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Wahlaufgabe 2

Aufgaben
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2.1
Aus einem würfelförmigen Holzstück mit der Kantenlänge $a=5\;\text{cm}$ soll eine Kugel entstehen.
2.1.1
Gib den Radius dieser Kugel an, wenn der Abfall so gering wie möglich gehalten werden soll.
2.1.2
Zeichne ein Zweitafelbild dieser Kugel mit Originalmaßen.
2.1.3
Begründe rechnerisch, dass bei der Bearbeitung fast die Hälfte des Würfelvolumens als Abfall anfällt.
2.2
2.2.1
Gib an, wie viele verschiedene Pfosten im Angebot sind.
2.2.2
Berechne die Masse des kleinsten Pfostens.
2.2.3
Die Pfosten werden vollständig mit Farbe bestrichen. Diese Farbe wird in Büchsen mit $0,75\;l$ Inhalt angeboten. Der Verbrauch ist mit $100\;\text{ml}$ je Quadratmeter angegeben.
Berechne, für wie viele Holzpfosten mittlerer Größe eine Büchse Farbe ausreicht.
#kugel#zweitafelbild#dichte#flächeninhalt
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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Lösungen
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2.1.1
$\blacktriangleright$ Radius der Kugel angeben
Wahlaufgabe 2
Abb. 1: Skizze
Wahlaufgabe 2
Abb. 1: Skizze
Der Radius der Kugel beträgt $2,5\;\text{cm}$.
2.1.2
$\blacktriangleright$ Zweitafelbild der Kugel anfertigen
Wahlaufgabe 2
Abb. 2: Zweitafelbild
Wahlaufgabe 2
Abb. 2: Zweitafelbild
2.1.3
$\blacktriangleright$ Große Menge an Abfall rechnerisch begründen
Um zu begründen, dass fast die Hälfte des Würfelvolumens als Abfall anfällt, kann zunächst das Volumen des Würfels berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} V&=&a^3 &\quad \scriptsize \\[5pt] V&=&(5\;\text{cm})^3&\quad \scriptsize \\[5pt] V&=&125\;\text{cm}^3&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Im Vergleich dazu wird das Volumen der Kugel berechnet:
$\begin{array}[t]{rll} V&=&\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^3 &\quad \scriptsize \\[5pt] V&=&\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot (2,5\;\text{cm})^3 &\quad \scriptsize \\[5pt] V&=&65,45\;\text{cm}^3 \end{array}$
Die Aussage, dass fast die Hälfte des Holzes als Abfall anfälllt, ist richtig.
2.2.1
$\blacktriangleright$ Anzahl der verschiedenen Pfosten angeben
Es gibt $3$ verschiedene Abmessungen mit jeweils $4$ Farben. Es gibt also $4+4+4=12$ verschiedene Pfosten.
2.2.2
$\blacktriangleright$ Masse des kleinsten Pfostens berechnen
Das Volumen des Pfostens lässt sich berechnen, indem das Volumen des Quaders und der Halbkugel einzeln berechnet werden. Um das Volumen des Quaders zu berechnen, muss von der Gesamthöhe des Pfosten die Höhe der Halbkugel abgezogen werden.
$\begin{array}[t]{rll} V_{\text{Quader}}&=&g \cdot h&\quad \scriptsize \\[5pt] V_{\text{Quader}}&=&(10\;\text{cm})^2 \cdot (145\;\text{cm}-5\;\text{cm})&\quad \scriptsize \\[5pt] V_{\text{Quader}}&=&14.000\;\text{cm}^3&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Das Volumen der Halbkugel, mit dem Radius $5\;\text{cm}$, lässt sich mit folgender Rechnung bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} V_{\text{Halbkugel}}&=&\frac{4}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot \pi \cdot r^3 &\quad \scriptsize \\[5pt] V_{\text{Halbkugel}}&=&\frac{4}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot \pi \cdot (5\;\text{cm})^3 &\quad \scriptsize \\[5pt] V_{\text{Halbkugel}}&\approx &261,80\;\text{cm}^3 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Das Gesamtvolumen des Pfostens beträgt
$V=14.000\;\text{cm}^3+261,8\;\text{cm}^3\approx 14.261,8\;\text{cm}^3$
$ \approx 14.261,8\;\text{cm}^3 $
.
Die Masse des Pfostens lässt sich nun über die Dichte berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} M&=&\rho \cdot V &\quad \scriptsize \\[5pt] M&=&0,87 \frac{\text{g}}{\text{cm}^3}\cdot 14.261,8\;\text{cm}^3 &\quad \scriptsize \\[5pt] M&\approx &12407,77\;\text{g}&\quad \scriptsize \\[5pt] M&\approx&12,41\;\text{kg} \end{array}$
Der Pfosten wiegt ca. $12,41\;\text{kg}$.
2.2.3
$\blacktriangleright$ Anzahl der Holzpfosten, die gestrichen werden können, angeben
Die Oberfläche setzt sich aus der Grund-, Quader- und Halbkugeloberfläche zusammen.
Der Flächeninhalt der Grundfläche lässt sich mit folgender Rechnung bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} O_{\text{Grundfläche}}&=&a^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] O_{\text{Grundfläche}}&=&(12\;\text{cm})^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] O_{\text{Grundfläche}}&=&144\;\text{cm}^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Für den Flächeninhalt des Quaders, müssen alle vier Seitenflächen berücksichtigt werden. Außerdem muss die Höhe der Halbkugel von der Gesamthöhe abgezogen werden.
$\begin{array}[t]{rll} O_{\text{Quader}}&=&4 \cdot h\cdot a &\quad \scriptsize \\[5pt] O_{\text{Quader}}&=&4\cdot (166\;\text{cm}-6\;\text{cm})\cdot 12\;\text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt] O_{\text{Quader}}&=&7.680\;\text{cm}^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Für die Oberfläche der Halbkugel gilt:
$\begin{array}[t]{rll} O_{\text{Halbkugel}}&=&4\cdot \pi \cdot r^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] O_{\text{Halbkugel}}&=&4\cdot \pi \cdot (6\;\text{cm})^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] O_{\text{Halbkugel}}&=&452,39\;\text{cm}^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Oberfläche des Pfostens lässt sich nun berechnen:
$O=144\;\text{cm}^2+7.680\;\text{cm}^2+452,39\;\text{cm}^2\approx 8.276,39\;\text{cm}^2=0,83\;\text{m}^2$
$ 0,83\;\text{m}^2 $
.
Mit dem Dreisatz lässt sich nun berechnen, wie viel Farbe pro Pfosten verbraucht wird.
$:10$
Wahlaufgabe 2
$\begin{array}{rrcll} &1\;\text{m}^2&\mathrel{\widehat{=}}&100\;\text{ml}\\[5pt] &0,1\;\text{m}^2&\mathrel{\widehat{=}}&10\;\text{ml}\\[5pt] &0,83\;\text{m}^2&\mathrel{\widehat{=}}&83\;\text{ml}& \end{array}$ Wahlaufgabe 2
$:10$
$\cdot 8,3$
Wahlaufgabe 2
Wahlaufgabe 2
$\cdot 8,3$
Für die Anzahl der Pfosten, die gestrichen werden können, ergibt sich:
$750\;\text{ml}:83\;\text{ml}\approx 9$
Es können ca. $9$ Pfosten gestrichen werden.
#quader#kugel#flächeninhalt#dreisatz#dichte
Bildnachweise [nach oben]
[1-2]
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