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Pflichtteil

Aufgaben
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Aufgabe P1

Die Abbildung zeigt den Graphen einer quadratischen Funktion $f.$
a)
Gib eine Gleichung der Funktion $f$ an.
(2 BE)
b)
Gegeben sind die beiden Terme
$\text{II}$
$\lim\limits_{x\to4}\dfrac{f(4)-f(x)}{4-x},$ $x\neq 4$
Beschreibe ihre jeweilige Bedeutung in Bezug auf den Graphen von $f.$
Veranschauliche in der Abbildung jeden der beiden Terme durch eine Gerade.
(3 BE)
#parabel#quadratischefunktion

Aufgabe P2

Aufgabe P3

Gegeben ist die symmetrische Wahrscheinlichkeitsverteilung einer binomialverteilten zufallsgröße $X$ mit der Standardabweichung $\sigma =2.$
a)
Stelle die Wahrscheinlichkeit $P(7\leq X \leq 10)$ in der Abbildung grafisch dar.
Gib den Erwartungswert der Zufallsgröße $X$ an.
(2 BE)
b)
Bestimme die Länge $n$ der Bernoullikette sowie die Erfolgswahrscheinlichkeit $p.$
(3 BE)
#bernoullikette#binomialverteilung

Aufgabe P4

a)
Weise nach, dass die linke Strebe senkrecht auf der Rohrleitung steht.
(3 BE)
b)
Gib die Koordinaten des in der $xy$-Ebene liegenden Punktes $B$ an.
(2 BE)
Bildnachweise [nach oben]
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#hilfsmittelfreieaufgaben
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Lösungen
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Aufgabe P1Pflichtteil

a)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung angeben
Der Scheitelpunkt der nach unten geöffneten Parabel hat die Koordinaten $(3\mid4).$ Mithilfe der Scheitelpunktform ergibt sich also folgende Gleichung:
$f(x)= a\cdot (x-3)^2 +4$
Der Faktor $a$ kann nun noch durch eine Punktprobe berechnet werden. Verwende beispielsweise den Punkt $P(1\mid 0),$ der sich gut ablesen lässt.
$\begin{array}[t]{rll} f(1)&=& 0 \\[5pt] a\cdot (1-3)^2 +4 &=& 0 \\[5pt] a\cdot 4 +4&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;-4 \\[5pt] a\cdot 4 &=& -4 &\quad \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt] a &=& -1 \end{array}$
$ a=-1 $
Eine Gleichung der Funktion $f$ ist also $f(x)= -(x-3)^2 +4.$
b)
$\blacktriangleright$  Bedeutung der Terme beschreiben
Der erste Term stellt einen Differenzenquotienten dar. Er beschreibt die Sekantensteigung der Sekante durch die Punkte $(1\mid f(1))$ und $(3\mid f(3))$ auf dem Graphen von $f.$
Der Term beschreibt also die durchschnittliche Steigung des Graphen von $f$ im Bereich $[1;3].$
Der zweite Term bildet über einen solchen Differenzenquotienten den Grenzwert für $x\to 4$. Dadurch wird das Intervall so weit verkleinert, dass sich die Länge dem Wert Null annähert.
Damit wird die Steigung des Graphen von $f$ an der Stelle $x=4$ bestimmt.
$\blacktriangleright$  Geraden einzeichnen
#steigung

Aufgabe P2

a)
$\blacktriangleright$  Graph zuordnen
$\begin{array}[t]{rll} f(0) &=& \mathrm e^{2\cdot 0} \\[5pt] &=& 1 \end{array}$
Der Graph von $f$ schneidet die $y$-Achse im Punkt $(0\mid 1).$ Dies trifft nur auf Graph $\text{I}$ zu. Graph $\text{I}$ gehört also zu $f.$
b)
$\blacktriangleright$  Parameterwert bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=& a\cdot f(x) \\[5pt] &=& a\cdot \mathrm e^{2\cdot x} \\[10pt] g'(x)&=& a\cdot 2\cdot \mathrm e^{2\cdot x} \end{array}$
Der vertikale Abstand der beiden Graphen von $g$ und $g'$ an der Stelle $x=0$ kann mithilfe der Differenz der Funktionswerte dargestellt werden:
$\begin{array}[t]{rll} g'(0) -g(0)&=& a\cdot 2\cdot \mathrm e^{2\cdot 0} - a\cdot \mathrm e^{2\cdot 0} \\[5pt] &=& 2\cdot a-a \\[5pt] &=& a \end{array}$
$ g'(0) -g(0) = a $
Damit der vertikale Abstand der beiden Graphen an der Stelle $x=0$ den Wert $3$ hat, muss also $a=3$ sein, da $a>0$ vorgegeben ist.

Aufgabe P3

a)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit grafisch darstellen
Pflichtteil
Abb. 2: Die Wahrscheinlichkeit wird durch die graue Einfärbung dargestellt
Pflichtteil
Abb. 2: Die Wahrscheinlichkeit wird durch die graue Einfärbung dargestellt
$\blacktriangleright$  Erwartungswert angeben
Der Erwartungswert ist der Wert mit der größten Wahrscheinlichkeit. Der Erwartungswert von $X$ ist also $\mu = 8.$
b)
$\blacktriangleright$  Länge der Bernoullikette und Erfolgswahrscheinlichkeit bestimmen
Der Abbildung kannst du entnehmen, dass die Wahrscheinlichkeiten symmetrisch zum Erwartungswert $k=8$ verteilt sind. Der kleinste Wert, den eine binomialverteilte Zufallsgröße annehmen kann ist immer $0.$
Wegen der Symmetrie ist also der höchst mögliche Wert $k=16.$ Also ist $n=16.$
Mithilfe der Formel für den Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße kannst du nun $p$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \mu&=& n\cdot p &\quad \scriptsize \mid\; \mu =8, n=16 \\[5pt] 8&=& 16\cdot p &\quad \scriptsize \mid\; :16 \\[5pt] 0,5&=& p \end{array}$
Die Erfolgswahrscheinlichkeit beträgt also $p=0,5.$
#erwartungswert

Aufgabe P4

a)
$\blacktriangleright$  Senkrechte Lage nachweisen
Der Verlauf der linken Strebe kann durch folgenden Richtungsvektor dargestellt werden:
$\overrightarrow{AC} = \pmatrix{-2\\-1\\2} $
Die Strebe und die Rohrleitung stehen senkrecht zueinander, wenn das Skalarprodukt der zugehörigen Vektoren Null ist:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AC} \circ \overrightarrow{r} &=& \pmatrix{-2\\-1\\2} \circ \pmatrix{0\\2\\1} \\[5pt] &=& -2\cdot 0 +(-1)\cdot 2 +2\cdot 1 \\[5pt] &=& 0 \end{array}$
$ \overrightarrow{AC} \circ \overrightarrow{r} = 0 $
Die linke Strebe steht also senkrecht auf der Rohrleitung.
b)
$\blacktriangleright$  Koordinaten angeben
Mithilfe der Symmetrie und der Lage der Rohrleitung ergeben sich die Koordinaten zu $B(-2\mid 5\mid 0).$
#skalarprodukt
Bildnachweise [nach oben]
[1],[2]
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