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Wahlteil B1

Aufgaben
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Analysis und Stochastik

1.1
Gegeben ist eine Funktionsschar $f_a$ durch die Gleichung.
$f_a=x\cdot e^{a-x}\quad$ mit $x\in\mathbb{R},a\in\mathbb{R},a>0$.
Die zugehörige Kurvenschar ist $G_a$.
1.1.1
Ermittle die Nullstelle von $f_a$ und die Koordinaten des Extrempunktes von $G_a$ in Abhängigkeit von $a$.
Ermittle die Art des Extrempunktes.
Gib eine Gleichung der Wendetangente in Abhängigkeit von $a$ an.
1.1.2
Zeige, dass
$F_a(x)=(-x-1)\cdot e^{a-x}\quad$ mit $x\in\mathbb{R},a\in\mathbb{R},a>0$
eine Stammfunktion von $f_a$ ist.
Die $x-$Achse, $G_a$ und die Gerade mit der Gleichung $x=10$ schließen eine Fläche vollständig ein.
Berechne den Inhalt dieser Fläche in Abhängigkeit von $a$.
1.1.3
Für jeden Wert von $a$ schneidet die Gerade mit der Gleichung $x=t$ mit $t\in\mathbb{R}, t>0,5$ $G_a$ im Punkt $V_a$ und den Graphen der ersten Ableitung von $f_a$ im Punkt $W_a$.
Gib den Wert von $t$ so an, dass die Länge der Strecke $V_aW_a$ maximal ist.
Weise die Art des Extremums nach.
Ermittle für diesen Fall die Länge der Strecke in Abhängigkeit von $a$.
1.2
In einer Urne liegen sechs rote und eine blaue Kugel. Aus dieser Urne wird wiederholt eine Kugel zufällig gezogen.
Ist die gezogene Kugel blau, wird sie in die Urne zurückgelegt. Ist die gezogene Kugel rot, wird sie nicht zurückgelegt und wird in der Urne durch eine neue blaue Kugel ersetzt.
1.2.1
Erik bietet Katrin folgendes Spiel an:
Nach einem Einsatz von $x$ Euro durch Katrin wird nach oben stehender Regel dreimal gezogen.
Katrin erhält von Erik:
  • $10\,€$ für drei gezogene blaue Kugeln,
  • $3\,€$ für zwei gezogene blaue Kugeln,
  • $1\,€$ für eine gezogene blaue Kugel.
Ermittle den Mindesteinsatz in Cent, den Erik von Katrin fordern müsste, damit er langfristig bei vielen Durchführungen dieses Spiels gewinnt.
1.2.2
Berechne, wie oft man nach obenstehender Regel mindestens ziehen muss, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als $99.9\,\%$ mindestens eine rote Kugel zu erhalten.

(30P)
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Tipps
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1.1.1
$\blacktriangleright$  Nullstelle von $\boldsymbol{f_{a}}$ berechnen
Bei einer Funktionenschar ist das Vorgehen analog zu einer Funktion mit nur einer Unbekannten, nur dass die Ergebnisse immer noch von $a$ abhängen. Gehe also wie gewohnt vor, um Nullstellen zu bestimmen.
Die Nullstelle von $f_{a}$ erhältst du, indem du die Funktionenschar gleich Null setzt (notwendige Bedingung).
$f_{a}(x)=x\cdot \mathrm{e}^{a-x} \stackrel{!}{=}0$
Mittels des Satzes vom Nullprodukt kannst du den Term aufteilen. Dieser Satz besagt, dass bei einer Multiplikation mindestens einer der Faktoren Null sein muss, damit das Ergebnis Null ist.
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Extrempunkts von $\boldsymbol{f_{a}}$ berechnen
Du hast die Funktionenschar $f_{a}$ gegeben und sollst deren Graph auf Extrempunkte untersuchen. Für eine Extremstelle $x_E$ benötigst du die beiden folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\, f'(x_E)=0$
  • Hinreichendes Kriterium:
    • Ist $f''(x_E)> 0$, handelt es sich um eine Minimalstelle.
    • Ist $f''(x_E)< 0$, handelt es sich um eine Maximalstelle.
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die ersten beiden Ableitungsfunktionen $f'$ und $f''$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $f'(x)=0$ setzt und nach $x$ löst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $f''(x)$ einsetzt. So bestimmst du gleichzeitig die Art der Extrema.
  4. Berechne die Funktionswerte von $f$ an den Extremstellen.
$\blacktriangleright$  Wendetangente bestimmen
Es ist nach einer Gleichung der Wendetangente gefragt. Eine Wendetangente ist eine Tangente, die die Graphen von $f_{a}$ im Wendepunkt berührt. Die Steigung der Tangente enspricht also der Steigung der Graphen im Wendepunkt.
Um eine solche Tangentengleichung zu bestimmen, brauchst du die Koordinaten des Wendepunkts von $f_{a}$ sowie die Steigung der Graphen von $f_{a}$ in diesem Punkt. Mit diesen Werten kannst du die Parameter $m$ und $c$ der allgemeinen Tangentengleichung bestimmen.
Allgemeine Form einer Tangente:$\quad t:\quad y=mx+c$
$m$: Steigung der Tangente,$\quad$ $c$: $y$-Achsenabschnitt
Allgemeine Form einer Tangente:$\quad t:\quad y=mx+c$
$m$: Steigung der Tangente,$\quad$ $c$: $y$-Achsenabschnitt
Für eine Wendestelle benötigst du die beiden folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\, f''(x_W)=0$
  • Hinreichendes Kriterium:
    • Ist $f'''(x_W)\neq 0$, handelt es sich um eine Wendestelle.
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die ersten drei Ableitungsfunktionen $f'_{a}$, $f''_{a}$ und $f'''_{a}$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $f''_{a}(x)=0$ setzt und nach $x$ löst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $f'''_{a}(x)$ einsetzt.
  4. Berechne den Funktionswert von $f_{a}$ an der Wendestellen.
1.1.2
$\blacktriangleright$  Stammfunktion von $\boldsymbol{f_{a}}$ zeigen
Du sollst zeigen, dass $F_{a}$ eine Stammfunktion von $f_{a}$ ist. Wenn dies zutrifft, muss $f_{a}$ die Ableitung von $F_{a}$ sein. Leite also $F_{a}$ einmal ab und überprüfe, ob die Behauptung zutrifft.
$\blacktriangleright$  Fläche berechnen
Nun sollst du den Flächeninhalt zwischen der $x$-Achse und dem Graph von $f_{a}$ im Intervall von null bis zehn in Abhängigkeit von $a$ berechnen. Dafür brauchst du die Stammfunktion von $f_{a}$, die dir in Teil 1 dieser Aufgabe gegeben ist. Berechne das Integral im gesuchten Intervall.
1.1.3
$\blacktriangleright$  Wert von $t$ bestimmen
Du sollst eine Gerade mit der Gleichung $x=t$ bestimmen, die den Graph von $f_{a}$ im Punkt $V_{a}$ und den Graph der ersten Ableitung $f'_{a}$ im Punkt $W_{a}$ schneidet. Aufgrund der Gleichung der Geraden weißt du, dass sie parallel zur $y$-Achse verlaufen muss. Die Länge der Strecke zwischen den beiden Punkten entspricht also der Differenz zwischen $G_{a}$ und dem Graph der Ableitung.
Um die Differenz zu bestimmen, musst du beide Funktionsterme voneinander abziehen. Dann kannst du die neu entstandene Funktion der Differenz wie oben auf Maxima untersuchen und erhältst die Stellen der maximalen Differenz.
Leite nun $d(x)$ ab und setze es gleich Null, um mögliche Extremstellen zu bestimmen:
Nun sollst du noch überprüfen, ob es sich bei der gefundenen Extremstelle tatsächlich um eine Maximalstelle handelt. Bilde dazu die zweite Ableitung von $d(x)$ und überprüfe die hinreichende Bedingung ($d''(x)\neq0$).
Berechne nun den Betrag der Differenz am Maximum, indem du deine Extremstelle in $d(x)$ einsetzt.
1.2.1
$\blacktriangleright$  Mindesteinsatz bestimmen
Um den Mindesteinsatz bestimmen zu können, musst du zunächst den Erwartungswert eines Gewinns bestimmen. Dieser gibt an, welcher Gewinn bei vielen Spielen im Schnitt gemacht wird, wenn das Spiel kostenlos ist. Also muss der Einsatz größer als der Erwartungswert sein, damit Erik auf Dauer Gewinn macht.
Die Formel für den Erwartungswert lautet
$E(X) = \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X=x_i)$
$E(X) = \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X=x_i)$
Die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Gewinn-Szenarien kannst du dir am besten mit einem Baumdiagramm veranschaulichen. Achte auf die Wahrscheinlichkeiten, wenn eine rote Kugel gezogen wird. Diese wird nicht zurückgelegt, sondern durch eine blaue Kugel ausgetauscht.
Mit den Pfadregeln kommst du dann auf die gesuchten Wahrscheinlichkeiten.
1.2.2
$\blacktriangleright$  Anzahl der Züge berechnen
Jetzt sollst du berechnen, bei wie vielen Zügen du mit einer Wahrscheinlichkeit von $99,9\%$ eine rote Kugel ziehst. Ohne eine Funktion aufstellen zu müssen, kannst du die Wahrscheinlichkeiten für die ersten Züge ausprobieren. Dabei hilft dir wieder das Baumdiagramm aus Aufgabe 1.2.1.
Überlege, wie oft du ziehen musst, damit die Bedingung erfüllt ist.
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1.1.1
$\blacktriangleright$  Nullstelle von $\boldsymbol{f_{a}}$ berechnen
Bei einer Funktionenschar ist das Vorgehen analog zu einer Funktion mit nur einer Unbekannten, nur dass die Ergebnisse immer noch von $a$ abhängen. Gehe also wie gewohnt vor, um Nullstellen zu bestimmen.
Die Nullstelle von $f_{a}$ erhältst du, indem du die Funktionenschar gleich Null setzt (notwendige Bedingung).
$f_{a}(x)=x\cdot \mathrm{e}^{a-x} \stackrel{!}{=}0$
Mittels des Satzes vom Nullprodukt kannst du den Term aufteilen. Dieser Satz besagt, dass bei einer Multiplikation mindestens einer der Faktoren Null sein muss, damit das Ergebnis Null ist.
$\begin{array}[t]{rll} \mathrm{e}^{a-x}&=& 0 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Da die $\mathrm{e}$-Funktion niemals Null werden kann, muss die Nullstelle der Graphen von $f_{a}$ bei $x=0$ liegen.
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Extrempunkts von $\boldsymbol{f_{a}}$ berechnen
Du hast die Funktionenschar $f_{a}$ gegeben und sollst deren Graph auf Extrempunkte untersuchen. Für eine Extremstelle $x_E$ benötigst du die beiden folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\, f'(x_E)=0$
  • Hinreichendes Kriterium:
    • Ist $f''(x_E)> 0$, handelt es sich um eine Minimalstelle.
    • Ist $f''(x_E)< 0$, handelt es sich um eine Maximalstelle.
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die ersten beiden Ableitungsfunktionen $f'$ und $f''$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $f'(x)=0$ setzt und nach $x$ löst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $f''(x)$ einsetzt. So bestimmst du gleichzeitig die Art der Extrema.
  4. Berechne die Funktionswerte von $f$ an den Extremstellen.
1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} f_{a}(x)&=& x\cdot \mathrm{e}^{a-x} &\quad \scriptsize \\[10pt] f'_{a}(x)&=& \mathrm{e}^{a-x} + x\cdot\mathrm{e}^{a-x}\cdot(-1)&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \mathrm{e}^{a-x}-x\cdot\mathrm{e}^{a-x} &\quad \scriptsize \\[10pt] f''_{a}(x)&=& -\mathrm{e}^{a-x}-\mathrm{e}^{a-x}-x\cdot\mathrm{e}^{a-x}\cdot(-1) &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& -2\cdot\mathrm{e}^{a-x}+x\cdot\mathrm{e}^{a-x} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f_{a}(x)&=& x\cdot \mathrm{e}^{a-x} &\quad \scriptsize \\[10pt] \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Durch Gleichsetzen von $f'(x)$ mit Null, erhältst du mögliche Extremstellen:
$\begin{array}[t]{rll} f'_{a}(x)&=&0 &\quad \scriptsize \\[5pt] \mathrm{e}^{a-x}-x\cdot\mathrm{e}^{a-x}&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Ausklammern} \\[5pt] \mathrm{e}^{a-x}\cdot(1-x)&=& 0&\quad \scriptsize \mid\;\text{Satz vom Nullprodukt} \\[5pt] x&=& 1 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f'_{a}(x)&=&0 &\quad \scriptsize \\[5pt] x&=& 1 \end{array}$
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} f''_{a}(1)&=& \mathrm{e}^{a-1}\cdot(-2+1)\quad \scriptsize \\[5pt] &=& -\mathrm{e}^{a-1} \quad \scriptsize \\[5pt] f''_{a}(1)&<& 0\rightarrow\text{Hochpunkt} \end{array}$
4. Schritt: Funktionswerte berechnen
$\begin{array}[t]{rll} f_{a}(1)&=& 1\cdot\mathrm{e}^{a-1} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Somit haben die Graphen der Schar einen Hochpunkt bei $H(1\mid\mathrm{e}^{a-1})$.
$\blacktriangleright$  Wendetangente bestimmen
Es ist nach einer Gleichung der Wendetangente gefragt. Eine Wendetangente ist eine Tangente, die die Graphen von $f_{a}$ im Wendepunkt berührt. Die Steigung der Tangente enspricht also der Steigung der Graphen im Wendepunkt.
Um eine solche Tangentengleichung zu bestimmen, brauchst du die Koordinaten des Wendepunkts von $f_{a}$ sowie die Steigung der Graphen von $f_{a}$ in diesem Punkt. Mit diesen Werten kannst du die Parameter $m$ und $c$ der allgemeinen Tangentengleichung bestimmen.
Allgemeine Form einer Tangente:$\quad t:\quad y=mx+c$
$m$: Steigung der Tangente,$\quad$ $c$: $y$-Achsenabschnitt
Allgemeine Form einer Tangente:$\quad t:\quad y=mx+c$
$m$: Steigung der Tangente,$\quad$ $c$: $y$-Achsenabschnitt
Für eine Wendestelle benötigst du die beiden folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\, f''(x_W)=0$
  • Hinreichendes Kriterium:
    • Ist $f'''(x_W)\neq 0$, handelt es sich um eine Wendestelle.
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die ersten drei Ableitungsfunktionen $f'_{a}$, $f''_{a}$ und $f'''_{a}$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $f''_{a}(x)=0$ setzt und nach $x$ löst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $f'''_{a}(x)$ einsetzt.
  4. Berechne den Funktionswert von $f_{a}$ an der Wendestellen.
1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} f_{a}(x)&=& x\cdot \mathrm{e}^{a-x} &\quad \scriptsize \\[10pt] f'_{a}(x)&=& \mathrm{e}^{a-x}-x\cdot\mathrm{e}^{a-x} &\quad \scriptsize \\[10pt] f''_{a}(x)&=& -2\cdot\mathrm{e}^{a-x}+x\cdot\mathrm{e}^{a-x} &\quad \scriptsize \\[10pt] f'''_{a}(x)&=& 3\cdot\mathrm{e}^{a-x}-x\cdot\mathrm{e}^{a-x} &\quad \scriptsize \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f_{a}(x)&=&…\\[10pt] f'_{a}(x)&=&… \\[10pt] f''_{a}(x)&=& …. \\[10pt] f'''_{a}(x)&=& … \\[10pt] \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Durch Gleichsetzen von $f''_{a}(x)$ mit Null, erhältst du mögliche Wendestellen:
$\begin{array}[t]{rll} f''_{a}(x)&=&0 &\quad \scriptsize \\[5pt] -2\cdot\mathrm{e}^{a-x}+x\cdot\mathrm{e}^{a-x}&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Ausklammern} \\[5pt] \mathrm{e}^{a-x}\cdot(-2+x)&=& 0&\quad \scriptsize \mid\;\text{Satz vom Nullprodukt} \\[5pt] x&=& 2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f''_{a}(x)&=&0 &\quad \scriptsize \\[5pt] x&=& 2 \end{array}$
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} f'''_{a}(2)&=& 3\cdot\mathrm{e}^{a-2}-2\cdot\mathrm{e}^{a-2}\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \mathrm{e}^{a-2} \quad \scriptsize \\[5pt] f''_{a}(2)&\neq& 0\rightarrow\text{Wendestelle} \end{array}$
4. Schritt: Funktionswerte berechnen
$\begin{array}[t]{rll} f_{a}(2)&=& 2\cdot \mathrm{e}^{a-2} &\quad \scriptsize \\[10pt] \end{array}$
Du hast nun eine Wendepunkt auf den Graphen von $f_{a}$ in $W(2\mid2\mathrm{e}^{a-2})$ bestimmt.
Die Steigung der Tangente erhältst du, indem du die gefundene Wendestelle in die erste Ableitung $f'_{a}$ einsetzt. Diese gibt die Steigung der Graphen von $f_{a}$ an.
$\begin{array}[t]{rll} f'_{a}(x)&=& \mathrm{e}^{a-x}-x\cdot\mathrm{e}^{a-x} &\quad \scriptsize \\[10pt] f'_{a}(2)&=& \mathrm{e}^{a-2}-2\cdot\mathrm{e}^{a-2} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& -\mathrm{e}^{a-2} \end{array}$
Setzte nun die Koordinaten des Wendepunkts sowie die Steigung in diesem Punkt in die allgemeine Tangentengleichung ein und bestimme so den noch fehlenden Parameter $c$.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& m\cdot x +c &\quad \scriptsize \\[5pt] 2\mathrm{e}^{a-2}&=& -\mathrm{e}^{a-2} \cdot 2 + c &\quad \scriptsize \\[5pt] c&=& 4\mathrm{e}^{a-x} \end{array}$
Somit ist die Gleichung der Wendetangente $t:\quad y=-\mathrm{e}^{a-2}\cdot x + 4\mathrm{e}^{a-2}$.
1.1.2
$\blacktriangleright$  Stammfunktion von $\boldsymbol{f_{a}}$ zeigen
Du sollst zeigen, dass $F_{a}$ eine Stammfunktion von $f_{a}$ ist. Wenn dies zutrifft, muss $f_{a}$ die Ableitung von $F_{a}$ sein. Leite also $F_{a}$ einmal ab und überprüfe, ob die Behauptung zutrifft.
$\begin{array}[t]{rll} F_{a}(x)&=& (-x-1)\mathrm{e}^{a-x} \\[5pt] &=& -x\mathrm{e}^{a-x}-\mathrm{e}^{a-x}\\[5pt] F'_{a}(x)&=& -\mathrm{e}^{a-x}-x\mathrm{e}^{a-x}(-1)-\mathrm{e}^{a-x}(-1) \\[5pt] F'_{a}(x)&=& x\mathrm{e}^{a-x} \\[5pt] &=& f_{a}(x) \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} F_{a}(x)&=& (-x-1)\mathrm{e}^{a-x} \\[5pt] &=& -x\mathrm{e}^{a-x}-\mathrm{e}^{a-x}\\[5pt] \end{array}$
Somit ist gezeigt, dass $F_{a}$ eine Stammfunktion von $f_{a}$ ist.
$\blacktriangleright$  Fläche berechnen Nun sollst du den Flächeninhalt zwischen der $x$-Achse und dem Graph von $f_{a}$ im Intervall von null bis zehn in Abhängigkeit von $a$ berechnen. Dafür brauchst du die Stammfunktion von $f_{a}$, die dir in Teil 1 dieser Aufgabe gegeben ist.
$\begin{array}[t]{rll} A_{a}&=&\displaystyle\int_{0}^{10}f_{a}(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \left[F_{a}(x) \right]_{0}^{10} \\[5pt] &=&(-10-1)\mathrm{e}^{a-10}-(-0-1)\mathrm{e}^{a-0}\\[5pt] &=& -11\mathrm{e}^{a-10}+\mathrm{e}^{a}\\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} A_{a}&=& -11\mathrm{e}^{a-10}+\mathrm{e}^{a}\\ \end{array}$
Damit beträgt der Flächeninhalt zwischen der $x$-Achse und dem Graphen von $f_{a}$ im Intervall $[0,10]$ $A_{a}=-11\mathrm{e}^{a-10}+\mathrm{e}^{a}$ FE.
1.1.3
$\blacktriangleright$  Wert von $t$ bestimmen
Du sollst eine Gerade mit der Gleichung $x=t$ bestimmen, die den Graph von $f_{a}$ im Punkt $V_{a}$ und den Graph der ersten Ableitung $f'_{a}$ im Punkt $W_{a}$ schneidet. Aufgrund der Gleichung der Geraden weißt du, dass sie parallel zur $y$-Achse verlaufen muss. Die Länge der Strecke zwischen den beiden Punkten entspricht also der Differenz zwischen $G_{a}$ und dem Graph der Ableitung.
Um die Differenz zu bestimmen, musst du beide Funktionsterme voneinander abziehen. Dann kannst du die neu entstandene Funktion der Differenz wie oben auf Maxima untersuchen und erhältst die Stellen der maximalen Differenz.
$\begin{array}[t]{rll} d(x)&=&f_{a}(x)-f'_{a}(x) &\quad \scriptsize \\[5pt] d(x)&=&x\mathrm{e}^{a-x}-\mathrm{a-x}(1-x) &\quad \scriptsize \\[5pt] d(x)&=&\mathrm{a}^{a-x}(x-1+x) &=\mathrm{e}^{a-x}(2x-1) \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} d(x)&=\mathrm{e}^{a-x}(2x-1) \end{array}$
$d(x)$ ableiten und gleich Null setzen, um mögliche Extremstellen zu bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} d'(x)&=& 2\mathrm{e}^{a-x}+2x\mathrm{e}^{a-x}(-1)-\mathrm{e}^{a-x}(-a) &\quad \scriptsize \\[5pt] d'(x)&=& \mathrm{e}^{a-x}(3-2x) \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \mathrm{e}^{a-x}(3-2x)&\stackrel{!}{=}& 0 &\quad \scriptsize \\[5pt] x &=&\frac{3}{2} &= t \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x &=&\frac{3}{2} &= t \end{array}$
Nun sollst du noch überprüfen, ob es sich bei der gefundenen Extremstelle tatsächlich um eine Maximalstelle handelt. Bilde dazu die zweite Ableitung von $d(x)$ und überprüfe die hinreichende Bedingung ($d''(x)\neq0$).
$\begin{array}[t]{rll} d''(x)&=& -3\mathrm{e}^{a-x}-2\mathrm{e}^{a-x} +2x\mathrm{e}^{a-x} &\quad \scriptsize \\[5pt] d''(x)&=& \mathrm{e}^{a-x}(-5+2x) \\[5pt] d''\left(\dfrac{3}{2}\right)&=& \mathrm{e}^{a-\frac{3}{2}}(-2) & <0 \rightarrow \text{Hochpunkt} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} d''\left(\dfrac{3}{2}\right) & <0 \end{array}$
Betrag der Differenz am Maximum:
$d\left(\dfrac{3}{2}\right)=\mathrm{e}^{a-\frac{3}{2}}(-2)$
Somit hat die Strecke von $V_{a}$ nach $W_{a}$ auf der Geraden $x=t$ an der Stelle $x=\frac{3}{2}$ die maximale Länge. Diese beträgt $-2\mathrm{e}^{a-\frac{3}{2}}$ LE.
1.2.1
$\blacktriangleright$  Mindesteinsatz bestimmen
Um den Mindesteinsatz bestimmen zu können, musst du zunächst den Erwartungswert eines Gewinns bestimmen. Dieser gibt an, welcher Gewinn bei vielen Spielen im Schnitt gemacht wird, wenn das Spiel kostenlos ist. Also muss der Einsatz größer als der Erwartungswert sein, damit Erik auf Dauer Gewinn macht.
Die Formel für den Erwartungswert lautet
$E(X) = \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X=x_i)$
$E(X) = \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X=x_i)$
Die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Gewinn-Szenarien kannst du dir am besten mit einem Baumdiagramm veranschaulichen. Achte auf die Wahrscheinlichkeiten, wenn eine rote Kugel gezogen wird. Diese wird nicht zurückgelegt, sondern durch eine blaue Kugel ausgetauscht.
Wahlteil B1
Abb. 1: Baumdiagramm
Wahlteil B1
Abb. 1: Baumdiagramm
Mit den Pfadregeln kommst du auf die gesuchten Wahrscheinlichkeiten:
EreignisGewinnWahrscheinlichkeit
3x Blau10€$\dfrac{1}{343}$
2x Blau3€$\dfrac{36}{343}$
1x Blau1€$\dfrac{120}{343}$
EreignisGewinn
3x Blau10€
2x Blau3€
1x Blau1€
Also ist
$E=\dfrac{1}{343}\cdot10+\dfrac{36}{343}\cdot3+\dfrac{120}{343}\cdot1\approx0,69$
$E\approx0,69$
.
Damit Erik bei vielen Spielen Gewinn macht, muss der Einsatz mindestens $70$ct betragen.
1.2.2
$\blacktriangleright$  Anzahl der Züge berechnen
Jetzt sollst du berechnen, bei wie vielen Zügen du mit einer Wahrscheinlichkeit von $99,9\%$ eine rote Kugel ziehst. Ohne eine Funktion aufstellen zu müssen, kannst du die Wahrscheinlichkeiten für die ersten Züge ausprobieren. Dabei hilft dir wieder das Baumdiagramm aus Aufgabe 1.2.1.
Beim ersten Zug beträgt die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine rote Kugel zu ziehen, $\dfrac{6}{7}$. Hier ist die Bedingung also noch nicht erfüllt. Wird nun nochmal gezogen, erhöht sich die Warscheinlichkeit um $\dfrac{1}{7}\cdot\dfrac{6}{7}$. Somit ist die Wahrscheinlichkeit, nach zwei Mal ziehen, $\dfrac{6}{7}+\dfrac{1}{7}\cdot\dfrac{6}{7}=\dfrac{48}{49}$. Dies erfüllt aber auch noch nicht die Bedingung.
3 Mal ziehen:
$\dfrac{6}{7}+\dfrac{1}{7}\cdot\dfrac{6}{7}+\left(\dfrac{1}{7}\right)^{2}\cdot\dfrac{6}{7}=\dfrac{342}{343}<0,999$
$\dfrac{6}{7}+\dfrac{1}{7}\cdot\dfrac{6}{7}+…$
4 Mal ziehen:
$\dfrac{6}{7}+\dfrac{1}{7}\cdot\dfrac{6}{7}+\left(\dfrac{1}{7}\right)^{2}\cdot\dfrac{6}{7}+\left(\dfrac{1}{7}\right)^{3}\cdot\dfrac{6}{7}=\dfrac{2.400}{2.401}>0,999$
$\dfrac{6}{7}+\dfrac{1}{7}\cdot\dfrac{6}{7}+…
Somit ist nach dem vierten Mal ziehen mit mehr als $99,9\%$ eine rote Kugel unter den gezogenen.
Bildnachweise [nach oben]
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