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Teil 2

Aufgaben
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Aufgabe 1: Gartentrampolin

Sinas Familie hat ein Gartentrampolin (siehe Abbildung).
Teil 2
Teil 2
a)
Zeige, dass der Flächeninhalt des Sprungtuches ca. 4,7m² beträgt.
b)
Sina behauptet: „Das Gartentrampolin hat einen äußeren Durchmesser von 310$\;$cm.“
c)
Berechne den Flächeninhalt der Randabdeckung in m².
d)
Wie lang muss eine Leiter sein, wenn sie in einem Abstand von 50$\;$cm an das Gartentrampolin angebracht werden soll? Notiere deine Rechnung.
Sina und ihre Freunde veranstalten einen Sprungwettbewerb. Jeder darf 3-mal springen. Die drei Sprunghöhen werden in eine Tabelle eingetragen und der Mittelwert der drei Sprünge berechnet. Wer den höchsten Mittelwert erreicht, ist der Gewinner.
Name1. Sprung2. Sprung3. SprungMittelwert der Sprünge
Sina82$\;$cm97$\;$cm103$\;$cm94,00$\;$cm
Lena68$\;$cm76$\;$cm72$\;$cm72,00$\;$cm
Jens108$\;$cm79$\;$cm85$\;$cm90,67$\;$cm
e)
Überprüfe, ob der Mittelwert für Lena richtig angegeben ist.
f)
Lena behauptet: „Wer den höchsten Sprung erreicht, der erreicht auch immer den höchsten Mittelwert der Sprünge.“
Stimmt diese Behauptung? Begründe deine Antwort.

Aufgabe 2: Abschlussfahrt

Die Klasse 10$\;$a plant mit 30 Schülerinnen und Schülern sowie 2 Lehrkräften ihre Abschlussfahrt für 6 tage in die Hansestadt Hamburg. Sie haben folgendes Angebot herausgesucht:
Teil 2
Abb. 1: Hansestadt Hamburg
Teil 2
Abb. 1: Hansestadt Hamburg
a)
Begründe, dass die Klasse einen Rabatt von 3-mal 176,-$\;$€ erhält.
b)
Zeige durch eine Rechnung, dass die Klasse mit 32 Personen bei diesem Angebot insgesamt 5104$\;$€ zahlen muss.
c)
Uli behauptet: „Da jede 10. Person nichts zahlt, beträgt der Preisnachlass immer genau 10%.“
Zeige, dass Ulis Behauptung nicht stimmt.
Die Schülerinnen und Schüler planen eine Hafenrundfahrt. Sie möchten auch das Miniatur-Wunderland besuchen. Sie finden folgende Preisangaben:
HafenrundfahrtErwachsene:21,00$\;$€
Jugendliche (unter 18):10,50$\;$€
Miniatur-WunderlandErwachsene:13,00$\;$€
Jugendliche (unter 18):9,00$\;$€
HafenrundfahrtErwachsene:
Jugendliche (unter 18):
Miniatur-WunderlandErwachsene:
Jugendliche (unter 18):
Die Kosten für die Hafenrundfahrt und das Miniatur-Wunderland können so berechnet werden:
$\text{Kosten} = x \cdot (21,00 + 13,00) + y \cdot (10,50 + 9,00)$
$ \text{Kosten} =… $
d)
Gib die Bedeutung von $x$ und $y$ in dieser Rechnung an.
Zur Vorbereitung auf den Elternabend haben zwei Schülerinnen eine Kostenübersicht mit einer Tabellenkalkulation erstellt.
Teil 2
Teil 2
e)
In welcher Zelle steht der Betrag für die Gesamtkosten der Abschlussfahrt?
f)
Mit welcher Formel kann der Wert in Zelle E17 berechnet werden? Kreuze an:
Formelgeeignetnicht geeignet
= D16/30$\Box$$\Box$
= E6+E14$\Box$$\Box$
= D6/B6+C8+C11$\Box$$\Box$

Aufgabe 3: Smart-Home

Zum Steuern von Geräten mit ihrem Handy wurden 1002 Haushalte befragt:
  • Nutzen Sie bereits ein Handy zum Steuern der Geräte im Haushalt?
  • Planen Sie, Geräte mit dem Handy zu steuern?
  • Haben Sie Interesse an Informationen?
Teil 2
Teil 2
a)
5$\;$% der befragten Haushalte planen, Licht mit dem Handy zu steuern.
Wie viele Haushalte sind das?
b)
Entscheide mithilfe der Abbildung oben und kreuze entsprechend an.
trifft zutrifft nicht zunicht zu
beantworten
6$\;$ der befragten Haushalte planen,
ihre Heizkörper mit dem Handy zu steuern.
27 der 1002 Haushalte haben Interesse and Informationen,
um das Licht mit dem Handy zu steuern.
Alle Haushalte, die das Licht mit dem Handy steuern,
haben sich auch eine Webcam gekauft.
Jeder zwanzigste der befragten Haushalte nutzt bereits
ein Handy zum Steuern der Heizkörper.
6$\;$ der befragten Haushalte planen,
ihre Heizkörper mit dem Handy zu steuern.
27 der 1002 Haushalte haben Interesse and Informationen,
um das Licht mit dem Handy zu steuern.
Alle Haushalte, die das Licht mit dem Handy steuern,
haben sich auch eine Webcam gekauft.
Jeder zwanzigste der befragten Haushalte nutzt bereits
ein Handy zum Steuern der Heizkörper.
c)
Rund 32$\;$ der Haushalte haben Interesse an Informationen, um Heizkörper mit dem Handy zu steuern. Welches der folgenden vier Diagramme stellt dies dar? Begründe.
Teil 2
Teil 2
Im Jahr 2013 gab es in Deutschland 315.000 Haushalte, die ihr Handy zum Steuern von Geräten nutzen. Nach einer Schätzung kommen pro Jahr 90.000 Haushalte dazu.
Die Anzahl der Haushalte kann mit dieser Gleichung berechnet werden:
Anzahl der Haushalte = $90.000\cdot x + 315.000; x $ gibt die Anzahl der Jahre an.
d)
Bestimme, wie viele Haushalte drei Jahre später Geräte mit dem Handy steuern.
e)
Nach wie vielen Jahren werden mehr als 1 Million Haushalte Geräte mit dem Handy steuern?
Bildnachweise [nach oben]
[1]
https://www.flickr.com /photos/luxtonnerre /21725264/in/gallery-47086234@ N08-72157623334091206/lightbox/ – Hamburg_20050527_0508m, Lukas KURTZ, CC BY 2.0.
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Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt des Sprungtuchs berechnen
In der Abbildung siehst du, dass das Sprungtuch des Trampolins einem großen Kreis mit dem Durchmesser $d_S=244\,\text{cm}$ gleicht. Berechne den Flächeninhalt des Sprungtuchs mit der Formel für den Flächeninhalt eines Kreises. Diese lautet:
$A_K=\pi\cdot r^2$
$A_K=\pi\cdot r^2$
Dabei ist $r$ der Radius des Kreises. Der Radius entspricht dem halben Durchmesser. Um die Angabe von $\text{cm}^2$ in $\text{m}^2$ umzurechnen, musst du dein Ergebnis noch durch $10.000\,\dfrac{\text{cm}^2}{\text{m}^2}$ teilen.
b)
$\blacktriangleright$  Überprüfen ob die Behauptung stimmt
Um die Aussage von Sina zu überprüfen, musst du den äußeren Durchmesser des Gartentrampolins bestimmen. In der Abbildung siehst du den äußeren Durchmesser eingezeichnet. Du siehst, dass seine Länge aus der des Sprungtuchs und zwei $33\,\text{cm}$ Stücken der Randabdeckung besteht. Wenn du die Länge dieser Strecken errechnest, dann weißt du, wie groß der äußere Durchmesser $d_A$ ist.
c)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt der Randabdeckung berechnen
Wenn du in die Abbildung schaust, dann sieht du, dass du die Randabdeckung wie das Sprungtuch als einen Kreis beschreiben kannst. Ihm fehlt jedoch der innere Teil, der so groß ist wie das Sprungtuch. Um den Flächeninhalt der Randabdeckung zu berechnen, berechnest du den Flächeninhalt eines Kreises mit dem Radius von der Mitte des Trampolins zum äußeren Rand des Trampolins und ziehst davon den Flächeninhalt des Sprungtuchs ab.
d)
$\blacktriangleright$  Länge der Leiter berechnen
In der Abbildung siehst du, dass die Länge der Leiter mit dem eingezeichneten Abstand vom Trampolin und der Höhe des Trampolins ein rechtwinkliges Dreieck bildet. Dabei ist die Länge der Leiter die Grundseite. Du kannst sie mit dem Satz des Pythagoras berechnen. Dieser lautet:
Satz des Pythagoras: $c^2=a^2+b^2$
Satz des Pythagoras: $c^2=a^2+b^2$
Dabei ist $c$ die Grundseite des Dreiecks, also die Länge der Leiter. $a$ und $b$ sind der Abstand der Leiter zum Trampolin und die Höhe des Trampolins.
e)
$\blacktriangleright$  Mittelwert von Lena überprüfen
Überprüfe, ob der Mittelwert der Sprünge von Lena richtig angegeben ist, indem du ihn ausrechnest. Den Mittelwert berechnest du, indem du alle Sprunghöhen von Lena zusammenzählst und anschließend durch die Anzahl der Sprünge teilst.
f)
$\blacktriangleright$  Stellung zu Lenas Behauptung nehmen
Um die Aussage von Lena zu überprüfen kannst du einen Blick in die Tabelle werfen, ob die Person mit dem höchsten Sprung tatsächlich gewonnen hat. Vielleicht kannst du dir auch selbst eine Situation ausdenken in der die Person mit dem höchsten Sprung nicht gewinnt.

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$  Rabatt begründen
In der Anzeige steht, dass jeder $10.$ Teilnehmer nichts zahlt. Wie oft die Klasse diesen Rabatt bekommt hängt also von der Anzahl an Teilnehmern an der Klassenfahrt ab. Die Anzahl der Teilnehmer erhältst du, wenn du die Anzahl der Schülerinnen und Schüler und die Zahl der Lehrkräfte zusammenzählst. Anschließend musst du die Anzahl der Teilnehmer durch $10$ teilen. Da der Rabatt nur bei jeder $10.$ Person gewährt wird, musst du dein Ergebnis auf $3$ abrunden.
b)
$\blacktriangleright$  Kosten für die Klasse berechnen
Insgesamt nehmen $32$ Personen an der Reise Teil. Für $3$ von ihnen fällt der Grundpreis von $176\,€$ nicht an, der Rest bezahlt diesen. Es bezahlen also $32-3=29$ Personen den Grundpreis. Berechne die Kosten für die Klasse, indem du die Anzahl an zahlenden Teilnehmern mal den Grundpreis der Reise nimmst.
c)
$\blacktriangleright$  Zeigen, dass Ulis Behauptung nicht stimmt
Überprüfe Ulis Aussage, indem du selbst ausrechnest, wie viel Prozent die Klasse bei dem Angebot spart. Teile dazu den gesparten Betrag durch den Betrag, den die Klasse ohne das Rabattangebot bezahlen würde.
d)
$\blacktriangleright$  Die Bedeutung von $\boldsymbol{x}$ und $\boldsymbol{y}$ angeben
Betrachte die Gleichung und überlege dir, ob du einige Zahlen der Gleichung wiedererkennst und welche Bedeutung sie im Zusammenhang mit dem Ausflug haben. Das gibt dir einen Hinweis darauf, welche Bedeutung die Variablen haben.
e)
$\blacktriangleright$  Zelle mit dem Betrag der Gesamtkosten angeben
Um die richtige Zelle zu finden, musst du in der Tabellenkalkulation die Zelle suchen, an der sich die Zeile „Gesmtkosten“ und die Spalte „Gesamtpreis“ schneiden. Gib dabei die Zelle an, indem du den Buchstaben der Spalte, in der der Gesamtpreis für die Abschlussfahrt steht, und die Zahl der Zeile, in der dieser steht, angibst.
f)
$\blacktriangleright$  Richtige Formel ankreuzen
Um zu überprüfen, welche Formel für die Berechnung von Zelle $E\,17$ geeignet ist, musst du dir zuerst klar machen, was die Zahl in Zelle $E\,17$ aussagt und wie du sie am einfachsten berechnen kannst. Anschließend überprüfe für jede der vorgeschlagenen Formel, ob sie rein logisch zur richtigen Lösung führen.

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$  Anzahl an Haushalten berechnen
$5\,\%$ der befragten Haushalte planen das Licht im Haushalt mit dem Handy zu steuern. Um zu berechnen, wie viele Haushalte das sind, musst du die Prozentzahl in eine Dezimalzahl umrechnen und sie mit der Anzahl an befragten Haushalten multiplizieren. Wenn du aus der Prozentzahl eine Dezimalzahl machst, dann teilst du sie durch $100$ und lässt das $\%$-Zeichen weg. Multipliziere dein Ergebnis nun mit den $1.002$ befragten Haushalten.
b)
$\blacktriangleright$  Aussagen ankreuzen
Überprüfe mithilfe der Abbildung mit den Umfrageergebnissen, ob die Aussagen in der Tabelle zutreffen, nicht zutreffen oder nicht zu beantworten sind.
c)
$\blacktriangleright$  Richtiges Diagramm angeben
In den Kreisdiagramm ist jeweils ein grau gefärbter Bereich eingezeichnet, der den Prozentsatz an Haushalten darstellt, die Interesse an Informationen über die Steuerung der Heizkörper mit dem Handy haben. Du sollst das Diagramm angeben, welches die $32\,\%$ der Haushalte angibt. Dazu kannst du dir überlegen, welchen Prozentsätzen ein halber oder viertelser Kreis entspricht und anhand des eingefärbten Bereichs schätzen, ob das Diagramm zu den $32\,\%$ passt.
d)
$\blacktriangleright$  Anzahl an Haushalten bestimmen
Mit der angegebenen Formel kannst du die Anzahl an Haushalten ab dem Jahr $2013$ berechnen, die Geräte mit dem Handy steuern. Die Formel lautet:
$\text{Anzahl der Haushalte}=90.000\cdot x+315.000$
Dabei ist $x$ die Anzahl an Jahre nach $2013$. Setze für $x$ $3$ Jahre ein, um die Anzahl an Haushalten, die ein Gerät per Handy steuern, drei Jahre später zu berechnen.
e)
$\blacktriangleright$  Anzahl an Jahre bestimmen
Nun sollst du die Anzahl an Jahren bestimmen, nach denen über $1.000.000$ Haushalte ein Gerät mit dem Handy steuern. Dazu lässt du die Variable $x$ in der Formel und setzt für die Anzahl der Haushalte $1.000.000$ ein. Anschließend formst du nach $x$ um.
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Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt des Sprungtuchs berechnen
In der Abbildung siehst du, dass das Sprungtuch des Trampolins einem großen Kreis mit dem Durchmesser $d_S=244\,\text{cm}$ gleicht. Berechne den Flächeninhalt des Sprungtuchs mit der Formel für den Flächeninhalt eines Kreises. Diese lautet:
$A_K=\pi\cdot r^2$
$A_K=\pi\cdot r^2$
Dabei ist $r$ der Radius des Kreises. Der Radius entspricht dem halben Durchmesser. In diesem Falle also:
$\dfrac{244\,\text{cm}}{2}=122\,\text{cm}$
Berechne den Flächeninhalt des Sprungtuchs.
$\begin{array}[t]{rll} A_K&=&\pi\cdot r^2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen} \\[5pt] A_K&=&\pi\cdot (122\,\text{cm})^2\\[5pt] A_K&=&\pi\cdot 14.884\,\text{cm}^2\\[5pt] A_K&\approx&46.759,46\,\text{cm}^2 \end{array}$
Um die Angabe von $\text{cm}^2$ in $\text{m}^2$ umzurechnen, musst du dein Ergebnis noch durch $10.000\,\dfrac{\text{cm}^2}{\text{m}^2}$ teilen.
$46.759,46\,\text{cm}^2:10.000\,\dfrac{\text{cm}^2}{\text{m}^2}=4,68\,\text{m}^2$
Der Flächeninhalt des Sprungtuchs beträgt $4,68\,\text{m}^2$. Die Angabe, dass der Flächeninhalt des Sprungtuchs ca. $4,7\,\text{m}^2$ beträgt, stimmt.
b)
$\blacktriangleright$  Überprüfen ob die Behauptung stimmt
Um die Aussage von Sina zu überprüfen, musst du den äußeren Durchmesser des Gartentrampolins bestimmen. In der Abbildung siehst du den äußeren Durchmesser eingezeichnet. Du siehst, dass seine Länge aus der des Sprungtuchs und zwei $33\,\text{cm}$ Stücken der Randabdeckung besteht. Wenn du die Länge dieser Strecken errechnest, dann weißt du, wie groß der äußere Durchmesser $d_A$ ist.
$d_A=244\,\text{cm}+33\,\text{cm}+33\,\text{cm}=310\,\text{cm}$
Sinas Behauptung stimmt, das Gartentrampolin hat einen äußeren Durchmesser von $310\,\text{cm}$ Länge.
c)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt der Randabdeckung berechnen
Wenn du in die Abbildung schaust, dann sieht du, dass du die Randabdeckung wie das Sprungtuch als einen Kreis beschreiben kannst. Ihm fehlt jedoch der innere Teil, der so groß ist wie das Sprungtuch. Um den Flächeninhalt der Randabdeckung zu berechnen, berechnest du den Flächeninhalt eines Kreises mit dem Radius von der Mitte des Trampolins zum äußeren Rand des Trampolins und ziehst davon den Flächeninhalt des Sprungtuchs ab. Berechne zuerst den Radius des Randabdeckungskreises. Dazu teilst du den äußeren Durchmesser durch $2$.
$\dfrac{310\,\text{cm}}{2}=155\,\text{cm}$
Berechne jetzt den Flächeninhalt des Randabdeckungskreises.
$\begin{array}[t]{rll} A_R&=&\pi\cdot r^2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen} \\[5pt] A_R&=&\pi\cdot (155\,\text{cm})^2\\[5pt] A_R&=&\pi\cdot 24.025\,\text{cm}^2\\[5pt] A_R&\approx&75.476,76\,\text{cm}^2 \end{array}$
Ziehe von deinem Ergebnis nun den Flächeninhalt des Sprungtuchs ab.
$A_R-A_K=75.476,76\,\text{cm}^2-46.759,46\,\text{cm}^2=28,717,30\,\text{cm}^2$
$A_R-A_K=28,717,30\,\text{cm}^2$
Rechne dein Ergebnis zum Schluss noch in $\text{m}^2$ um, indem du durch $10.000$ teilst.
$\dfrac{28.717,30\,\text{cm}^2}{10.000}=2,87\,\text{m}^2$
Der Flächeninhalt der Randabdeckung beträgt $2,87\,\text{m}^2$.
d)
$\blacktriangleright$  Länge der Leiter berechnen
In der Abbildung siehst du, dass die Länge der Leiter mit dem eingezeichneten Abstand vom Trampolin und der Höhe des Trampolins ein rechtwinkliges Dreieck bildet. Dabei ist die Länge der Leiter die Grundseite. Du kannst sie mit dem Satz des Pythagoras berechnen. Dieser lautet:
Satz des Pythagoras: $c^2=a^2+b^2$
Satz des Pythagoras: $c^2=a^2+b^2$
Dabei ist $c$ die Grundseite des Dreiecks, also die Länge der Leiter. $a$ und $b$ sind der Abstand der Leiter zum Trampolin und die Höhe des Trampolins. Berechne die Länge der Leiter.
$\begin{array}[t]{rll} c^2&=&a^2+b^2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen} \\[5pt] c^2&=&(50\,\text{cm})^2+(75\,\text{cm})^2\\[5pt] c^2&=&2.500\,\text{cm}^2+5.625\,\text{cm}^2\\[5pt] c^2&=&8.125\,\text{cm}^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,}\\[5pt] c&\approx&90,14\,\text{cm} \end{array}$
$c\approx 90,14\,\text{cm}$
Die Leiter muss eine Länge von $90,14\,\text{cm}$ besitzen.
e)
$\blacktriangleright$  Mittelwert von Lena überprüfen
Überprüfe, ob der Mittelwert der Sprünge von Lena richtig angegeben ist, indem du ihn ausrechnest. Den Mittelwert berechnest du, indem du alle Sprunghöhen von Lena zusammenzählst und anschließend durch die Anzahl der Sprünge teilst. Berechne den Mittelwert der Sprünge von Lena.
$\dfrac{68\,\text{cm}+76\,\text{cm}+72\,\text{cm}}{3}=72\,\text{cm}$
Der Mittelwert der Sprünge von Lena beträgt $72\,\text{cm}$. Er wurde also richtig angegeben.
f)
$\blacktriangleright$  Stellung zu Lenas Behauptung nehmen
Lenas Aussage stimmt nicht. Ein Blick in die Tabelle zeigt, dass Jens mit $108\,\text{cm}$ den höchsten Sprung geschafft hat. Mit seinem Mittelwert von $90,67\,\text{cm}$ verliert er aber gegen Sina, die einen Mittelwert von $94\,\text{cm}$ erreicht hat.
Ein besonders hoher Sprung, wie der von Jens wirkt sich gut auf die Höhe des Mittelwerts der Sprünge aus. Es reicht jedoch nicht, um automatisch den höchsten Mittelwert zu erreichen, da noch die Höhe der zwei anderen Sprünge mit einbezogen werden. Wenn diese nicht hoch genug sind, dann hilft ein guter Wert auch nicht aus.

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$  Rabatt begründen
In der Anzeige steht, dass jeder $10.$ Teilnehmer nichts zahlt. Wie oft die Klasse diesen Rabatt bekommt hängt also von der Anzahl an Teilnehmern an der Klassenfahrt ab. Die Anzahl der Teilnehmer erhältst du, wenn du die Anzahl der Schülerinnen und Schüler und die Zahl der Lehrkräfte zusammenzählst.
$30\,\text{Schüler}+2\,\text{Lehrer}=32\,\text{Teilnehmer}$
Anschließend musst du die Anzahl der Teilnehmer durch $10$ teilen.
$\dfrac{32}{10}=3,2$
Da der Rabatt nur bei jeder $10.$ Person gewährt wird, musst du dein Ergebnis auf $3$ abrunden. Die Klasse 10a erhält den Rabatt also $3$ mal. Sie spart dabei den Grundpreis von $176\,€$ dreimal. Das entspricht dem angegebenen Rabatt.
b)
$\blacktriangleright$  Kosten für die Klasse berechnen
Insgesamt nehmen $32$ Personen an der Reise Teil. Für $3$ von ihnen fällt der Grundpreis von $176\,€$ nicht an, der Rest bezahlt diesen. Es bezahlen also $32-3=29$ Personen den Grundpreis. Berechne die Kosten für die Klasse, indem du die Anzahl an zahlenden Teilnehmern mal den Grundpreis der Reise nimmst.
$29\cdot176\,€=5.104\,€$
Der Preis, den die Klasse für die Reise bezahlen muss, beträgt bei diesem Angebot $5.104\,€$.
c)
$\blacktriangleright$  Zeigen, dass Ulis Behauptung nicht stimmt
Uli behauptet, dass der Preisnachlass immer $10\,\%$ betragen würde. Das tut es jedoch nur, wenn die Teilnehmeranzahl ein ganzzahliges Vielfaches von $10$ ist, da nur bei jedem $10.$ Teilnehmer der Grundpreis entfällt. Du kannst das am Beispiel der Klasse 10a nachrechnen. Berechne zuerst den Preisnachlass den die Klasse bekommen hat und teile ihn anschließend durch den Preis, den die Klasse ohne den Preisnachlass bezahlt hätte.
$3\cdot176\,€=528\,€$
$5.104\,€+528\,€=5.632\,€$
$\dfrac{528\,€}{5.632\,€}=0,09375$
Der Preisnachlass den die Klasse 10a bekommen hat entspricht also $9,375\,\%$. Damit kann Ulis Behauptung nicht stimmen.
d)
$\blacktriangleright$  Die Bedeutung von $\boldsymbol{x}$ und $\boldsymbol{y}$ angeben
Betrachten wir die Gleichung für die Kosten.
$\text{Kosten}=x\cdot(21,00+13,00)+y\cdot(10,50+9,00)$
Die Zahlen in den Klammern entsprechen den Eintrittspreisen in der Preisangabe. Dabei sind $21,00$ und $13,00$ in der linken Klammer die Eintrittspreise für Erwachsene, während $10,50$ und $9,00$ in der rechten Klammer die Eintrittspreise für die Jugendlichen (unter $18$) sind. Die Variable $x$ wird mit der linken Klammer multipliziert und steht demnach für die Anzahl an Erwachsenen, die an der Hafenrundfahrt und dem Besuch im Miniatur-Wunderland teilnehmen. Entsprechend steht die Variable $y$ für die Anzahl an Teilnehmenden Jugendlichen (unter $18$).
e)
$\blacktriangleright$  Zelle mit dem Betrag der Gesamtkosten angeben
Um die richtige Zelle zu finden, musst du in der Tabellenkalkulation die Zelle suchen, an der sich die Zeile „Gesmtkosten“ und die Spalte „Gesamtpreis“ schneiden. Gib dabei die Zelle an, indem du den Buchstaben der Spalte, in der der Gesamtpreis für die Abschlussfahrt steht, und die Zahl der Zeile, in der dieser steht, angibst.
Die Gesamtkosten der Abschlussfahrt stehen in Zelle $D\,16$.
f)
$\blacktriangleright$  Richtige Formel ankreuzen
Um zu überprüfen, welche Formel für die Berechnung von Zelle $E\,17$ geeignet ist, musst du dir zuerst klar machen, was die Zahl in Zelle $E\,17$ aussagt und wie du sie am einfachsten berechnen kannst. Anschließend überprüfe für jede der vorgeschlagenen Formel, ob sie rein logisch zur richtigen Lösung führen.
In Spalte $E$ steht „Kosten pro Person“ und in Zeile $17$ steht „pro Schüler/-in“. In Zelle $E\,17$ müssen also die Kosten pro Person für einen Schüler oder eine Schülerin stehen. Diese Zahl kannst du auf unterschiedliche Weisen berechnen. Entweder teilst du den Gesamtpreis, den die Schüler zusammen zahlen müssen, durch die Anzahl an Schüler oder du addierst die Kosten pro Person für die Schüler für das Jugendhotel und für die Ausflüge.
Betrachten wir die erste Formel.
$D\,16\,/\,30$
Zelle $D\,16$ enthält die Gesamtkosten für die Abschlussfahrt. Diese Gesamtkosten werden durch $30$, die Anzahl der Schüler geteilt. Die Gesamtkosten in Zelle $D\,16$ enthalten aber auch die Kosten für die Lehrkräfte. Demnach ist diese Formel nicht geeignet um Zelle $E\,17$ zu berechnen.
Betrachten wir die zweite Formel.
$E\,6+E\,14$
Zelle $E\,6$ enthält die Kosten pro Person für das Jugendhotel. Zelle $E\,14$ enthält die Kosten für die Ausflüge für einen Schüler oder eine Schülerin. Das entspricht genau einer der möglichen Lösungswege, die vorher formuliert wurden. Diese Formel ist geeignet um Zelle $E\,17$ zu berechnen.
Betrachten wir die dritte Formel.
$D\,6\,/\,B\,6+C\,8+C\,11$
Zelle $D\,6$ enthält den Gesamtpreis für die Übernachtung, Zelle $B\,6$ die Anzahl an übernachtenden Personen. Der Quotient dieser beiden Zahlen liefert die Kosten pro Person für die Übernachtung. Er entspricht also dem Wert in Zelle $E\,6$. Zelle $C\,8$ enthält den Einzelpreis für die Hafenrundfahrt für einen Schüler oder eine Schülerin, während in Zelle $C\,11$ der Eintrittspreis für das Miniatur-Wunderland für einen Schüler oder eine Schülerin steht. Im Endeffekt würden wir bei der Formel also die Summe der Preise für die Übernachtung, für die Hafenrundfahrt und den Eintritt für das Miniatur-Wunderland erhalten. Das entspricht im Endeffekt genau den Kosten, die ein Schüler oder eine Schülerin für die Abschlussfahrt bezahlen muss. Diese Formel ist ebenfalls geeignet, um Zelle $E\,17$ zu berechnen.

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$  Anzahl an Haushalten berechnen
$5\,\%$ der befragten Haushalte planen das Licht im Haushalt mit dem Handy zu steuern. Um zu berechnen, wie viele Haushalte das sind, musst du die Prozentzahl in eine Dezimalzahl umrechnen und sie mit der Anzahl an befragten Haushalten multiplizieren. Wenn du aus der Prozentzahl eine Dezimalzahl machst, dann teilst du sie durch $100$ und lässt das $\%$-Zeichen weg.
$\dfrac{5}{100}=0,05$
Multipliziere dein Ergebnis nun mit den $1.002$ befragten Haushalten.
$1.002\,\text{Haushalte}\cdot0,05=50,1\,\text{Haushalte}$
Dein Ergebnis darf aus logischen Gründen nur eine ganzzahlige Anzahl von Haushalten sein, deshalb rundest du dein Ergebnis auf $50$ Haushalte ab. Demnach planen $50$ Haushalte ihr Licht mit dem Handy zu steuern.
b)
$\blacktriangleright$  Aussagen ankreuzen
Überprüfe mithilfe der Abbildung mit den Umfrageergebnissen, ob die Aussagen in der Tabelle zutreffen, nicht zutreffen oder nicht zu beantworten sind.
„$\boldsymbol{6\,\%}$ der befragten Haushalte planen, ihre Heizkörper mit dem Handy zu steuern.“
Ein Blick in die Umfrageergebnisse bei „Heizkörper“ zeigt, dass $6\,\%$ der befragten Haushalte sich überlegen die Heizkörper mit dem Handy zu steuern. Die Aussage trifft zu.
„$\boldsymbol{27}$ der $\boldsymbol{1.002}$ Haushalte haben Interesse an Informationen, um das Licht mit dem Handy zu steuern.“
Ein Blick in die Umfrageergebnisse bei „Licht“ zeigt, dass $27\,\%$ der befragten Haushalte Interesse an Informationen über die Steuerung des Lichtes mit dem Handy haben. Um die Zahl der Haushalte zu berechnen, die Interesse an Informationen haben, rechne zuerst die Prozentzahl in eine Dezimalzahl um und multipliziere sie mit der Anzahl an Haushalten.
$\dfrac{27}{100}=0,27$
$1.002\cdot0,27=270,54$
Die Anzahl an Haushalten, die Interesse an Informationen geäußert haben, ist wesentlich größer als $27$. Die Aussage trifft nicht zu.
„Alle Haushalte, die das Licht mit dem Handy steuern, haben sich auch eine Webcam gekauft.“
In der Umfrage wurde nicht gefragt, welcher Haushalt sowohl Lichtsteuerung als auch eine Webcam besitzt. Die Aussage ist nicht zu beantworten.
„Jeder zwanzigste der befragten Haushalte nutzt bereits ein Handy zum Steuern der Heizkörper.“
Um diese Aussage bewerten zu können, musst du zuerst den Ausdruck „jeder zwanzigste“ in eine Prozentzahl umwandeln. Jeder zwanzigste besagt, dass $1$ von $20$ Haushalten, also $\dfrac{1}{20}$ aller Haushalte die Heizung mit dem Handy steuern. Erweitere den Bruch auf $100$ im Nenner und multipliziere ihn anschließend mit $100$, um die Dezimalzahl in eine Prozentzahl umzurechnen.
$\dfrac{1}{20}=\dfrac{1}{20}\cdot\dfrac{5}{5}=\dfrac{5}{100}$
$\dfrac{5}{100}\cdot100=5\,\%$
$5\,\%$ aller Haushalte steuern die Heizkörper also bereits über das Handy. Ein Blick in die Umfrage zeigt, dass dies mit den Umfrageergebnissen übereinstimmt. Die Aussage trifft zu.
c)
$\blacktriangleright$  Richtiges Diagramm angeben
In den Kreisdiagramm ist jeweils ein grau gefärbter Bereich eingezeichnet, der den Prozentsatz an Haushalten darstellt, die Interesse an Informationen über die Steuerung der Heizkörper mit dem Handy haben. Du sollst das Diagramm angeben, welches die $32\,\%$ der Haushalte angibt. Dazu kannst du dir überlegen, welchen Prozentsätzen ein halber oder viertelser Kreis entspricht und anhand des eingefärbten Bereichs schätzen, ob das Diagramm zu den $32\,\%$ passt.
Betrachten wir Diagramm $1$.
Der gefärbte Bereich ist deutlich kleiner als ein Viertelkreis. Ein Viertelkreis würde $25\,\%$ entsprechen. Die eingezeichnete Fläche beschreibt also weniger als $25\,\%$. Dieses Diagramm passt nicht.
Betrachten wir Diagramm $2$.
Der gefärbte Bereich ist deutlich größer als ein Viertelkreis und kleiner als ein Halbkreis. Ein Viertelkreis würde $25\,\%$ entsprechen, ein Halbkreis entspricht $50\,\%$. Die eingezeichnete Fläche beschreibt also mehr als $25\,\%$ und weniger als $50\,\%$. Dieses Diagramm würde passen.
Betrachten wir Diagramm $3$.
Der gefärbte Bereich entspricht einem Viertelkreis. Ein Viertelkreis würde $25\,\%$ entsprechen. Dieses Diagramm passt nicht.
Betrachten wir Diagramm $4$.
Der gefärbte Bereich ist etwas kleiner als ein Halbkreis. Ein Halbkreis würde $50\,\%$ entsprechen. Die eingezeichnete Fläche beschreibt also etwas weniger als $50\,\%$. Der eingefärbte Bereich ist zu groß, um den $32\,\%$ zu entsprechen. Dieses Diagramm passt nicht.
Von allen Diagrammen passt Diagramm $2$ am besten.
d)
$\blacktriangleright$  Anzahl an Haushalten bestimmen
Mit der angegebenen Formel kannst du die Anzahl an Haushalten ab dem Jahr $2013$ berechnen, die Geräte mit dem Handy steuern. Die Formel lautet:
$\text{Anzahl der Haushalte}=90.000\cdot x+315.000$
Dabei ist $x$ die Anzahl an Jahre nach $2013$. Setze für $x$ $3$ Jahre ein, um die Anzahl an Haushalten, die ein Gerät per Handy steuern, drei Jahre später zu berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} \text{Anzahl der Haushalte}&=&90.000\cdot x+315.000 &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen} \\[5pt] \text{Anzahl der Haushalte}&=&90.000\cdot 3+315.000\\[5pt] \text{Anzahl der Haushalte}&=&270.000+315.000\\[5pt] \text{Anzahl der Haushalte}&=&585.000\\[5pt] \end{array}$
$\text{Anzahl der Haushalte}=585.000$
Drei Jahre später steuern $585.000$ Haushalte ein Gerät mit dem Handy.
e)
$\blacktriangleright$  Anzahl an Jahre bestimmen
Nun sollst du die Anzahl an Jahren bestimmen, nach denen über $1.000.000$ Haushalte ein Gerät mit dem Handy steuern. Dazu lässt du die Variable $x$ in der Formel und setzt für die Anzahl der Haushalte $1.000.000$ ein. Anschließend formst du nach $x$ um.
$\begin{array}[t]{rll} \text{Anzahl der Haushalte}&=&90.000\cdot x+315.000 &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen} \\[5pt] 1.000.000&=&90.000\cdot 3+315.000 &\quad \scriptsize \mid\; -315.000\\[5pt] 685.000&=&90.000\cdot x &\quad \scriptsize \mid\; :90.000\\[5pt] 7,61&=&x\\[5pt] \end{array}$
$ x=7,61 $
Da die Anzahl der Jahre eine ganze Zahl sein muss, musst du dein Ergebnis auf $8$ aufrunden. $8$ Jahre nach $2013$ benutzen über $1.000.000$ Haushalte das Handy um ein Gerät zu steuern.
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