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Aufgabe 1 - Analysis

Aufgaben
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1.1
Gegeben ist die Schar der Funktionen $f_a$ mit $f_{a}(x)=\dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{1}{1+a\cdot\mathrm{e}^{-x}}$, wobei der Wert des Parameters $a$ die positiven reellen Zahlen durchläuft.
Die Gleichung $f_a''(x)=\dfrac{3a^2 \cdot \mathrm{e}^x-3a\cdot \mathrm{e}^{2x}}{2 \cdot(a+\mathrm{e}^{x})^3}$ der zweiten Ableitung darf ohne Herleitung verwendet werden.
1.1.1
Bestimme mit Begründung die maximale Definitionsmenge der Funktion $f_a$ sowie die Grenzwerte der Funktion $f_a$ an den Rändern der maximalen Definitionsmenge.
#definitionsbereich#grenzwert
1.1.2
Weise nach, dass $f_a'(x)=\dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{a\cdot \mathrm{e}^x}{\left(a+\mathrm{e}^x\right)^2}$ eine Gleichung der ersten Ableitung der Funktion $f_a$ ist. Untersuche die Funktionen $f_a$ der Schar auf lokale Extrema.
#ableitung#extrempunkt
1.1.3
Zeige, dass jede Funktion $f_a$ der Schar genau einen Wendepunkt besitzt, nämlich den Punkt $W\left(\ln(a)\mid \frac{3}{4} \right)$. Für welchen Parameterwert liegt $W$ auf der $y$-Achse?
#wendepunkt
1.1.4
Bestimme zwei Parameterwerte $a_1$ und $a_2$ so, dass die beiden Wendepunkte $W_1$ und $W_2$ der zugehörigen Funktionsgraphen den Abstand $1$ voneinander haben.
1.2
Die Funktion $f_1$ der Schar aus Teilaufgabe 1.1 wird vereinfachend mit $f$ bezeichnet.
Die Funktionsgleichung lautet also $f(x)=\dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{1}{1+\mathrm{e}^{-x}}$.
Nachfolgend ist der Graph von $f$ dargestellt.
1.2.1
Begründe anhand des Graphen von $f$, dass die Funktion $f$ umkehrbar ist.
Leite die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion her und nenne die Definitionsmenge und die Wertemenge der Umkehrfunktion.
#umkehrfunktion
1.2.2
Zeige, dass $F(x)=\dfrac{3}{2}\cdot \ln\left(1+\mathrm{e}^x\right)$ die Gleichung einer Stammfunktion zu $f$ ist.
#stammfunktion
1.2.3
Der Graph der Funktion $f$, die $y$-Achse und die negative $x$-Achse des Koordinatensystems begrenzen eine Fläche, die einen endlichen Flächeninhalt besitzt.
Berechne diesen Flächeninhalt.
#flächeninhalt
1.3
Mit dem Graphen der Funktion $f$ mit $f(x)=\dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{1}{1+\mathrm{e}^{-x}}$ aus der Teilaufgabe 1.2 wird für $x\in[-6;8]$ die Profillinie eines ansteigenden Schneepistenabschnitts modelliert ($1 \text{ LE} \mathrel{\widehat{=}} 1 \text{ Meter}$), der in positiver $x$-Richtung durchfahren wird.
Auf dem im Modell durch $x\in[0;4]$ erfassten Bereich des Pistenabschnitts wird eine Schneerampe aufgeschüttet.
Diese kann dort durch das Geradenstück $r$ mit der Gleichung $r(x)=\frac{3}{8}x + \frac{3}{4}$ dargestellt werden.
Ein Snowboarder fährt die Rampe hoch und bewegt sich nach dem Absprung vom höchsten Punkt auf einer parabelförmigen Flugbahn. Im Modell wird die Flugbahn $p$ mit Hilfe der Gleichung $p(x)=-\frac{1}{4}(x-5)^2+\frac{5}{2}$ beschrieben.
1.3.1
Berechne das Volumen des zusätzlich benötigten Schnees je $1$ Meter Breite der Schneerampe.
(Anmerkung: Bei der Berechnung darf ein Rampenmodell mit ebener Schneeoberfläche betrachtet werden.)
#volumen
1.3.2
Zeige, dass die Flugbahn $p$ im Modell das Geradenstück $r$ mit einem „Knick“ fortsetzt.
1.3.3
Ermittle die maximale Höhe $h$ der Flugbahn $p$ in Bezug auf den Absprungpunkt.
1.3.4
Die $x$-Koordinate $x_L$ des Landepunktes $L$ des Snowboarders auf der Piste ist ungefähr $7,0$.
Begründe rechnerisch, dass die Piste dort nahezu horizontal verläuft.
Berechne unter dieser vereinfachenden Annahme den Winkel, unter dem der Snowboarder landet.
#winkel
1.3.5
Beschreibe ein Verfahren, mit dem du im Modell näherungsweise die $x$-Koordinate des Landepunkts $L$ des Snowboarders auf der Piste bestimmen kannst.
1.3.6
Ein weiterer Snowboarder befährt die Rampe. Seine sich an die Rampe anschließende parabelförmige Flugbahn $w$ setzt das Geradenstück $r$ „knickfrei“ fort. In einem horizontalen Abstand von $0,6$ Meter hinter dem Absprungpunkt erreicht diese Flugbahn ihren höchsten Punkt.
Bestimme einen parameterfreien Funktionsterm $w(x)$, mit dem die Flugbahn $w$ im modellierenden Koordinatensystem beschrieben werden kann.
Bildnachweise [nach oben]
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Tipps
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1.1.1
$\blacktriangleright$ Definitionsmenge angeben
In dieser Teilaufgabe sollst du die maximale Definitionsmenge $D_{ \text{max}}$ angeben. Die Funktion $f$ ist hierbei folgendermaßen gegeben:
$f(x)=\dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{1+a\cdot \mathrm{e}^{-x}}$
Bestimme also zunächst die Definitionslücken der angegebenen Funktionsgleichung. Definitionslücken treten an den Stellen auf, an denen der Nenner der Funktion Null wird.
$\blacktriangleright$ Grenzwerte bestimmen
Du sollst die Grenzwerte der Funktion an den Rändern der maximalen Definitionsmenge bestimmen. Bestimme aus der bereits zuvor angegebenen Definitionsmenge die jeweiligen Ränder und berechne anschließend die Grenzwerte an den Rändern.
1.1.2
$\blacktriangleright$ Ableitung nachweisen
Du sollst nachweisen, dass $f_a'(x)=\frac{3}{2} \cdot \dfrac{a\cdot e^{x}}{\left(a+e^x\right)^2}$ eine Gleichung der ersten Ableitung der Funktion $f_a$ ist. Bestimme die Ableitung der Funktionen $f_a$ unter der Verwendung der Quotientenregel. Die Quotientenregel lautet für $f(x)=\dfrac{g(x)}{h(x)}$:
$f'(x)=\dfrac{g'(x)\cdot h(x)-g(x) \cdot h'(x)}{(h(x))^2}$
$f'(x)=\dfrac{g'(x)\cdot h(x)-g(x) \cdot h'(x)}{(h(x))^2}$
$f'(x)=\dotsc$
$\blacktriangleright$ Lokale Extrema bestimmen
Du hast die Funktionen $f_a$ gegeben und sollst deren Graph auf Extrempunkte untersuchen. Für eine Extremstelle $x_E$ benötigst du die beiden folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\, f_a'(x_E)=0$
  • Hinreichendes Kriterium:
    • Ist $f_a''(x_E)> 0$, handelt es sich um eine Minimalstelle.
    • Ist $f_a''(x_E)< 0$, handelt es sich um eine Maximalstelle.
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $f_a'(x)=0$ setzt und nach $x$ löst.
  2. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $f_a''(x)$ einsetzt. So bestimmst du gleichzeitig die Art der Extrema.
1.1.3
$\blacktriangleright$ Wendepunkt nachweisen
Du sollst nachweisen, dass jede Funktion $f_a$ der Schar genau einen Wendepunkt besitzt und dass der Wendepunkt mit $W\left( \ln(a) \mid \frac{3}{4}\right)$ bestimmt ist.
Untersuche also die Graphen der Funktionen $f_a$ auf Wendepunkte. Für einen Wendepunkt $x_E$ benötigst du die beiden folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\, f''_a(x_E)=0$
  • Hinreichendes Kriterium:
    • Besitzt $f''_a(x)$ an der Stelle $x_E$ einen Vorzeichenwechsel, handelt es sich um einen Wendepunkt.
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $f''_a(x)=0$ setzt und nach $x$ löst.
  2. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du überprüfst, ob $f''(x)$ an der Stelle $x_E$ einen Vorzeichenwechsel besitzt.
  3. Berechne den Funktionswert von $f_a$ an der Wendestelle.
$\blacktriangleright$ Parameterwert bestimmen
Du sollst bestimmen, für welchen Parameterwert $a$ der Wendepunkt $W$ auf der $y$-Achse liegt. Dies ist der Fall falls die $x$-Koordinate des Wendepunktes $0$ beträgt. Du hast zuvor die $x$-Koordinate des Wendepunktes in Abhängigkeit des Parameters $a$ bestimmt. Setze die $x$-Koordinate des Wendepunktes mit $0$ gleich und löse nach dem Parameter $a$ auf.
1.1.4
$\blacktriangleright$ Parameterwerte bestimmen
Du sollst zwei Parameterwerte $a_1$ und $a_2$ so bestimmen, dass die beiden Wendepunkte $W_1$ und $W_2$ der zugehörigen Funktionsgraphen den Abstand $1$ voneinander haben. Die Wendepunkte besitzen jeweils unabhängig vom Parameterwert $a$ die $y$-Koordinate $\dfrac{3}{4}$. Das bedeutet, dass der Abstand der Wendepunkte zueinander genau dem Abstand der jeweiligen $x$-Koordinaten zueinander entspricht.
Setze hierbei beispielsweise den Parameterwert $a_1$ mit einem exakten Wert gleich und bestimme anschließend die $x_{W_2}$ Koordinate, sodass die Bedingung des Abstandes erfüllt ist.
1.2.1
$\blacktriangleright$ Umkehrbarkeit überprüfen
In dieser Teilaufgabe sollst du anhand des Graphen von $f$ begründen, dass die Funktion $f$ umkehrbar ist. Eine Funktion $f$ ist umkehrbar, falls der Graphen der Funktion stetig ist und zwei verschiedene $x$-Werte nicht den gleichen Funktionswert annehmen. Das bedeutet, dass die Funktion $f$ umkehrbar ist, falls die Steigung des Graphen von $f$ immer größer als Null ist.
An dem Graphen von $f$ kannst du erkennen, dass die Steigung immer größer als $0$ ist. Daraus folgt, dass die Funktion $f$ umkehrbar ist.
$\blacktriangleright$ Funktionsgleichung herleiten
Du sollst die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion herleiten. Die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion kannst du herleiten, indem du die Funktion $f(x)=y=\dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{1}{1+\mathrm{e}^{-x}}$ nach $x$ auflöst und anschließend $x$ und $y$ vertauschst.
$\blacktriangleright$ Definitions- und Wertemenge angeben
Du sollst die Definitions-und Wertemenge angeben. Hierbei gilt, dass $\ln(x)$ nur für $x>0$ definiert ist und die Wertemenge $\mathbb{R}$ besitzt.
Untersuche für welche $x$ der Ausdruck $\dfrac{3}{2x}-1>0$ ist.
1.2.2
$\blacktriangleright$ Stammfunktion zeigen
In dieser Teilaufgabe sollst du zeigen, dass $F(x)= \dfrac{3}{2} \cdot \ln\left(1 + \mathrm{e}^x\right)$ die Gleichung einer Stammfunktion zu $f$ ist. Hierzu kannst du die gegebene Stammfunktion ableiten und überprüfen, ob die Ableitung der Funktion $F'(x)=f(x)$ gilt, wobei $f(x)$ mit $f(x)=\dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{1+\mathrm{e}^{-x}}$ gegeben ist.
1.2.3
$\blacktriangleright$ Flächeninhalt berechnen
Du sollst den Flächeninhalt der Fläche berechnen, die der Graph der Funktion $f$, die $y$-Achse und die negative $x$-Achse des Koordinatensystems begrenzen. Somit sind die Grenzen mit $-\infty$ und $0$ gegeben. Du hast in der vorherigen Teilaufgabe bereits bestätigt, dass für die Gleichung der Stammfunktion $F(x)=\dfrac{3}{2}\cdot \ln\left(1+ \mathrm{e}^x\right)$ gilt.
Den gesuchten Flächeninhalt $A$ kannst du hierbei mit dem Hauptsatz der Integralrechnung berechnen. Dieser lautet:
$\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \; \mathrm dx= F(b) - F(a) $
$\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\; \mathrm dx= F(b) - F(a) $
Hierbei musst du beachten, dass $a=-\infty$ gilt. Da du $-\infty$ nicht als $x$-Wert in deine Funktionsgleichung von $F$ einsetzen kannst. Das bedeutet du musst den Grenzwert für $a \to -\infty$ betrachten.
1.3.1
$\blacktriangleright$ Volumen berechnen
Du sollst das Volumen des zusätzlich benötigten Schnees je $1$ Meter Breite der Schneerampe berechnen. Hierfür hast du gegeben, dass der Graph der Funktion $f$ mit $f(x)=\dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{1+\mathrm{e}^{-x}}$ für $x\in[-6;8]$ die Profillinie eines ansteigenden Schneepistenabschnitts modelliert.
Desweiteren wird im Bereich $x\in[0;4]$ eine Schneerampe aufgeschüttet. Diese Schneerampe kann durch das Geradenstück $r$ mit der Gleichung $r(x)=\dfrac{3}{8}x+\dfrac{3}{4}$ dargestellt werden.
Du musst somit die Fläche berechnen, welche der Graph der Funktion $f$ und das Geradenstück $r$ im Bereich $x\in[0;4]$ einschließen. Der Flächeninhalt einer Fläche zwischen zwei Graphen lässt sich mit folgender Formel berechnen:
$A = \left|\displaystyle\int_{a}^{b}\left(f(x)-g(x)\right)\mathrm dx \right| $
$A $=$ \left|\displaystyle\int_{a}^{b}\left(f(x)-g(x)\right)\mathrm dx \right| $
Anschließend musst du den berechneten Flächeninhalt mit $1$ Meter Breite der Schneerampe multiplizieren und du erhältst das gesuchte Volumen.
1.3.2
$\blacktriangleright$ Flugbahn begründen
Du sollst zeigen, dass die Flugbahn $p$ im Modell das Geradenstück $r$ mit einem „Knick“ fortsetzt. Ein Knick entsteht, wenn die Steigungen der beiden Graphen an dem Punkt nicht identisch sind. Das Geradenstück $r$ stellt die aufgeschüttete Schneerampe im Bereich $[0;4]$ dar. Der Snowboarder springt hierbei am höchsten Punkt auf der Rampe ab.
Der Absprungpunkt des Snowboarders befindet sich somit an der Stelle $x=4$. Die Flugbahn wird anschließend mit Hilfe der Gleichung $p(x)=-\dfrac{1}{4}(x-5)^2 + \dfrac{5}{2}$ beschrieben.
Du musst zeigen, dass die Steigungen der Gerade $r$ und die Steigung der Flugbahn $p$ nicht übereinstimmen. Die Gerade $r$ ist mit der Funktionsgleichung $r(x)=\dfrac{3}{8}x+\dfrac{3}{4}$ gegeben.
1.3.3
$\blacktriangleright$ Maximale Höhe ermitteln
In dieser Teilaufgabe sollst du die maximale Höhe $h$ der Flugbahn $p$ ermitteln in Bezug auf den Absprungpunkt. Du hast gegeben, dass die Flugbahn $p$ parabelförmig ist und sollst die maximale Höhe $h$ ermitteln. Du sollst somit die Koordinaten des Hochpunktes der Flugbahn bestimmen. Dadurch hast du die maximale Höhe $h_{max}$ der Flugbahn bestimmt. Du sollst allerdings die maxmimale Höhe $h$ im Bezug auf den Absprungpunkt bestimmen.
Somit gilt:
$h=h_{max}-h_A$
Hierbei gilt $h_A=r(x=4)$.
Du sollst die Maximalstelle des Graphen bestimmen. Für eine Maximalstelle $x_E$ benötigst du die beiden folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\, p'(x_E)=0$
  • Hinreichendes Kriterium:
    • $p''(x_E)< 0$, damit handelt es sich um eine Maximalstelle.
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die ersten beiden Ableitungsfunktionen $p'$ und $p''$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $p'(x)=0$ setzt und nach $x$ löst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $p''(x)$ einsetzt.
  4. Berechne den Funktionswert von $p$ an der Maximalstelle.
1.3.4
$\blacktriangleright$ Neigung begründen
Du sollst rechnerisch begründen, dass die Piste an dem Landepunkt nahezu horizontal verläuft. Hierfür hast du gegeben, dass die $x_L$ Koordinate des Landepunktes des Snowboarders auf der Piste ungefähr $7,0$ beträgt. Die Profillinie des Schneepistenabschnitts ist hierbei durch den Graphen der Funktion $f(x)=\dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{1+\mathrm{e}^{-x}}$ gegeben. Bestimme die Steigung der Profillinie an der Stelle $x=7$ des Schneepistenabschnitts und überprüfe, ob diese nahezu $0$ ist.
Bestimme hierfür die Ableitung $f'(x)$ der Funktion $f(x)$ und berechne die Steigung an der Stelle $x=7$. Die Ableitung hast du bereits in der Teilaufgabe 1.1.2 nachgewiesen, wobei $a=1$ gilt. Somit ist die Ableitung durch $f'(x)=\dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{\mathrm{e}^x}{\left(1+\mathrm{e}^x\right)^2}$ gegeben.
$\blacktriangleright$ Winkel berechnen
Du sollst unter diesen vereinfachenden Annahmen den Winkel berechnen unter dem der Snowboarder landet. Hierbei hast du die Flugkurve des Snowboarders mit der Funktionsgleichung $p(x)=-\dfrac{1}{4}(x-5)^2+\dfrac{5}{2}$ gegeben. Du kannst den Winkel $\alpha$ unter dem der Snowboarder landet somit mit der Steigung des Graphen im Bezug zur Profillinie des Pistenabschnitts berechnen. Da du in der Teilaufgabe zuvor bereits gezeigt hast, dass die Steigung der Piste an dem Landepunkt nahe $0$ ist kannst du die Steigung des Graphen der Flugkurve im Bezug zur Horizontalen berechnen.
Daraus folgt für den Winkel $\alpha$ an der Stelle $x$ im Bezug zur Horizontalen folgende Formel:
$\tan \alpha=p'(x)$
$\tan \alpha=p'(x)$
Bestimme zuerst die erste Ableitung der Funktionsgleichung der Flugbhan $p$ und anschließend den Winkel $\alpha$ an der Stelle $x=7$.
1.3.5
$\blacktriangleright$ Verfahren beschreiben
In dieser Teilaufgabe sollst du ein Verfahren beschreiben, mit dem du im Modell näherungsweise die $x$-Koordinate des Landepunktes $L$ des Snowboarders auf der Piste bestimmen kannst.
Die Profillinie des Schneepistenabschnitts hast du hierbei mit dem Graphen der Funktion $f$ mit $f(x)=\dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{1}{1+\mathrm{e}^{-x}}$ gegeben und die Flugbahn des Snowboarders mit $p(x)=-\dfrac{1}{4}(x-5)^2+\dfrac{5}{2}$. Du sollst hierfür nun ein Modell beschreiben, mit dem du näherungsweise die $x$-Koordinate des Landepunktes $L$ des Snowboarders auf der Piste bestimmen kannst.
Die $x$-Koordinate des Landepunktes ist die $x$-Koordinate des Schnittpunkts der Graphen der Funktionen $f$ und $p$.
1.3.6
$\blacktriangleright$ Funktionsterm bestimmen
Du sollst den parameterfreien Funktionsterm $w(x)$ bestimmen, mit dem die Flugbahn $w$ im modellierenden Koordinatensystem beschrieben werden kann. Hierfür weißt du, dass ein weiterer Snowboarder die Rampe befährt und die anschließende parabelförmige Flugbahn $w$ das Geradenstück $r$ „Knickfrei fortsetzt“. Außerdem weißt du, dass die Flugbahn in einem horizontalen Abstand von $0,6$ Meter hinter dem Absprungpunkt ihren höchsten Punkt erreicht.
Da der Funktionsterm $w(x)$ parabelförmig ist, folgt folgende allgemeine Funktionsgleichung des Funktionsterms $w(x)$:
$w(x)=ax^2+bx+c$
$w(x)=ax^2+bx+c$
Zudem hast du die Funktionsgleichung des Geradenstücks durch $r(x)= \dfrac{3}{8}x + \dfrac{3}{4}$ gegeben. Da die parabelförmige Flugbahn $w$ an der Stelle $x=4$ das Geradenstück $r$ „knickfrei“ fortsetzt gilt $r(x=4)=w(x=4)$ und $r'(x=4)=w'(x=4)$.
Außerdem gilt, dass die parabelförmige Flugbahn in einem horizontalen Abstand von $0,6$ Meter nach dem Absprungpunkt ihren höchsten Punkt erreicht. Der Absprungpunkt befindet sich an der Stelle $x=4$ und somit gilt entsprechend $w'(x=4,6)=0$.
Daraus ergeben sich die folgenden Bedingungen
$\begin{array}[t]{rll} w(4)&\stackrel{!}{=}& r(4)\\[5pt] w'(4)&\stackrel{!}{=}& r'(4) \\[5pt] w'(4,6)&\stackrel{!}{=}& 0 \\[5pt] \end{array}$
Bedingungen
Bestimme zuerst die allgemeine Ableitung $w'(x)$ und bestimme anschließend durch die gegebenen Bedingungen die unbekannten Parameter $a$, $b$ und $c$.
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1.1.1
$\blacktriangleright$ Definitionsmenge angeben
In dieser Teilaufgabe sollst du die maximale Definitionsmenge $D_{ \text{max}}$ angeben. Die Funktion $f$ ist hierbei folgendermaßen gegeben:
$f_{a}(x)=\dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{1+a\cdot \mathrm{e}^{-x}}$
Bestimme also zunächst die Definitionslücken der angegebenen Funktionsgleichung. Definitionslücken treten an den Stellen auf, an denen der Nenner der Funktion Null wird.
Überprüfe somit für welche $x\in\mathbb{R}$ folgendes gilt:
$1+a \cdot\mathrm{e}^{-x}=0$
Hierbei gilt, dass $a>0$ ist und $e^{-x}>0$ ist für alle $x \in \mathbb{R}$. Damit folgt, dass $a \cdot\mathrm{e}^{-x}>0$ ist für alle $x\in\mathbb{R}$ und somit kann der Nenner der Funktion $f$ nicht $0$ werden.
Dadurch folgt $D_{ \text{max}}=\mathbb{R}$.
$\blacktriangleright$ Grenzwerte bestimmen
Du sollst die Grenzwerte der Funktion an den Rändern der maximalen Definitionsmenge bestimmen. Bestimme aus der bereits zuvor angegebenen Definitionsmenge die jeweiligen Ränder und berechne anschließend die Grenzwerte an den Rändern.
Du hast zuvor bereits bestimmt, dass die maximale Definitionsmenge $D_{ \text{max}}=\mathbb{R}$ ist. Dadurch folgt, dass du den Grenzwert für $x$ gegen $-\infty$ und $+\infty$ untersuchen musst.
Betrachte hierbei zuerst den Grenzwert des Nenners. Dadurch folgt für $x$ gegen $+\infty$:
$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{x\to +\infty} \left(1 +a \cdot e^{-x}\right)&=& \lim\limits_{x\to +\infty} \left(1 \right)+ \lim\limits_{x\to +\infty} \left(a \cdot e^{-x}\right)\\[5pt] &=& 1 + 0 \\[5pt] &=& 1 \\[5pt] \end{array}$
$\lim\limits_{x\to +\infty} \left(1 +a \cdot e^{-x}\right)=1$
Dadurch folgt für den Grenzwert der Funktion $f$:
$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{x\to +\infty} f_a(x)&=&\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{1+a\cdot \mathrm{e}^{-x}}\\[5pt] &=& \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{1} \\[5pt] &=& \dfrac{3}{2} \\[5pt] \end{array}$
$\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=\dfrac{3}{2}$
Für $x$ gegen $-\infty$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{x\to -\infty} \left(1 +a \cdot e^{-x}\right)&=& + \infty\\[5pt] \end{array}$
Das bedeutet, dass der Nenner der Funktion für $x \to -\infty$ gegen $+\infty$ konvergiert und dadurch folgt entsprechend für den Grenzwert der Funktionsgleichung $f(x)$:
$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{x\to -\infty} f(x)&=& 0\\[5pt] \end{array}$
1.1.2
$\blacktriangleright$ Ableitung nachweisen
Du sollst nachweisen, dass $f_a'(x)=\frac{3}{2} \cdot \dfrac{a\cdot e^{x}}{\left(a+e^x\right)^2}$ eine Gleichung der ersten Ableitung der Funktion $f_a$ ist. Bestimme die Ableitung der Funktionen $f_a$ unter der Verwendung der Quotientenregel. Die Quotientenregel lautet für $f(x)=\dfrac{g(x)}{h(x)}$:
$f'(x)=\dfrac{g'(x)\cdot h(x)-g(x) \cdot h'(x)}{(h(x))^2}$
$f'(x)=\dfrac{g'(x)\cdot h(x)-g(x) \cdot h'(x)}{(h(x))^2}$
$f'(x)=\dotsc$
Somit folgt für die Gleichung der Ableitung von $f_a$:
$\begin{array}[t]{rll} f_a(x)&=& \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{1+a\cdot \mathrm{e}^{-x}} \\[5pt] &=& \dfrac{3}{2+2\cdot a\cdot \mathrm{e}^{-x}} \\[10pt] f'_a(x)&=& \dfrac{0 \cdot \left(2+2\cdot a\cdot \mathrm{e}^{-x}\right)-3 \cdot (-2a\cdot e^{-x})}{\left(2+2\cdot a\cdot \mathrm{e}^{-x}\right)^2} \\[5pt] &=& \dfrac{6a \cdot \mathrm{e}^{-x}}{4\cdot \left(1+a\cdot \mathrm{e}^{-x}\right)^2} \\[5pt] &=& \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{a \cdot \mathrm{e}^{-x}}{\left(1+a\cdot \mathrm{e}^{-x}\right)^2} \\[5pt] \end{array}$
$f'_a(x)=\dotsc$
Durch Ausklammern des Faktors $\mathrm{e}^{-x}$ erhältst du anschließend die angegebene Gleichung für die Ableitung wie folgt:
$\begin{array}[t]{rll} f'_a(x)&=& \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{a \cdot \mathrm{e}^{-x}}{\left(1+a\cdot \mathrm{e}^{-x}\right)^2} \\[5pt] &=&\dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{a \cdot \mathrm{e}^{-x}}{\left(\mathrm{e}^{-x} \cdot \left(\mathrm{e}^{x}+a \right) \right)^2} \\[5pt] &=&\dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{a \cdot \mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^{-2x} \cdot \left(\mathrm{e}^{x}+a \right)^2 } \\[5pt] &=&\dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{a \cdot \mathrm{e}^{x}}{ \left(\mathrm{e}^{x}+a \right)^2 } \\[5pt] &=&\dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{a \cdot \mathrm{e}^{x}}{ \left(a + \mathrm{e}^{x}\right)^2 } \\[5pt] \end{array}$
$f'(x)$
Damit hast du gezeigt, dass $f_a'(x)=\dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{a \cdot \mathrm{e}^{x}}{ \left(a + \mathrm{e}^{x}\right)^2 }$ eine Gleichung der ersten Ableitung der Funktion $f_a$ ist.
$\blacktriangleright$ Lokale Extrema bestimmen
Du hast die Funktionen $f_a$ gegeben und sollst deren Graph auf Extrempunkte untersuchen. Für eine Extremstelle $x_E$ benötigst du die beiden folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\, f'(x_E)=0$
  • Hinreichendes Kriterium:
    • Ist $f_a''(x_E)> 0$, handelt es sich um eine Minimalstelle.
    • Ist $f_a''(x_E)< 0$, handelt es sich um eine Maximalstelle.
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $f_a'(x)=0$ setzt und nach $x$ löst.
  2. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $f_a''(x)$ einsetzt. So bestimmst du gleichzeitig die Art der Extrema.
1. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Durch Gleichsetzen von $f_a'(x)$ mit Null, erhältst du mögliche Extremstellen:
$\begin{array}[t]{rll} f_a'(x)&=&0 \\[5pt] \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{a \cdot \mathrm{e}^{x}}{ \left(a + \mathrm{e}^{x}\right)^2 }&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \frac{2}{3}\\[5pt] \dfrac{a \cdot \mathrm{e}^{x}}{ \left(a + \mathrm{e}^{x}\right)^2 }&=& 0 \\[5pt] \end{array}$
$f'(x)=0$
Hierbei gilt, dass $a> 0$ ist und $\mathrm{e}^{x} > 0$ ist für alle $x\in\mathbb{R}$. Dadurch folgt $a\cdot \mathrm{e}^x>0$ und $\left(a+\mathrm{e}^x\right)^2>0$. Das notwendige Kriterium für eine Extremstelle ist also an keiner Stelle erfüllt. Damit kann es keine Extremstelle geben.
#hinreichendeskriteriumfürextrema#notwendigeskriteriumfürextrema#quotientenregel
1.1.3
$\blacktriangleright$ Wendepunkt nachweisen
Du sollst nachweisen, dass jede Funktion $f_a$ der Schar genau einen Wendepunkt besitzt und dass der Wendepunkt mit $W\left( \ln(a) \mid \frac{3}{4}\right)$ bestimmt ist.
Untersuche also die GRaphen der Funktion $f_a$ auf Wendepunkte. Für einen Wendepunkt $x_E$ benötigst du die beiden folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\, f''_a(x_E)=0$
  • Hinreichendes Kriterium:
    • Besitzt $f''_a(x)$ an der Stelle $x_E$ einen Vorzeichenwechsel, handelt es sich um einen Wendepunkt.
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $f''_a(x)=0$ setzt und nach $x$ löst.
  2. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du überprüfst, ob $f''(x)$ an der Stelle $x_E$ einen Vorzeichenwechsel besitzt.
  3. Berechne den Funktionswert von $f_a$ an der Wendestelle.
1. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Durch Gleichsetzen von $f_a''(x)$ mit Null, erhältst du mögliche Wendestellen:
$\begin{array}[t]{rll} f''(x)&=& 0 \\[5pt] \dfrac{3a^2\cdot \mathrm{e}^x-3a\cdot \mathrm{e}^{2x}}{2\cdot \left(a+\mathrm{e}^x \right)^3}&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; a>0; \mathrm{e}^x>0\\[5pt] 3a^2\cdot \mathrm{e}^x-3a\cdot \mathrm{e}^{2x}&=& 0 \\[5pt] 3a\cdot \mathrm{e}^x \cdot \left(a- \mathrm{e}^{x}\right)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :\left(3a \cdot \mathrm{e}^x \right)\\[5pt] a- \mathrm{e}^{x}&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +\mathrm{e}^{x}\\[5pt] a&=& \mathrm{e}^{x} &\quad \scriptsize \mid\; \ln(\,)\\[5pt] \ln(a)&=& x \\[5pt] \end{array}$
$x= \ln(a)$
Somit hast du gezeigt, dass bei $x=\ln(a)$ ein möglicher Wendepunkt ist.
2. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
Überprüfe, ob die Funktion $f_a''(x)$ an der Stelle $x=\ln(a)$ einen Vorzeichenwechsel besitzt. Hierbei gilt:
$\begin{array}[t]{rll} f_a''(x)&=& \dfrac{3a^2\cdot \mathrm{e}^x -3a \cdot \mathrm{e}^{2x}}{2 \cdot \left(a+\mathrm{e}^x\right)}\\[5pt] &=& \dfrac{3a \cdot \mathrm{e}^x \left(a- \mathrm{e}^{x}\right)}{2 \cdot \left(a+\mathrm{e}^x\right)}\\[5pt] \end{array}$
$f_a''(x)= \dotsc$
Hierbei kannst du erkennen, dass an der Stelle $x=\ln(a)$ gerade ein Vorzeichenwechsel stattfindet, da für $x<\ln(a)$ folgt, dass $f_a''(x)> 0$ ist und für $x > \ln(a)$ folgt, dass $f_a''(x)< 0$ ist.
Somit findet an der Stelle $x=\ln(a)$ ein Vorzeichenwechsel statt und es handelt sich um eine Wendestelle.
3. Schritt: Funktionswert berechnen
Du sollst den Funktionswert an der Stelle $x=\ln(a)$ berechnen. Du musst somit $x=\ln(a)$ in die gegebene Funktionsgleichung $f_a(x)$ einsetzen und erhältst dadurch den entsprechenden Funktionswert. Damit folgt:
$\begin{array}[t]{rll} f_a(x)&=& \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{1+a\cdot \mathrm{e}^{-x}}\\[5pt] f_a(\ln(a))&=& \frac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{1+a\cdot \mathrm{e}^{-\ln(a)}}\\[5pt] &=& \frac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{1+a\cdot a^{-1}}\\[5pt] &=& \dfrac{3}{4} \end{array}$
$f_a(x)= \dfrac{3}{4} $
Somit gilt $W\left( \ln(a) \mid \frac{3}{4}\right)$ und du hast gezeigt, dass dies der einzige Wendepunkt ist, da für kein anderes $x$ das notwendige Kriterium erfüllt ist.
$\blacktriangleright$ Parameterwert bestimmen
Du sollst bestimmen, für welchen Parameterwert $a$ der Wendepunkt $W$ auf der $y$-Achse liegt. Dies ist der Fall falls die $x$-Koordinate des Wendepunktes $0$ beträgt. Du hast zuvor die $x$-Koordinate des Wendepunktes in Abhängigkeit des Parameters $a$ bestimmt. Setze die $x$-Koordinate des Wendepunktes mit $0$ gleich und löse nach dem Parameter $a$ auf.
Die $x$-Koordinate des Wendepunktes ist mit $x=\ln(a)$ gegeben. Somit folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \ln(a)&=& 0 & \quad \scriptsize \mid \, \mathrm{e}^{(\,)}\\[5pt] a&=& \mathrm{e}^{0}\\[5pt] &=& 1\\[5pt] \end{array}$
$a=1$
Somit folgt, dass für $a=1$ der Wendepunkt auf der $y$-Achse liegt.
#hinreichendeskriteriumfürwendestellen#notwendigeskriteriumfürwendestellen
1.1.4
$\blacktriangleright$ Parameterwerte bestimmen
Du sollst zwei Parameterwerte $a_1$ und $a_2$ so bestimmen, dass die beiden Wendepunkte $W_1$ und $W_2$ der zugehörigen Funktionsgraphen den Abstand $1$ voneinander haben. Die Wendepunkte besitzen jeweils unabhängig vom Parameterwert $a$ die $y$-Koordinate $\dfrac{3}{4}$. Das bedeutet, dass der Abstand der Wendepunkte zueinander genau dem Abstand der jeweiligen $x$-Koordinaten zueinander entspricht.
Setze hierbei beispielsweise den Parameterwert $a_1$ mit einem exakten Wert gleich und bestimme anschließend die $x_{W_2}$ Koordinate, sodass die Bedingung des Abstandes erfüllt ist.
Für den Abstand $A$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& x_{W_1}- x_{W_2} \\[5pt] 1&=& \ln(a_1) - \ln(a_2)\\[5pt] \end{array}$
Du weißt hierbei, dass $\ln(1)=0$ gilt. Setze somit einen Parameter mit einem geeigneten Wert fest und berechne anschließend den entsprechenden Wert des zweiten Parameters. Hierbei bietet es sich an $a_2=1$ zu setzen, da $\ln(1)=0$ gilt. Somit kannst du den Wert des Parameters $a_1$ wie folgt berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} 1&=& \ln(a_1) - \ln(1)\\[5pt] 1&=& \ln(a_1) \\[5pt] \end{array}$
Daraus folgt, dass $a_1=\mathrm{e}^1$ gilt, da $\ln\left(\mathrm{e}^1\right)=1$ gilt.
Somit hast du gezeigt, dass die Wendepunkt $W_1\left(1 \mid \frac{3}{4}\right)$ und $W_2\left(0 \mid \frac{3}{4}\right)$ mit den Parametern $a_1=\mathrm{e}^1$ und $a_2=1$ den Abstand $1$ voneinander haben.
1.2.1
$\blacktriangleright$ Umkehrbarkeit überprüfen
In dieser Teilaufgabe sollst du anhand des Graphen von $f$ begründen, dass die Funktion $f$ umkehrbar ist. Eine Funktion $f$ ist umkehrbar, falls der Graaphen der Funktion stetig ist und zwei verschiedene $x$-Werte nicht den gleichen Funktionswert annehmen. Das bedeutet, dass die Funktion $f$ umkehrbar ist, falls die Steigung des Graphen von $f$ immer größer als Null ist.
An dem Graphen von $f$ kannst du erkennen, dass der Graph der Funktion stetig ist und die Steigung immer größer als $0$ ist. Daraus folgt, dass die Funktion $f$ umkehrbar ist.
$\blacktriangleright$ Funktionsgleichung herleiten
Du sollst die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion herleiten. Die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion kannst du herleiten, indem du die Funktion $f(x)=y=\dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{1}{1+\mathrm{e}^{-x}}$ nach $x$ auflöst und anschließend $x$ und $y$ vertauschst.
Entsprechend folgt:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&\dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{1}{1+\mathrm{e}^{-x}} \\[5pt] y&=&\frac{3}{2}\cdot \dfrac{1}{1+\mathrm{e}^{-x}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \left(1+\mathrm{e}^{-x}\right) \\[5pt] y \cdot \left(1+\mathrm{e}^{-x}\right) &=& \dfrac{3}{2}&\quad \scriptsize \mid\; :y\\[5pt] 1+\mathrm{e}^{-x}&=& \dfrac{3}{2 \cdot y} &\quad \scriptsize \mid\; -1\\[5pt] \mathrm{e}^{-x}&=& \dfrac{3}{2 \cdot y} -1 &\quad \scriptsize \mid\; \ln(\,)\\[5pt] -x&=&\ln\left(\dfrac{3}{2 \cdot y} -1 \right) &\quad \scriptsize \mid\; \cdot(-1)\\[5pt] x&=&-\ln\left(\dfrac{3}{2 \cdot y} -1 \right) \\[5pt] y&=&-\ln\left(\dfrac{3}{2 \cdot x} -1 \right) \\[5pt] \end{array}$
$y=\dotsc$
Die Umkehrfunktion ist dadurch mit $f^{-1}(x)=-\ln\left(\dfrac{3}{2 \cdot x} -1 \right) $ gegeben.
$\blacktriangleright$ Definitions- und Wertemenge angeben
Du sollst die Definitions-und Wertemenge angeben. Hierbei gilt, dass $\ln(x)$ nur für $x>0$ definiert ist und die Wertemenge $\mathbb{R}$ besitzt.
Untersuche für welche $x$ der Ausdruck $\dfrac{3}{2x}-1>0$ ist.
Dies ist für $0<x<\dfrac{3}{2}$ der Fall. Somit besitzt die Umkehrfunktion $g(x)$ einen Definitonsbereich von $D=]0;\frac{3}{2}[$.
Die Wertemenge ist mit dem natürlichen Logarithmus durch $W=\mathbb{R}$ gegeben.
1.2.2
$\blacktriangleright$ Stammfunktion zeigen
In dieser Teilaufgabe sollst du zeigen, dass $F(x)= \dfrac{3}{2} \cdot \ln\left(1 + \mathrm{e}^x\right)$ die Gleichung einer Stammfunktion zu $f$ ist. Hierzu kannst du die gegebene Stammfunktion ableiten und überprüfen, ob die Ableitung der Funktion $F'(x)=f(x)$ gilt, wobei $f(x)$ mit $f(x)=\dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{1+\mathrm{e}^{-x}}$ gegeben ist.
Für die Ableitung gilt mit der Kettenregel:
$\begin{array}[t]{rll} F(x)&=& \dfrac{3}{2} \cdot \ln\left(1 + \mathrm{e}^x\right)\\[5pt] F'(x)&=&\dfrac{3}{2} \cdot \mathrm{e}^x \cdot \dfrac{1}{1 + \mathrm{e}^x}\\[5pt] &=& \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^x\cdot \left(\mathrm{e}^{-x} +1 \right)}\\[5pt] &=& \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{1+ \mathrm{e}^{-x} }\\[5pt] &=& f(x)\\[5pt] \end{array}$
$F'(x)=f(x)$
Dadurch hast du gezeigt, dass die Gleichung $F(x)= \dfrac{3}{2} \cdot \ln\left(1 + \mathrm{e}^x\right)$ die Gleichung einer Stammfunktion zu $f$ ist.
#kettenregel
1.2.3
$\blacktriangleright$ Flächeninhalt berechnen
Du sollst den Flächeninhalt der Fläche berechnen, die der Graph der Funktion $f$, die $y$-Achse und die negative $x$-Achse des Koordinatensystems begrenzen. Somit sind die Grenzen mit $-\infty$ und $0$ gegeben. Du hast in der vorherigen Teilaufgabe bereits bestätigt, dass für die Gleichung einer Stammfunktion $F(x)=\dfrac{3}{2}\cdot \ln\left(1+ \mathrm{e}^x\right)$ gilt.
Den gesuchten Flächeninhalt $A$ kannst du hierbei mit dem Hauptsatz der Integralrechnung berechnen. Dieser lautet:
$\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \; \mathrm dx= F(b) - F(a) $
$\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\; \mathrm dx= F(b) - F(a) $
Hierbei musst du beachten, dass $a=-\infty$ gilt. Da du $-\infty$ nicht als $x$-Wert in die Funktionsgleichung von $F$ einsetzen kannst. Das bedeutet du musst den Grenzwert für $a \to -\infty$ betrachten. Damit gilt für die gesuchte Fläche $A$:
$\begin{array}[t]{rll} A&=&\displaystyle\int_{-\infty}^{0} f(x) \; \mathrm dx \\[5pt] &=& \lim\limits_{a\to-\infty} \displaystyle\int_{a}^{0} f(x) \; \mathrm dx\\[5pt] &=& \lim\limits_{a\to-\infty} \left(F(0)-F(a) \right)\\[5pt] &=& \lim\limits_{a\to-\infty} \left(\dfrac{3}{2}\cdot\left(\ln\left(1+ \mathrm{e}^0 \right) - \ln\left(1+ \mathrm{e}^a\right)\right) \right)\\[5pt] &=& \dfrac{3}{2}\cdot \lim\limits_{a\to-\infty} \left(\ln\left(2\right) - \ln\left(1+ \mathrm{e}^a\right) \right)\\[5pt] \end{array}$
$A=\dotsc$
Hierbei gilt:
$\lim\limits_{a\to-\infty} \left(\mathrm{e}^a\right)=0$
Dadurch folgt:
$\begin{array}[t]{rll} A&=&\dfrac{3}{2}\cdot \lim\limits_{a\to-\infty} \left(\ln\left(2\right) - \ln\left(1+ \mathrm{e}^a\right) \right)\\[5pt] &=& \dfrac{3}{2}\cdot \left(\ln\left(2\right) - \ln\left(1+ 0\right) \right)\\[5pt] &=& \dfrac{3}{2}\cdot \ln(2) \\[5pt] &\approx& 1,04 \quad (\text{ FE } )\\[5pt] \end{array}$
$ A \approx 1,04 \text{ FE } $
Somit besitzt die Fläche, welche der Graph der Funktion $f$, die $y$-Achse und die negative $x$-Achse des Koordinatensystems begrenzen, ungefähr einen Flächeninhalt von $1,04 \text{ FE}$.
#integral
1.3.1
$\blacktriangleright$ Volumen berechnen
Du sollst das Volumen des zusätzlich benötigten Schnees je $1$ Meter Breite der Schneerampe berechnen. Hierfür hast du gegeben, dass der Graph der Funktion $f$ mit $f(x)=\dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{1+\mathrm{e}^{-x}}$ für $x\in[-6;8]$ die Profillinie eines ansteigenden Schneepistenabschnitts modelliert.
Desweiteren wird im Bereich $x\in[0;4]$ eine Schneerampe aufgeschüttet. Diese Schneerampe kann durch das Geradenstück $r$ mit der Gleichung $r(x)=\dfrac{3}{8}x+\dfrac{3}{4}$ dargestellt werden.
Du musst somit die Fläche berechnen, welche der Graph der Funktion $f$ und das Geradenstück $r$ im Bereich $x\in[0;4]$ einschließen. Der Flächeninhalt einer Fläche zwischen zwei Graphen lässt sich mit folgender Formel berechnen:
$A = \left|\displaystyle\int_{a}^{b}\left(f(x)-g(x)\right)\mathrm dx \right| $
$A $=$ \left|\displaystyle\int_{a}^{b}\left(f(x)-g(x)\right)\mathrm dx \right| $
Anschließend musst du den berechneten Flächeninhalt mit $1$ Meter Breite der Schneerampe multiplizieren und du erhältst das gesuchte Volumen.
Für den Flächeninhalt $A$ der Fläche zwischen dem Graphen der Funktion $f$ und dem Geradenstück $r$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} A&=&\left|\displaystyle\int_{0}^{4}\left(f(x)-r(x)\right)\mathrm dx \right| \\[5pt] &=&\left|\displaystyle\int_{0}^{4}\left(f(x)\right)\mathrm dx -\displaystyle\int_{0}^{4}\left(\dfrac{3}{8}x+\dfrac{3}{4}\right)\mathrm dx \right| \\[5pt] &=& \left| F(4) -F(0) - \left[\dfrac{3}{16}x^2+ \dfrac{3}{4}x \right]_{0}^{4} \, \right| \\[5pt] &=& \left| \dfrac{3}{2} \cdot \ln\left(1+\mathrm{e}^4\right) - \dfrac{3}{2} \cdot \ln\left(1+\mathrm{e}^0\right) - \left(\dfrac{3}{16}\cdot 4^2+ \dfrac{3}{4} \cdot 4 - \dfrac{3}{16}\cdot 0^2+ \dfrac{3}{4} \cdot 0 \right) \, \right| \\[5pt] &=& \left| \dfrac{3}{2} \cdot \left(\ln\left(1+\mathrm{e}^4\right) - \ln(2) \right) -6 \, \right| \\[5pt] &\approx& 1,012 \quad \left[\text{ m}^2\right] \\[5pt] \end{array}$
$A \approx 1,012 \text{ m}^2$
Somit beträgt die Fläche zwischen dem Graph der Funktion $f$ und dem Graphen der Funktion $r$ ungefähr $1,012 \text{ FE}$. Das entpsricht einem Flächeninhalt von $1,012 \text{ m}^2$.
Dadurch folgt für das Volumen $V$ des zusätzlich benötigten Schnees:
$\begin{array}[t]{rll} V&=& A \cdot 1 \text{ m} \\[5pt] &\approx& 1,012 \text{ m}^2 \cdot 1 \text{ m}\\[5pt] &=& 1,012 \text{ m}^3 \\[5pt] \end{array}$
$V\approx 1,012 \text{ m}^3$
Somit hast du gezeigt, dass das Volumen des zusätzlich benötigten Schnees je $1$ Meter Breite ungefahr $1,012 \text{ m}^3$ beträgt.
#integral
1.3.2
$\blacktriangleright$ Flugbahn begründen
Du sollst zeigen, dass die Flugbahn $p$ im Modell das Geradenstück $r$ mit einem „Knick“ fortsetzt. Ein Knick entsteht, wenn die Steigungen der beiden Graphen an dem Punkt nicht identisch sind. Das Geradenstück $r$ stellt die aufgeschüttete Schneerampe im Bereich $[0;4]$ dar. Der Snowboarder springt hierbei am höchsten Punkt auf der Rampe ab.
Der Absprungpunkt des Snowboarders befindet sich somit an der Stelle $x=4$. Die Flugbahn wird anschließend mit Hilfe der Gleichung $p(x)=-\dfrac{1}{4}(x-5)^2 + \dfrac{5}{2}$ beschrieben.
Du musst zeigen, dass die Steigungen der Gerade $r$ und die Steigung der Flugbahn $p$ nicht übereinstimmen. Die Gerade $r$ ist mit der Funktionsgleichung $r(x)=\dfrac{3}{8}x+\dfrac{3}{4}$ gegeben.
Daraus folgt, dass die Gerade bei $x=4$ die Steigung $\dfrac{3}{8}$ besitzt. Bestimme anschließend noch die Steigung der Flugbahn $p$ mit der Ableitung an der Stelle $x=4$ wie folgt:
$\begin{array}[t]{rll} p(x)&=& -\dfrac{1}{4}(x-5)^2 + \dfrac{5}{2} \\[5pt] p'(x)&=& -\dfrac{2}{4}(x-5) \\[5pt] p'(x=4)&=& -\dfrac{2}{4}(4-5) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}\\[5pt] \end{array}$
$p'(4)=\dfrac{1}{2}$
Somit besitzt der Graph der Flugkurve an der Stelle $x=4$ die Steigung $\dfrac{1}{2}$ und damit sind die Steigungen nicht identisch und du hast gezeigt, dass die Flugbahn $p$ im Modell das Geradenstück $r$ mit einem „Knick“ fortsetzt.
1.3.3
$\blacktriangleright$ Maximale Höhe ermitteln
In dieser Teilaufgabe sollst du die maximale Höhe $h$ der Flugbahn $p$ ermitteln in Bezug auf den Absprungpunkt. Du hast gegeben, dass die Flugbahn $p$ parabelförmig ist und sollst die maximale Höhe $h$ ermitteln. Du sollst somit die Koordinaten des Hochpunktes der Flugbahn bestimmen. Dadurch hast du die maximale Höhe $h_{max}$ der Flugbahn bestimmt. Du sollst allerdings die maxmimale Höhe $h$ im Bezug auf den Absprungpunkt bestimmen.
Somit gilt:
$h=h_{max}-h_A$
Hierbei gilt $h_A=r(x=4)$.
Du sollst die Maximalstelle des Graphen bestimmen. Für eine Maximalstelle $x_E$ benötigst du die beiden folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\, p'(x_E)=0$
  • Hinreichendes Kriterium:
    • $p''(x_E)< 0$, damit handelt es sich um eine Maximalstelle.
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die ersten beiden Ableitungsfunktionen $p'$ und $p''$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $p'(x)=0$ setzt und nach $x$ löst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $p''(x)$ einsetzt.
  4. Berechne den Funktionswert von $p$ an der Maximalstelle.
1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} p(x)&=&-\dfrac{1}{4}(x-5)^2+\dfrac{5}{2}\\[10pt] p'(x)&=& -\dfrac{2}{4} (x-5)\\[5pt] &=& -\dfrac{1}{2} (x-5) \\[10pt] p''(x)&=& -\dfrac{1}{2}\\[5pt] \end{array}$
$p(x)=\dotsc$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Durch Gleichsetzen von $g'(x)$ mit Null, erhältst du mögliche Extremstellen:
$\begin{array}[t]{rll} p'(x)&=&0\\[5pt] -\dfrac{1}{2} (x-5) &=& 0 \\[5pt] x-5&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +5 \\[5pt] x&=& 5 \\[5pt] \end{array}$
$ x=5$
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
Hierbei gilt $p''(x)=-\dfrac{1}{2}$ und somit ist $p''(x=5)<0$ und damit handelt es sich um eine Maximalstelle.
4. Schritt: Funktionswerte berechnen
$\begin{array}[t]{rll} p(x)&=& -\dfrac{1}{4}(x-5)^2+\dfrac{5}{2}\\[5pt] p(5)&=& -\dfrac{1}{4}(5-5)^2+\dfrac{5}{2}\\[5pt] &=& \dfrac{5}{2} \\[10pt] \end{array}$
$p(5)= \dfrac{5}{2}$
Somit besitzt die Flugbahn einen Hochpunkt mit den Koordinaten $H\left(5 \mid \frac{5}{2}\right)$ und für die maximale Höhe gilt:
$h_{max}=\dfrac{5}{2} \text{ m}$.
Bestimme die Höhe des Absprungpunktes $h_A$. Du weißt hierfür, dass sich der Absprungpunkt auf der Schneerampe befindet. Somit liegt der Absprungpunkt auf dem Geradenstück $r$ an der Stelle $x=4$. Setze somit $x=4$ in die Funktionsgleichung des Geradenstückes $r$ mit $r(x)=\dfrac{3}{8}x + \dfrac{3}{4}$ ein und berechne damit die Höhe des Absprungpunktes $h_A$. Es gilt:
$\begin{array}[t]{rll} h_A&=& r(x=4)\\[5pt] &=& \dfrac{3}{8} \cdot 4 + \dfrac{3}{4}\\[5pt] &=& \dfrac{3}{2} + \dfrac{3}{4} \\[5pt] &=& \dfrac{9}{4} \\[5pt] \end{array}$
$ h_A=\dfrac{9}{4} $
Somit folgt für die maximale Höhe $h$ der Flugbahn bezüglich des Absprungpunktes:
$\begin{array}[t]{rll} h&=& h_{max} - h_A\\[5pt] &=& \dfrac{5}{2} - \dfrac{9}{4}\\[5pt] &=& \dfrac{1}{4} \end{array}$
$ h=\dfrac{1}{4}$
Damit beträgt die maximale Höhe der Flugbahn bezüglich des Absprungpunktes $h=0,25 \text{ m}$.
#extrempunkt#hinreichendeskriteriumfürextrema#notwendigeskriteriumfürextrema
1.3.4
$\blacktriangleright$ Neigung begründen
Du sollst rechnerisch begründen, dass die Piste an dem Landepunkt nahezu horizontal verläuft. Hierfür hast du gegeben, dass die $x_L$ Koordinate des Landepunktes des Snowboarders auf der Piste ungefähr $7,0$ beträgt. Die Profillinie des Schneepistenabschnitts ist hierbei durch den Graphen der Funktion $f(x)=\dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{1+\mathrm{e}^{-x}}$ gegeben. Bestimme die Steigung der Profillinie an der Stelle $x=7$ des Schneepistenabschnitts und überprüfe, ob diese nahezu $0$ ist.
Bestimme hierfür die Ableitung $f'(x)$ der Funktion $f(x)$ und berechne die Steigung an der Stelle $x=7$. Die Ableitung hast du bereits in der Teilaufgabe 1.1.2 nachgewiesen, wobei $a=1$ gilt. Somit ist die Ableitung durch $f'(x)=\dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{\mathrm{e}^x}{\left(1+\mathrm{e}^x\right)^2}$ gegeben.
Damit folgt für die Steigung an der Stelle $x=7$:
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&=&\dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{\mathrm{e}^x}{\left(1+\mathrm{e}^x\right)^2}\\[10pt] f'(7)&=&\dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{\mathrm{e}^7}{\left(1+\mathrm{e}^7\right)^2}\\[5pt] &\approx& 0,0014 \\[5pt] \end{array}$
$f'(7) \approx 0,0014$
Somit ist die Steigung an dem Landepunkt nahe $0$ und damit verläuft die Piste an dem Landepunkt nahezu horizontal.
$\blacktriangleright$Winkel berechnen
Du sollst unter diesen vereinfachenden Annahmen den Winkel berechnen unter dem der Snowboarder landet. Hierbei hast du die Flugkurve des Snowboarders mit der Funktionsgleichung $p(x)=-\dfrac{1}{4}(x-5)^2+\dfrac{5}{2}$ gegeben. Du kannst den Winkel $\alpha$ unter dem der Snowboarder landet somit mit der Steigung des Graphen im Bezug zur Profillinie des Pistenabschnitts berechnen. Da du in der Teilaufgabe zuvor bereits gezeigt hast, dass die Steigung der Piste an dem Landepunkt nahe $0$ ist kannst du die Steigung des Graphen der Flugkurve im Bezug zur Horizontalen berechnen.
Daraus folgt für den Winkel $\alpha$ an der Stelle $x$ im Bezug zur Horizontalen folgende Formel:
$\tan \alpha=p'(x)$
$\tan \alpha=p'(x)$
Bestimme zuerst die erste Ableitung der Funktion der Flugbahn $p$ und anschließend den Winkel $\alpha$ an der Stelle $x=7$.
Damit folgt für die Ableitungsfunktion der Flugbahn:
$\begin{array}[t]{rll} p(x)&=& -\dfrac{1}{4}(x-5)^2+\dfrac{5}{2}\\[10pt] p'(x)&=&-\dfrac{2}{4} \cdot (x-5)\\[5pt] &=& -\dfrac{1}{2} \cdot (x-5)\\[5pt] \end{array}$
$p(x)=\dotsc$
Daraus folgt für den Winkel $\alpha$ an der Stelle $x=7$:
$\begin{array}[t]{rll} \tan \alpha&=& p'(7)\\[10pt] \tan \alpha&=& -\dfrac{1}{2} \cdot (7-5)\\[5pt] \tan \alpha&=& -1 & \quad \scriptsize \mid \, \tan^{-1}(\,)\\[5pt] \alpha&=& \tan^{-1}(-1) \\[5pt] \alpha&=& -45^° \\[5pt] \end{array}$
$\alpha =-45^°$
Somit landet der Snowboarder unter einem Winkel von $-45^°$ an dem Landepunkt.
#steigungswinkel#steigung
1.3.5
$\blacktriangleright$ Verfahren beschreiben
In dieser Teilaufgabe sollst du ein Verfahren beschreiben, mit dem du im Modell näherungsweise die $x$-Koordinate des Landepunktes $L$ des Snowboarders auf der Piste bestimmen kannst.
Die Profillinie des Schneepistenabschnitts hast du hierbei mit dem Graphen der Funktion $f$ mit $f(x)=\dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{1}{1+\mathrm{e}^{-x}}$ gegeben und die Flugbahn des Snowboarders mit $p(x)=-\dfrac{1}{4}(x-5)^2+\dfrac{5}{2}$. Du sollst hierfür nun ein Modell beschreiben, mit dem du näherungsweise die $x$-Koordinate des Landepunktes $L$ des Snowboarders auf der Piste bestimmen kannst.
Die $x$-Koordinate des Landepunktes ist die $x$-Koordinate des Schnittpunkts der Graphen von $f$ und $p$.
Du sollst die Lösung der Gleichung $f(x_L)=p(x_L)$ bestimmen. Die Gleichung kannst du beispielsweise näherungsweise durch systematisches Einsetzen von möglichen Werten für $x_L$ lösen.
#schnittpunkt
1.3.6
$\blacktriangleright$Funktionsterm bestimmen
Du sollst den parameterfreien Funktionsterm $w(x)$ bestimmen, mit dem die Flugbahn $w$ im modellierenden Koordinatensystem beschrieben werden kann. Hierfür weißt du, dass ein weiterer Snowboarder die Rampe befährt und die anschließende parabelförmige Flugbahn $w$ das Geradenstück $r$ „Knickfrei fortsetzt“. Außerdem weißt du, dass die Flugbahn in einem horizontalen Abstand von $0,6$ Meter hinter dem Absprungpunkt ihren höchsten Punkt erreicht.
Da der Funktionsterm $w(x)$ parabelförmig ist, folgt folgende allgemeine Funktionsgleichung des Funktionsterms $w(x)$:
$w(x)=ax^2+bx+c$
$w(x)=ax^2+bx+c$
Zudem hast du die Funktionsgleichung des Geradenstücks durch $r(x)= \dfrac{3}{8}x + \dfrac{3}{4}$ gegeben. Da die parabelförmige Flugbahn $w$ an der Stelle $x=4$ das Geradenstück $r$ „knickfrei“ fortsetzt gilt $r(x=4)=w(x=4)$ und $r'(x=4)=w'(x=4)$.
Außerdem gilt, dass die parabelförmige Flugbahn in einem horizontalen Abstand von $0,6$ Meter nach dem Absprungpunkt ihren höchsten Punkt erreicht. Der Absprungpunkt befindet sich an der Stelle $x=4$ und somit gilt entsprechend $w'(x=4,6)=0$.
Daraus ergeben sich die folgenden Bedingungen
$\begin{array}[t]{rll} w(4)&\stackrel{!}{=}& r(4)\\[5pt] w'(4)&\stackrel{!}{=}& r'(4) \\[5pt] w'(4,6)&\stackrel{!}{=}& 0 \\[5pt] \end{array}$
Bedingungen
Bestimme zuerst die allgemeine Ableitung $w'(x)$ und bestimme anschließend durch die gegebenen Bedingungen die unbekannten Parameter $a$, $b$ und $c$.
Für die Ableitung der Funktionsgleichung $w(x)$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} w(x)&=& ax^2 + bx +c \\[10pt] w'(x)&=& 2ax +b\\[5pt] \end{array}$
Die gegebenen Bedingungen führen zu dem nun aufgeführten Gleichungssystem
$\begin{array}[t]{rll} &\text{I}& r(4)&=& a\cdot4^2+b\cdot4+c \\[5pt] &\text{II}& r'(4)&=& 2 \cdot a\cdot4+b\\[5pt] &\text{III}& 0&=& 2 \cdot a\cdot4,6+b \\[5pt] \end{array}$
Gleichungssystem
Hierbei gilt:
$\begin{array}[t]{rll} r(x)&=& \dfrac{3}{8}x + \dfrac{3}{4} \\[5pt] r(4)&=&\dfrac{3}{8} \cdot 4 + \dfrac{3}{4}\\[5pt] &=&\dfrac{9}{4}\\[5pt] \end{array}$
$r(4)=\dfrac{9}{4}$
$\begin{array}[t]{rll} r(x)&=& \dfrac{3}{8}x + \dfrac{3}{4} \\[5pt] r'(x)&=&\dfrac{3}{8}\\[5pt] r'(4)&=&\dfrac{3}{8}\\[5pt] \end{array}$
$r'(4)=\dfrac{3}{8}$
Daraus folgt folgendes Gleichungssystem:
$\begin{array}[t]{rll} &\text{I}& \dfrac{9}{4}&=& a\cdot4^2+b\cdot4+c \\[5pt] &\text{II}& \dfrac{3}{8}&=& 2 \cdot a\cdot4+b\\[5pt] &\text{III}& 0&=& 2 \cdot a\cdot4,6+b \\[5pt] \end{array}$
Gleichungssystem
Nachdem du $\text{III}$ mit $-1$ multipliziert hast, kannst du Gleichung $\text{II}$ und Gleichung $\text{III}$ addieren und so den Term mit $b$ eliminieren. Du erhältst so die Gleichung $\text{II'}$
$\begin{array}{} &\text{II}& \quad \dfrac{3}{8}&=& 2 \cdot a \cdot 4 +b \\[5pt] &\text{III}& \quad 0&=& -2 \cdot a\cdot4,6-b &\quad \scriptsize\mid\;\text{Rechne: }\text{II}+\text{III}\\[5pt] \hline &\text{II'}& \quad \dfrac{3}{8}&=& -1,2 \cdot a \\[5pt] \end{array}$
$II': $
Aus Gleichung $\text{II'}$ kann $a$ bestimmt werden.
$\begin{array}[t]{rll} &\text{II'}& \quad \dfrac{3}{8}&=& -1,2 \cdot a &\quad \scriptsize \mid\ :(-1,2) \\[5pt] && \quad a&=& - \dfrac{5}{16} \\[5pt] \end{array}$
$a=-\dfrac{5}{16}$
Nun kann der Wert für den Parameter $a$ in die Gleichung $\text{III}$ eingesetzt werden, um damit den Wert des Parameters $b$ zu berechnen. Es folgt:
$\begin{array}[t]{rll} &\text{III}& \quad 0&=& 2 \cdot \left(- \dfrac{5}{16}\right)\cdot4,6+b \\[5pt] && \quad 0&=& -\dfrac{23}{8}+b &\quad \scriptsize \mid\ +\dfrac{23}{8} \\[5pt] && \quad \dfrac{23}{8}&=& b\\[5pt] \end{array}$
$b=\dfrac{23}{8}$
Anschließend kannst du $a$ und $b$ in die Gleichung $\text{I}$ einsetzen und du erhältst für den Parameter $c$:
$\begin{array}[t]{rll} &\text{I}& \quad \dfrac{9}{4}&=& - \dfrac{5}{16} \cdot4^2+\dfrac{23}{8} \cdot 4 +c\\[5pt] && \quad \dfrac{9}{4}&=& \dfrac{13}{2}+c &\quad \scriptsize \mid\ -\dfrac{13}{2} \\[5pt] && \quad -\dfrac{17}{4}&=& c\\[5pt] \end{array}$
$c=-\dfrac{17}{4}$
Somit gilt für den Funktionsterm $w(x)$:
$w(x)=-\dfrac{5}{16}x^2+\dfrac{23}{8}x-\dfrac{17}{4}$
#parabel
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