigonometrischen Funktionen ($\arcsin, \arccos, \dots$).
Überlege, welcher Punkt bei dieser Aufgabe zutreffen könnte.
$\blacktriangleright$  Achsensymmetrie von $G$ begründen
Eine Funktion $f$ ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse, falls
$f(x) = f(-x)$
>$f(x) = f(-x)$
für alle $x$ aus dem Definitionsbereich $D_f$ gilt.
Weise also nach, dass für die Funktion $f$ diese Gleichung erfüllt ist.
$\blacktriangleright$  Koordinaten der Nullstellen berechnen
Du musst die Kordinaten der Nullstellen von $f$ bestimmen. Rechne dafür mit dem ersten Ausdruck $$f(x) = \dfrac{x^4-10x^2+9}{x^2}.$$ Die Funktion $f$ wird dabei genau dann null, wenn der Zähler der Funktion null wird. Deine Aufgabe ist also die Nullstellen von $x^4-10x^2+9$ zu bestimmmen.
Das ist ein Polynom $4.$Grades, der nur gerade Exponenten hat.
Um die Nullstellen dieses Polynoms zu bestimmen, musst du $x^2$ mit $u$ substituieren. Du erhältst ein Polynom $2.$Grades, sodass du nun die Nullstellen mithilfe der pq-Formel bestimmen kannst. anschließend musst du rücksubstituieren, um die Lösungen der ursprüglichen Gleichung zu erhalten.
$\blacktriangleright$  Extremstellen bestimmen
Um die Extremstellen von $f$ zu bestimmen, musst du die Nullstellen der Ableitung von $f$ bestimmen. Setze $f'(x)$ gleich null, um die Nullstellen der Ableitung zu bestimmen.
Um die Art der Extremstelle zu bestimmen, bestimmst du die zweite Ableitung $f''(x)$ und setzt die Extremstelle in $f''(x)$ ein. Falls
  • $f''(x) < 0$, handelt es sich um ein Hochpunkt,
  • $f''(x) > 0$, handelt es sich um ein Tiefpunkt,
  • $f''(x) = 0$, kann es sich um ein Wendepunkt handeln.
Leite also die Funktion $f'(x)$ nach $x$ ab, um $f''(x)$ zu bestimmen.
$\blacktriangleright$  Graph $G$ skizzieren
Bevor du den Graphen $G$ skizzierst, musst du das Verhalten der Funktion bei Annäherung an die Stelle $x=0$ bestimmen. Dafür lässt du $x$ gegen Null laufen und überprüfst, gegen welchen Wert sie läuft.
Achte beim Zeichnen außerdem auf die Nullstellen und Extremstellen der Funktion.
3.2
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen
Der Graph $G$ schließt mit der $x$-Achse zwischen den Nullstellen $x_1=1$ und $x_2=3$ eine Fläche $A$ ein. Der Flächeninhalt $I_A$ ist gerade der Betrag des Integrals der Funktion $f$ mit der unteren Grenze $x_1=1$ und $x_2 = 3.$
Da die Funktion achsensymmetrisch ist, schließt die Funktion zwischen $x_3 = -3$ und $x_4 = -1$ mit der $x$-Achse den gleichen Flächeninhalt ein.
3.3
$\blacktriangleright$  Gleichung der Tangente $\boldsymbol{t}$ bestimmen
Gesucht ist die Gleichung der Tangente, die durch den Punkt $P(2 \mid f(2))$ geht.
Eine Tangentengleichung hat die Form
y = mx + c.
y = mx + c.
Dabei ist $m$ die Steigung der Tangente und $c$ der Ordinatenabschnitt.
Da es sich um eine Tangente von $G$ handelt, ist die Steigung der Tangente durch die Steigung des Graphens $G$ an der Stelle $x=2$ gegeben. Setze also $x=2$ in die Ableitung ein, um den Wert von $m$ zu erhalten.
Um den Wert des Ordinatenabschnitts $c$ zu bestimmen, löst du die Gleichung nach $c$ auf und setzt den Punkt $P(2 \mid f(2))$ in die Gleichung ein.
3.4.1
$\blacktriangleright$  Werte von $\boldsymbol{a}$ und $\boldsymbol{c}$ bestimmen
Du hast die Funktion $p(x) = a \cdot x^2 + c$ mit den zwei Parametern $a$ und $c$ gegeben. $p$ soll durch die zwei Punkte $(1 \mid f(1))$ und $(2 \mid f(2))$ gehen. Setze die beiden Punkte in die Funktionsgleichung von $p$ ein, sodass du ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten bekommst. Berechne zuerst die Werte $f(1)$ und $f(2)$ und setzt nun die beiden Werte in $p$ ein. Du erhältst einen Wert für $a$. Setze diesen Wert in die erste Gleichung ein, um den Wert von $c$ zu erhalten.
3.4.2
$\blacktriangleright$  Volumen des Rotationskörpers bestimmen
Rotiert eine Fläche, die von dem Graphen einer Funktion $f$ und der $x$-Achse eingeschlossen wird, im Intervall $[a, b]$ um die $x$-Achse, so entsteht ein Rotationskörper dessen Volumen $V$ mit folgender Formel berechnet werden kann:
$V = \pi \cdot \int_a^b (f(x))^2 \text{ dx.}$
$V = \pi \cdot \int_a^b (f(x))^2 \text{ dx.}$
Berechne also die Nullstellen von $p$, die die Rotationsfläche einschließen, um anschließend das Volumen des Rotationskörper zu berechnen.
Setze die entsprechenden Werte für $V$ ein und benutze zur Berechnung von $(f(x))^2$ die 2.binomische Formel .
3.5.1
$\blacktriangleright$  Nachweisen, dass kein Wendepunkt existiert
Du hast eine Funktionenschar $h_a$ und deren Ableitungen gegeben. Du musst nun nachweisen, dass kein Graph $H_a$ einen Wendepunkt besitzt.
Ein notwendiges Kriterium für einen Wendestelle $x_W$ ist, dass die zweite Ableitung an der Stelle $x_W$ null ist, also
$f''(x_W) = 0.$
$f''(x_W) = 0.$
Leite die Ableitung $h'_a$ nach $x$ ab und weise nach, dass $h''_a$ keine Nullstelle besitzt.
3.5.2
$\blacktriangleright$  Wert von $\boldsymbol{a}$ berechnen
Nun ist eine Normale gegeben, die durch den Punkt $(3 \mid h_a(3))$ geht und die Steigung $m=-\dfrac{2}{5}$ besitzt. Deine Aufgabe besteht darin, dass dazugehörige $a$ zu bestimmen.
Eine Normale ist eine Gerade, die in einem Punkt $x$ senkrecht auf einer Funktion steht. Demnach ist die Steigung $m_N$ der Normalen in einem Punkt $x$
$m_N = \dfrac{-1}{m_T}.$
$m_N = \dfrac{-1}{m_T}.$
Dabei ist $m_T$ die Steigung der Tangenten im Punkt $x.$ Setze nun $m_T$ mit $h'_a$ gleich und löse diese Gleichung nach $a$ auf. Substituiere $a^2$ mit $u$ und löse diese Gleichung mit der pq-Formel. Im letzten Schritt musst du rücksubstituieren.
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3.1
$\blacktriangleright$  Maximalen Definitionsbereich angeben
Du musst den maximalen Definitionsbereich angeben, also alle Zahlen, die in die Funktion $f$ eingesetzt werden können. Bei solchen Aufgaben musst du darauf achten, dass du keine Zahlen einsetzt, die dazuführen, dass du
  • durch $0$ teilst,
  • unter einer Wurzel eine negativen Zahl stehen hast,
  • negative Zahlen logarithmierst.
  • Beachte auch den Definitionsbereich der Spezialfälle wie die Umkehrungen der trigonometrischen Funktionen ($\arcsin, \arccos, \dots$).
Bei der Funktion $f$ ist nur der 1.Punkt wichtig. Wenn du in die Funktion $0$ einsetzt, so teilst du durch $0$, was nicht erlaubt ist.
Somit ist der Definitionsbereich $D_f = \mathbb{R}/\{0\},$ also alle reellen Zahlen außer null.
$\blacktriangleright$  Achsensymmetrie von $G$ begründen
Eine Funktion $f$ ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse, falls
$f(x) = f(-x)$
>$f(x) = f(-x)$
für alle $x$ aus dem Definitionsbereich $D_f$ gilt.
Weise also nach, dass für die Funktion $f$ diese Gleichung erfüllt ist.
$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& x^2 - 10 + \dfrac{9}{x^2} \\[5pt] &=& (-x)^2 - 10 + \dfrac{9}{(-x)^2} \\[5pt] &=& f(-x). \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& f(-x). \end{array}$
Diese Gleichung ist für alle Zahlen aus dem Definitionsbereich erfüllt. Somit ist die Funktion achsensymmetrisch zur $y$-Achse.
$\blacktriangleright$  Koordinaten der Nullstellen berechnen
Du musst die Kordinaten der Nullstellen von $f$ bestimmen. Rechne dafür mit dem ersten Ausdruck $$f(x) = \dfrac{x^4-10x^2+9}{x^2}.$$ Die Funktion $f$ wird dabei genau dann null, wenn der Zähler der Funktion null wird. Deine Aufgabe ist also die Nullstellen von $x^4-10x^2+9$ zu bestimmmen.
Das ist ein Polynom $4.$Grades, der nur gerade Exponenten hat.
Um die Nullstellen dieses Polynoms zu bestimmen, musst du $x^2$ mit $u$ substituieren.
$\begin{array}[t]{rll} x^4-10x^2+9 & \stackrel{u=x^2}{=}& u^2 - 10u +9. \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x^4-10x^2+9 … \end{array}$
Dies ist ein Polynom $2.$Grades, sodass du nun die Nullstellen mithilfe der pq-Formel bestimmen kannst.
$\begin{array}[t]{rll} 0 &=& u^2 - 10u +9 \\[5pt] u_{1,2} &=& \dfrac{10}{2} \pm \sqrt{\dfrac{10^2}{4} - 9} \\[5pt] u_{1,2} &=& 5 \pm \sqrt{16} \\[5pt] u_{1,2} &=& 5 \pm 4 \\[5pt] \end{array}$
Somit folgt $u_1 = 1$ und $u_2 = 9.$ Da du am Anfang $x^2$ mit $u$ substituiert hast, musst du nun rücksubstituieren, um die Lösungen der ursprüglichen Gleichung zu erhalten. Demnach gilt für die erste Lösung $x_1$
$\begin{array}[t]{rll} x_1^2 &=& u_1 \\[5pt] x_1 &=& \pm \sqrt{u_1} \\[5pt] x_1 &=& \pm \sqrt{1} \\[5pt] x_1 &=& \pm 1. \\[5pt] \end{array}$
Demzufolge gibt es sowohl bei $1$ als auch bei $-1$ eine Nullstelle, da die Funktion achsensymmetrisch ist.
Für die zweite Lösung $x_2$ gilt analog
$\begin{array}[t]{rll} x_2^2 &=& u_2 \\[5pt] x_2 &=& \pm \sqrt{u_2} \\[5pt] x_1 &=& \pm 3. \\[5pt] \end{array}$
Bei $3$ und $-3$ liegt also eine Nullstelle vor.
Somit sind die Koordinaten der Nullstellen $(-3 \mid 0)$, $(-1 \mid 0)$, $(1 \mid 0)$ und $(-3 \mid 0)$.
$\blacktriangleright$  Extremstellen bestimmen
Um die Extremstellen von $f$ zu bestimmen, musst du die Nullstellen der Ableitung von $f$ bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& x^2 - 10 + \dfrac{9}{x^2} \\[5pt] &=& x^2 - 10 + 9x^{-2} \\[5pt] f'(x) &=& 2x - 18x^{-3}. \\[5pt] \end{array}$
Setze $f'(x)$ gleich null, um die Nullstellen der Ableitung zu bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} f'(x) &=& 0 \\[5pt] 2x - 18x^{-3} &=& 0 \\[5pt] 2x^4 - 18 &=& 0 \\[5pt] x^4 &=& 9. \end{array}$
Die Ableitung wird somit bei $x_1 = -\sqrt{3}$ und $x_2 = \sqrt{3}$ gleich null.
Um die Art der Extremstelle zu bestimmen, bestimmst du die zweite Ableitung $f''(x)$ und setzt $x_1$ und $x_2$ in $f''(x)$ ein. Falls
  • $f''(x) < 0$, handelt es sich um ein Hochpunkt,
  • $f''(x) > 0$, handelt es sich um ein Tiefpunkt,
  • $f''(x) = 0$, kann es sich um ein Wendepunkt handeln.
Leite also die Funktion $f'(x)$ nach $x$ ab, um $f''(x)$ zu bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} f''(x) &=& 2 + 48x^4 > 0.\\[5pt] \end{array}$
Die zweite Ableitung ist für alle $x$ größer null. Somit handelt es sich bei den zwei Extremstellen um Tiefpunkte.
$\blacktriangleright$  Graph $G$ skizzieren
Bevor du den Graphen $G$ skizzierst, musst du das Verhalten der Funktion bei Annäherung an die Stelle $x=0$ bestimmen. Dafür lässt du $x$ gegen Null laufen.
$\begin{array}[t]{rll} \lim_{x \rightarrow 0} f(x) &=& \lim_{x \rightarrow 0} \left( x^2 - 10 + \dfrac{9}{x^2} \right) \\[5pt] &=& \lim_{x \rightarrow 0} \left( x^2 - 10 \right) + \lim_{x \rightarrow 0} \left( \dfrac{9}{x^2} \right) \\[5pt] &=& 0 - 10 + \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{9}{x^2} \\[5pt] &=& \infty. \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \lim_{x \rightarrow 0} f(x) &=& \infty. \end{array}$
Die Funktion $f$ divergiert also gegen Unendlich für $x \rightarrow 0,$ sowohl von links, als auch von rechts, da $f$ achsensymmetrisch ist.
Achte beim Zeichnen außerdem auf die Nullstellen und Extremstellen der Funktion.
Wahlteil A3
Abb. 1: Funktion $f$
Wahlteil A3
Abb. 1: Funktion $f$
3.2
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen
Der Graph $G$ schließt mit der $x$-Achse zwischen den Nullstellen $x_1=1$ und $x_2=3$ eine Fläche $A$ ein. Der Flächeninhalt $I_A$ ist gerade der Betrag des Integrals der Funktion $f$ mit der unteren Grenze $x_1=1$ und $x_2 = 3.$ Berechne das Integral
$\begin{array}[t]{rll} I_A &=& \displaystyle\int_1^3 f(x) \text{ dx}\\[5pt] &=& \displaystyle\int_1^3 \left(x^2 - 10 + \frac{9}{x^2}\right) \text{ dx} \\[5pt] &=& \frac{1}{3} x^3 - 10x - \frac{9}{x} \bigg \vert_1^3 \\[5pt] &=& \left( \frac{1}{3} \cdot 3^3 - 10 \cdot 3 - \frac{9}{3} \right) - \left( \frac{1}{3} \cdot 1^3 - 10 \cdot 1 - \frac{9}{1} \right) \\[5pt] &=& 9-30-3-\frac{1}{3}+10+9 \\[5pt] &=& -\frac{16}{3}. \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} I_A&=& -\frac{16}{3}. \end{array}$
Der Flächeninhalt der Fläche $A$ ist also $\frac{16}{3}$ Flächeneinheiten.
Da der Graph achsensymmetrisch zur $y$-Achse ist, schließt der Graph zwischen $x_3 = -3$ und $x_4 = -1$ mit der $x$-Achse den gleichen Flächeninhalt ein.
Der Flächeinhalt der eingeschlossenen Flächen beträgt insgesamt also $\frac{32}{3}$ Flächeneinheiten.
Die verwendetet Stammfunktion $F(x)$ ist dabei $\dfrac{1}{3} x^3 - 10x - \dfrac{9}{x}.$
3.3
$\blacktriangleright$  Gleichung der Tangente $\boldsymbol{t}$ bestimmen
Gesucht ist die Gleichung der Tangente, die durch den Punkt $P(2 \mid f(2))$ geht.
Eine Tangentengleichung hat die Form
y = mx + c.
y = mx + c.
Dabei ist $m$ die Steigung der Tangente und $c$ der Ordinatenabschnitt.
Da es sich um eine Tangente von $G$ handelt, ist die Steigung der Tangente durch die Steigung des Graphens $G$ an der Stelle $x=2$ gegeben. Setze also $x=2$ in die Ableitung ein, um den Wert von $m$ zu bekommen.
$\begin{array}[t]{rll} f'(2)&=& 2 \cdot 2 - 18 \cdot 2^{-3} \\[5pt] &=& 4 - \dfrac{9}{4} \\[5pt] &=& \dfrac{7}{4}. \end{array}$
Demnach ist $m = \dfrac{7}{4}.$ Um den Wert des Ordinatenabschnitts $c$ zu bestimmen, löst du die Gleichung nach $c$ auf und setzt den Punkt $P(2 \mid f(2))$ in die Gleichung ein.
$\begin{array}[t]{rll} y &=& mx + c \\[5pt] c &=& y - mx \\[5pt] c &=& f(2) - \dfrac{7}{4} \cdot 2 \\[5pt] c &=& 2^2 - 10 + \dfrac{9}{4} - \dfrac{7}{4} \cdot 2 \\[5pt] c &=& -7,25. \end{array}$
Demnach ist die Gleichung der Tangente gegeben durch $y = \dfrac{7}{4}x - 7,25.$
3.4.1
$\blacktriangleright$  Werte von $\boldsymbol{a}$ und $\boldsymbol{c}$ bestimmen
Du hast die Funktion $p(x) = a \cdot x^2 + c$ mit den zwei Parametern $a$ und $c$ gegeben. $p$ soll durch die zwei Punkte $(1 \mid f(1))$ und $(2 \mid f(2))$ gehen. Setze die beiden Punkte in die Funktionsgleichung von $p$ ein, sodass du ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten bekommst. Berechne zuerst die Werte $f(1)$ und $f(2).$
$\begin{array}[t]{rll} f(1) &=& 1^2 - 10 + \dfrac{9}{1^2}\\[5pt] &=& 0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f(2) &=& 2^2 - 10 + \dfrac{9}{2^2}\\[5pt] &=& \dfrac{15}{4} \end{array}$
Setzt nun die beiden Punkte in $p$ ein.
$\begin{array}{} \text{I}\quad &f(1)& = a \cdot 1^2 + c \\ \text{II}\quad&f(2)& = a \cdot 2^2 + c \\ \end{array}$
$\begin{array}{} \text{I}\quad &0& = a + c \\ \text{II}\quad&\frac{15}{4}& = 4 \cdot a + c &\quad \scriptsize\mid\;\text{Rechne: }\text{II}-\text{I}\\ \end{array}$
$\begin{array}{} \text{I}\quad &0& = a + c \\ \text{II}\quad&\frac{15}{4}& = 4 \cdot a + c \\ \end{array}$
$\begin{array}{} \text{I}\quad &0& = a + c \\ \text{II'}\quad&\frac{15}{4}& = 3 \cdot a \\ \end{array}$
Folglich ist $a=\dfrac{5}{4}$. Setze diesen Wert in die erste Gleichung ein, um den Wert von $c$ zu erhalten.
$\begin{array}{} \text{I}\quad &0& = \frac{5}{4} + c \\ \end{array}$
Somit ist $c = -\frac{5}{4}$.
Somit gilt $a=\frac{5}{4}$ und $c=-\frac{5}{4}.$
3.4.2
$\blacktriangleright$  Volumen des Rotationskörpers bestimmen
Rotiert eine Fläche, die von dem Graphen einer Funktion $f$ und der $x$-Achse eingeschlossen wird, im Intervall $[a, b]$ um die $x$-Achse, so entsteht ein Rotationskörper dessen Volumen $V$ mit folgender Formel berechnet werden kann:
$V = \pi \cdot \int_a^b (f(x))^2 \text{ dx.}$
$V = \pi \cdot \int_a^b (f(x))^2 \text{ dx.}$
Berechne also die Nullstellen von $p$, die die Rotationsfläche einschließen, um anschließend das Volumen des Rotationskörper zu berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} 0 &=& \dfrac{5}{4} \cdot x^2 - \dfrac{5}{4} \\[5pt] 0 &=& x^2 - 1 \\[5pt] x_{1,2} &=& \pm 1. \end{array}$
Die Nullstellen von $p$ sind somit $x_1=-1$ und $x_2=1.$ Setze die entsprechenden Werte für $V$ ein und benutze zur Berechnung von $(f(x))^2$ die 2.binomische Formel
$\begin{array}[t]{rll} V &=& \pi \cdot \int_{-1}^1 \left( \frac{5}{4}x^2 - \frac{5}{4} \right)^2 \text{ dx} \\[5pt] &=& \pi \cdot \int_{-1}^1 \frac{25}{16}x^4 - \frac{25}{16}x^2 + \frac{25}{16} \text{ dx} \\[5pt] &=& \pi \cdot \left[ \frac{5}{16}x^5 - \frac{25}{48}x^3 + \frac{25}{16}x \right]_{-1}^1 \\[5pt] &=& \pi \cdot \left( \frac{5}{16} \cdot 1^5 - \frac{25}{48} \cdot 1^3 + \frac{25}{16} \cdot 1 \right) - \left( \frac{5}{16} \cdot (-1)^5 - \frac{25}{48} \cdot (-1)^3 + \frac{25}{16} \cdot (-1) \right) \\[5pt] &=& \pi \cdot \left( \frac{10}{16} - \frac{50}{48} + \frac{50}{16} \right) \\[5pt] &=& \frac{130}{48} \pi. \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} V&=& \frac{130}{48} \pi. \end{array}$
Das Volumen des Rotationskörper ist somit $\frac{130}{48} \pi$ Volumeneinheiten.
3.5.1
$\blacktriangleright$  Nachweisen, dass kein Wendepunkt existiert
Du hast eine Funktionenschar $h_a$ und deren Ableitungen gegeben. Du musst nun nachweisen, dass kein Graph $H_a$ einen Wendepunkt besitzt.
Ein notwendiges Kriterium für einen Wendestelle $x_W$ ist, dass die zweite Ableitung an der Stelle $x_W$ null ist, also
$f''(x_W) = 0.$
$f''(x_W) = 0.$
Leite die Ableitung $h'_a$ nach $x$ ab und weise nach, dass $h''_a$ keine Nullstelle besitzt.
$\begin{array}[t]{rll} h''_a(x)&=& \dfrac{2}{a^2} + \underbrace{\dfrac{6a^2}{x^4}}_{> 0 \text{ für alle } x} \\[5pt] &>& \dfrac{2}{a^2}. \end{array}$
Folglich hat $h''_a(x)$ keine Nullstelle. Das notwendige Kriterium für eine Wendestelle ist also nicht erfüllt. Folglich hat keiner der Graphen $H_a$ einen Wendepunkt.
3.5.2
$\blacktriangleright$  Wert von $\boldsymbol{a}$ berechnen
Nun ist eine Normale gegeben, die durch den Punkt $(3 \mid h_a(3))$ geht und die Steigung $m=-\dfrac{2}{5}$ besitzt. Deine Aufgabe besteht darin, dass dazugehörige $a$ zu bestimmen.
Eine Normale ist eine Gerade, die in einem Punkt $x$ senkrecht auf einer Funktion steht. Demnach ist die Steigung $m_N$ der Normalen in einem Punkt $x$
$m_N = \dfrac{-1}{m_T}.$
$m_N = \dfrac{-1}{m_T}.$
Dabei ist $m_T$ die Steigung der Tangenten im Punkt $x.$
Die Steigung der Tangenten im Punkt $3$ soll demnach
$\begin{array}[t]{rll} m_T &=& \dfrac{-1}{m_N} \\[5pt] &=& \dfrac{5}{2} \end{array}$
sein. Setze nun $m_T$ mit $h'_a$ gleich und löse diese Gleichung nach $a$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} m_T &=& h'_a(3) \\[5pt] \dfrac{5}{2} &=& \dfrac{2}{a^2} \cdot 3 - \dfrac{2a^2}{3^3} \\[5pt] \dfrac{5}{2} &=& \dfrac{6}{a^2} - \dfrac{2a^2}{27} \\[5pt] \dfrac{5}{2} &=& \dfrac{6 \cdot 27}{27 \cdot a^2} - \dfrac{2a^2 \cdot a^2}{27 \cdot a^2} &\quad \scriptsize \mid\ \cdot 27a^2 \\[5pt] \dfrac{135 a^2}{2} &=& 162 - 2a^4 \\[5pt] 0 &=& 2a^4 + \dfrac{135 a^2}{2} - 162 &\quad \scriptsize \mid\ :2 \\[5pt] 0 &=& a^4 + \dfrac{135 a^2}{4} - 81 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} m_T &=& h'_a(3) \\[5pt] \end{array}$
Substituiere $a^2$ mit $u$ und löse diese Gleichung mit der pq-Formel.
$\begin{array}[t]{rll} 0 &=& u^2 + \dfrac{135 u}{4} - 81 \\[5pt] u_{1,2} &=& -\frac{135}{8} \pm \frac{153}{8} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 0 &=& u^2 + \dfrac{135 u}{4} - 81 \\[5pt] \end{array}$
Somit ist $u_1 = -36$ und $u_2 = 3$. Da $u_1$ eine negative Zahl ist, ist keine Rücksubstitution möglich. Somit ist die einzige Lösung
$\begin{array}[t]{rll} a_{1,2} &=& \pm \sqrt{u_2} \\[5pt] &=& \pm \sqrt{2,25} \\[5pt] &=& \pm 1,5. \end{array}$
Da $a$ laut Voraussetzung größer Null sein muss, ist der Wert von $a$ eindeutig gegeben durch $1,5.$
Bildnachweise [nach oben]
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