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Wahlaufgabe 4

Aufgaben
Download als Dokument:PDF
Die Abbildung zeigt eine große Windkraft-Anlage.
Die Länge eines Flügels beträgt $58\,\text{m}.$
a)
Berechne, welche Strecke die Spitze eines Flügels bei einer Umdrehung zurücklegt.
(2 Punkte)
b)
Die Flügel drehen sich $14$-mal pro Minute.
Berechne, welche Strecke die Spitze eines Flügels in einer Stunde zurücklegt.
Gib das Ergebnis in $\text{km}$ an.
(Wenn du Aufgabe a nicht gelöst hast, rechne mit $u=362,50\,\text{m}.$)
(2 Punkte)
c)
„Ein Flügel bewegt sich an der Spitze schneller als in der Mitte.“
Ist diese Aussage richtig oder falsch? Begründe deine Antwort.
(2 Punkte)
#geschwindigkeit
d)
Der höchste Punkt, den die Spitzen der Flügel erreichen, beträgt $178\,\text{m}.$ Im Hochsommer wirft die Windkraft-Anlage dann einen Schatten von $490\,\text{m}$ Länge.
Fertige eine Skizze an und trage die bekannten Größen ein.
Berechne, unter welchem Winkel die Sonnenstrahlen auf den Boden treffen.
(3 Punkte)
Bildnachweise [nach oben]
[1]
Public Domain.
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Lösungen
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a)
$\blacktriangleright$  Zurückgelegte Strecke pro Umgebung berechnen
Die Spitze eines Flügels beschreibt einen Kreis, dessen Radius die Länge eines Flügels ist. Die gesuchte Streckenlänge ist also der Umfang des Kreises mit dem Radius $58\,\text{m}.$
$\begin{array}[t]{rll} u&=&2\cdot \pi\cdot r \\[5pt] &=& 2\cdot \pi\cdot 58\,\text{m} \\[5pt] &\approx& 364,42\,\text{m} \end{array}$
Die Spitze eines Flügels legt bei einer Umdrehung eine Strecke der Länge $364,42\,\text{m}$ zurück.
#kreis
b)
$\blacktriangleright$  Zurückgelegte Strecke pro Stunde berechnen
Bei jeder Umdrehung legt die Spitze eine Strecke der Länge $364,42\,\text{m}$ zurück. In einer Minute drehen sich die Flügel $14$-mal.
$14\cdot364,42\,\text{m} = 5\,101,88\,\text{m} $
Pro Minute wird also eine Strecke von $5\,101,88\,\text{m}$ zurückgelegt. Eine Stunde hat $60$ Minuten.
$60\cdot 5\,101,88\,\text{m} = 306\,112,80\,\text{m} \approx 306,11\,\text{km} $
$ … \approx 306,11\,\text{km} $
Pro Stunde legt die Flügelspitze ca. $306,11\,\text{km}$ zurück.
c)
$\blacktriangleright$  Aussage überprüfen
Die Spitze des Flügels legt bei einer Umdrehung eine längere Strecke zurück als die Mitte. In der gleichen Zeit legt also die Spitze eine längere Strecke zurück und ist damit schneller.
Die Aussage ist richtig.
d)
$\blacktriangleright$  Skizze anfertigen
Die Windkraftanlage steht im rechten Winkel auf dem Boden, also auch im rechten Winkel zum Schatten. Sie bilden gemeinsam mit den Sonnenstrahlen ein rechtwinkliges Dreieck.
Wahlaufgabe 4
Abb. 1: Skizze
Wahlaufgabe 4
Abb. 1: Skizze
$\blacktriangleright$  Winkel berechnen
Der Winkel, unter dem die Sonnenstrahlen auf den Boden auftreffen, ist $\alpha.$ Für $\alpha$ sind die Länge der Gegenkathete und die Länge der Ankathete bekannt. Du kannst also den Tangens verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} \tan \alpha &=& \dfrac{l_{\text{Gegenkathete}}}{l_{\text{Ankathete}}} \\[5pt] \tan \alpha &=& \dfrac{178\,\text{m}}{490\,\text{m}} &\quad \scriptsize \mid\;\tan^{-1} \\[5pt] \alpha &=& \tan^{-1} \left(\dfrac{178\,\text{m}}{490\,\text{m}}\right) \\[5pt] \alpha &\approx& 19,96^{\circ} \end{array}$
$ \alpha \approx 19,96^{\circ} $
Die Sonnenstrahlen treffen in einem Winkel von ca. $19,96^{\circ}$ auf den Boden.
#rechtwinkligesdreieck#tangens
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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