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Wahlteil A3

Aufgaben
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3.1
In Deutschland wurden 2012 ca. 2,4 Mio Verkehrsunfälle von der Polizei aufgenommen, etwa bei 1,8 % der Unfälle stand mindestens ein Unfallbeteiligter unter dem Einfluss berauschender Mittel.
3.1.1
Berechne, bei wie vielen Unfällen mindestens ein Unfallbeteiligter unter dem Einfluss berauschender Mittel stand.
3.1.2
Betrachtet werden jetzt 500 zufällig ausgewählte Verkehrsunfälle. Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Anzahl der Unfälle, bei denen mindestens ein Unfallbeteiligter unter dem Einfluss berauschender Mittel stand.
Begründe, dass $X$ als binomialverteilt angesehen werden kann und berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung dieser Zufallsgröße.
Ermittle die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse.
A: Genau bei 10 Unfällen gab es unter Rauschmitteleinfluss stehende Beteiligte.
B: Bei mehr als 10 Unfällen gab es unter Rauschmitteleinfluss stehende Beteiligte.
C: Kein Unfallbeteiligter stand unter dem Einfluss berauschender Mittel.
3.2
In Mecklenburg-Vorpommern wurden im Jahr 2012 bei Verkehrskontrollen 4.361 Drogentests durchgeführt und dabei 845 Verstöße festgestellt.
Gebe den prozentualen Anteil unter den getesteten Fahrzeugführern an, die unter Drogeneinfluss standen.
DRUID, eine Studie der europäischen Union, kam zu dem Ergebnis, dass $2\, \%$ der europäischen Autofahrer unter Drogeneinfluss unterwegs sind.
Argumentiere mithilfe zweier möglicher Sachverhalte, wie aus deiner Sicht die unterschiedlichen Ergebnisse zu erklären sind.
3.3
Erfahrungsgemäß stehen $2\, \%$ aller Personen unter Drogeneinfluss.
Ein Drogenschnelltest zeigt bei einer unter Drogeneinfluss stehenden Person in 97 % der Fälle den Drogenkonsum korrekt an, während er einer nicht unter Drogeneinfluss stehenden Person mit einer Wahrscheinlichkeit von 5 % fehlerhaft einen Drogenkonsum unterstellt.
Fertige zu diesem Sachverhalt ein Baumdiagramm oder eine Vierfeldertafel an.
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Tipps
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3.1.1
$\blacktriangleright$  Anzahl der Unfälle berechnen
Du musst die Anzahl der Unfälle berechnen bei denen mindestens ein Unfallbeteiligter unter dem Einfluss berauschender Mittel stand.
Hast du einen Grundwert $G$ und einen Prozentsatz $p$ gegeben, so kannst du mithilfe folgender Formel den Prozentwert $W$ berechnen
$W = G \cdot p.$
$W = G \cdot p.$
Der Grundwert ist durch $G = 2.400.000$ und der Prozentsatz durch $p = 1,8 \% = 0,018$ gegeben. Setze also die entsprechenden Werte in die Formel ein, um den gesuchten Prozenwert zu bestimmen.
3.1.2
$\blacktriangleright$  Binomialverteilung begründen
Die Binomialverteilung ist eine (diskrete) Wahrscheinlichkeitsverteilung, die eine Serie von unabhängigen Versuchen beschreibt. Dabei kann das Ergebnis nur zwei mögliche Werte annehmen - Erfolg oder Misserfolg. Die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg bzw. Misserfolg ist dabei immer kostant gleich $p$ bzw. $1-p$.
$\blacktriangleright$  Erwartungswert und Standardabweichung bestimmen
Der Erwartungswert $E(X)$ der Binomialverteilung ist durch die Formel
$E(X) = n \cdot p$
$E(X) = n \cdot p$
gegeben. $n$ beschreibt die Anzahl der Versuche und $p$ die Erfolgswahrscheinlichkeit bei einem Versuch.
Die Formel der Standardabweichung $\sigma$ ist durch
$\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$
$\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$
gegeben.
Setze also erneut die entsprechenden Werte in die Formel ein.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten berechnen
Um die Wahrscheinlichkeiten von $A,$ $B$ und $C$ zu bestimmen, musst du nun deinen Taschenrechner verwenden.
A: Genau bei $\boldsymbol{10}$ Unfällen war mindestens eine Person unter Rauschmitteleinfluss
Gesucht ist also $P(X=10)$. Da es sich um eine Binomialverteilung handelt, kannst du die Wahrscheinlichkeit mit deinem CAS bestimmen.
B: Bei mehr als $\boldsymbol{10}$ Verkehrsunfällen standen die Beteiligten unter Drogeneinfluss
Du musst also die Wahrscheinlichkeit für $X > 10$ bestimmen, d.h. $P(X > 10)$ ist gesucht. Berechne die gesuchte Wahrscheinlichkeit erneut mit deinem CAS.
C: Kein Unfallbeteiligter stand unter Rauschmitteleinfluss
Du musst hier die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass keiner der Unfallbeteiligten unter Rauschmitteleinfluss stand. Gesucht ist also $P(X=0).$
3.2
$\blacktriangleright$  Prozentualen Anteil bestimmen
Du hast in diesem Fall den Grundwert $G$ ($4.361$ Drogentests) und den Prozentwert W ($845$ Verstöße) gegeben. Um nun den prozentualen Anteil $p$ zu bestimmen, verwendest du die Formel
$p = \dfrac{W}{G}.$
$p = \dfrac{W}{G}.$
$\blacktriangleright$  Unterschiedliche Ergebnisse begründen
In Mecklenburg-Vorpommern liegt der prozentuale Anteil der Autofahrer unter Drogeneinfluss nach dem Testergebnis bei ca. $19 \%.$ In der europäischen Union dagegen, liegt der Anteil nur bei $2 \%$. Begründe hierbei die unterscheidlichen Ergebnisse.
3.3
$\blacktriangleright$  Vierfeldertafel erstellen
Um eine Vierfeldertafel zu erstellen, musst du die Bedeutung der Ereignisse $A$ und $B$ festlegen.
$B$$\overline{B}$
$A$$P(A \cap B)$$P(A \cap \overline{B})$$P(A)$
$\overline{A}$$P(\overline{A} \cap B)$$P(\overline{A} \cap \overline{B})$$P(\overline{A})$
$P(B)$$P(\overline{B})$$1$
Vierfeldertafel
Lege also fest, dass das Ereignis $A$ eine unter drogenstehende Person und $B$ einen positiven Ausgang des Drogentests beschreibt.
$\blacktriangleright$  Baumdiagramm anfertigen
In dieser Teilaufgabe sollst du ein Baumdiagramm anfertigen. Gehe hierbei die einzelnen Pfade einzeln durch.
Beachte beim Zeichnen des Baumdiagramms, dass du die Ereignisse an die entsprechenden Knoten schreibst und die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten neben die Zweige schreibst.
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3.1.1
$\blacktriangleright$  Anzahl der Unfälle berechnen
Du musst die Anzahl der Unfälle berechnen bei denen mindestens ein Unfallbeteiligter unter dem Einfluss berauschender Mittel stand.
Hast du einen Grundwert $G$ und einen Prozentsatz $p$ gegeben, so kannst du mithilfe folgender Formel den Prozentwert $W$ berechnen
$W = G \cdot p.$
$W = G \cdot p.$
Der Grundwert ist durch $G = 2.400.000$ und der Prozentsatz durch $p = 1,8 \% = 0,018$ gegeben. Setze also die entsprechenden Werte in die Formel ein, um den gesuchten Prozenwert zu bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} W &=& G \cdot p \\[5pt] &=& 2.400.000 \cdot 0,018 \\[5pt] &=& 43.200. \end{array}$
Demnach stand bei $43.200$ Unfällen mindestens eine Person unter dem Einfluss berauschender Mittel.
3.1.2
$\blacktriangleright$  Binomialverteilung begründen
Die Binomialverteilung ist eine (diskrete) Wahrscheinlichkeitsverteilung, die eine Serie von unabhängigen Versuchen beschreibt. Dabei kann das Ergebnis nur zwei mögliche Werte annehmen - Erfolg oder Misserfolg. Die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg bzw. Misserfolg ist dabei immer kostant gleich $p$ bzw. $1-p$.
In diesem Aufgabenteil ist ein Erfolg ein Unfall bei dem mindestens eine Person unter dem Einfluss berauschender Mittel steht. Die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg beträgt $p=1,8 \%$. Dabei werden endliche viele Verkehrunfälle ($n = 500$) betrachten.
Somit wird der Sachverhalt durch die Binomialverteilung mit $n=500$ und $p=1,8 \%$ modelliert.
$\blacktriangleright$  Erwartungswert und Standardabweichung bestimmen
Der Erwartungswert $E(X)$ der Binomialverteilung ist durch die Formel
$E(X) = n \cdot p$
$E(X) = n \cdot p$
gegeben. $n$ beschreibt die Anzahl der Versuche und $p$ die Erfolgswahrscheinlichkeit bei einem Versuch.
Beide Größen sind gegeben, sodass du sie nur noch in die Formel einsetzen musst.
$E(X) = n \cdot p $$= 500 \cdot 0,018 = 9.$
Der Erwartungswert $E(X)$ beträgt also $9$ Verkehrsunfälle bei denen mindestens eine Person unter dem Einfluss berauschender Mittel stand.
Die Formel der Standardabweichung $\sigma$ ist durch
$\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$
$\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$
gegeben.
Setze also erneut die entsprechenden Werte in die Formel ein.
$\begin{array}[t]{rll} \sigma &=& \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} \\[5pt] &=& \sqrt{500 \cdot 0,018 \cdot (1-0,018)} \\[5pt] &=& \sqrt{8,838} \\[5pt] &\approx& 2,97. \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \sigma &\approx& 2,97. \end{array}$
Die Standardabweichung $\sigma$ beträgt also ca. $2,97.$
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten berechnen
Um die Wahrscheinlichkeiten von $A,$ $B$ und $C$ zu bestimmen, musst du nun deinen Taschenrechner verwenden.
A: Genau bei $\boldsymbol{10}$ Unfällen war mindestens eine Person unter Rauschmitteleinfluss
Gesucht ist also $P(X=10)$. Da es sich um eine Binomialverteilung handelt, gibst du folgende Befehle in den Taschenrechner ein
menu $\rightarrow$ 5: Wahrscheinlichkeit $\rightarrow$ 5: Verteilungen $\rightarrow$ D: BinomialPdf…
menu $\rightarrow$ 5: Wahrscheinlichkeit $\rightarrow$ 5: Verteilungen $\rightarrow$ D: BinomialPdf…
Nun ist $n=500$, $p=0,018$ und der $X$-Wert ist $10$, weil du die Wahrscheinlichkeit für genau $10$ Verkehrsunfällen unter Rauschmitteleinfluss wissen willst.
Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit für $10$ Unfälle mit mindestens einem Autofahrer unter Rauschmitteleinfluss ca. $11,97 \%.$
B: Bei mehr als $\boldsymbol{10}$ Verkehrsunfällen standen die Beteiligten unter Drogeneinfluss
Du musst also die Wahrscheinlichkeit für $X > 10$ bestimmen, d.h. $P(X > 10)$ ist gesucht. Wähle also
menu $\rightarrow$ 5: Wahrscheinlichkeit $\rightarrow$ 5: Verteilungen $\rightarrow$ D: BinomialCdf…
menu $\rightarrow$ 5: Wahrscheinlichkeit $\rightarrow$ 5: Verteilungen $\rightarrow$ D: BinomialPdf…
Nun gibst du $n=500$, $p=0,018$, die untere Schranke $11$ und obere Schranke $500$ ein, weil du die Wahrscheinlichkeit für über $10$ Verkehrsunfällen unter Rauschmitteleinfluss wissen willst. Alternativ kannst du $P(X > 10)$ mit Hilfe des Gegenereignisses umschreiben $P(X > 10) = 1 - P(X \leq 10)$. Für die Auswertung von $P(X \leq 10)$ gehst du analog vor. In diesem Fall setzt du die untere Schranke $0$ und die obere Schranke $10.$
Demnach liegt die Wahrscheinlichkeiten für bis zu $10$ Unfälle mit mindestens einer Person unter Rauschmitteleinfluss bei ca. $29,3 \%.$
C: Kein Unfallbeteiligter stand unter Rauschmitteleinfluss
Du musst hier die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass keiner der Unfallbeteiligten unter Rauschmitteleinfluss stand. Gesucht ist also $P(X=0).$ Gehe also analog zum ersten Fall vor
menu $\rightarrow$ 5: Wahrscheinlichkeit $\rightarrow$ 5: Verteilungen $\rightarrow$ D: BinomialPdf…
menu $\rightarrow$ 5: Wahrscheinlichkeit $\rightarrow$ 5: Verteilungen $\rightarrow$ D: BinomialPdf…
Gebe in diesem Fall $X =0$ ein.
Die Wahrscheinlichkeit, dass bei den $500$ Unfälle keine Person unter Rauschmitteleinfluss stand, beträgt ca. $0,01 \%.$
3.2
$\blacktriangleright$  Prozentualen Anteil bestimmen
Du hast in diesem Fall den Grundwert $G$ ($4.361$ Drogentests) und den Prozentwert W ($845$ Verstöße) gegeben. Um nun den prozentualen Anteil $p$ zu bestimmen, verwendest du die Formel
$p = \dfrac{W}{G}.$
$p = \dfrac{W}{G}.$
Setze also einfach die Werte in die Formel ein.
$p = \dfrac{W}{G} = \dfrac{845}{4.361} \approx 0,19 = 19 \%.$
Also standen ca. $19 \%$ der Fahrzeugführer in Mecklenburg-Vorpommern im Jahr 2012 unter Drogeneinfluss.
$\blacktriangleright$  Unterschiedliche Ergebnisse begründen
In Mecklenburg-Vorpommern liegt der prozentuale Anteil der Autofahrer unter Drogeneinfluss nach dem Testergebnis bei ca. $19 \%.$ In der europäischen Union dagegen, liegt der Anteil nur bei $2 \%.$
Ein möglicher Grund könnte sein, dass der Anteil der Autofahrer unter Drogeneinfluss in Mecklenburg-Vorpommern größer ist als in der gesamten europäischen Union. Das bedeutet automatisch, dass es eine Region in der europäischen Union gibt, wo der Anteil unter dem durchschnittlichen Anteil von $2 \%$ liegt, um den Anteil von Mecklenburg-Vorpommern auszugleichen.
Ein weiterer Grund dafür, dass es zu unterschiedlichen prozentualen Anteilen kommt, könnte auf die Tatsache zurückzuführen sein, dass die Polizei in Mecklenburg-Vorpommern gezielt kontrolliert hat. Demnach wurde auch mehr Verstöße festgestellt als im Durchschnitt der europäischen Union.
3.3
$\blacktriangleright$  Vierfeldertafel erstellen
Um eine Vierfeldertafel zu erstellen, musst du die Bedeutung der Ereignisse $A$ und $B$ festlegen.
$B$$\overline{B}$
$A$$P(A \cap B)$$P(A \cap \overline{B})$$P(A)$
$\overline{A}$$P(\overline{A} \cap B)$$P(\overline{A} \cap \overline{B})$$P(\overline{A})$
$P(B)$$P(\overline{B})$$1$
Vierfeldertafel
Lege also fest, dass das Ereignis $A$ eine unter drogenstehende Person und $B$ einen positiven Ausgang des Drogentests beschreibt. Nach Aufgabestellung ist also $P(A) = 0,02$ und folglich $P(\overline{A}) = 0,98.$ Eine Person, die unter Drogen steht, wird in $97 \%$ der Fälle durch den Test überführt, also ist $P(A \cap B) $$= 0,02 \cdot 0,97 $$= 0,0194.$
Demnach ist
$P(A \cap \overline{B}) = P(A) - P(A \cap B) = 0,02 - 0,0194 = 0,0006.$
$ P(A \cap \overline{B}) = 0,0006$
Einer Person, die nicht unter Drogeneinfluss steht, wird fälschlicherweise in $5 \%$ der Fälle Drogenkonsum zugeschrieben. Somit ist $P(\overline{A} \cap B) = 0,98 \cdot 0,05 $$= 0,049.$ Daraus folgt sofort $P(\overline{A} \cap \overline{B}) $$= 0,98 - 0,049 = 0,931.$ Demnach ergibt sich folgende Vierfeldertafel.
$B$$\overline{B}$
$A$$0,0194$$0,0006$$0,02$
$\overline{A}$$0,049$$0,931$$0,98$
$0,0684$$0,9316$$1$
Vierfeldertafel
$\blacktriangleright$  Baumdiagramm anfertigen
Bei der ersten Verzweigung führt der eine Zweig auf das Ereignis eine Person unter Drogeneinfluss zu erwischen (Ereignis $A$). Der andere Zweig führt auf das Ereignis eine Person, die keine Drogen konsumiert, zu erhalten (Ereignis $\overline{A}$).
Betrachte nun den ersten Knoten, der für das Ereignis $A$ steht. Bei $A$ kommt erneut eine Verzweigung zustande. Der eine Zweig steht für das Ereignis, dass der Test positiv (Ereignis $B$) und der andere, dass der Test negativ (Ereignis $\overline{B}$) ausfällt. Analog verfährst du mit dem zweiten Knoten, der $\overline{A}$ darstellt.
Beachte beim Zeichnen des Baumdiagramms, dass du die Ereignisse an die entsprechenden Knoten schreibst und die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten neben die Zweige schreibst.
Wahlteil A3
Abb. 6: Baumdiagramm
Wahlteil A3
Abb. 6: Baumdiagramm
Bildnachweise [nach oben]
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3.1.1
$\blacktriangleright$  Anzahl der Unfälle berechnen
Du musst die Anzahl der Unfälle berechnen bei denen mindestens ein Unfallbeteiligter unter dem Einfluss berauschender Mittel stand.
Hast du einen Grundwert $G$ und einen Prozentsatz $p$ gegeben, so kannst du mithilfe folgender Formel den Prozentwert $W$ berechnen
$W = G \cdot p.$
$W = G \cdot p.$
Der Grundwert ist durch $G = 2.400.000$ und der Prozentsatz durch $p = 1,8 \% = 0,018$ gegeben. Setze also die entsprechenden Werte in die Formel ein, um den gesuchten Prozenwert zu bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} W &=& G \cdot p \\[5pt] &=& 2.400.000 \cdot 0,018 \\[5pt] &=& 43.200. \end{array}$
Demnach stand bei $43.200$ Unfällen mindestens eine Person unter dem Einfluss berauschender Mittel.
3.1.2
$\blacktriangleright$  Binomialverteilung begründen
Die Binomialverteilung ist eine (diskrete) Wahrscheinlichkeitsverteilung, die eine Serie von unabhängigen Versuchen beschreibt. Dabei kann das Ergebnis nur zwei mögliche Werte annehmen - Erfolg oder Misserfolg. Die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg bzw. Misserfolg ist dabei immer kostant gleich $p$ bzw. $1-p$.
In diesem Aufgabenteil ist ein Erfolg ein Unfall bei dem mindestens eine Person unter dem Einfluss berauschender Mittel steht. Die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg beträgt $p=1,8 \%$. Dabei werden endliche viele Verkehrunfälle ($n = 500$) betrachten.
Somit wird der Sachverhalt durch die Binomialverteilung mit $n=500$ und $p=1,8 \%$ modelliert.
$\blacktriangleright$  Erwartungswert und Standardabweichung bestimmen
Der Erwartungswert $E(X)$ der Binomialverteilung ist durch die Formel
$E(X) = n \cdot p$
$E(X) = n \cdot p$
gegeben. $n$ beschreibt die Anzahl der Versuche und $p$ die Erfolgswahrscheinlichkeit bei einem Versuch.
Beide Größen sind gegeben, sodass du sie nur noch in die Formel einsetzen musst.
$E(X) = n \cdot p $$= 500 \cdot 0,018 = 9.$
Der Erwartungswert $E(X)$ beträgt also $9$ Verkehrsunfälle bei denen mindestens eine Person unter dem Einfluss berauschender Mittel stand.
Die Formel der Standardabweichung $\sigma$ ist durch
$\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$
$\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$
gegeben.
Setze also erneut die entsprechenden Werte in die Formel ein.
$\begin{array}[t]{rll} \sigma &=& \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} \\[5pt] &=& \sqrt{500 \cdot 0,018 \cdot (1-0,018)} \\[5pt] &=& \sqrt{8,838} \\[5pt] &\approx& 2,97. \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \sigma&\approx& 2,97. \end{array}$
Die Standardabweichung $\sigma$ beträgt also ca. $2,97.$
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten berechnen
Um die Wahrscheinlichkeiten von $A,$ $B$ und $C$ zu bestimmen, musst du nun deinen Taschenrechner verwenden.
A: Genau bei $\boldsymbol{10}$ Unfällen war mindestens eine Person unter Rauschmitteleinfluss
Gesucht ist also $P(X=10)$. Da es sich um eine Binomialverteilung handelt, gibst du folgende Befehle in den Taschenrechner ein
Interaktiv $\rightarrow$ Verteilungsfkt. $\rightarrow$ Diskret $\rightarrow$ binomialPdf
Interaktiv $\rightarrow$ Verteilungsfkt. $\rightarrow$ Diskret $\rightarrow$ binomialPdf
Nun ist $n=500$, $p=0,018$ und der $X$-Wert ist $10$, weil du die Wahrscheinlichkeit für genau $10$ Verkehrsunfällen unter Rauschmitteleinfluss wissen willst.
Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit für $10$ Unfälle mit mindestens einem Autofahrer unter Rauschmitteleinfluss ca. $11,97 \%.$
B: Bei mehr als $\boldsymbol{10}$ Verkehrsunfällen standen die Beteiligten unter Drogeneinfluss
Du musst also die Wahrscheinlichkeit für $X > 10$ bestimmen, d.h. $P(X > 10)$ ist gesucht. Wähle also
Interaktiv $\rightarrow$ Verteilungsfkt. $\rightarrow$ Diskret $\rightarrow$ binomialCdf
Interaktiv $\rightarrow$ Verteilungsfkt. $\rightarrow$ Diskret $\rightarrow$ binomialCdf
Nun gibst du $n=500$, $p=0,018$, die untere Schranke $11$ und obere Schranke $500$ ein, weil du die Wahrscheinlichkeit für über $10$ Verkehrsunfällen unter Rauschmitteleinfluss wissen willst. Alternativ kannst du $P(X > 10)$ mit Hilfe des Gegenereignisses umschreiben $P(X > 10) = 1 - P(X \leq 10)$. Für die Auswertung von $P(X \leq 10)$ gehst du analog vor. In diesem Fall setzt du die untere Schranke $0$ und die obere Schranke $10.$
Demnach liegt die Wahrscheinlichkeiten für bis zu $10$ Unfälle mit mindestens einer Person unter Rauschmitteleinfluss bei ca. $29,3 \%.$
C: Kein Unfallbeteiligter stand unter Rauschmitteleinfluss
Du musst hier die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass keiner der Unfallbeteiligten unter Rauschmitteleinfluss stand. Gesucht ist also $P(X=0).$ Gehe also analog zum ersten Fall vor
Interaktiv $\rightarrow$ Verteilungsfkt. $\rightarrow$ Diskret $\rightarrow$ binomialPdf
Interaktiv $\rightarrow$ Verteilungsfkt. $\rightarrow$ Diskret $\rightarrow$ binomialPdf
Gebe in diesem Fall $X =0$ ein.
Die Wahrscheinlichkeit, dass bei den $500$ Unfälle keine Person unter Rauschmitteleinfluss stand, beträgt ca. $0,01 \%.$
3.2
$\blacktriangleright$  Prozentualen Anteil bestimmen
Du hast in diesem Fall den Grundwert $G$ ($4.361$ Drogentests) und den Prozentwert W ($845$ Verstöße) gegeben. Um nun den prozentualen Anteil $p$ zu bestimmen, verwendest du die Formel
$p = \dfrac{W}{G}.$
$p = \dfrac{W}{G}.$
Setze also einfach die Werte in die Formel ein.
$p = \dfrac{W}{G} $$= \dfrac{845}{4.361} $$\approx 0,19 = 19 \%.$
Also standen ca. $19 \%$ der Fahrzeugführer in Mecklenburg-Vorpommern im Jahr 2012 unter Drogeneinfluss.
$\blacktriangleright$  Unterschiedliche Ergebnisse begründen
In Mecklenburg-Vorpommern liegt der prozentuale Anteil der Autofahrer unter Drogeneinfluss nach dem Testergebnis bei ca. $19 \%.$ In der europäischen Union dagegen, liegt der Anteil nur bei $2 \%.$
Ein möglicher Grund könnte sein, dass der Anteil der Autofahrer unter Drogeneinfluss in Mecklenburg-Vorpommern größer ist als in der gesamten europäischen Union. Das bedeutet automatisch, dass es eine Region in der europäischen Union gibt, wo der Anteil unter dem durchschnittlichen Anteil von $2 \%$ liegt, um den Anteil von Mecklenburg-Vorpommern auszugleichen.
Ein weiterer Grund dafür, dass es zu unterschiedlichen prozentualen Anteilen kommt, könnte auf die Tatsache zurückzuführen sein, dass die Polizei in Mecklenburg-Vorpommern gezielt kontrolliert hat. Demnach wurde auch mehr Verstöße festgestellt als im Durchschnitt der europäischen Union.
3.3
$\blacktriangleright$  Vierfeldertafel erstellen
Um eine Vierfeldertafel zu erstellen, musst du die Bedeutung der Ereignisse $A$ und $B$ festlegen.
$B$$\overline{B}$
$A$$P(A \cap B)$$P(A \cap \overline{B})$$P(A)$
$\overline{A}$$P(\overline{A} \cap B)$$P(\overline{A} \cap \overline{B})$$P(\overline{A})$
$P(B)$$P(\overline{B})$$1$
Vierfeldertafel
Lege also fest, dass das Ereignis $A$ eine unter drogenstehende Person und $B$ einen positiven Ausgang des Drogentests beschreibt. Nach Aufgabestellung ist also $P(A) = 0,02$ und folglich $P(\overline{A}) = 0,98.$ Eine Person, die unter Drogen steht, wird in $97 \%$ der Fälle durch den Test überführt, also ist $P(A \cap B) $$= 0,02 \cdot 0,97 = 0,0194.$
Demnach ist $P(A \cap \overline{B}) $$= 0,02 - 0,0194 = 0,0006.$
Einer Person, die nicht unter Drogeneinfluss steht, wird fälschlicherweise in $5 \%$ der Fälle Drogenkonsum zugeschrieben. Somit ist $P(\overline{A} \cap B) $$= 0,98 \cdot 0,05 = 0,049.$ Daraus folgt sofort $P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 0,98 - 0,049 $$ = 0,931.$ Demnach ergibt sich folgende Vierfeldertafel.
$B$$\overline{B}$
$A$$0,0194$$0,0006$$0,02$
$\overline{A}$$0,049$$0,931$$0,98$
$0,0684$$0,9316$$1$
Vierfeldertafel
$\blacktriangleright$  Baumdiagramm anfertigen
Bei der ersten Verzweigung führt der eine Zweig auf das Ereignis eine Person unter Drogeneinfluss zu erwischen (Ereignis $A$). Der andere Zweig führt auf das Ereignis eine Person, die keine Drogen konsumiert, zu erhalten (Ereignis $\overline{A}$).
Betrachte nun den ersten Knoten, der für das Ereignis $A$ steht. Bei $A$ kommt erneut eine Verzweigung zustande. Der eine Zweig steht für das Ereignis, dass der Test positiv (Ereignis $B$) und der andere, dass der Test negativ (Ereignis $\overline{B}$) ausfällt. Analog verfährst du mit dem zweiten Knoten, der $\overline{A}$ darstellt.
Beachte beim Zeichnen des Baumdiagramms, dass du die Ereignisse an die entsprechenden Knoten schreibst und die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten neben die Zweige schreibst.
Wahlteil A3
Abb. 6: Baumdiagramm
Wahlteil A3
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