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Pflichtteil

Aufgaben
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Aufgabe P1

Die Abbildung zeigt den Graphen einer quadratischen Funktion $f.$
a)
Gib eine Gleichung der Funktion $f$ an.
(2 BE)
b)
Gegeben sind die beiden Terme
$\text{II}$
$\lim\limits_{x\to4}\dfrac{f(4)-f(x)}{4-x},$ $x\neq 4$
Beschreibe ihre jeweilige Bedeutung in Bezug auf den Graphen von $f.$
(2 BE)
c)
Veranschauliche den Wert des Terms $4\cdot 2-\int_{1}^{5}f(x)\;\mathrm dx$ in der Abbildung.
(2 BE)
#integral

Aufgabe P2

Gegeben ist die Funktionenschar $f_a$ mit $f_a(x)= \frac{1}{a}\cdot \mathrm e^{a\cdot x},$ $x\in \mathbb{R},$ $0< a<1.$
a)
Gegeben ist die Gleichung $\frac{1}{a}\cdot \mathrm e^{a\cdot x} = \frac{2}{a}.$
Bestimme eine Lösung für $x.$
(2 BE)
b)
Bestimme alle Werte für $a$ so, dass der vertikale Abstand der Graphen von $f_a$ und $f_a'$ an der Stelle $x=0$ mindestens $3$ beträgt.
(3 BE)
#funktionenschar

Aufgabe P3

Gegeben ist eine Funktion $f$ mit $f(x)=3\cdot \sin(2\cdot x),$ $x\in \mathbb{R}.$
a)
Gib an, welcher der folgenden Graphen zur Funktion $f$ gehört.
(2 BE)
b)
Bestimme die Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $P(0\mid f(0)).$
(3 BE)
#sinus#tangente

Aufgabe P4

Gegeben ist die Dichtefunktion $\phi$ einer normalverteilten Zufallsgröße $X$ mit der Standardabweichung $\sigma_X=2,5.$
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses $A$ wird durch $P(6,5\leq X \leq 11,5)$ beschrieben.
a)
Stelle die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $A$ in der Abbildung grafisch dar. Gib den Erwartungswert $\mu_X$ an.
(2 BE)
b)
Eine Zufallsgröße $Y$ ist normalverteilt mit $\mu_Y=7$ und $\sigma_Y=1,25.$ Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses $B$ wird durch $P(4,5\leq Y \leq 9,5)$ beschrieben.
Untersuche, welches der beiden Ereignisse $A$ oder $B$ eine größere Wahrscheinlichkeit aufweist.
(3 BE)
#normalverteilung

Aufgabe P5

a)
Weise nach, dass die rechte Strebe senkrecht auf der Rohrleitung steht.
(3 BE)
b)
Gib die Koordinaten des in der $xy$-Ebene liegenden Punktes $A$ an.
(2 BE)
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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Aufgabe P1Pflichtteil

a)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung angeben
Der Scheitelpunkt der nach unten geöffneten Parabel hat die Koordinaten $(3\mid2).$ Mithilfe der Scheitelpunktform ergibt sich also folgende Gleichung:
$f(x)= a\cdot (x-3)^2 +2$
Der Faktor $a$ kann nun noch durch eine Punktprobe berechnet werden. Verwende beispielsweise den Punkt $P(1\mid 0),$ der sich gut ablesen lässt.
$\begin{array}[t]{rll} f(1)&=& 0 \\[5pt] a\cdot (1-3)^2 +2 &=& 0 \\[5pt] a\cdot 4 +2&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;-2 \\[5pt] a\cdot 4 &=& -2 &\quad \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt] a &=& -0,5 \end{array}$
$ a=-0,5 $
Eine Gleichung der Funktion $f$ ist also $f(x)= -0,5\cdot (x-3)^2 +2.$
b)
$\blacktriangleright$  Bedeutung der Terme beschreiben
Der erste Term stellt einen Differenzenquotienten dar. Er beschreibt die Sekantensteigung der Sekante durch die Punkte $(1\mid f(1))$ und $(3\mid f(3))$ auf dem Graphen von $f.$
Der Term beschreibt also die durchschnittliche Steigung des Graphen von $f$ im Bereich $[1;3].$
Der zweite Term bildet über einen solchen Differenzenquotienten den Grenzwert. Dadurch wird das Intervall so weit verkleinert, dass sich die Länge dem Wert Null annähert.
Damit wird die Steigung des Graphen von $f$ an der Stelle $x=4$ bestimmt.
c)
$\blacktriangleright$  Term veranschaulichen
Pflichtteil
Abb. 1: Flächenstück
Pflichtteil
Abb. 1: Flächenstück

Aufgabe P2

a)
$\blacktriangleright$  Lösung bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} \frac{1}{a}\cdot \mathrm e^{a\cdot x}&=&\frac{2}{a} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot a \\[5pt] \mathrm e^{a\cdot x}&=& 2 &\quad \scriptsize \mid\;\ln \\[5pt] a\cdot x&=& \ln 2 &\quad \scriptsize \mid\;:a \neq 0 \\[5pt] x&=& \frac{\ln 2}{a} \\[5pt] \end{array}$
$ x = \frac{\ln 2}{a} $
Eine Lösung der Gleichung für $x$ ist $x= \frac{\ln 2}{a}.$
b)
$\blacktriangleright$  Parameterwert bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} f_a'(x)&=&\frac{1}{a}\cdot a\cdot \mathrm e^{a\cdot x} \\[5pt] &=& \mathrm e^{a\cdot x} \\[10pt] \end{array}$
$ f_a'(x) = \mathrm e^{a\cdot x} $
Der vertikale Abstand der beiden Graphen von $f_a$ und $f_a'$ an der Stelle $0$ ergibt sich über den Betrag der Differenz der beiden Funktionswerte:
$\begin{array}[t]{rll} \left|f_a(0)-f_a'(0) \right| &\geq& 3 \\[5pt] \left|\frac{1}{a}\cdot \mathrm e^{a\cdot 0}- \mathrm e^{a\cdot 0} \right|&\geq& 3 \\[5pt] \left| \frac{1}{a} -1\right|&\geq & 3 \end{array}$
$ … \geq 3 $
Da $a$ laut Aufgabenstellung größer als $0$ und kleiner als $1$ ist, ist $\frac{1}{a}$ immer größer als $1$ und damit ist $\frac{1}{a} -1$ immer größer als $0.$ Es genügt also den Fall $\frac{1}{a}-1 \geq 3$ zu betrachten:
$\begin{array}[t]{rll} \frac{1}{a} -1&\geq& 3 &\quad \scriptsize \mid\;+1 \\[5pt] \frac{1}{a}&\geq& 4 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot a>0 \\[5pt] 1&\geq& 4a&\quad \scriptsize \mid\;:4 \\[5pt] \frac{1}{4} &\geq& a \end{array}$
$ \frac{1}{4} \geq a $
Für $a\leq \frac{1}{4}$ beträgt der vertikale Abstand zwischen den beiden Graphen von $f_a$ und $f_a'$ an der Stelle $x=0$ mindestens $3.$
#ableitung

Aufgabe P3

a)
$\blacktriangleright$  Zugehörigen Graphen angeben
Aus der Funktionsgleichung kannst du die Amplitude $3$ ablesen, damit fällt der Graph in Abbildung 3 raus.
Der Graph von $f$ geht aus dem Graphen der Funktion $\sin x$ ohne Spiegelung oder Verschiebung hervor. Er wird lediglich gestreckt bzw. gestaucht. Der Graph der allgemeinen Sinusfunktion verläuft für $x>0$ zunächst über der $x$-Achse und erreicht zuerst einen Hochpunkt, bevor er wieder sinkt und dann einen Tiefpunkt erreicht.
Gleiches muss für den Graphen von $f$ gelten. Der richtige Graph ist also der in Abbildung 4.
b)
$\blacktriangleright$  Tangentengleichung bestimmen
Mithilfe der Kettenregel folgt für die erste Ableitung von $f:$
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&=&3\cdot 2\cdot \cos (2\cdot x) \\[5pt] &=& 6\cdot \cos (2\cdot x)\\[10pt] f'(0)&=& 6\cdot \cos(2\cdot 0)\\[5pt] &=& 6\cdot \cos(0)\\[5pt] &=& 6\cdot 1\\[5pt] &=& 6 \end{array}$
$ f'(0)=6 $
Die Steigung der Tangente ist also $m=6.$
$f(0)= 3\cdot\sin(2\cdot 0) = 3\cdot 0 = 0$
Mithilfe einer Punktprobe ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} t:\quad y&=& m\cdot x +b &\quad \scriptsize \mid\;m=6 \\[5pt] y&=& 6\cdot x +b &\quad \scriptsize \mid\; f(0)=0 \\[5pt] 0&=& 6\cdot 0 +b \\[5pt] 0&=& b \end{array}$
$ b = 0 $
Eine Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(0\mid f(0))$ lautet $t: \; y = 6x.$
#kettenregel

Aufgabe P4

a)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit graphisch darstellen
Pflichtteil
Abb. 2: $P(6,5\leq Y \leq 11,5)$
Pflichtteil
Abb. 2: $P(6,5\leq Y \leq 11,5)$
$\blacktriangleright$  Erwartungswert bestimmen
Der Erwartungswert von $X$ ist der Wert mit der größten Wahrscheinlichkeit, also ist $\mu_X = 9.$
b)
$\blacktriangleright$  Ereignisse untersuchen
Betrachte die $\sigma$-Regeln.
Die Wahrscheinlichkeit von Ereignis $A$ entspricht der Wahrscheinlichkeit der $1\sigma_X$-Umgebung von $X$ um den Erwartungswert $\mu_X=9.$ Die Wahrscheinlichkeit von Ereignis $B$ entspricht der Wahrscheinlichkeit der $2\sigma_Y$-Umgebung von $Y$ um den Erwartungswert $\mu_Y=7$ und ist daher größer als die von Ereignis $A.$
Ereignis $B$ weist eine größere Wahrscheinlichkeit als $A$ auf.

Aufgabe P5

a)
$\blacktriangleright$  Senkrechte Lage nachweisen
Der Verlauf der rechten Strebe kann durch folgenden Richtungsvektor dargestellt werden:
$\overrightarrow{BC} = \pmatrix{1\\-2\\2} $
Die Strebe und die Rohrleitung stehen senkrecht zueinander, wenn das Skalarprodukt der zugehörigen Vektoren Null ist:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{BC} \circ \overrightarrow{r} &=& \pmatrix{1\\-2\\2} \circ \pmatrix{2\\2\\1} \\[5pt] &=& 1\cdot 2 +(-2)\cdot 2 +2\cdot 1 \\[5pt] &=& 0 \end{array}$
$ \overrightarrow{BC} \circ \overrightarrow{r} = 0 $
Die rechte Strebe steht also senkrecht auf der Rohrleitung.
b)
$\blacktriangleright$  Koordinaten angeben
Mithilfe der Symmetrie und der Lage der Rohrleitung ergeben sich die Koordinaten zu $A(6\mid 3\mid 0).$
#skalarprodukt
Bildnachweise [nach oben]
[1],[2]
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