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Teil 2

Aufgaben
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Aufgabe 1: Kerzen

Für ein Schulfest sollen Kerzen hergestellt werden. Jannik kauft hierfür zwei Gießformen und Kerzenwachs.
Gießform B
a)
Benenne die geometrischen Formen der beiden Gießformen (Abbildung).
b)
Ein Kubikzentimeter $(\text{cm}^3)$ Kerzenwachs wiegt $0,92\,$ Gramm $(\text{g}).$
Wie viel Gramm Wachs werden für die Gießform A benötigt? Berechne.
c)
Jannik überlegt: „Wenn ich beide Gießformen komplett fülle, dann benötige ich für Gießform B nur $\frac{1}{3}$ des Kerzenwachses von Gießform A.“
Hat Jannik recht? Begründe deine Antwort.
d)
Jannik möchte $20$ gleich hohe Kerzen mit der Gießform A herstellen. Er hat $15\,\text{kg}$ Kerzenwachs, also $16\, 300\,\text{cm}^3$ Kerzenwachs gekauft.
Wie hoch werden die Kerzen? Berechne.
Für das Schulfest werden $15\,\text{cm}$ hohe Kerzen hergestellt. Jannik bestimmt die Brenndauer der Kerze aus Gießform A. Er stellt fest, dass die Kerze in zwei Stunden $2,5\,\text{cm}$ abbrennt. Er möchte herausfinden, wie lange die Kerze brennt.
e)
Ergänze die Tabelle.
Zeit in $\text{h}$$0 $$2$$4 $$ 6$
Länge der Kerze in $\text{cm}$$ 15$$12,5 $
Zeit in $\text{h}$Länge der Kerze in $\text{cm}$
$0 $$15 $
$2 $$12,5 $
$4 $
$6 $
f)
Zeichne den Graphen zu den Werten aus der Tabelle in das Koordinatensystem.
Bestimme mithilfe des Graphen: Nach wie vielen Stunden ist die Kerze vollständig abgebrannt?
#graph

Aufgabe 2: Pferdetraining

Teil 2
Abb. 4: Rennstrecke der Pferderennbahn mit Maßangaben
Teil 2
Abb. 4: Rennstrecke der Pferderennbahn mit Maßangaben
Sarah trainiert mit ihrem Pferd Atalntika auf der abgebildeten Rennstrecke (Abbildung). Die Rennstrecke ist aus zwei Geraden und zwei Halbkreisen zusammengesetzt. Der inenre Rand hat eine Länge von $1950\,\text{m}.$
a)
Der äußere Rand ist ca. $50\,\text{m}$ länger als der innere Rand der Rennstrecke.
Wie viel Prozent ist der äußere Rand länger? Notiere deine Rechnung.
b)
Zeige durch eine Rechnung, dass der innere Rand $1950\,\text{m}$ lang ist.
Sarah hat folgende Zeiten auf einer Strecke von $1950\,\text{m}$ gemessen (Tabelle).
Trainingslauf:Zeit:
1$2\,\text{min}\, 45,94\,\text{s}$
2$2\,\text{min}\, 46,75\,\text{s}$
3$2\,\text{min}\, 47,17\,\text{s}$
c)
Bestimme die Geschwindigkeit m ersten Trainingslauf in Meter pro Sekunde $\left(\frac{\text{m}}{\text{s}} \right).$
d)
Wie viele Sekunden war Atlantika im ersten Trianingslauf schneller als im letzten Trainingslauf?
e)
Sarah möchte die Zeit berechnen, die Atlantika im Durchschnitt für die drei Trainingsläufe gebraucht hat.
Sie hat drei Terme notiert. Nur ein Term ist richtig.
Kreuze an.
Termrichtigfalsch
$2\,\text{min}+\dfrac{45,94+46,75+47,17}{3}\,\text{s}$
$\dfrac{45,94+46,75+47,17}{3}\,\text{s}:2\,\text{min}$
$2\,\text{min}+\dfrac{45,94\cdot 46,75\cdot 47,17}{3}\,\text{s}$
#durchschnitt#prozent

Aufgabe 3: Geldscheine

Das Diagramm zeigt die Anzahl aller Euroscheine im Jahr 2015. alle Angaben sind in Millionen. 2015 gab es etwa $18\,500$ Millionen Euroscheine.
a)
Bestätige durch eine Rechnung, dass die Anzahl aller Euroscheine im Diagramm $18\, 500$ Millionen beträgt.
b)
Wie hoch ist der Gesamtwert aller $50$-Euro-Scheine in Euro? Berechne.
c)
Der Gesamtwert der $500$-Euro-Scheine beträgt etwa $300\, 000\, 000\, 000\,€.$
Wie kann dieser Betrag auch dargestellt werden? Kreuze an. Mehrere Angaben sind richtig.
janein
$3\cdot 10^{11}\,€$
$3\cdot 1^{11}\,€$
$300\cdot 10^9\,€$
$3^{11}\,€$
d)
Zeige, dass der Anteil der $50$-Euro-Scheine an allen Scheinen $44\,\%$ beträgt.
e)
#prozent#diagramm
Bildnachweise [nach oben]
[1]-[6]
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Lösungen
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Aufgabe 1: Kerzen

a)
$\blacktriangleright$  Geometrische Formen benennen
Die Gießform A besitzt eine quadratische Grundfläche. Es handelt sich daher um einen Quader.
Gießform $B$ besitzt ebenfalls eine quadratische Grundfläche, läuft dann aber spitz zu. Es handelt sich um eine quadratische Pyramide.
b)
$\blacktriangleright$  Menge des benötigten Wachses berechnen
1. Schritt: Volumen der Gießform berechnen
Mit der Formel für das Volumen eines Quaders ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} V_A&=& 7\,\text{cm}\cdot 7\,\text{cm}\cdot 20\,\text{cm} \\[5pt] &=& 980\,\text{cm}^3 \end{array}$
2. Schritt: Gewicht berechnen
$\cdot 980$
Teil 2
$\begin{array}{rrcll} & 1\,\text{cm}^3&\mathrel{\widehat{=}}& 0,92\,\text{g}\\[5pt] & 980\,\text{cm}^3&\mathrel{\widehat{=}}& 901,6\,\text{g} \end{array}$ Teil 2
$\cdot 980$
$ 980\,\text{cm}^3\mathrel{\widehat{=}} 901,6\,\text{g} $
Für die Gießform A werden $901,6\,\text{g}$ Wachs benötigt.
c)
$\blacktriangleright$  Mengen vergleichen
Für Gießform A werden $980\,\text{cm}^3$ Wachs benötigt. Das Volumen von Gießform B ergibt sich mit der Formel für das Volumen einer Pyramide:
$\begin{array}[t]{rll} V_B&=& \frac{1}{3}\cdot 7\,\text{cm}\cdot 7\,\text{cm}\cdot 20\,\text{cm} \\[5pt] &=& \frac{980}{3}\,\text{cm}^3 \\[5pt] &=& \frac{1}{3}V_A \end{array}$
$ V_B =\frac{1}{3}V_A $
Für Gießform B wird also tatsächlich nur $\frac{1}{3}$ des Kerzenwachses von Gießform A benötigt. Jannik hat also recht.
d)
$\blacktriangleright$  Höhe der Kerzen berechnen
Jannik möchte $20$ Kerzen herstellen und hat dazu $16\, 300\,\text{cm}^3$ Kerzenwachs zur Verfügung.
$16\, 300\,\text{cm}^3 : 20 = 815\,\text{cm}^3$
Für jede Kerze hat er also $815\,\text{cm}^3$ zur Verfügung. Die Grundfläche bleibt gleich groß wie zuvor. Gesucht ist nun die Höhe $h.$ Setzt man die Werte in die Volumenformel eines Quaders ein, erhält man eine Gleichung, die man nach $h$ lösen kann:
$\begin{array}[t]{rll} V&=& a\cdot a\cdot h \\[5pt] 815\,\text{cm}^3&=& 7\,\text{cm} \cdot 7\,\text{cm} \cdot h \\[5pt] 815\,\text{cm}^3&=& 49\,\text{cm}^2 \cdot h &\quad \scriptsize \mid\; : 49\,\text{cm}^2 \\[5pt] 16,6\,\text{cm}&\approx& h \end{array}$
$ 16,6\,\text{cm}\approx h $
Die Kerzen werden jeweils ca. $16,6\,\text{cm}$ hoch.
e)
$\blacktriangleright$  Tabelle ergänzen
Alle zwei Stunden nimmt die Höhe der Kerze um $2,5\,\text{cm}$ ab.
Zeit in $\text{h}$$0 $$2$$4 $$ 6$
Länge der Kerze in $\text{cm}$$ 15$$12,5 $$\color{#87c800}{10}$$\color{#87c800}{7,5}$
Zeit in $\text{h}$Länge der Kerze in $\text{cm}$
$0 $$15 $
$2 $$12,5 $
$4 $$\color{#87c800}{10}$
$6 $$\color{#87c800}{7,5}$
f)
$\blacktriangleright$  Graphen zeichnen
Trage die Werte aus der Tabelle in das Koordinatensystem ein und lege den Graphen durch die Punkte.
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt bestimmen
Die Kerze ist vollständig abgebrannt, wenn sie nur noch $0\,\text{cm}$ hoch ist, wenn der Graph also die $x$-Achse trifft. Dies ist nach $12$ Stunden der Fall.
Die Kerze ist nach $12$ Stunden vollständig abgebrannt.
#pyramide#dreisatz#quader

Aufgabe 2: Pferdetraining

a)
$\blacktriangleright$  Prozentsatz berechnen
Der innere Rand ist laut Aufgabenstellung ca. $1950\,\text{m}$ lang. Der äußere ist $50\,\text{m}$ länger.
$\dfrac{50\,\text{m}}{1950\,\text{m}} \approx 0,026 = 2,6\,\%$
Der äußere Rand ist ca. $2,5\,\%$ länger als der innere Rand.
b)
$\blacktriangleright$  Länge des inneren Randes nachweisen
Der innere Rand setzt sich aus zwei Halbkreisen mit dem Durchmesser $286,5\,\text{m}$ und zwei Strecken der Länge $525\,\text{m}$ zusammen.
Die beiden Halbkreise ergeben zusammen einen Kreis. Der Umfang eines Kreises wird mit folgender Formel berechnet:
$\begin{array}[t]{rll} U &=& d\cdot \pi \\[5pt] &=& 286,5\,\text{m}\cdot \pi \\[5pt] &\approx& 900,1\,\text{m} \end{array}$
Die Gesamtlänge ergibt sich daher zu:
$900,1\,\text{m} +2\cdot 525\,\text{m} = 1950,1\,\text{m} \approx 1950\,\text{m}$
$ .. \approx 1950\,\text{m}$
Der innere Rand ist also in etwa $1950\,\text{m}$ lang.
c)
$\blacktriangleright$  Geschwindigkeit berechnen
$\begin{array}[t]{rll} v&=& \dfrac{1950\,\text{m}}{2\,\text{min}\, 45,94\,\text{s}} \\[5pt] &=& \dfrac{1950\,\text{m}}{165,94\,\text{s}}\\[5pt] &\approx& 11,75\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \end{array}$
$ v\approx 11,75\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$
Im ersten Trianingslauf beträgt die Geschwindigkeit ca. $11,75\,\frac{\text{m}}{\text{s}}.$
d)
$\blacktriangleright$  Differenz der Dauer berechnen
$\begin{array}[t]{rll} & 2\,\text{min}\,47,17\,\text{s} - 2\,\text{min}\,45,94\,\text{s} \\[5pt] =&47,17\,\text{s} - 45,94\,\text{s}\\[5pt] =&1,23\\[5pt] \end{array}$
$ … = 1,23\,\text{s} $
Im ersten Trainingslauf war Atlantika $1,23$ Sekunden schneller als im letzten.
e)
$\blacktriangleright$  Term für die durchschnittliche Zeit auswählen
Für die Berechnung des Durchschnitts muss Sarah alle Zeiten addieren und durch die Anzahl der festgestellten Zeiten teilen.
$\begin{array}[t]{rll} &\dfrac{2\,\text{min}\,45,94\,\text{s} + 2\,\text{min}\,46,75\,\text{s} +2\,\text{min}\,47,17\,\text{s} }{3} \\[5pt] =& \dfrac{2\,\text{min}+2\,\text{min} +2\,\text{min} + 45,94\,\text{s} + 46,75\,\text{s} + 47,17\,\text{s} }{3} \\[5pt] =& \dfrac{3\cdot 2\,\text{min} + 45,94\,\text{s} + 46,75\,\text{s} + 47,17\,\text{s} }{3} \\[5pt] =& \dfrac{3\cdot 2\,\text{min}}{3}+\dfrac{ 45,94\,\text{s} + 46,75\,\text{s} + 47,17\,\text{s} }{3} \\[5pt] =& 2\,\text{min} + \dfrac{ 45,94\,\text{s} + 46,75\,\text{s} + 47,17\,\text{s}}{3} \\[5pt] \end{array}$
Der erste Term ist also der richtige. Die beiden anderen sind falsch.
Termrichtigfalsch
$2\,\text{min}+\dfrac{45,94+46,75+47,17}{3}\,\text{s}$
$\dfrac{45,94+46,75+47,17}{3}\,\text{s}:2\,\text{min}$
$2\,\text{min}+\dfrac{45,94\cdot 46,75\cdot 47,17}{3}\,\text{s}$
#geschwindigkeit#kreis

Aufgabe 3: Geldscheine

a)
$\blacktriangleright$  Anzahl aller Euroscheine bestätigen
Die Summe der im Diagramm angegebenen Anzahlen beträgt:
$1\,870 +2\,260 +3\,360 +8\,140 +2\,060 +200 +610 = 18\,500$
$ … = 18\,500 $
Diese Anzahlen sind in Millionen angebenen. Die Anzahl aller Euroscheine im Diagramm beträgt also $18\,500$ Millionen.
b)
$\blacktriangleright$  Wert der $\boldsymbol{50}$-Euro-Scheine berechnen
Es gibt insgesamt $8\,140$ Millionen $50$-Euro-Scheine.
$8\,140\,\text{Millionen}\cdot 50\,€ = 407\,000\,\text{Millionen}\,€ = 407\,000\,000\,000\,€$
$ … = 407\,000\,\text{Millionen}\,€$
Alle $50$-Euro-Scheine haben einen Gesamtwert von $407\,000\,000\,000\,€.$
c)
$\blacktriangleright$  Andere Darstellungsweisen ankreuzen
$3\cdot 10^{11} = 300\,000\,000\,000$
$3\cdot 1^{11} = 3$
$300\cdot 10^9 = 300\,000\,000\,000$
$3^{11} = 177\,147$
Die erste und die dritte Darstellung sind richtig, die anderen beiden sind falsch.
janein
$3\cdot 10^{11}\,€$
$3\cdot 1^{11}\,€$
$300\cdot 10^9\,€$
$3^{11}\,€$
d)
$\blacktriangleright$  Anteil der $\boldsymbol{50}$-Euro-Scheine nachweisen
Von $18\,500$ Millionen Scheinen sind $8\,140$ Millionen $50$-Euro-Scheine.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{8\,140}{18\,500}&=& 0,44 \\[5pt] &=& 44\,\%\\[5pt] \end{array}$
Der Anteil der $50$-Euro-Scheine an allen Scheinen beträgt $44\,\%.$
e)
$\blacktriangleright$  Winkel berechnen
Der Anteil der $50$-Euro-Scheine an allen Scheinen beträgt $44\,\%.$ Entsprechend muss der Winkel auch einem Anteil von $44\,\%$ am Gesamtkreis mit $360^{\circ}$ haben.
$:100$
Teil 2
$\begin{array}{rrcll} &360^{\circ}&\mathrel{\widehat{=}}&100\,\%\\[5pt] &3,6^{\circ}&\mathrel{\widehat{=}}&1\,\%\\[5pt] & 158,4^{\circ}&\mathrel{\widehat{=}}&44\,\%& \end{array}$ Teil 2
$:100$
$\cdot 44$
Teil 2
Teil 2
$\cdot 44$
$158,4^{\circ}\mathrel{\widehat{=}} 44\,\%$
Der Winkel muss $158,4^{\circ}$ groß sein.
$\blacktriangleright$  Anteil der $\boldsymbol{50}$-Euro-Scheine in das Diagramm einzeichnen
Teil 2
Abb. 2 Kreisdiagramm
Teil 2
Abb. 2 Kreisdiagramm
#dreisatz
Bildnachweise [nach oben]
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