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Wahlaufgabe 2

Aufgaben
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Eine Baumarktkette bietet ein Gartenhaus an:
Wahlaufgabe 2
Abb. 1: Skizze nicht maßstäblich
Wahlaufgabe 2
Abb. 1: Skizze nicht maßstäblich
In Niedersachsen sind Gartenhäuser bis $40~\text{m}^3$ Gesamtvolumen baugenehmigungsfrei.
a)
Überprüfe rechnerisch, ob dieses Gartenhaus beugenehmigungsfrei ist.
3 P.
#volumen
Das Dach soll eingedeckt werden.
b)
Berechne die einzudeckende Dachfläche.
4 P.
#flächeninhalt
Für die Eindeckung mit Schiefer ist eine Mindestdachneigung von $\alpha\geq 22^{\circ}$ erforderlich.
c)
Überprüfe rechnerisch, ob diese Mindestdachneigung eingehalten wird.
3 P.
#winkel
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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Lösungen
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a)
$\blacktriangleright$  Baugenehmigung überprüfen
Um die Baugenehmigung überprüfen zu können, musst du das Volumen des Gartenhauses berechnen. Das Gartenhaus besteht aus einem Quader mit aufgesetzter Pyramide als Dach.
Für den Quader git:
$\begin{array}[t]{rll} V_{quader}&=&a\cdot b\cdot c \\[5pt] &=&4 ~\text{cm}\cdot 4~\text{cm} \cdot 2~\text{cm} \\[5pt] &=&32~\text{cm}^3 \end{array}$
Für die Pyramide mit quadratischer Grundfläche $G$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} V_{Dach}&=&\dfrac{1}{3}\cdot G\cdot h \\[5pt] &=&\dfrac{1}{3}\cdot 4~\text{cm} \cdot 4~\text{cm} \cdot 1~\text{cm} \\[5pt] &\approx&5,33 \end{array}$
Damit gilt für das Gesamtvolumen des Gartenhauses:
$V=V_{Quader}+V_{Dach}=32~\text{cm}^3+5,33~\text{cm}^3=37,33~\text{cm}^3$
$ V=37,33~\text{cm}^3 $
Dies ist kleiner als $40~\text{m}^3$ und somit zulassungsfrei.
#pyramide
b)
$\blacktriangleright$  Dachfläch berechnen
Die Dachfläche besteht aus $4$ gleichen Dreiecken. Für jedes dieser Dreiecke gilt:
$A=\dfrac{1}{2}\cdot g \cdot h$
Wobei Grundseite $g=4~\text{cm}$ gilt.
Die Höhe $h$ kannst du mit dem Satz des Pythagoras berechnen. Schaue dir dazu das mit Punkten eingezeichnetem Dreick an:
$\begin{array}[t]{rll} h^2&=&(1~\text{m})^2+\left(\dfrac{4~\text{m}}{2}\right)^2 \\[5pt] h^2&=&(1~\text{m})^2+(2~\text{m})^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{} \\[5pt] h&=&\sqrt{(1~\text{m})^2+(2~\text{m})^2} \\[5pt] &=&\sqrt{5~\text{m}^2} \\[5pt] &\approx&2,24~\text{m} \end{array}$
$ h \approx 2,24~\text{m} $
Jetzt kannst du die Fläche eines Drieecks berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} A_{Dreieck}&=&\dfrac{1}{2}\cdot 4~\text{m} \cdot 2,24~\text{m} \\[5pt] &=&4,48~\text{m}^2 \end{array}$
Und damit die Dachfläche:
$\begin{array}[t]{rll} A_{Dach}&=& 4~\cdot A_{Dreieck}\\[5pt] &=& 4~\cdot 4,48~\text{m}^2 \\[5pt] &=& 17,92~\text{m}^2 \end{array}$
#satzdespythagoras#dreieck#flächeninhalt
c)
$\blacktriangleright$  Mindestdachneigung überprüfen
Du kannst die Dachneigung im gepunkteten Dreiek mithilfe eines Sinus, Kosinus oder Tangens berechnen. Mit dem Tangens gilt:
$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha)&=&\dfrac{1~\text{m}}{2~\text{m}} &\quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1} \\[5pt] \alpha &=&\tan^{-1} \left(\dfrac{1}{2} \right)\\[5pt] &\approx& 26,57^{\circ} \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha)&=&\dfrac{1~\text{m}}{2~\text{m}}\\[5pt] \alpha &\approx& 26,57^{\circ} \end{array} $
Da dies größer als $22^{\circ}$ ist, wird die Mindestdachneigung eingehalten.
#tangens
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