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Pflichtteil

Aufgaben
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Aufgabe 1

Eine Schultüte hat folgende Maße:
$r= 15\,\text{cm},$ $h_K=60\,\text{cm}$
Berechne das Volumen der Schultüte.
(2 Punkte)

Aufgabe 2

Familie Richter fährt mit dem Wohnwagen in den Urlaub. Am ersten Tag fährt sie $375\,\text{km},$ am zweiten Tag $480\,\text{km}$ und am dritten Tag $342\,\text{km}.$
a)
Berechne, wie viele Kilometer Familie Richter durchschnittlich pro Tag gefahren ist.
(2 Punkte)
b)
Die reine Fahrzeit an allen drei Tagen zusammen betrug $28,5$ Stunden. Berechne die Durchschnittsgeschwindigkeit, mit der Familie Richter gefahren ist.
(Wenn du Aufgabe a nicht gelöst hast, rechne mit $1\,140\,\text{km}.$)
(2 Punkte)
#durchschnitt

Aufgabe 3

Eine Goldmedaille der Olympischen Spiele hat annähernd die Form eines Zylinders mit einem Durchmesser von $8,5\,\text{cm}$ und einer Höhe von $0,7\,\text{cm}.$
a)
Berechne das Volumen der Goldmedaille.
(2 Punkte)
Insgesamt wiegt diese Goldmedaille $500\,\text{g}.$ Sie besteht überwiegend aus reinem Silber und ist mit $6\,\text{g}$ Gold überzogen.
b)
Berechne, wie viel Prozent der Medaille aus Gold bestehen.
(2 Punkte)
Der Silberwert dieser Medaille beträgt $300\,€.$ $1\,\text{g}$ Gold kostet $38\,€.$
c)
Berechne den reinen Materialwert dieser Goldmedaille.
(2 Punkte)
#dichte#zylinder

Aufgabe 4

Die Abschlussfahrt der Jahrgangsstufe 10 steht bevor. Eine Abstimmung unter den betreffenden $150$ Schülerinnen und Schülern ergab:
Jeder fünfte möchte nach Florenz, $6\,\%$ würden lieber nach Brüssel fahren, die Hälfte ist für London und die restlichen Schüler haben sich für Oslo entschieden.
a)
Berechne, wie viele Schülerinnen und Schüler nach Florenz fahren möchten.
(1 Punkt)
b)
Gib die Anteile für alle Orte in Prozent an.
Notiere die Werte in der Tabelle.
FlorenzBrüsselLondonOslo
$6\,\%$
Florenz
Brüssel$6\,\%$
London
Oslo
(2 Punkte)
c)
Stelle die Anteile in einem Streifen- oder Säulendiagramm dar und beschrifte es.
(Wenn du Aufgabe b nicht gelöst hast, rechne mit: Brüssel $\mathrel{\widehat{=}} 6\,\%,$ London $\mathrel{\widehat{=}}60\,\%,$ Florenz$\mathrel{\widehat{=}}14\,\%$ und Oslo $\mathrel{\widehat{=}}20\,\%.$)
(2 Punkte)
#prozent

Aufgabe 5

Gegeben ist eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche mit $a=8\,\text{cm}$ und $h_K=7\,\text{cm}.$
Abb. 1: Zeichnung nicht maßstäblich
Abb. 1: Zeichnung nicht maßstäblich
a)
Berechne die Länge $h_a.$
(2 Punkte)
b)
Skizziere das Netz der Pyramide.
Trage die Werte ein, die du zur Berechnung der Oberfläche benötigst.
(2 Punkte)
c)
Berechne die Oberfläche der Pyramide.
(Wenn du Aufgabe a nicht bearbeitet hast, rechne mit $h_a = 8,14\,\text{cm}.$)
(3 Punkte)
d)
Wie ändert sich das Volumen einer Pyramide, wenn man die Kantenlänge $a$ verdoppelt und die Körperhöhe $h_K$ halbiert?
Kreuze an.
Das Volumen
halbiert sich.
bleibt gleich.
verdoppelt sich.
verdreifacht sich.
(1 Punkt)
#pyramide

Aufgabe 6

Notiere jeweils eine passende Gleichung. Du brauchst die Gleichungen nicht zu lösen.
a)
Auf einer Waage befinden sich grüne und weiße Kugeln sowie ein Gewichtsstück.
Jede grüne Kugel wiegt $x$ Kilogramm, jede weiße Kugel wiegt $y$ Kilogramm.
Gleichung:
(1 Punkt)
b)
$5$ Flaschen Apfelsaft und $3$ Dosen Cola kosten zusammen $5,80\,€.$
Gleichung:
(1 Punkt)
c)
Löse das folgende lineare Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&2x+y&=& 9 \\ \text{II}\quad&x+y&=& 7 \\ \end{array}$
(3 Punkte)
#gleichungssystem#gleichung

Aufgabe 7

In einem Karton befinden sich $4$ grüne und $8$ rote Kugelschreiber. Aus dem Karton wird nacheinander ohne hinzusehen jeweils ein Kugelschreiber gezogen.
Der entnommene Kugelschreiber wird nicht in den Karton zurückgelegt.
a)
Paul ist als Erster an der Reihe.
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass er einen grünen Kugelschreiber zieht.
(1 Punkt)
b)
Paul hat einen grünen Kugelschreiber gezogen. Jetzt ist Anna an der Reihe.
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass Anna einen roten Kugelschreiber zieht.
(1 Punkt)
c)
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass gleich zu Beginn zweimal hintereinander ein roter Kugelschreiber gezogen wird.
(2 Punkte)
d)
In einem anderen Karton befinden sich $4$ grüne , $6$ gelbe und $8$ rote Kugelschreiber.
Maren behauptet: „Ich muss $13$-mal ziehen, um sicher einen gelben Kugelschreiber zu erhalten.“
Hat Maren recht? Begründe.
(2 Punkte)
#wahrscheinlichkeit
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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Aufgabe 1

Eine Schultüte hat die Form eines Kegels. Du kennst den Radius $r=15\,\text{cm}$ und die Höhe $h_K=60\,\text{cm}$ des Kegels. Setze diese Angaben in die Formel für das Volumen eines Kegels ein:
$\begin{array}[t]{rll} V_K&=& \frac{1}{3}\cdot \pi\cdot r^2 \cdot h_K \\[5pt] &=& \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (15\,\text{cm})^2 \cdot 60\,\text{cm} \\[5pt] &=& 4\,500\pi \\[5pt] &\approx& 14\,137,17\,\text{cm}^3 \end{array}$
$ V_K \approx 14\,137,17\,\text{cm}^3 $
Das Volumen der Schultüte beträgt ca. $14\,137,17\,\text{cm}^3 .$
#kegel

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$  Durchschnittliche Strecke berechnen
Die Gesamtstrecke, die Familie Richter zurückgelegt hat, beträgt:
$375\,\text{km} +480\,\text{km} + 342\,\text{km} = 1\,197\,\text{km}$
$ … = 1\,197\,\text{km}$
Familie Richter ist drei Tage lang gefahren. Der Durchschnitt ist also:
$\dfrac{ 1\,197\,\text{km}}{3} = 399\,\text{km}$
Pro Tag ist Familie Richter durchschnittlich $399\,\text{km}$ gefahren.
b)
$\blacktriangleright$  Durchschnittliche Geschwindigkeit berechnen
In den drei Tagen ist Familie Richter insgesamt $ 1\,197\,\text{km}$ gefahren. Dafür hat sie $28,5\,\text{h}$ gebraucht. Die durchschnittliche Geschwindigkeit ist also:
$\dfrac{ 1\,197\,\text{km}}{28,5\,\text{h}} = 42\,\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$
Familie Richter ist mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von $42\,\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$ gefahren.

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$  Volumen berechnen
Die Medaille hat annähernd die Form eines Zylinders. Von diesem ist die Höhe $h= 0,7\,\text{cm}$ und der Durchmesser $d= 8,5\,\text{cm}$ bekannt. Aus dem Durchmesser kannst du den Radius bestimmen:
$r = \frac{d}{2} = \dfrac{8,5\,\text{cm}}{2} = 4,25\,\text{cm}$
$ r=4,25\,\text{cm} $
Mit der Formel für das Volumen eines Zylinders ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} V&=& \pi \cdot r^2 \cdot h \\[5pt] &=& \pi \cdot (4,25\,\text{cm})^2\cdot 0,7\,\text{cm} \\[5pt] &\approx& 39,72\,\text{cm}^3 \end{array}$
$ V\approx 39,72\,\text{cm}^3 $
Das Volumen der Goldmedaille beträgt ca. $39,72\,\text{cm}^3.$
b)
$\blacktriangleright$  Prozentanteil des Goldes berechnen
Die Goldmedaille wiegt insgesamt $500\,\text{g}.$ Davon sind $6\,\text{g}$ Gold.
Der Anteil ergibt sich also zu:
$\dfrac{6\,\text{g}}{500\,\text{g}} = 0,012 = 1,2\,\%$
Es bestehen $1,2\,\%$ der Medaille aus Gold.
c)
$\blacktriangleright$  Materialwert berechnen
Die Medaille besteht aus Silber und Gold. Das gesamte Silber ist insgesamt $300\,€$ wert. Es sind $6\,\text{g}$ Gold enthalten. $1\,\text{g}$ Gold ist $38\,€$ wert. Der Wert des Goldes ist also:
$6\cdot 38\,€ = 228\,€$
Der Gesamtwert ist also:
$300\,€ + 228\,€ = 528\,€$
Der Materialwert der Goldmedaille beträgt $528\,€.$

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$  Anzahl der Schülerinnen und Schüler für Florenz berechnen
Jeder fünfte der $150$ Schülerinnen und Schüler möchte nach Florenz, also $\frac{1}{5}$ von $150.$
$\frac{1}{5}\cdot 150 = 30$
$30$ Schülerinnen und Schüler möchten nach Florenz.
b)
$\blacktriangleright$  Tabelle vervollständigen
$\frac{1}{5}$ der Schülerinnen und Schüler möchten nach Florenz:
$\frac{1}{5} = 0,2 = 20\,\%$
Die Hälfte ist für London, also $50\,\%.$ Mit den gegebenen $6\,\%$ für Brüssel bleibt der Rest von den $100\,\%$ für Oslo:
$100\,\% -20\,\% -6\,\% -50\,\% = 24 \,\%$
$ … = 24\,\% $
FlorenzBrüsselLondonOslo
$\color{#87c800}{20\,\%}$$6\,\%$$\color{#87c800}{50\,\%}$$\color{#87c800}{24\,\%}$
Florenz$\color{#87c800}{20\,\%}$
Brüssel$6\,\%$
London$\color{#87c800}{50\,\%}$
Oslo$\color{#87c800}{24\,\%}$
c)
$\blacktriangleright$  Anteile in einem Diagramm darstellen
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Streifendiagramm
Abb. 2: Streifendiagramm
Abb. 2: Streifendiagramm

Aufgabe 5

a)
$\blacktriangleright$  Länge berechnen
Abb. 3: Skizze
Abb. 3: Skizze
Die Länge $h_a$ beträgt ca. $8,06\,\text{cm}.$
b)
$\blacktriangleright$  Netz der Pyramide skizzieren
Abb. 4: Skizze des Pyramidennetzes
Abb. 4: Skizze des Pyramidennetzes
c)
$\blacktriangleright$  Oberfläche berechnen
Die Oberfläche der Pyramide besteht aus einem Quadrat und vier gleichgroßen Dreiecken.
1. Schritt: Flächeninhalt des Quadrats berechnen
Das Quadrat hat die Seitenlänge $a=8\,\text{cm}.$
$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{Quadrat}}&=& a^2 \\[5pt] &=& (8\,\text{cm})^2 \\[5pt] &=& 64\,\text{cm}^2 \end{array}$
2. Schritt: Flächeninhalt eines Dreiecks berechnen
Die Grundseite des Dreiecks ist $a=8\,\text{cm}.$ Die zugehörige Höhe ist $h_a= 8,06\,\text{cm}.$
$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{Dreieck}}&=&\frac{1}{2}\cdot a\cdot h_a \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot 8\,\text{cm}\cdot 8,06\,\text{cm} \\[5pt] &=& 32,24\,\text{cm}^2 \end{array}$
$ A_{\text{Dreieck}} =32,24\,\text{cm}^2 $
3. Schritt: Oberfläche berechnen
$\begin{array}[t]{rll} O&=& A_{\text{Quadrat}}+4\cdot A_{\text{Dreieck}} \\[5pt] &=& 64\,\text{cm}^2+4\cdot 32,24\,\text{cm}^2\\[5pt] &=& 192,96\,\text{cm}\\[5pt] \end{array}$
$ O= 192,96\,\text{cm}$
Die Oberfläche der Pyramide ist $192,96\,\text{cm}.$
d)
$\blacktriangleright$  Änderung des Volumens bestimmen
Die Volumenformel für eine Pyramide ist:
$V= \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot h_K$
Da $a$ quadriert wird, gilt: Wird $a$ verdoppelt, vervierfacht sich das Volumen.
Wird die Höhe $h_K$ halbiert, halbiert sich auch das Volumen.
Wird beides angewendet, wird das Volumen also erst vervierfacht und dann wieder halbiert. Insgesamt verdoppelt sich das Volumen daher.
Die richtige Antwortmöglichkeit ist die dritte: Das Volumen verdoppelt sich.

Aufgabe 6

a)
$\blacktriangleright$  Gleichung aufstellen
Die Waage ist ausgeglichen. Das Gewicht aller Kugeln zusammen ist also $12\,\text{kg}.$
$3\cdot x +4\cdot y = 12$
b)
$\blacktriangleright$  Gleichung aufstellen
Bezeichne den Preis einer Flasche Apfelsaft mit $x$ und den Preis einer Dose Cola mit $y.$ Dann ergibt sich folgende Gleichung:
$5\cdot x +3\cdot y = 5,80\,€$
c)
$\blacktriangleright$  Gleichungssystem lösen
Du kannst beispielsweise das Additionsverfahren verwenden:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&2x+y&=& 9 &\quad \scriptsize\mid\; \text{I}-\text{II} \\ \text{II}\quad&x+y&=& 7 \\ \hline \text{I}'\quad & x & = & 2\\ \end{array}$
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&… \\ \text{II}\quad&… \\ \hline \text{I}'\quad & …\\ \end{array}$
Setze dies in $\text{II}$ ein:
$\begin{array}[t]{rll} \text{II}\quad x+y &=& 7 &\quad \scriptsize \mid\; x=2\\[5pt] 2 + y&=& 7 &\quad \scriptsize \mid\;-2 \\[5pt] y&=& 5 \end{array}$
$ y = 5 $
Die Lösung des linearen Gleichungssystems ist $x=2$ und $y=5.$

Aufgabe 7

a)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
In dem Karton befinden sich insgesamt $4+8=12$ Kugelschreiber. Davon sind $4$ grün. Die Wahrscheinlichkeit für einen grünen Kugelschreiber ist also $\frac{4}{12} = \frac{1}{3}. $
b)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Nachdem Paul schon einen grünen Kugelschreiber gezogen hat, befinden sich insgesamt noch $11$ Kugelschreiber im Karton. Von denen sind $8$ rot.
Die Wahrscheinlichkeit für einen roten Kugelschreiber ist also $\frac{8}{11}.$
c)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Es handelt sich um Ziehen ohne Zurücklegen. Mit der Pfadmultiplikationsregel ergibt sich:
$\frac{8}{12}\cdot \frac{7}{11} = \frac{56}{132 } = \frac{14}{33}$
Die Wahrscheinlichkeit für zwei rote Kugelschreiber beträgt $\frac{14}{33}.$
d)
$\blacktriangleright$  Marens Behauptung überprüfen
Damit Maren sicher einen gelben Kugelschreiber erhält, dürfen nur noch gelbe Kugelschreiber im Karton sein. Alle anderen Kugelschreiber müssen bereits gezogen worden sein. Es gibt $4+8=12$ Kugelschreiber, die nicht gelb sind. Es muss also $12$ mal gezogen werden bis nur noch gelbe Kugelschreiber im Karton sind. Spätestens beim $13.$ Zug wird dann sicher ein gelber Kugelschreiber gezogen.
Maren hat also recht.
#pfadregeln
Bildnachweise [nach oben]
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