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Hauptteil 2

Aufgaben
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1.
Bei einer Umfrage wurden $1650$ Schülerinnen und Schüler befragt, welche Medien sie regelmäßig zur Kommunikation nutzen.
$54~\%$ der Befragten nutzten das Telefon regelmäßig zur Kommunikation.
a)
Berechne die Anzahl der Schülerinnen und Schüler.
2 P.
Die Schülerzeitung hat einen Teil der Ergebnisse veranschaulicht.
Diagramm
Abb. 1: Balkendiagramm
Diagramm
Abb. 1: Balkendiagramm
Karima meint: „Im Vergleich zu E-Mails werden Textnachrichten zur Kommunikation doppelt so oft genutzt.“
b)
Hat Karima die Ergebnisse der Umfrage richtig interpretiert? Begründe.
2 P.
#diagramm
2.
Stefan besitzt ein altes sparbuch mit einem festen Jahreszinssatz und einem Guthaben von $8532,86~€$. Nach einem Jahr werden $238,92~€$ Zinsen auf dem Sparbuch gutgeschrieben.
a)
Berechne den Jahreszinssatz
2 P.
Nach $3$ weiteren Jahren möchte sich Stefan von dem Geld auf dem Sparbuch ein Auto kaufen. Bis dahin nimmt er keine Ein- und Auszahlungen vor.
Um das Guthaben in $4$ Jahren zu ermitteln, hat sich Stefan folgende Rechnung notiert:
$8532,86~€+4\cdot 238,92~€=9488,54~€$
b)
Begründe, warum Stefan so nicht rechnen kann.
1 P.
c)
Berechne, über welchen Betrag Stefan am ende der $4$ Jahre verfügen kann.
(Solltest du Teilaufgabe a) nicht gelöst haben, rechne mit $p~\%=2,4~\%$ weiter.)
2 P.
#wachstum#exponentielleswachstum#zinssatz
3.
Die Grafik zeigt die Fahrpreise des Taxiunternehmens „Flott“.
Graph
Abb. 2: Fahrpreise
Graph
Abb. 2: Fahrpreise
Das Taxiunternehmen „Rasant“ berechnet den Fahrpreis mit der Funktionsgleichung $y=1,75x+2,5$.
c)
für eine Taxifahrt beim Unternehmen „Rasnat“ wurden $41,00~€$ gezahlt. Berechne die Länge der gefahrenen Strecke.
1 P.
d)
Ermittle, für welche gefahrene Strecke der Fahrpreis der beiden Taxiunternehmen gleich groß ist.
2 P.
#gerade
4.
Die Firma „Schokotarum“ hat eine neue Verpackung entwickelt.
Skizze
Abb. 3: Skizze nicht maßstäblich
Skizze
Abb. 3: Skizze nicht maßstäblich
a)
Zeichne das Natz der Verpackung.
2 P.
b)
Bei der Herstellung der Verpackung werden für die Klebelaschen und den Verschnitt $15~\%$ mehr Material benötigt. Berechne den Materialbedarf für eine Verpackung.
3 P.
#körpernetz#flächeninhalt
5.
In einem zylinderförmigen Gefäß wird eine Säure neutralisiert. Aus einem kegelförmigen Trichter tropft dazu eine Lauge in die Säure.
Skizze
Abb. 4: Skizze nicht maßstäblich
Skizze
Abb. 4: Skizze nicht maßstäblich
#volumen
6.
Skizze
Abb. 5: Skizze nicht maßstäblich
Skizze
Abb. 5: Skizze nicht maßstäblich
#rechtwinkligesdreieck
7.
Es werden zwei Würfel geworfen.
a)
Ergänze im folgenden Baumdiagramm in den Kreisen die Wahrscheinlichkeiten. Verwende Brüche.
undefined
Abb. 6: Baumdiagramm
undefined
Abb. 6: Baumdiagramm
1 P.
b)
Bestimme die Wahrscheinlichkeit für die Augensumme „$3$“.
2 P.
Hannah behauptet, dass beim Würfeln mit zwei Würeln die Augensumme „$4$“ häufiger erscheint, als die Augensumme „$3$“.
c)
Hat Hannah recht? Begründe.
2 P.
#baumdiagramm
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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1.
a)
$\blacktriangleright$  Anzahl der Schüler und Schülerinnen berechnen
Berechne $54~\%$ von $1650$ Schülerinnen und Schüler:
$54~\%\cdot 1650=0,54\cdot 1650=891$
$891$ Schülerinnen und Schüler nutzen das Telefon regelmäßig zur Kommunikation.
b)
$\blacktriangleright$  Karimas Aussage bewerten
Du kannst aus dem Balkendiagramm ablesen, dass etwa $34~\%$ der Schülerinnen und Schüler E-Mails und $48~\%$ Textnachrichten als Kommunikation nutzen. Da $48~\%$ nicht das doppelte von $34~\%$ sind, hat Karima die Ergebinisse nicht richtig gewertet
#prozent
2.
a)
$\blacktriangleright$  Jahreszinssatz berechnen
Für die Berechnung von Zinsen, kannst du die Gleichung für das exponentielle Wachstum benutzen:
$W_n=W_0\cdot \left(1+\dfrac{p}{100}\right)^n$
Zu Beginn hat Stefan $W_0=8532,86~€$ auf seinem Sparbuch. Nach $n=1$ Jahr ist ein Guthaben von
$W_n=8532,86~€+238,92~€=8771,78~€$
$ W_n=8771,78~€ $
vorhanden. Setze alles in die Gleichung ein und löse nach $p$ auf, um den Jahreszinssatz zu erhalten:
$\begin{array}[t]{rll} 8771,78~€&=&8532,86~€\cdot \left(1+\dfrac{p}{100}\right)^1 &\quad \scriptsize \mid\; :8532,86 \\[5pt] 1,0280~€&\approx&1+\dfrac{p}{100} &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] 2,80~€&\approx&p \end{array}$
$ p \approx 2,80~\% $
Der Jahreszinssatz ist $p=2,80~\%$
b)
$\blacktriangleright$  Begründen
Nach einem Jahr ist das Guthaben auf dem Sparbuch durch Zinsen gewachsen. Im nachfolgenden Jahr sind die Zinsen also höher als noch im Jahr zuvor. Stefan hat für die nächsten $4$ Jahre den selben Betrag für den Zins gewählt. Dies ist falsch, da er jedes Jahr mehr Zinsen bekommt.
c)
$\blacktriangleright$  Guthaben nach 4 Jahren berechnen
Nutze die gleiche Formel wie in Teilaufgabe a). Mit $W_0=8532,86~€$, $p=2,80$ und $n=4$ ergibt sich für das Guthaben nach $4$ Jahren:
$\begin{array}[t]{rll} W_4&=&8532,86~€ \cdot \left(1+\dfrac{2,80}{100}\right)^4 \\[5pt] &=&8532,86~€ \cdot 1,028^4 \\[5pt] &=&9529,43~€ \end{array}$
$ W_4=9529,43~€ $
Nach $4$ Jahren sind auf Stefans Sparbuch $9529,43~€$ Guthaben.
3.
a)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung angeben
Graph
Abb. 1: Graph mit Steigungsdreieck
Graph
Abb. 1: Graph mit Steigungsdreieck
b)
$\blacktriangleright$  Fahrpreis bestimmen
Setze $x=20$ in die Funktionsgleichung ein:
$y=1,5\cdot 20+5=35$
Der Fahrpreis für $20~\text{km}$ ist $35~€$.
c)
$\blacktriangleright$  Gefahrene Strecke berechnen
Setze $y=41$ in die Funktionsgleichung ein und löse nach $x$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} 41&=&1,75x+2,5 &\quad \scriptsize \mid\; -2,5 \\[5pt] 38,5&=&1,75x &\quad \scriptsize \mid\; :1,75 \\[5pt] 22&=&x \end{array}$
$ x=22 $
Die Strecke war $22~\text{km}$ lang.
d)
$\blacktriangleright$  Strecke für den gleichen Preis beider Unternehmen berechnen
Wenn die Fahrpreise gleich groß sein sollen, müssen die $y$ Werte übereinstimmen. Gesucht ist also den Schnittpunkt. Setze beide Funktionsgleichungen gleich und löse nach $x$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} 1,75x+2,5&=&1,5x+5 &\quad \scriptsize \mid\; -1,5x \\[5pt] 0,25x+2,5&=&5 &\quad \scriptsize \mid\; -2,5 \\[5pt] 0,25x&=&2,5 &\quad \scriptsize \mid\; :0,25 \\[5pt] x&=&10 \end{array}$
$ x=10 $
Bei einer Strecke von $10~\text{km}$ sind die Fahrpreise beider Unternehmen gleich mit $10~€$.
#gleichsetzungsverfahren
4.
a)
$\blacktriangleright$  Netz der Verpackung zeichnen
Skizze
Abb. 2: Verpackungsnetz
Skizze
Abb. 2: Verpackungsnetz
b)
$\blacktriangleright$  Materialbedarf berechnen
Berechne zuerst den Flächeninhalt der sichtbaren Verpackung, also deines Netzes.
Für die $3$ Rechtecke gilt:
$A_{Rechteck}= 2,5~\text{cm}\cdot 6~\text{cm}=15~\text{cm}^2$
$ A_{Rechteck}= 15~\text{cm}^2 $
Für die Fläche der Dreiecke gilt:
$A_{Dreieck}=\dfrac{1}{2}\cdot 2,5~\text{cm}\cdot 2,17~\text{cm}\approx 2,71~\text{cm}^2$
$ A_{Dreieck}\approx 2,71~\text{cm}^2$
Für die Verpackung gilt:
$A=3\cdot 15~\text{cm}^2+2\cdot 2,71~\text{cm}^2=50,42~\text{cm}^2$
$A=50,42~\text{cm}^2 $
Jetzt musst du noch den Materialbedarf für die Klebelaschen und den Verschnitt hinzufügen. Dieser beträgt $15~\%$ des berechnten Flächeninhaltes der Verpackung. Es werden also $115~\%$ an Material benötigt:
$Material=1,15\cdot 50,42~\text{cm}^2\approx 57,98~\text{cm}^2$
$ Material\approx 57,98~\text{cm}^2 $
#rechteck#dreieck
5.
a)
$\blacktriangleright$  Volumen der Lauge berechnen
Für das Volumen eines Kegels gilt:
$V=\dfrac{1}{3} \pi \cdot r^2 \cdot h$
Hier ist $r=\dfrac{10~\text{cm}}{2}=5~\text{cm}$ und $h=5~\text{cm}$
Damit gilt für das Volumen:
$V=\dfrac{1}{3}\cdot \pi\cdot (5~\text{cm})^2\cdot 5~\text{cm}\approx 130,90~\text{cm}^3$
$ V=\approx 130,90~\text{cm}^3$
b)
$\blacktriangleright$  Auf Überlaufen überprüfen
Berechne das noch freie Volumen im Zylinder. Dieses hat die Form eines Zylinders mit Höhe $h=5~\text{cm}$ und Durchmesser $d=6~\text{cm}$:
$\begin{array}[t]{rll} V_{frei}&=&\pi \cdot \left(\dfrac{d}{2}\right)^2 \cdot h \\[5pt] &=& \pi\cdot \left(\dfrac{6~\text{cm}}{2}\right)^2\cdot 5~\text{cm} \\[5pt] &\approx& 141,37~\text{cm}^3 \end{array}$
Da $141,37~\text{cm}^3>122,17~\text{cm}^3$ gilt, passt die benötigte Lauge in das Gefäß. Somit läuft dieses nicht über.
#zylinder#kegel
6.
a)
$\blacktriangleright$  Hypotenuse berechnen
Mit dem Satz des Pythagoras gilt für die Hypotenuse:
$\begin{array}[t]{rll} c^2&=&(3,4~\text{cm})^2+(5,8~\text{cm})^2 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{} \\[5pt] &=& \sqrt{(3,4~\text{cm})^2+(5,8~\text{cm})^2} \\[5pt] &\approx&6,72~\text{cm} \end{array}$
$ c=6,72~\text{cm} $
b)
$\blacktriangleright$  Winkel $\beta$ berechnen
Du kannst $\beta$ mithilfe von Sinus, Kosinus oder Tangens berechnen. Mit dem Tangens gilt:
$\begin{array}[t]{rll} \tan(\beta)&=&\dfrac{3,4~\text{cm}}{5,8~\text{cm}} &\quad \scriptsize \mid\;\tan^{-1} \\[5pt] \beta&=&\tan^{-1}\left(\dfrac{3,4}{5,8}\right) \\[5pt] &\approx& 30,38^{\circ} \end{array}$
$ \beta=30,38^{\circ} $
c)
$\blacktriangleright$  Passende Kathetenlängen bestimmen
Für die beiden Katheten muss der Statz des Pythagoras gelten:
$(8~\text{cm})^2=a^2+b^2$
Wähle für $a$ eine beliebige Länge zwischen $0$ und $8~\text{cm}$. Zum Beispiel mit $a=4~\text{cm}$ gilt für $b$:
$\begin{array}[t]{rll} (8~\text{cm})^2&=&(4~\text{cm})^2+b^2 \\[5pt] 64~\text{cm}^2&=&16~\text{cm}^2+b^2 &\quad \scriptsize \mid\;-16~\text{cm}^2 \\[5pt] 48~\text{cm}^2&=&b^2 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{} \\[5pt] 6,93~\text{cm}&\approx&b \end{array}$
$ b \approx 6,93~\text{cm} $
Eine mögliche Kombination sind $4~\text{cm}$ und $6,9~\text{cm}$.
#satzdespythagoras#kosinus#tangens#sinus
7.
a)
$\blacktriangleright$  Baumdiagramm ergänzen
Das Baumdiagramm zeigt das zweimalige Werfen eines Würfels. Die Wahrscheinlichkeit eine $1$ zu würfeln ist $\dfrac{1}{6}$. Auch biem zweiten Wurf verändert sich diese Wahrscheinlichkeit nicht. Somit gilt:
Baumdiagramm
Abb. 3: Ergänztes Baumdiagramm
Baumdiagramm
Abb. 3: Ergänztes Baumdiagramm
b)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für Augensumme 3 bestimmen
Die Augensumme $3$ kann bei $2$ Würfen durch eine $1$ und eine $2$ gewürfelt werden. Es ist jedoch egal, ob zuerst die $1$ oder zuerst die $2$ fällt. Berechne mit der Pfadmultiplikationsregel die Wahrscheinlichkeit der beiden Fälle:
$P(1;2)=\dfrac{1}{6}\cdot \dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{36}\\[5pt] P(2;1)=\dfrac{1}{6}\cdot \dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{36}$
Mit der Pfadadditionsregel kannst du Wahrscheinlichkeit für die Augensumme $3$ berechnen:
$P(\text{Summe }3)=\dfrac{1}{36}+\dfrac{1}{36}=\dfrac{2}{36}=\dfrac{1}{18}\approx 0,056=5,6~\%$
$ P(\text{Summe }3)=5,6~\% $
c)
$\blacktriangleright$  Hannahs Aussage bewerten
Die Augensumme $3$ kann beim Würfeln mit zwei Würfeln nur mit den Zahlen $1$ und $2$ gewürfelt werden. Die Augensumme $4$ lässt sich jedoch mit $1$ und $3$, sowie mit $2$ und $2$ würfeln.
Da beim Würfeln die Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse gleich sind, ist die Wahrscheinlichkeit umso größer, wenn es mehr Möglichkeiten gibt. Somit hat Hannah recht.
#pfadregeln
Bildnachweise [nach oben]
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