Wahlaufgabe 1

Begründe mithilfe des Bildes, dass eine Hohlkugel einen Außendurchmesser von $350~\text{cm}$ hat.

Berechne die Masse der Wand einer Hohlkugel mit $\rho_{Beton}=2,6~\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$.
Entscheide, ob die Hohlkugel mit einem LKW transportiert werden darf. (Solltest du Teilaufgabe b) nicht gelöst haben, rechne mit $V=4~200~00~\text{cm}^3$ weiter)

Stelle eine allgemeine Formel für die Berechnung des Volumens der Wand dieser Hohlkugel in Abhängigkeit von $r_a$ auf. Fasse die Formel soweit wie möglich zusammen.

$\blacktriangleright$  Außendurchmesser begründen Auf dem Foto erkennst du, dass ein Mädchen zwischen den beiden Hohlkugel steht. Dieses ist in etwa halb so groß, wie der Kugeldurchmesser. Dies würde $\dfrac{3,50~\text{m}}{2}=1,75~\text{m}$ entsprechen. Da dies eine „normale“ Größe ist, sollte ein Außendurchmesser von $350~\text{cm}$ stimmen.

$\blacktriangleright$  Volumen der Hohlkugelwand berechnen Berechne zuerst das Volumen einer Vollkugel mit einem Außendurchmesser von $350~\text{cm}$: $\begin{array}[t]{rll} V_{voll}&=&\dfrac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^3 \\[5pt] &=&\dfrac{4}{3}\cdot \pi \cdot (175~\text{cm})^3 \\[5pt] &\approx&22~449~298~\text{cm}^3 \end{array}$ Berechne jetzt den leeren Raum im Inneren. Der Radius dieser Kugel ist um $12,5~\text{cm}$ kleiner: $r=175~\text{cm}-12,5~\text{cm}=162,5~\text{cm}$ Für das Volumen gilt: $\begin{array}[t]{rll} V_{leer}&=&\dfrac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^3 \\[5pt] &=&\dfrac{4}{3}\cdot \pi \cdot (162,5~\text{cm})^3 \\[5pt] &\approx& 17~974~164~\text{cm}^3 \end{array}$ Das Volumen der Wand ist gerade die Differenz der Vollkugel und dem leeren Innenraum:

$\blacktriangleright$  Masse einer Hohlkugel berechnen Berechne zuerst das Gewicht einer Hohlkugel in Gramm $\text{g}$: $4475133\cdot 2,6~\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}\approx 11635346~\text{g}$ Jetzt musst du die Masse von Gramm $\text{g}$ in Tonnen $\text{t}$ umrechnen. Es gilt: $1000~\text{g}=1~\text{kg}$: $\dfrac{11635346}{1000}~\text{kg}\approx 11635~\text{kg}$ Außerdem gilt $1000~\text{kg}=1~\text{t}$: $\dfrac{11635}{1000}~\text{t}\approx 11,64~\text{t}$ Da der LKW nur mit $10~\text{t}$ beladen werden darf, kann die Hohlkugel nicht mit dem LKW transportiert werden.

$\blacktriangleright$  Allgemeine Formel aufstellen Der Innerradius $r_i$ dieser Kugel soll halb so groß wie der Außenradius $r_a$ sein, also gilt: $r_i=\dfrac{1}{2}\cdot r_a$ Um das Volumen des Wand zu berechnen, wird wieder das Volumen des Hohlraums vom Volumen der Vollkugel abgezogen: