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Hauptteil 2

Aufgaben
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Aufgabe 1

Herr Lesegern hat mit seiner Klasse ein Buch gelesen. Er möchte wissen, wie es den Schülerinnen und Schülern gefallen hat.
Bewertung★ ☆ ☆ ☆ ☆★ ★☆ ☆ ☆★ ★ ★ ☆ ☆★ ★ ★ ★ ☆★ ★ ★ ★ ★
abgegebene Stimmen$4 $$2 $$1 $$6 $$ 7$
Bewertungabgegebene stimmen
★☆☆☆☆$4 $
★★☆☆☆$2 $
★★☆☆☆$1 $
★☆☆☆☆$6 $
☆☆☆☆☆$ 7$
a)
Berechne die durchschnittliche Bewertung des Buches.
2 P.
Die $25$ Schülerinnen und Schüler aus der Parallelklasse bewerten das Buch mit durchschnittlich $2$ Sternen.
b)
Ergänze die fehlenden Bewertungen.
Bewertung★ ☆ ☆ ☆ ☆★ ★☆ ☆ ☆★ ★ ★ ☆ ☆★ ★ ★ ★ ☆★ ★ ★ ★ ★
abgegebene Stimmen$4 $$ $$ $$5 $$ 6$
Bewertungabgegebene stimmen
★☆☆☆☆$4 $
★★☆☆☆$ $
★★☆☆☆$ $
★☆☆☆☆$5 $
☆☆☆☆☆$ 6$
2 P.
#durchschnitt

Aufgabe 2

Familie Kortland macht Urlaub in Kroatien. Die kroatische Währung heißt „Kuna“ (Kn).
Wechselkurs

$1~€\mathrel{\widehat{=}}7,26~\text{Kn}$
Wechselkurs

$1~€\mathrel{\widehat{=}}7,26~\text{Kn}$
Nach der Rückkehr tauscht Familie Kortland die restlichen $4530~\text{Kn}$ zurück. Sie erhält $71,72~€$.
c)
Berechne den Wechselkurs.
1 P.

Aufgabe 3

Eine Einzelkarte für das Freibad kostet $4,20~€$. Eine Zehnerkarte erhält man für $30~€$.
a)
Berechne die prozentuale Ersparnis beim Kauf einer Zehnerkarte im Vergleich zu $10$ Einzelkarten.
2 P.
Eine Klasse mit $27$ Schülerinnen und Schülern benötigt Eintrittskarten.
b)
Entscheide, ob es sich lohnt, drei Zehnerkarten zu kaufen.
2 P.

Aufgabe 4

Gegeben ist der Graph einer linearen Funktion.
Hauptteil 2
Abb. 1: Graph 1
Hauptteil 2
Abb. 1: Graph 1
c)
Finde eine Gerade, die keinen Schnittpunkt mit Graph $1$ hat. Gib ihre Funktionsgleichung an.
1 P.
#gerade

Aufgabe 5

Familie Bender möchte ihren Garten neu gestalten. Folgendes ist geplant:
Hauptteil 2
Abb. 2: Skizze nicht maßstäblich
Hauptteil 2
Abb. 2: Skizze nicht maßstäblich
Das Tarmpolin hat einen Durchmesser von $4~\text{m}$
a)
Berechne die Grundfläche des Trampolins.
1 P.
Für die Terasse sollen Holzdielen verlegt werden.
b)
Berechne die Fläche der Holzterasse.
2 P.
Die Holzdielen müssen in bestimmten Winkeln angesägt werden.
c)
Berechne die Größe der Winkel $\alpha$ und $\beta$.
3 P.
„Holzdiele terrafina massiv“
Länge: $400~\text{cm}$
Breite: $19,6~\text{cm}$
„Holzdiele terrafina massiv“
Länge: $400~\text{cm}$
Breite: $19,6~\text{cm}$
d)
Entscheide mithilfe einer Rechnung, ob der Einkauf für die Terasse ausreicht.
(Solltest du die Teilaufgabe b) nicht gelöst haben, rechne mit $17,53~\text{m}^2$ weiter.)
3 P.
#flächeninhalt

Aufgabe 6

Hauptteil 2
Abb. 3: Skizze nicht maßstäblich
Hauptteil 2
Abb. 3: Skizze nicht maßstäblich
Hauptteil 2
Abb. 4: Netz des Prismas
Hauptteil 2
Abb. 4: Netz des Prismas
#prisma#körpernetz

Aufgabe 7

Berechne die Höhe der Laterne.
Hauptteil 2
Abb. 5: Skizze nicht maßstäblich
Hauptteil 2
Abb. 5: Skizze nicht maßstäblich

Aufgabe 8

Matthias und Bajamin spielen: Jede Runde hat einen Gewinner, die Gewinnchancen sind gleich.
Das Spiel ist vorbei, sobald einer der beiden zwei Runden gewonnen hat.
Hauptteil 2
Abb. 6: Baumdiagramm
Hauptteil 2
Abb. 6: Baumdiagramm
$M$: Matthisas gewinnt die runde
$B$: Benjamin gewinnt die Runde
Ein anderes Baumdiagramm stellt dasselbe Spiel dar.
b)
Erkläre, warum die eingekreisten Ergänzungen unnötig sind.
1 P.
#baumdiagramm
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$  Durchschnittliche Bewertung berechnen
Addiere alle Bewertungen und teile sie durch die Anzahl der abgegebenen Stimmen. Für die Anzahl der abgegeben Stimmen gilt:
$4+2+1+6+7=20$
Für die Summe der Bewertungen musst du alle vergebenen Sterene zählen:
$4\cdot 1 + 2\cdot 2 + 1 \cdot 3+ 6 \cdot 4 +7 \cdot 5= 70$
$ …=70 $
Jetzt kannst du die durchschnittliche Bewertung berechnen:
$\dfrac{70}{20}=3,5$
Im Durchschnitt haben die Schüler das Buch mit $3,5$ Sternen bewertet.
b)
$\blacktriangleright$  Fehlende Bewertungen ergänzen
Von den $25$ abgegebenen Stimmen wurden schon $4+5+6=15$ auf $1$, $4$ und $5$ Steren verteilt. Es bleiben also noch $10$ Steren übrig die du verteilen musst. Führe eine Variable $x$ für die Stimmen mit $2$ Sterne Bewrtung ein. Demnach wurden $10-x$ Stimmen mit $3$ Sternen abgegeben. Stelle jetzt eine Gleichung auf mit der du $x$ berechnen kannst.
$\begin{array}[t]{rll} 3&=&\dfrac{4\cdot 1 + x \cdot 2 + (10-x) \cdot 3+5 \cdot 4 + 6 \cdot 5}{25} \\[5pt] 3&=&\dfrac{4 + 2x + 30-3x+20 + 30}{25}\\[5pt] 3&=&\dfrac{ -x+84}{25} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 25\\[5pt] 75&=& -x+84 &\quad \scriptsize \mid\; -84\\[5pt] -9&=& -x &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-1)\\[5pt] 9&=&x \end{array}$
$ x=9 $
Es gab also $9$ Stimmen mit $2$ Sternen und $10-9=1$ Stimme mit $3$ Sternen.
Alternativ kannst du auch verschiedene Zahlenpaare ausprobieren. Trage diese noch in die Tabelle ein:
Bewertung★ ☆ ☆ ☆ ☆★ ★☆ ☆ ☆★ ★ ★ ☆ ☆★ ★ ★ ★ ☆★ ★ ★ ★ ★
abgegebene Stimmen$4 $$9 $$1 $$5 $$ 6$
Bewertungabgegebene stimmen
★☆☆☆☆$4 $
★★☆☆☆$9$
★★☆☆☆$1 $
★☆☆☆☆$5 $
☆☆☆☆☆$ 6$
#gleichung

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$  Kuna berechnen
Da $1~€\mathrel{\widehat{=}}7,26~\text{Kn}$ sind, gilt für $1300~€$:
$\cdot 1300$
Hauptteil 2
$\begin{array}{rrcll} &1~€&\mathrel{\widehat{=}}&7,26~\text{Kn}\\[5pt] &1300~€&\mathrel{\widehat{=}}&9438~\text{Kn} \end{array}$ Hauptteil 2
$\cdot 1300$
$ \begin{array}{rrcll} &1~€&\mathrel{\widehat{=}}&7,26~\text{Kn}\\[5pt] &1300~€&\mathrel{\widehat{=}}&9438~\text{Kn} \end{array} $
Oder du kannst es auch direkt berechnen:
$ 7,26~\text{Kn} \cdot 1300 =9438~\text{Kn}$
Familie Kortland erhält $9438$ Kuna von der Wechselstube.
b)
$\blacktriangleright$  Mietpreis in Euro berechnen
Auch hier kannst du mithilfe des Wechselkurses einen Dreisatz nutzen:
$:7,26$
Hauptteil 2
$\begin{array}{rrcll} &7,26~\text{Kn}&\mathrel{\widehat{=}}&1~€\\[5pt] &1~\text{Kn}&\mathrel{\widehat{\approx}}&0,1377…~€\\[5pt] &4000~\text{Kn}&\mathrel{\widehat{\approx}}&550,96~€& \end{array}$ Hauptteil 2
$:7,26$
$\cdot 4000$
Hauptteil 2
Hauptteil 2
$\cdot 4000$
$\begin{array}{rrcll} &7,26~\text{Kn}&\mathrel{\widehat{=}}&1~€\\[5pt] &4000~\text{Kn}&\mathrel{\widehat{\approx}}&550,96~€& \end{array}$
Familie Kortland zahlt $550,96~€$ Miete für das Ferienhaus.
c)
$\blacktriangleright$  Wechselkurs berechnen
Auch hier kannst du einen Dreisatz nutzen:
$:71,72$
Hauptteil 2
$\begin{array}{rrcll} &71,72~€&\mathrel{\widehat{=}}&530~\text{Kn}\\[5pt] &1~€&\mathrel{\widehat{=}}&7,39~\text{Kn} \end{array}$ Hauptteil 2
$:71,72$
$ \begin{array}{rrcll} &71,72~€&\mathrel{\widehat{=}}&530~\text{Kn}\\[5pt] &1~€&\mathrel{\widehat{=}}&7,39~\text{Kn} \end{array}$
Der Wechselkurs nach dem Urlaub ist $1~€\mathrel{\widehat{=}}7,39~\text{Kn}$.
#dreisatz

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$  Prozentuale Ersparnis berechnen
Berechne zuerst den Preis für $10$ Einzelkarten:
$10\cdot 4,20~€=42~€$
Jetzt kannst du die Ersparnis der Zehnerkart berechnen:
$42~€-30~€=10~€$
Jetzt musst du noch $10~€$ von $42~€$ in Prozent angeben. Hierzu kannst du einen Dreisatz nutzen:
$:42$
Hauptteil 2
$\begin{array}{rrcll} &42~€&\mathrel{\widehat{=}}&100~\%\\[5pt] &1~€&\mathrel{\widehat{\approx}}&2,381..\\[5pt] &10~€&\mathrel{\widehat{\approx}}&28,57~\%& \end{array}$ Hauptteil 2
$:42$
$\cdot 12$
Hauptteil 2
Hauptteil 2
$\cdot 12$
$ \begin{array}{rrcll} &42~€&\mathrel{\widehat{=}}&100~\%\\[5pt] &1~€&\mathrel{\widehat{\approx}}&2,381..\\[5pt] &10~€&\mathrel{\widehat{\approx}}&28,57~\%& \end{array}$
Die prozentuale Ersparnis liegt bei $28,57~\%$.
b)
$\blacktriangleright$  Entscheide zwischen Einzel- und Zehnerkarten
Berechne den Preis $P$ für $3$ Zehnerkarten und für $27$ Einzelkarten und vergleiche diese:
$\begin{array}[t]{rll} P_{10er}&=&3\cdot 30~€&=&90~€ \\[5pt] P_{Einzel}&=&27\cdot 4,20~€&=&113,40~€ \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} P_{10er}&=&90~€ \\[5pt] P_{Einzel}&=&113,40~€ \end{array} $
Da die Zehnerkartenn deutlich billiger sind $90~€<113,40~€$ lohnt es sich für die Klasse $3$ Zehnerkarten zu kaufen.
#dreisatz#prozent

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung finden
Hauptteil 2
Abb. 1: Graph mit Steigungsdreieck
Hauptteil 2
Abb. 1: Graph mit Steigungsdreieck
b)
$\blacktriangleright$  Graph zeichnen
Hauptteil 2
Abb. 2: Graph $1$ und $2$
Hauptteil 2
Abb. 2: Graph $1$ und $2$
c)
$\blacktriangleright$  Gerade finden
Wenn zwei Geraden keinen Schnittpunkt haben, müssen sie parallel sein. Außerdem sind zwei Geraden parallel wenn sie die gleiche Steigung $m$ haben. In diesem Fall ist $m=1,5$. Mithilfe des $y$-Achsenabschnittes kannst du die Gerade hoch und runter schieben. Du kannst diesen frie wählen. Nur $b=2$ würde den selben Graphen wie Graph $1$ ergeben und ist somit nicht möglich.
Es gibt also unendlich viele Möglichkeiten, zum Beispiel:
$\begin{array}[t]{rll} y&=&1,5x+0 \\[5pt] y&=&1,5x+1 \\[5pt] y&=&1,5x+3 \\[5pt] y&=&1,5x-2 \\[5pt] \end{array}$
#steigung#graph#parallel

Aufgabe 5

a)
$\blacktriangleright$  Grundfläche des Trampolins berechnen
Da Trampolin hat die Form eines Kreises mit Durchmesser $d=4~\text{m}$. Für die Fläche gilt dann:
$\begin{array}[t]{rll} A_{Trampolin}&=&\pi\cdot \left(\dfrac{d}{2}\right)^2 \\[5pt] &=&\pi\cdot \left(\dfrac{4~\text{m}}{2}\right)^2 \\[5pt] &\approx&12,57~\text{m}^2 \end{array}$
b)
$\blacktriangleright$  Fläche der Holzterasse berechnen
Die Terasse hat die Form eines Dreiecks. Für die Fläche gilt damit:
$\begin{array}[t]{rll} A_{Terrasse}&=&\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot b \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2}\cdot 5,80~\text{m}\cdot 6,30~\text{m} \\[5pt] &=&18,27~\text{m}^2 \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} A_{Terrasse}&=&\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot b \\[5pt] &=&18,27~\text{m}^2 \end{array}$
c)
$\blacktriangleright$  Winkel $\alpha$ und $\beta$ berechnen
Du kannst die Winkel mithilfe des Tangens berechnen. Für $\alpha$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha)&=&\dfrac{6,3}{5,8} &\quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1} \\[5pt] \alpha&=&\tan^{-1}\left(\dfrac{6,3}{5,8}\right) \\[5pt] &=&47,37^{\circ} \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha)&=&\dfrac{6,3}{5,8} \\[5pt] &=&47,37^{\circ} \end{array} $
Für $\beta$ gilt mit der Winkelinnensumme:
$\beta=180^{\circ}-90^{\circ}-47,37^{\circ}=42,63^{\circ}$
$ \beta=42,63^{\circ} $
d)
$\blacktriangleright$  Entscheiden, ob der Einkauf ausreicht
Berechne die Fläche einer Holzdiele. Rechne in Metern, um dir das Umrechnen der Einheiten später zu erleichtern:
$A_{Diele}=4~\text{m}\cdot 0,196~\text{m}=0,784~\text{m}$
Jetzt kannst du die Fläche der $20$ Holzdielen berechen und mit der Fläche der Terrasse vergleichen:
$A_{Holz}=20\cdot 0,784~\text{m}=15,68~\text{m}$
Da die Terrasse mit $18,27~\text{m}^2>15,68~\text{m}^2$ ist, reicht der Einkauf nicht.
#rechteck#tangens#kreis#flächeninhalt#dreieck

Aufgabe 6

a)
$\blacktriangleright$  Höhe $h$ berechnen
Hauptteil 2
Abb. 3: Skizze mit eingezeichnetem Dreieck
Hauptteil 2
Abb. 3: Skizze mit eingezeichnetem Dreieck
$\begin{array}[t]{rll} (7~\text{cm})^2&=&h^2+(3,5~\text{cm})^2 &\quad \scriptsize \mid\; - (3,5~\text{cm})^2 \\[5pt] (7~\text{cm})^2-(3,5~\text{cm})^2&=&h^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{} \\[5pt] \sqrt{(7~\text{cm})^2-(3,5~\text{cm})^2}&=&h \\[5pt] 6,06~\text{cm}&\approx&h \end{array}$
$ h\approx 6,06~\text{cm} $
Die Höhe $h$ des Trapezes ist $6,06~\text{cm}$.
b)
$\blacktriangleright$  Volumen berechnen
Hauptteil 2
Abb. 4: Skizze
Hauptteil 2
Abb. 4: Skizze
$\begin{array}[t]{rll} G&=&2\cdot \dfrac{1}{2}\cdot 3,5~\text{cm}\cdot 6,06~\text{cm}+5~\text{cm}\cdot 6,06~\text{cm}\\[5pt] &=&51,51~\text{cm}^2 \end{array}$
$ G=51,51~\text{cm}^2 $
Für das Volumen des Prismas gilt dann:
$V=51,51~\text{cm}^2\cdot 5~\text{cm}=257,55~\text{cm}^3$
$ V=257,55~\text{cm}^3 $
Das Prisma hat ein Volumen von $257,55~\text{cm}^3$.
c)
$\blacktriangleright$  Falsche Fläche markieren
Der Boden des Prismas muss länger sein, als die Seitenflächen. Markiere also die falsche Seite:
Hauptteil 2
Abb. 5: Netz des Prismas mit markiertem Feld
Hauptteil 2
Abb. 5: Netz des Prismas mit markiertem Feld
#satzdespythagoras#dreieck#volumen

Aufgabe 7

$\blacktriangleright$  Lampenhöhe bestimmen
Mit dem Strahlensatz gilt:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{10,35~\text{m}}{2,70~\text{m}}&=&\dfrac{h}{1,80~\text{m}} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 1,80~\text{m} \\[5pt] \dfrac{10,35\cdot 1,80~\text{m}}{2,70}&=&h \\[5pt] 6,90~\text{m}&=&h \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} \dfrac{10,35~\text{m}}{2,70~\text{m}}&=&\dfrac{h}{1,80~\text{m}} \\[5pt] 6,90~\text{m}&=&h \end{array} $
Die Laterne ist also $6,90~\text{m}$ hoch.
#strahlensatz

Aufgabe 8

a)
$\blacktriangleright$  Pfad markieren
Hauptteil 2
Abb. 6: Markierter Pfad im Baumdiagramm
Hauptteil 2
Abb. 6: Markierter Pfad im Baumdiagramm
b)
$\blacktriangleright$  Erklären
Sobald ein Spieler zwei Runden gewonnen hat, hat er das gesamte Spiel gewonnen. Es bringt also nicht noch eine dritte Runde zu spielen, wenn ein Spieler schon die ersten beiden Runden gewonne hat.
#wahrscheinlichkeit
Bildnachweise [nach oben]
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