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Wahlaufgabe 1

Aufgaben
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In einer Schokoladenfabrik werden Schokokugeln hergestellt.
Eine Schokokugel hat einen Durchmesser von $1,6\,\text{cm}.$
#kugel
a)
Berechne, wie viel $\text{cm}^3$ Schokolade zur Herstellung einer Schokokugel benötigt werden.
(2 Punkte)
b)
Berechne das Gewicht einer Schokokugel, wenn die Dichte der Schokolade $1,26\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}$ beträgt.
(Wenn du Aufgabe b nicht gelöst hast, rechne mit $V=2,3\,\text{cm}^3$)
(1 Punkt)
#dichte
c)
Die Schokokugeln sollen in Tüten zu $200\,\text{g}$ abgepackt werden. Berechne, wie viele Schokokugeln in eine Tüte gefüllt werden können.
Notiere einen Antwortsatz.
(Wenn du Aufgabe b nicht gelöst hast, rechne mit $m=2,68\,\text{g.}$)
(2 Punkte)
d)
Jede Schokokugel soll rundherum mit bunter Folie verpackt werden. Berechne, wie viel Folie man für eine Schokokugel benötigt, wenn pro Kugel $10\,\%$ Verschnitt hinzugerechnet werden muss.
(3 Punkte)
#prozent
e)
Die Formel zur Berechnung der Oberfläche einer Kugel lautet:
$O= 4\cdot \pi \cdot r^2$
Tim überlegt: „Wie verändert sich die Größe der Oberfläche, wenn man den Durchmesser der Kugel halbiert?“
Kreuze an, mit welcher der drei Formeln die neue Oberfläche berechnet wird.
Begründe deine Entscheidung.
$O=4\cdot \pi \cdot \frac{r^2}{2}$
$O= 4\cdot \pi \cdot \left( \frac{r}{2}\right)^2$
$O=4\cdot \pi \cdot \left(\frac{d}{2} \right)^2$
(2 Punkte)
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Lösungen
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a)
$\blacktriangleright$  Menge der Schokolade berechnen
Der Durchmesser der Kugel ist $d=1,6\,\text{cm},$ also ist der Radius $r= \frac{1,6\,\text{cm}}{2} = 0,8\,\text{cm}.$
Mit der Formel für das Volumen einer Kugel ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} V&=& \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^3 \\[5pt] &=& \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot (0,8\,\text{cm})^3 \\[5pt] &\approx& 2,14\,\text{cm}^3 \\[5pt] \end{array}$
Zur Herstellung einer Schokokugel werden $2,14\,\text{cm}^3$ Schokolade benötigt.
b)
$\blacktriangleright$  Gewicht der Schokokugel berechnen
Das Volumen der Schokokugel beträgt $2,14\,\text{cm}^3.$ Die Dichte ist $1,26\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}.$ Das Gewicht ist also:
$2,14\,\text{cm}^3 \cdot 1,26\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3} = 2,70\,\text{g}$
Das Gewicht der Schokokugel beträgt $2,70\,\text{g}.$
c)
$\blacktriangleright$  Anzahl der Kugeln pro Tüte berechnen
In eine Tüte passen $200\,\text{g}$ Schokokugeln. Jede Schokokugel wiegt ca. $2,70\,\text{g}.$
$200 : 2,70 \approx 74$
In eine Tüte können ca. $74$ Schokokugeln gefüllt werden.
d)
$\blacktriangleright$  Menge der benötigten Folie berechnen
Die Menge der Folie entspricht der Oberfläche der Schokokugel plus den Verschnitt, der hinzugerechnet werden muss.
1. Schritt: Oberfläche der Schokokugel berechnen
Mit der Formel für die Oberfläche einer Kugel folgt:
$\begin{array}[t]{rll} O&=& 4\cdot \pi \cdot r^2 \\[5pt] &=& 4\cdot \pi \cdot (0,8\,\text{cm})^2 \\[5pt] &\approx& 8,04\,\text{cm}^2 \\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Verschnitt berechnen
$10\,\%$ der Oberfläche der Kugel müssen als Verschnitt hinzugerechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{Verschnitt}}&=& O\cdot \frac{10\,\%}{100\,\%} \\[5pt] &=& 8,04\,\text{cm}^2 \cdot 0,1 \\[5pt] &\approx& 0,80\,\text{cm}^2 \end{array}$
3. Schritt: Benötigte Folienmenge berechnen
$8,04\,\text{cm}^2 + 0,80\,\text{cm}^2 = 8,84\,\text{cm}^2$
Pro Kugel werden ca. $8,84\,\text{cm}^2$ Folie benötigt.
e)
$\blacktriangleright$  Neue Formel bestimmen
Da der Durchmesser halbiert wird, wird auch der Radius $r$ halbiert. In die ursprüngliche Formel für die Oberfläche einer Kugel muss man also $ \frac{r}{2}$ an der Stelle für $r$ einsetzen. Dabei muss man darauf achten Klammern zu setzen.
$O= 4\cdot \pi \cdot \left( \frac{r}{2}\right)^2$
Die zweite Antwortmöglichkeit ist also die richtige.
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