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Teil A: Ohne Hilfsmittel

Aufgaben
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a)
Gegeben sind die Geraden
$g:\quad \overrightarrow{x}=\pmatrix{3\\-3\\3} +r\cdot \pmatrix{3\\0\\-1}$ mit $r\in \mathbb{R}$ und $h:\quad \overrightarrow{x}= \pmatrix{3\\-3\\3} + s\cdot \pmatrix{1\\0\\3}$ mit $s\in \mathbb{R}.$
(1)
Gib die Koordinaten des Schnittpunkts von $g$ und $h$ an.
Zeige, dass $g$ und $h$ senkrecht zueinander verlaufen.
(2 BE)
(2)
Die Ebene $E$ enthält die Geraden $g$ und $h.$
Bestimme eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform.
(4 BE)
#ebenengleichung#koordinatenform#zentraleraufgabenpool
b)
c)
#integral
d)
Betrachtet werden binomialverteilte Zufallsgrößen.
(1)
Die Zufallsgröße $X$ ist binomialverteilt mit $n=10$ und $p=0,8$. Eine der folgenden Abbildungen 3 bis 5 stellt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ dar.
Gib die beiden Abbildungen an, die die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ nicht darstellen. Begründe deine Angabe.
(4 BE)
(2)
Betrachtet wird die binomialverteilte Zufallsgröße $Y$ mit den Parametern $n$ und $p$.
Es gilt:
  • Der Erwartungswert von $Y$ ist 8
  • Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $Y$ ist symmetrisch
Ermittle den Wert von $n$.
(2 BE)
#zentraleraufgabenpool#binomialverteilung
Bildnachweise [nach oben]
[1]-[5]
© – SchulLV.
#hilfsmittelfreieaufgaben
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Lösungen
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a)
(1)
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Schnittpunkts angebenTeil A: Ohne Hilfsmittel
Die beiden Stützvektoren von $g$ und $h$ stimmen überein. Dieser beschreibt die Koordinaten eines Punkts auf der jeweiligen Geraden. Die beiden Geraden $g$ und $h$ haben also den gemeinsamen Punkt $P(3\mid -3\mid 3).$
$\blacktriangleright$  Senkrechten Verlauf zeigen
Die Geraden verlaufen senkrecht zueinander, wenn ihre Richtungsvektoren senkrecht zueinander verlaufen. Das ist der Fall, wenn ihr Skalarprodukt Null ergibt.
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{3\\0\\-1}\circ \pmatrix{1\\0\\3}&=&3\cdot 1 +0\cdot 0 -1\cdot 3 \\[5pt] &=& 0 \end{array}$
$ … = 0 $
Die beiden Geraden verlaufen also senkrecht zueinander.
(2)
$\blacktriangleright$  Ebenengleichung bestimmen
Ein Normalenvektor von $E$ kann über das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren der Geraden bestimmt werden:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n}&=& \pmatrix{3\\0\\-1}\times \pmatrix{1\\0\\3}\\[5pt] &=& \pmatrix{0\cdot 3 -(-1)\cdot 0\\ (-1)\cdot 1 -3\cdot 3 \\ 3\cdot 0 -0\cdot 1} \\[5pt] &=& \pmatrix{0\\-10\\0} \\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{n} = \pmatrix{0\\-10\\0}$
Du kannst den Stützpunkt der beiden Geraden $(3\mid -3\mid 3)$ für eine Punktprobe verwenden:
$\begin{array}[t]{rll} E:\quad 0x_1 -10x_2 +0x_3 &=& d &\quad \scriptsize \mid\; (3\mid -3\mid3) \\[5pt] -10\cdot (-3)&=& d \\[5pt] 30&=& d \end{array}$
$ d=30 $
Eine Gleichung in Koordinatenform von $E$ lautet:
$E:\quad -10x_2 = 30$
#kreuzprodukt#skalarprodukt
b)
(1)
$\blacktriangleright$  Begründen, dass es keinen gemeinsamen Punkt gibt
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& g(x) \\[5pt] \mathrm e^x +\frac{1}{2}x &=& \frac{1}{2}x-1 &\quad \scriptsize \mid\; -\frac{1}{2}x\\[5pt] \mathrm e^x&=& -1 \end{array}$
$ … \mathrm e^x = -1 $
Da $\mathrm e^x$ nicht negativ werden kann, besitzt die Gleichung $f(x)=g(x)$ also keine Lösung. Die beiden Graphen von $f$ und $g$ können daher keine gemeinsamen Punkte besitzen.
(2)
$\blacktriangleright$  Parameterwert berechnen
Der betrachtete Flächeninhalt kann mithilfe eines Integrals über der Differenzenfunktion $f-g$ beschrieben werden:
$\begin{array}[t]{rll} 3&=& \displaystyle\int_{0}^{1}\left(f(x)-g_c(x)\right)\;\mathrm dx \\[5pt] 3&=& \displaystyle\int_{0}^{1}\left(\mathrm e^x +\frac{1}{2}x -\left(\frac{1}{2}x-c\right)\right)\;\mathrm dx\\[5pt] 3&=& \displaystyle\int_{0}^{1}\left(\mathrm e^x+c\right)\;\mathrm dx \\[5pt] 3&=& \left[\mathrm e^x+cx \right]_0^1 \\[5pt] 3&=& \mathrm e^1+c\cdot 1 -\left(\mathrm e^0+c\cdot 0 \right) \\[5pt] 3&=& \mathrm e+c -1 &\quad \scriptsize \mid\; +1;-\mathrm e\\[5pt] 4-\mathrm e&=& c \\[5pt] \end{array}$
$ c=4-\mathrm e $
Es ist $c = 4-\mathrm e.$
c)
(1)
$\blacktriangleright$  Parameterwerte bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} 0&=& \displaystyle\int_{0}^{k}f(x)\;\mathrm dx \\[5pt] 0&=& \displaystyle\int_{0}^{k}\left(x^2-3 \right)\;\mathrm dx \\[5pt] 0&=& \left[\frac{1}{3}x^3 -3x \right]_0^k \\[5pt] 0&=& \frac{1}{3}\cdot k^3 -3\cdot k - \left(\frac{1}{3}\cdot 0^3 -3\cdot 0\right) \\[5pt] 0&=& \frac{1}{3}\cdot k^3 -3\cdot k \\[5pt] 0&=& k\cdot \left(\frac{1}{3}\cdot k^2 -3 \right) &\quad \scriptsize \mid\;k_1 =0 \\[5pt] 0 &=& \frac{1}{3}\cdot k^2 -3 &\quad \scriptsize \mid\;+3 \\[5pt] 3&=&\frac{1}{3}\cdot k^2 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 3\\[5pt] 9&=& k^2 \\[5pt] -3&=& k_2 \\[5pt] 3&=& k_3 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} k_1&=& 0 \\[5pt] k_2&=& -3 \\[5pt] k_3&=& 3 \end{array}$
Für $k_1=0,$ $k_2=-3$ und $k_3 = 3$ ist $\displaystyle\int_{0}^{k}f(x)\;\mathrm dx =0.$
(2)
$\blacktriangleright$  Parameterwerte angeben
Das Integral beschreibt eine Flächenbilanz. Diese ist dann negativ, wenn mehr als die Hälfte der Fläche unterhalb der $x$-Achse liegt und positive, wenn mehr als die Hälfte der Fläche oberhalb der $x$-Achse liegt. Mit den Ergebnissen von oben und der Abbildung folgt also:
  • Für $0< k < 3$ ist $\displaystyle\int_{0}^{k}f(x)\;\mathrm dx < 0.$
  • Für $ 3< k $ ist $\displaystyle\int_{0}^{k}f(x)\;\mathrm dx > 0.$
d)
(1)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeitsverteilung von $\boldsymbol{X}$ identifizieren
Die Zufallsgröße $X$ ist binomialverteilt mit $n=10$ und $p=0,8$. Folgende Diagramme stellen nicht die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ dar:
  • Diagramm 1 (Abbildung 3): Wegen $n=10$ kann die Wahrscheinlichkeit $P(X> 10)$ nicht größer als null sein.
  • Diagramm 3 (Abbildung 5): Bei einer binomialverteilten Zufallsvariable muss die Summe aller Wahrscheinlichkeiten genau $1$ ergeben. Die hier dargestellten Wahrscheinlichkeiten für $k=8$ und $k=9$ sind in Summe bereits größer als 1, deshalb ist hier keine Wahrscheinlichkeitsverteilung dargestellt.
(2)
$\blacktriangleright$  Parameter $\boldsymbol{n}$ berechnen
Die Zufallsgröße $Y$ ist binomialverteilt, wobei die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $Y$ symmetrisch ist. Damit folgt bereits der Parameter $p=0,5$.
Außerdem ist bekannt, dass der Erwartungswert von $Y$ 8 ist. Für den Erwartungswert gilt $E[Y]=n\cdot p$. Einsetzen ergibt:
$\begin{array}[t]{rll} 8&=&n\cdot 0,5&\quad \scriptsize \mid\; \cdot2\\[5pt] 16&=&n \end{array}$
$Y$ ist binomialverteilt mit $n=16$ und $p=0,5$.
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