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Aufgabe 2 - Analytische Geometrie

Aufgaben
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U-Boote orientieren sich unter Wasser, indem sie ihre Koordinaten mit Hilfe des letzten GPS-Signals (GPS: Global Position System) bestimmen und indem sie über Sonargeräte Schallimpulse aussenden, deren Reflexionen sie dann auswerten.
Bei der folgenden mathematischen Modellierung wird davon ausgegangen, dass alle Objekte punktförmig sind und dass die Wasseroberfläche völlig eben ist.
Das verwendete Koordinatensystem ist so gewählt, dass
  • die $x$-Achse in Richtung Süden und die $y$-Achse in Richtung Osten weißt,
  • die $x$-$y$-Ebene die Wasseroberfläche darstellt,
  • $1$ Längeneinheit $100$ Metern in der Realität entspricht.
2.1
Das U-Boot Nautilus befindet sich unter Wasser zunächst in der Position $P(3 \mid 4 \mid -3)$.
Kurze Zeit später berechnet der Bordcomputer eine zweite Position $T(2 \mid 4 \mid -2,5)$.
2.1.1
Stelle ausgehend von der Annahme, die Nautilus bewege sich geradlinig, eine vektorielle Gleichung der Bahn der Nautilus auf.
Beschreibe unter Bezugnahme auf Himmelsrichtungen den Kurs der Nautilus.
Berechne im Modell die Koordinaten des Punktes $W$, in dem die Nautilus die Wasseroberfläche erreicht.
#geradengleichung
2.1.2
U-Boote können nur unter gewissen Winkel ohne Schäden an der Wasseroberfläche auftauchen. So muss der Winkel zwischen der Bewegungsrichtung und der nach oben gerichteten Vertikalen größer als $45^°$ sein. Überprüfe durch eine Winkelberechnung, ob die Nautilus diese Bedingung erfüllt, wenn sie sich vom Punkt $P( 3 \mid 4 \mid -3)$ aus geradlinig in Richtung $\pmatrix{-2 \\ 0 \\ 1 }$ bewegt.
#winkel
2.1.3
An der Position $A( -43 \mid 34 \mid 0)$ wartet das Versorgungsschiff L`Aide.
Berechne, wie viele Minuten die Nautilus vom Punkt $(-3 \mid 4 \mid 0)$ aus bis zum Versorgungsschiff benötigt, wenn sie mit einer konstanten Geschwindigkeit von $8 \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ an der Wasseroberfläche fährt.
2.2
Im Jahr 2009 kolidierten die beiden mit Atomsprengköpfen ausgerüsteten U-Boote „Le Triomphant“ aus Frankreich und „HMS Vanguard“ aus England, obwohl sie moderne Ortungsgeräte an Bord hatten.
Nimm für die folgenden Berechnungen an, dass sich die beiden U-Boote einige Zeit vor der Kollision auf zwei geradlinigen Kursen bewegen, die durch die folgenden Gleichungen beschrieben werden können:
$g_{Van}: \overrightarrow{x}=\pmatrix{18\\4 \\-10 }+ r \cdot \pmatrix{-2\\0 \\1 }, r \in \mathbb{R}$ (Bahn der „HMS Vanguard“)
$g_{Tri}: \overrightarrow{x}=\pmatrix{24\\-6 \\-8 }+ s \cdot \pmatrix{4\\10 \\1 }, s \in \mathbb{R}$ (Bahn der „Le Triomphant“)
2.2.1
Weise rechnerisch nach, dass sich die beiden U-Boote zunächst auf windschiefen Kursen befinden.
#windschief
2.2.2
Im Punkt $Q(8 \mid 4 \mid -5)$ ihres Kurses ändert die „HMS Vanguard“ ihre Bewegungsrichtung und steuert nun auf den Punkt $R(15 \mid 9 \mid -5)$ zu.
2.2.2.1
Erstelle die Gleichung der Ebene, in der sich die „HMS Vanguard“ aufgrund des Lenkmanövers bewegt, in Parameter-, in Normalen- und in Koordinatenform.
2.2.2.2
Berechne den Punkt $K$, in dem die Bahn der „Le Triomphant“ die Ebene $e_{Van}:5x -7y +10z=-38$ schneidet.
2.2.2.3
Die „HMS Vanguard“ bewege sich infolge des Lenkmanövers ebenfalls auf den Punkt $K$ aus Aufgabenteil 2.2.2.2 zu.
Nehme kritisch Stellung zu der Aussage: „Wenn die U-Boote keine Veränderung an ihren Kursen vornehmen, kollidieren sie im Punkt $K$.“
#parameterform#koordinaten#ebenengleichung#normalenform#schnittpunkt
2.2.3
Eine unbemannte Forschungskapsel ist im Meerboden verankert.
Berechne den Abstand der Bahn der „Le Triomphant“ von der durch $F(12 \mid -48 \mid -8)$ gegebenen Verankerungsstelle, wenn sie sich auf der in 2.2 angegebenen Bahn $g_{Tri}$ bewegt.
Bildnachweise [nach oben]
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Tipps
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2.1.1
$\blacktriangleright$ Vektorielle Gleichung der Bahn aufstellen
In dieser Teilaufgabe sollst du ausgehend von der Annahme die Nautilus bewege sich geradlinig eine vektorielle Gleichung der Bahn der Nautilus aufstellen. Hierfür hast du gegeben, dass sich das U-Boot Nautilus zunächst an der Position $P(3 \mid 4 \mid -3)$ befindet und sich kurze Zeit später an der zweiten Position $T(2 \mid 4 \mid -2,5)$ befindet. Du sollst hierbei annehmen, dass sich die Nautilus geradlinig weiterbewegt.
Du sollst somit aus zwei Punkten eine Geradengleichung in Parameterform bestimmen. Hierzu benötigst du einen Stützvektor und einen Richtungsvektor. Als Stützvektor kannst du einen beliebigen Ortsvektor eines Punktes wählen, welcher auf der Geraden liegt. Den Richtungsvektor kannst du aus dem Verscheibungsvektor der Ortsvektoren der beiden Punkte bestimmen. Für die Geradengleichung $y$ mit dem Parameter $r$ gilt somit:
$y: \overrightarrow{x}= \overrightarrow{0P}+r \cdot \left(\overrightarrow{0T}-\overrightarrow{0O}\right)$
$y: \overrightarrow{x}= \overrightarrow{0P}+r \cdot \left(\overrightarrow{0T}-\overrightarrow{0O}\right)$
$\blacktriangleright$ Kurs beschreiben
Du sollst den Kurs der Nautilus unter Bezugnahme der Himmelsrichtungen beschreiben. Hierfür hast du gegeben, dass die $x$-Achse in Süden und die $y$-Achse in Richtung Osten weißt. Der Richtungsvektor beschreibt die Bewegungsrichtung der Nautilus.
$\blacktriangleright$ Koordinaten des Punktes bestimmen
Du sollst im Modell die Koordinaten des Punktes $W$ bestimmen, indem die Nautilus die Wasseroberfläche erreicht. Du hast gegeben, dass die $x$-$y$-Ebene die Wasseroberfläche darstellt. Somit musst du dir überlegen, welche $z$-Koordinate der Punkt $W$ besitzt. Anschließend kannst du damit den unbekannten Parameter $r$ der Geradengleichung bestimmen und mit dem Parameter $r$ den vollständigen Punkt $W$ berechnen.
Es gilt, da die Wasseroberfläche in der $x$-$y$-Ebene liegt, dass die $z$ Koordinate des Punktes $W$ Null beträgt. Somit gilt $W(x_W \mid y_W \mid 0)$.
2.1.2
$\blacktriangleright$ Winkel berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du den Winkel zwischen der Bewegungsrichtung und der nach oben gerichteten Vertikalen berechnen.
Der Schnittwinkel zwischen zwei Vektoren lässt sich mit der folgenden Formel berechnen:
$\cos\,\alpha=\dfrac{\left|\vec{u} \circ \vec{v}\right|}{\left|\vec{u}\right|\cdot \left|\vec{v}\right|}$
$\cos\,\alpha=\dfrac{\left|\vec{u} \circ \vec{v}\right|}{\left|\vec{u}\right|\cdot \left|\vec{v}\right|}$
Du sollst hierbei den Winkel zwischen der Bewegungsrichtung, also dem Richtungsvektor $\overrightarrow{r}$ und der nach oben gerichteten Vertikalen berechnen $\overrightarrow{v}$ berechnen.
Da die Vertikale nach oben gerichtet ist gilt:
$\overrightarrow{v}= \pmatrix{0\\0 \\ 1}$
Für den Richtungsvektor $\overrightarrow{r}$ gilt:
$\overrightarrow{r}= \pmatrix{-2\\0 \\ 1}$
Daraus kannst du den Winkel $\alpha$ zwischen der Bewegungsrichtung und der nach oben gerichteten Vertikalen bestimmen.
2.1.3
$\blacktriangleright$ Zeit berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du berechnen, wie viele Minuten die Nautilus vom Punkt $(-3 \mid 4 \mid 0)$ aus bis zum Versorgungsschiff benötigt, wenn sie mit einer konstanten Geschwindigkeit von $8 \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ an der Wasseroberfläche fährt.
Berechne den Abstand zwischen der Position des Versorgungsschiffes $A(-43 \mid 34 \mid 0)$ und dem Punkt $R(-3 \mid 4 \mid 0)$. Berechne den Verschiebungsvektor zwischen den zwei Punkten und anschließend kannst du die Länge des Verschiebungsvektors und somit den Abstand bestimmen.
Der Verschiebungsvektor $\overrightarrow{PQ}$ zwischen zwei Punkten $P$ und $Q$ berechnet sich mit den Ortsvektoren folgendermaßen:
$\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{0Q} - \overrightarrow{0P}$
$\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{0Q} - \overrightarrow{0P}$
Beachte hierbei, dass $1$ Längeneinheit $100$ Metern in der Realität entspricht. Anschließend kannst du mit dem Abstand in Metern und der gegebenen Gescchwindigkeit $v$ die benötigte Zeit $t$ berechnen.
2.2.1
$\blacktriangleright$ Windschiefe Kurse nachweisen
In dieser Teilaufgabe sollst du nachweisen, dass sich die beiden U-Boote zunächst auf windschiefen Kursen befinden. Hierfür hast du die Geradengleichungen gegeben, die den geradlinigen Kurs des jeweiligen U-Boots beschreibt. Für den Kurs des U-Boots „Le Triomphant” ist die folgende Geradengleichung gegeben:
$g_{Van}: \overrightarrow{x}=\pmatrix{18\\4 \\-10} + r \cdot \pmatrix{-2\\0 \\1}$
Für den Kurs der „HMS Vanguard” ist die folgende Geradengleichung gegeben:
$g_{Tri}: \overrightarrow{x}=\pmatrix{24\\-6 \\-8} + s \cdot \pmatrix{4\\10 \\1}$
Du sollst nachweisen, dass die beiden Geraden windschief zueinander sind. Gehe hierbei wie folgt vor:
  1. Überprüfe, dass die Richtungsvektoren keine Vielfachen voneinander sind.
  2. Zeige, dass die Geraden keinen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen.
1. Schritt: Richtungsvektoren überprüfen
Du sollst überprüfen, dass die Richtungsvektoren der beiden Geradengleichungen keine Vielfachen voneinader sind. Du sollst also nachweisen, dass es kein $t \in \mathbb{R}$ gibt, sodass folgende Gleichung gilt:
$\pmatrix{-2\\0 \\1}= t \cdot \pmatrix{4\\10 \\1}$
2. Schritt: Gemeinsamen Schnittpunkt berechnen
Du sollst zeigen, dass die Geradengleichungen keinen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen. Setze somit die Geradengleichungen gleich und löse nach den unbekannten Parametern auf.
2.2.2.1
$\,$$\blacktriangleright$ Ebenengleichung in Parameterform bestimmen
Du sollst die Ebenengleichung in Parameterform bestimmen. Hierfür hast du zuerst gegeben, dass sich die „HMS Vanguard“ zuerst auf einem geradlinigen Kurs mit der Geradengleichung
$g_{Van}: \overrightarrow{x}=\pmatrix{18\\4 \\-10} + r \cdot \pmatrix{-2\\0 \\1}$
$g_{Van}: \overrightarrow{x}= \dotsc$
bewegt. Anschließend ändert die „HMS Vanguard“ im Punkt $Q(8 \mid 4 \mid -5)$ ihren Kurs und bewegt sich in Richtung des Punktes $R(15 \mid 9 \mid -5)$.
Die allgemeine Ebenengleichung in Parameterform lautet:
$e: \overrightarrow{x}= \overrightarrow{a} + r \cdot \overrightarrow{b} + t \cdot \overrightarrow{c}$
$e: \overrightarrow{x}= \overrightarrow{a} + r \cdot \overrightarrow{b} + t \cdot \overrightarrow{c}$
Wobei $\overrightarrow{a}$ der Stützvektor zur Ebene $e$ ist und $\overrightarrow{b}$ und $\overrightarrow{c}$ zwei Richtungsvektoren auf der Ebene sind. Den Stützvektor $\overrightarrow{a}$ und den Richtungsvektor $\overrightarrow{b}$ hast du durch die gegebene Geradengleichung bereits gegeben. Du musst nun noch aufgrund des Lenkmanövers den Richtungsvektor $\overrightarrow{c}$ bestimmen.
$\blacktriangleright$  Ebenengleichung in Normalenform bestimmen
Du sollst die Ebenengleichung in Normalenform bestimmen. Zuvor hast du bereits die Ebenengleichung in Parameterform bestimmt. Daraus lässt sich nun die Ebenengleichung in Normalenform bestimmen. Die allgemeine Ebenengleichung in Normalenform lautet:
$e: \overrightarrow{n} \circ \left( \overrightarrow{x}- \overrightarrow{a} \right) = 0 $
$e: \overrightarrow{n} \circ \left( \overrightarrow{x}- \overrightarrow{a} \right) = 0 $
Hierbei bezeichnet $\overrightarrow{n}$ den Normalenvektor, der senkrecht auf der Ebene steht und $\overrightarrow{a}$ den Stützvektor der Ebene. $\overrightarrow{x}$ ist durch $\overrightarrow{x}= \pmatrix{x\\y \\z}$ gegeben. Somit musst du noch den Normalenvektor der Ebene bestimmen. Für den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ gilt folgende Formel:
$ \overrightarrow{n}= \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}$
$ \overrightarrow{n}= \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}$
Die Vektoren $\overrightarrow{b}$ und $\overrightarrow{c}$ sind Richtungsvektoren der Ebene. Die Richtungsvektoren hast du bereits zuvor bestimmt.
$\blacktriangleright$  Ebenengleichung in Koordinatenform bestimmen
Du sollst die Ebenengleichung in Koordinatenform bestimmen. Die allgemeine Ebenengleichung in Koordinatenform lautet:
$e: d_1\cdot x + d_2 \cdot y +d_3 \cdot z -e= 0 $
$e: d_1\cdot x + d_2 \cdot y +d_3 \cdot z -e= 0 $
$e: d_1\cdot \dotsc $
Die Ebenengleichung kannst du bestimmen, indem du das Skalarprodukt in der Ebenengleichung in Normalenform ausmultiplizierst.
2.2.2.2
$\,$ $\blacktriangleright$ Punkt berechnen
Du sollst den Punkt $K$ berechnen, indem die Bahn der „Le Triomphant“ die Ebene $e_{Van}: 5x-7y+10z=-38$ schneidet. Die Bahn der „Le Triomphant“ ist gegeben durch die Geradengleichung:
$g_{Tri}: \overrightarrow{x}=\pmatrix{24\\-6 \\-8} + s \cdot \pmatrix{4\\10 \\1}$
Gehe wie folgt vor:
  1. Beschreibe die Bahn der „Le Triomphant“ als Punkt in Abhängigkeit des Parameters $s$.
  2. Setze die Koordinaten des Punktes in die Ebenengleichung ein und bestimme den Wert des Parameters $s$.
  3. Berechne mit dem Paramter $s$ aus der Geradengleichung die Koordinaten des Schnittpunkts.
2.2.2.3
$\,\blacktriangleright$ Stellung nehmen
Überprüfe die Aussage: „Wenn die U-Boote keine Veränderung an ihren Kursen vornehmen, kollidieren sie im Punkt $K$.“ Nehme hierbei kritisch Stellung zu der gegebenen Aussage. Hierfür hast du gegeben, dass sich die „HMS Vanguard“ infolge des Lenkmanövers ebenfalls auf den Punkt $K$ zubewegt.
Beachte hierbei, dass die U-Boote nur dann kollidieren, wenn sie zur gleichen Zeit am Punkt $K$ sind.
2.2.3
$\blacktriangleright$  Abstand berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du den Abstand zwischen der Bahn der „Le Triomphant“ und dem Punkt $F(12 \mid -48 \mid -8)$ berechnen, wenn sich die „Le Triomphant“ auf der in 2.2 gegebenen Bahn $g_{Tri}$ bewegt. Die Geradengleichung ist folgendermaßen gegeben:
$g_{Tri}: \overrightarrow{x}= \pmatrix{ 24 \\ -6 \\ -8}+s \cdot \pmatrix{ 4 \\ 10 \\ 1}$
$ g_{Tri}: \overrightarrow{x}= \dotsc$
Mit dem Abstand ist die kürzeste Strecke zwischen dem Punkt $F$ und der Geraden $g_{Tri}$ gemeint. Du kannst hierbei den Abstand mit einer Hilfsebene bestimmen. Stelle zunächst die Gleichung einer Hilfsebene auf, welche senkrecht zur gegebenen Gerade $g_{Tri}$ verläuft und durch den Punkt $F$ verläuft. Anschließend kannst du den Schnittpunkt $S$ der Geraden mit der Hilfsebene berechnen. Somit ist der Abstand der Punkte $F$ und $S$ genau die kürzeste Entfernung zwischen dem Punkt $F$ und der Geraden $g_{Tri}$.
Gehe somit wie folgt vor:
  1. Gleichung der Hilfsebene in Normalenform aufstellen.
  2. Koordinatenform der Hilfsebene berechnen.
  3. Geradengleichung als Punkt in Abhängigkeit des Parameters schreiben in Koordinatenform der Hilfsebene einsetzen und den Wert des Parameters bestimmen.
  4. Wert des Parameters in Geradengleichung einsetzen und Schnittpunkt $S$ berechnen.
  5. Länge des Verschiebungsvektors zwischen dem Punkt $F$ und $S$ berechnen.
1. Schritt: Ebenengleichung in Normalenform bestimmen
Die allgemeine Ebenengleichung in Normalenform lautet:
$e: \overrightarrow{n} \circ \left( \overrightarrow{x}- \overrightarrow{a} \right) = 0 $
$e: \overrightarrow{n} \circ \left( \overrightarrow{x}- \overrightarrow{a} \right) = 0 $
Hierbei bezeichnet $\overrightarrow{n}$ den Normalenvektor, der senkrecht auf der Ebene steht und $a$ der Stützvektor der Ebene. $\overrightarrow{x}$ ist durch $\overrightarrow{x}= \pmatrix{x_1\\x_2 \\x_3}$ gegeben. Du weißt, dass die Hilfsebene senkrecht zur Geradengleichung $g_{Tri}$ veräuft. Somit kannst du als Normalenektor den Richtungssvektor der Geradengleichung wählen. Außerdem soll die Hilfsebene durch den Punkt $F$ verlaufen. Wähle also als Stützvektor den Ortsvektor zum Punkt $F$.
2. Schritt: Ebenengleichung in Koordinatenform bestimmen
Du sollst die Ebenengleichung in Koordinatenform bestimmen. Die allgemeine Ebenengleichung in Koordinatenform lautet:
$e: d_1 \cdot x_1 + d_2 \cdot x_2 +d_3 \cdot x_3 -e= 0 $
$e: d_1 \cdot x_1 + d_2 \cdot x_2 +d_3 \cdot x_3 -e= 0 $
$e: d_1 \cdot \dotsc$
Die Ebenengleichung kannst bestimmen, indem du das Skalarprodukt in der Ebenengleichung in Normalenform berechnest.
3. Schritt: Wert des Parameters berechnen
Berechne den Wert des Parameters, indem du die Geradengleichung umschreibst in einen Punkt in Abhängigkeit des Parameters $s$. Die Koordinaten kannst du anchließend in die Ebenengleichung in Koordinatenform einsetzen und den Wert des Parameters $s$ bestimmen.
4. Schritt: Schnittpunkt berechnen
Den Schnittpunkt $S$ kannst du berechnen, indem du den Wert des Parameters $s$ in die Geradengleichung $g_{Tri}$ einsetzt.
5. Schritt: Länge des Verschiebungsvektors berechnen
Du sollst die Länge des Verschiebungsvektors zwischen den Punkten $S$ und $F$ berechnen. Berechne zuerst den Verschiebungsvektor $\overrightarrow{SF}$ und anschließend die Länge des Verschiebungsvektors.
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2.1.1
$\blacktriangleright$ Vektorielle Gleichung der Bahn aufstellen
In dieser Teilaufgabe sollst du ausgehend von der Annahme die Nautilus bewege sich geradlinig eine vektorielle Gleichung der Bahn der Nautilus aufstellen. Hierfür hast du gegeben, dass sich das U-Boot Nautilus zunächst an der Position $P(3 \mid 4 \mid -3)$ befindet und sich kurze Zeit später an der zweiten Position $T(2 \mid 4 \mid -2,5)$ befindet. Du sollst hierbei annehmen, dass sich die Nautilus geradlinig weiterbewegt.
Du sollst somit aus zwei Punkten eine Geradengleichung in Parameterform bestimmen. Hierzu benötigst du einen Stützvektor und einen Richtungsvektor. Als Stützvektor kannst du einen beliebigen Ortsvektor eines Punktes wählen, welcher auf der Geraden liegt. Den Richtungsvektor kannst du aus dem Verscheibungsvektor der Ortsvektoren der beiden Punkte bestimmen. Für die Geradengleichung $y$ mit dem Parameter $r$ gilt somit:
$y: \overrightarrow{x}= \overrightarrow{0P}+r \cdot \left(\overrightarrow{0T}-\overrightarrow{0O}\right)$
$y: \overrightarrow{x}= \overrightarrow{0P}+r \cdot \left(\overrightarrow{0T}-\overrightarrow{0O}\right)$
Somit gilt für die Geradengleichung mit dem Punkt $P(3 \mid 4 \mid -3)$ und dem Punkt $T(2 \mid 4 \mid -2,5)$:
$\begin{array}[t]{rll} y: \overrightarrow{x}&=&\overrightarrow{0P}+r \cdot \left(\overrightarrow{0T}-\overrightarrow{0O}\right)\\[5pt] &=&\pmatrix{3\\4\\-3}+r \cdot \left(\pmatrix{2\\4\\-2,5}-\pmatrix{3\\4\\-3}\right) \\[5pt] &=&\pmatrix{3\\4\\-3}+r \cdot \pmatrix{-1\\0\\0,5}\\[5pt] \end{array}$
$y: \overrightarrow{x}= \dotsc$
$\blacktriangleright$ Kurs beschreiben
Du sollst den Kurs der Nautilus unter Bezugnahme der Himmelsrichtungen beschreiben. Hierfür hast du gegeben, dass die $x$-Achse in Süden und die $y$-Achse in Richtung Osten weißt. Der Richtungsvektor beschreibt die Bewegungsrichtung der Nautilus.
Die Nautilus bewegt sich hierbei in negative $x$-Richtung also in Richtung Norden und bewegt sich in positve $z$-Richtung. Somit steigt die Nautilus in vertikaler Richtung auf.
$\blacktriangleright$ Koordinaten des Punktes bestimmen
Du sollst im Modell die Koordinaten des Punktes $W$ bestimmen, indem die Nautilus die Wasseroberfläche erreicht. Du hast gegeben, dass die $x$-$y$-Ebene die Wasseroberfläche darstellt. Somit musst du dir überlegen, welche $z$-Koordinate der Punkt $W$ besitzt. Anschließend kannst du damit den unbekannten Parameter $r$ der Geradengleichung bestimmen und mit dem Parameter $r$ den vollständigen Punkt $W$ berechnen.
Es gilt, da die Wasseroberfläche in der $x$-$y$-Ebene liegt, dass die $z$ Koordinate des Punktes $W$ Null beträgt. Somit gilt $W(x_W \mid y_W \mid 0)$. Daraus folgt:
$\begin{array}[t]{rll} y: \overrightarrow{x}&=&\pmatrix{x_W\\y_W\\0}\\[5pt] \pmatrix{3\\4\\-3}+r \cdot \pmatrix{-1\\0\\0,5}&=&\pmatrix{x_W\\y_W\\0}\\[5pt] \end{array}$
$\pmatrix{x_W\\y_W\\0} = \dotsc$
Somit gilt für den Parameter $r$:
$\begin{array}[t]{rll} -3 + r\cdot 0,5&=& 0 & \quad \scriptsize \mid \, +3\\[5pt] 0,5 \cdot r &=& 3 \quad \scriptsize \mid \, \cdot 2\\[5pt] r &=& 6 \\[5pt] \end{array}$
$r=6$
Daraus folgt für den Punkt $W$:
$\begin{array}[t]{rll} y: \overrightarrow{x}&=&\pmatrix{3\\4\\-3}+6 \cdot \pmatrix{-1\\0\\0,5}\\[5pt] &=&\pmatrix{-3\\4\\0}\\[5pt] \end{array}$
$\overrightarrow{x}=\pmatrix{-3\\4\\0}$
Somit folgt $W(-3 \mid 4 \mid 0)$.
#ortsvektor#richtungsvektor#schnittpunkt
2.1.2
$\blacktriangleright$ Winkel berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du den Winkel zwischen der Bewegungsrichtung und der nach oben gerichteten Vertikalen berechnen.
Der Schnittwinkel zwischen zwei Vektoren lässt sich mit der folgenden Formel berechnen:
$\cos\,\alpha=\dfrac{\left|\vec{u} \circ \vec{v}\right|}{\left|\vec{u}\right|\cdot \left|\vec{v}\right|}$
$\cos\,\alpha=\dfrac{\left|\vec{u} \circ \vec{v}\right|}{\left|\vec{u}\right|\cdot \left|\vec{v}\right|}$
Du sollst hierbei den Winkel zwischen der Bewegungsrichtung, also dem Richtungsvektor $\overrightarrow{r}$ und der nach oben gerichteten Vertikalen berechnen $\overrightarrow{v}$ berechnen.
Da die Vertikale nach oben gerichtet ist gilt:
$\overrightarrow{v}= \pmatrix{0\\0 \\ 1}$
Für den Richtungsvektor $\overrightarrow{r}$ gilt:
$\overrightarrow{r}= \pmatrix{-2\\0 \\ 1}$
Daraus folgt für den Winkel $\alpha$ zwischen der Bewegungsrichtung und der nach oben gerichteten Vertikalen:
$\begin{array}[t]{rll} \cos \alpha&=&\dfrac{\left|\vec{r} \circ \vec{v}\right|}{\left|\vec{r}\right|\cdot \left|\vec{v}\right|}\\[5pt] &=&\dfrac{\left| \pmatrix{-2\\0\\1} \circ \pmatrix{0\\0 \\ 1} \right|}{\left|\pmatrix{-2\\0\\1} \right|\cdot \left|\pmatrix{0\\0 \\ 1}\right|}\\[5pt] &=&\dfrac{\left| 1 \right|}{\sqrt{(-2)^2+0^2+1^2}\cdot \sqrt{0^2 +0^2+1^2}}\\[5pt] &=&\dfrac{1}{\sqrt{5}} & \quad \scriptsize \mid \, \cos^{-1}(\,)\\[5pt] \alpha&=&\cos^{-1} \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) \\[5pt] &\approx& 63,43^° \\[5pt] \end{array}$
$\alpha \approx 63,43^° $
Der Winkel wischen der Bewegungsrichtung und der ncach oben gerichteten Vertikalen beträgt ungefähr $63,43^°$ und ist damit größer als $45^°$ und somit kann das U-Boot ohne Schäden auftauchen.
#schnittwinkel
2.1.3
$\blacktriangleright$ Zeit berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du berechnen, wie viele Minuten die Nautilus vom Punkt $(-3 \mid 4 \mid 0)$ aus bis zum Versorgungsschiff benötigt, wenn sie mit einer konstanten Geschwindigkeit von $8 \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ an der Wasseroberfläche fährt.
Berechne den Abstand zwischen der Position des Versorgungsschiffes $A(-43 \mid 34 \mid 0)$ und dem Punkt $R(-3 \mid 4 \mid 0)$. Berechne den Verschiebungsvektor zwischen den zwei Punkten und anschließend kannst du die Länge des Verschiebungsvektors und somit den Abstand bestimmen.
Der Verschiebungsvektor $\overrightarrow{PQ}$ zwischen zwei Punkten $P$ und $Q$ berechnet sich mit den Ortsvektoren folgendermaßen:
$\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{0Q} - \overrightarrow{0P}$
$\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{0Q} - \overrightarrow{0P}$
Beachte hierbei, dass $1$ Längeneinheit $100$ Metern in der Realität entspricht. Anschließend kannst du mit dem Abstand in Metern und der gegebenen Geschwindigkeit $v$ die benötigte Zeit $t$ berechnen.
Für den Verschiebungsvektor zwischen den Punkten $A$ und $R$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AR}&=& \overrightarrow{0R}- \overrightarrow{0A}\\[5pt] &=& \pmatrix{-3\\4 \\0} -\pmatrix{-43\\34 \\0}\\[5pt] &=&\pmatrix{40\\-30 \\0} \\[5pt] \end{array}$
$\overrightarrow{AR}=\pmatrix{40\\-30 \\0}$
Für den Abstand $s$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} s&=& \left| \overrightarrow{AR} \right| \\[5pt] &=& \left| \pmatrix{40\\-30 \\0} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{40^2 + (-30)^2 +0^2} \\[5pt] &=& 50\\[5pt] \end{array}$
$ s=50$
Somit besitzen die Punkte einen Abstand von $5.000 \text{ m}$ und daraus kannst du die benötigte Zeit wie folgt mit der Geschwindigkeit von $8 \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} t&=&\dfrac{s}{v} \\[5pt] &=& \dfrac{5.000 \text{ m}}{8 \frac{\text{m}}{\text{s}}}\\[5pt] &=& 625 \text{ s}\\[5pt] &\approx& 10,5 \text{ min} \end{array}$
$t \approx 10,5 \text{ min}$
Daraus folgt, dass die Nautilus $625$ Sekunden also etwa $10,5$ Minuten benötigt zum Versorgungsschiff.
#ortsvektor#verbindungsvektor
2.2.1
$\blacktriangleright$ Windschiefe Kurse nachweisen
In dieser Teilaufgabe sollst du nachweisen, dass sich die beiden U-Boote zunächst auf windschiefen Kursen befinden. Hierfür hast du die Geradengleichungen gegeben, die den geradlinigen Kurs des jeweiligen U-Boots beschreibt. Für den Kurs des U-Boots „Le Triomphant” ist die folgende Geradengleichung gegeben:
$g_{Van}: \overrightarrow{x}=\pmatrix{18\\4 \\-10} + r \cdot \pmatrix{-2\\0 \\1}$
Für den Kurs der „HMS Vanguard” ist die folgende Geradengleichung gegeben:
$g_{Tri}: \overrightarrow{x}=\pmatrix{24\\-6 \\-8} + s \cdot \pmatrix{4\\10 \\1}$
Du sollst nachweisen, dass die beiden Geraden windschief zueinander sind. Gehe hierbei wie folgt vor:
  1. Überprüfe, dass die Richtungsvektoren keine Vielfachen voneinander sind.
  2. Zeige, dass die Geraden keinen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen.
1. Schritt: Richtungsvektoren überprüfen
Du sollst überprüfen, dass die Richtungsvektoren der beiden Geradengleichungen keine Vielfachen voneinader sind. Du sollst also nachweisen, dass es kein $t \in \mathbb{R}$ gibt, sodass folgende Gleichung gilt:
$\pmatrix{-2\\0 \\1}= t \cdot \pmatrix{4\\10 \\1}$
Aus der Gleichung erhältst du drei verschiedene Gleichungen. Zeige, dass es kein $t$ gibt, sodass alle drei Gleichungen erfüllt sind. Für die erste Gleichung gilt:
$\begin{array}[t]{rll} I:&-2&=& t \cdot 4 &\quad \scriptsize \mid\;:4 \\[5pt] &t&=& -\dfrac{1}{2} \end{array}$
Das Ergebnis für $t$ kannst du nun beispielsweise in die dritte Gleichung einsetzen und überprüfen, ob die Gleichung für $t=-\dfrac{1}{2}$ erfüllt ist. Es gilt:
$\begin{array}[t]{rll} III:& 1&=& t \cdot 1 \\[5pt] & 1&=& -\dfrac{1}{2} \cdot 1 \\[5pt] & 1&=& -\dfrac{1}{2} \\[5pt] \end{array}$
Somit hast du gezeigt, dass es kein $t \in \mathbb{R}$ gibt, sodass alle drei Gleichungen erfüllt sind und deshalb sind die Richtungsvektoren keine Vielfachen voneinander.
2. Schritt: Gemeinsamen Schnittpunkt berechnen
Du sollst zeigen, dass die Geradengleichungen keinen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen. Setze somit die Geradengleichungen gleich und löse nach den unbekannten Parametern auf. Hierbei gilt
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{18\\4 \\-10} + r \cdot \pmatrix{-2\\0 \\1} &=& \pmatrix{24\\-6 \\-8}+ s \cdot \pmatrix{4\\10 \\ 1} & \quad \scriptsize \mid \, -\pmatrix{18\\4 \\-10} \\[5pt] r \cdot \pmatrix{-2\\0 \\1} &=& \pmatrix{6\\-10 \\2} + s \cdot \pmatrix{4\\10 \\ 1} & \quad \scriptsize \mid \, -s \cdot \pmatrix{4\\10 \\1} \\[5pt] r \cdot \pmatrix{-2\\0 \\1} + s \cdot \pmatrix{-4\\-10 \\ -1} &=& \pmatrix{6\\-10 \\2} \\[5pt] \end{array}$
$r \cdot \pmatrix{-2\\0 \\1} + \dotsc$
Daraus folgen die Gleichungen:
$\begin{array}[t]{rll} I:& -2\cdot r -4 \cdot s&=& 6 \\[5pt] II:& 0 \cdot r -10 \cdot s&=& -10 \\[5pt] III:& 1 \cdot r -1 \cdot s&=& 2 \\[5pt] \end{array}$
Gleichungen
Aus Gleichung $II$ folgt entsprechend für den Parameter $r$:
$\begin{array}[t]{rll} -10 \cdot s &=& -10 & \quad \scriptsize \mid \, :(-10) \\[5pt] s&=& 1 \\[5pt] \end{array}$
$ s=1$
Du kannst anschließend den Wert für den Parameter $s$ in die Gleichung $I$ einsetzen und den Wert des Parameters $r$ bestimmen. Daraus folgt:
$\begin{array}[t]{rll} -2 \cdot r -4 \cdot s &=& 6 \\[5pt] -2 \cdot r -4 \cdot 1&=& 6 & \quad \scriptsize \mid \, +4 \\[5pt] -2 \cdot r &=& 10 & \quad \scriptsize \mid \, :(-2) \\[5pt] r &=& -5 \\[5pt] \end{array}$
$r=-5$
Die Werte für die Paramter kannst du nun in die Gleichung $III$ einsetzen und überprüfen, ob dies zu einer wahren Aussage führt. Führt dies zu einer wahren Aussage besitzen die Geraden einen gemeinsamen Schnittpunkt. Führt dies zu einer falschen Aussage besitzen die Geraden keinen gemeinsamen Schnittpunkt. Hierbei gilt:
$\begin{array}[t]{rll} 1 \cdot r -1 \cdot s&=& 2 \\[5pt] 1 \cdot (-5) -1 \cdot 1&=& 2 \\[5pt] -6&=& 2 \\[5pt] \end{array}$
$-6=2$
Da $-6 \neq 2 $ gilt, ist die Aussage falsch und damit besitzen die Geraden keinen gemeinsamen Schnittpunkt.
Somit hast du gezeigt, dass die Geraden windschief zueinander sind und die Kurse der U-Boote windschief verlaufen.
#richtungsvektor#schnittpunkt
2.2.2.1
$\,$$\blacktriangleright$ Ebenengleichung in Parameterform bestimmen
Du sollst die Ebenengleichung in Parameterform bestimmen. Hierfür hast du zuerst gegeben, dass sich die „HMS Vanguard“ zuerst auf einem geradlinigen Kurs mit der Geradengleichung
$g_{Van}: \overrightarrow{x}=\pmatrix{18\\4 \\-10} + r \cdot \pmatrix{-2\\0 \\1}$
$g_{Van}: \overrightarrow{x}= \dotsc$
bewegt. Anschließend ändert die „HMS Vanguard“ im Punkt $Q(8 \mid 4 \mid -5)$ ihren Kurs und bewegt sich in Richtung des Punktes $R(15 \mid 9 \mid -5)$.
Die allgemeine Ebenengleichung in Parameterform lautet:
$e: \overrightarrow{x}= \overrightarrow{a} + r \cdot \overrightarrow{b} + t \cdot \overrightarrow{c}$
$e: \overrightarrow{x}= \overrightarrow{a} + r \cdot \overrightarrow{b} + t \cdot \overrightarrow{c}$
Wobei $\overrightarrow{a}$ der Stützvektor zur Ebene $e$ ist und $\overrightarrow{b}$ und $\overrightarrow{c}$ zwei Richtungsvektoren auf der Ebene sind. Den Stützvektor $\overrightarrow{a}$ und den Richtungsvektor $\overrightarrow{b}$ hast du durch die gegebene Geradengleichung bereits gegeben. Du musst nun noch aufgrund des Lenkmanövers den Richtungsvektor $\overrightarrow{c}$ bestimmen.
Diesen Richtungsvektor kannst du durch den Verschiebungsvektor des Punktes $Q$ zum Punkt $R$ bestimmen. Es gilt:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{c} &=& \overrightarrow{QR} \\[5pt] &=& \overrightarrow{0R} - \overrightarrow{0Q} \\[5pt] &=& \pmatrix{15\\9 \\-5} - \pmatrix{8\\4 \\-5} \\[5pt] &=& \pmatrix{7\\5 \\0} \\[5pt] \end{array}$
$\overrightarrow{c}=\pmatrix{7\\5 \\0} $
Daraus folgt für die Ebenengleichung in Parameterform:
$e_{Van}: \overrightarrow{x}= \pmatrix{18\\4 \\-10} + r \cdot \pmatrix{-2\\0 \\1} + t \cdot \pmatrix{7\\5 \\0}$
$e_{Van}: \dotsc$
$\blacktriangleright$  Ebenengleichung in Normalenform bestimmen
Du sollst die Ebenengleichung in Normalenform bestimmen. Zuvor hast du bereits die Ebenengleichung in Parameterform bestimmt. Daraus lässt sich nun die Ebenengleichung in Normalenform bestimmen. Die allgemeine Ebenengleichung in Normalenform lautet:
$e: \overrightarrow{n} \circ \left( \overrightarrow{x}- \overrightarrow{a} \right) = 0 $
$e: \overrightarrow{n} \circ \left( \overrightarrow{x}- \overrightarrow{a} \right) = 0 $
Hierbei bezeichnet $\overrightarrow{n}$ den Normalenvektor, der senkrecht auf der Ebene steht und $\overrightarrow{a}$ den Stützvektor der Ebene. $\overrightarrow{x}$ ist durch $\overrightarrow{x}= \pmatrix{x\\y \\z}$ gegeben. Somit musst du noch den Normalenvektor der Ebene bestimmen. Für den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ gilt folgende Formel:
$ \overrightarrow{n}= \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}$
$ \overrightarrow{n}= \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}$
Die Vektoren $\overrightarrow{b}$ und $\overrightarrow{c}$ sind Richtungsvektoren der Ebene. Die Richtungsvektoren hast du bereits zuvor bestimmt. Somit folgt für den Normalenvektor der Ebene:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n} &=& \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c} \\[5pt] &=& \pmatrix{-2\\0 \\1} \times \pmatrix{7\\5 \\0} \\[5pt] &=& \pmatrix{0 \cdot 0 - 1 \cdot 5\\1 \cdot 7 - (-2) \cdot 0 \\ -2 \cdot 5 - 0 \cdot 7} \\[5pt] &=& \pmatrix{-5\\7 \\-10} \\[5pt] \end{array}$
$\overrightarrow{n} =\pmatrix{-5\\7 \\-10}$
Daraus folgt für die Ebene in Normalengleichung mit dem Stützvektor $\overrightarrow{a}=\pmatrix{18\\4 \\-10}$:
$e: \pmatrix{-5\\7 \\-10} \circ \left( \pmatrix{x\\y \\z}- \pmatrix{18\\4 \\-10} \right) = 0 $
$e: \pmatrix{-5\\7 \\-10} \circ \dotsc$
$\blacktriangleright$  Ebenengleichung in Koordinatenform bestimmen
Du sollst die Ebenengleichung in Koordinatenform bestimmen. Die allgemeine Ebenengleichung in Koordinatenform lautet:
$e: d_1\cdot x + d_2 \cdot y +d_3 \cdot z -e= 0 $
$e: d_1\cdot x + d_2 \cdot y +d_3 \cdot z -e= 0 $
$e: d_1\cdot \dotsc $
Die Ebenengleichung kannst du bestimmen, indem du das Skalarprodukt in der Ebenengleichung in Normalenform ausmultiplizierst. Somit folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{-5\\7 \\-10} \circ \left( \pmatrix{x\\y \\z}- \pmatrix{18\\4 \\-10} \right) &=& 0 \\[5pt] \pmatrix{-5\\7 \\-10} \circ \pmatrix{x -18\\y -4 \\z+10} &=& 0\\[5pt] -5 \cdot x -18 \cdot (-5) +7 \cdot y -28 -10\cdot z -100&=& 0 \\[5pt] -5 \cdot x +7 \cdot y -10 \cdot z -38&=& 0\\[5pt] \end{array}$
$-5x +7y -10z -38=0$
Damit gilt für die Ebenengleichung in Koordinatenform:
$e: -5 \cdot x +7 \cdot y -10 \cdot z -3838 = 0 $
$e: -5x + \dotsc$
2.2.2.2
$\,$ $\blacktriangleright$ Punkt berechnen
Du sollst den Punkt $K$ berechnen, indem die Bahn der „Le Triomphant“ die Ebene $e_{Van}: 5x-7y+10z=-38$ schneidet. Die Bahn der „Le Triomphant“ ist gegeben durch die Geradengleichung:
$g_{Tri}: \overrightarrow{x}=\pmatrix{24\\-6 \\-8} + s \cdot \pmatrix{4\\10 \\1}$
Gehe wie folgt vor:
  1. Beschreibe die Bahn der „Le Triomphant“ als Punkt in Abhängigkeit des Parameters $s$.
  2. Setze die Koordinaten des Punktes in die Ebenengleichung ein und bestimme den Wert des Parameters $s$.
  3. Berechne mit dem Paramter $s$ aus der Geradengleichung die Koordinaten des Schnittpunkts.
1. Schritt: Punkt bestimmen
Du kannst die Bahn der „Le Triomphant“ als Punkt in Abhängigkeit des Parameters $s$ angeben. Dadurch folgt:
$g_{Tri}: \overrightarrow{x}=\pmatrix{24+4s\\-6+10s \\-8+s}$
2. Schritt: Parameter bestimmen
Setze die Koordinaten des Punktes in Abhängigkeit des Parameters $s$ in die gegebene Ebenengleichung mit $e_{Van}: 5x-7y+10z=-38$ ein und bestimme daraus den Parameter $s$. Damit folgt:
$\begin{array}[t]{rll} 5x-7y+10z&=& -38 \\[5pt] 5 \cdot (24+4s) - 7 \cdot (-6+10s) +10 \cdot (-8+s) &=& -38\\[5pt] 120 +20\cdot s +42 -70s -80 +10\cdot s&=& -38 \\[5pt] 82 -40 \cdot s&=& -38 & \quad \scriptsize \mid \, -82\\[5pt] -40 \cdot s&=& -120 & \quad \scriptsize \mid \, :(-40)\\[5pt] s&=& 3 \\[5pt] \end{array}$
$s=3$
3. Schritt: Schnittpunkt bestimmen
Du kannst nun den Wert für den Parameter $r$ in die Geradengleichung
$g_{Tri}: \overrightarrow{x}=\pmatrix{24\\-6 \\-8} + s \cdot \pmatrix{4\\10 \\1}$
einsetzen und erhältst dadurch die Koordinaten des Schnittpunkts. Es folgt:
$\begin{array}[t]{rll} g_{Tri}: \overrightarrow{x}&=& \pmatrix{24\\-6 \\-8} + s \cdot \pmatrix{4\\10 \\1} \\[5pt] &=& \pmatrix{24\\-6 \\-8} + 3 \cdot \pmatrix{4\\10 \\1} \\[5pt] &=& \pmatrix{36\\24 \\-5} \\[5pt] \end{array}$
$\overrightarrow{x}=\pmatrix{36\\24 \\-5}$
Somit schneidet die Bahn der „Le Triomphant“ die Ebene $e_{Van}$ im Punkt $K(36 \mid 24 \mid -5)$.
2.2.2.3
$\,\blacktriangleright$ Stellung nehmen
Überprüfe die Aussage: „Wenn die U-Boote keine Veränderung an ihren Kursen vornehmen, kollidieren sie im Punkt $K$.“ Nehme hierbei kritisch Stellung zu der gegebenen Aussage. Hierfür hast du gegeben, dass sich die „HMS Vanguard“ infolge des Lenkmanövers ebenfalls auf den Punkt $K$ zubewegt.
Beachte hierbei, dass die U-Boote nur dann kollidieren, wenn sie zur gleichen Zeit am Punkt $K$ sind.
Du hast hierbei keine Angabe, welche Geschwindigkeiten die U-Boote besitzen, somit kannst du keine Aussage darüber treffen, zu welcher Zeit sie an welchem Ort sind.
#normalenvektor
2.2.3
$\blacktriangleright$  Abstand berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du den Abstand zwischen der Bahn der „Le Triomphant“ und dem Punkt $F(12 \mid -48 \mid -8)$ berechnen, wenn sich die „Le Triomphant“ auf der in 2.2 gegebenen Bahn $g_{Tri}$ bewegt. Die Geradengleichung ist folgendermaßen gegeben:
$g_{Tri}: \overrightarrow{x}= \pmatrix{ 24 \\ -6 \\ -8}+s \cdot \pmatrix{ 4 \\ 10 \\ 1}$
$ g_{Tri}: \overrightarrow{x}= \dotsc$
Mit dem Abstand ist die kürzeste Strecke zwischen dem Punkt $F$ und der Geraden $g_{Tri}$ gemeint. Du kannst hierbei den Abstand mit einer Hilfsebene bestimmen. Stelle zunächst die Gleichung einer Hilfsebene auf, welche senkrecht zur gegebenen Gerade $g_{Tri}$ verläuft und durch den Punkt $F$ verläuft. Anschließend kannst du den Schnittpunkt $S$ der Geraden mit der Hilfsebene berechnen. Somit ist der Abstand der Punkte $F$ und $S$ genau die kürzeste Entfernung zwischen dem Punkt $F$ und der Geraden $g_{Tri}$.
Gehe somit wie folgt vor:
  1. Gleichung der Hilfsebene in Normalenform aufstellen.
  2. Koordinatenform der Hilfsebene berechnen.
  3. Geradengleichung als Punkt in Abhängigkeit des Parameters schreiben in Koordinatenform der Hilfsebene einsetzen und den Wert des Parameters bestimmen.
  4. Wert des Parameters in Geradengleichung einsetzen und Schnittpunkt $S$ berechnen.
  5. Länge des Verschiebungsvektors zwischen dem Punkt $F$ und $S$ berechnen.
1. Schritt: Ebenengleichung in Normalenform bestimmen
Die allgemeine Ebenengleichung in Normalenform lautet:
$e: \overrightarrow{n} \circ \left( \overrightarrow{x}- \overrightarrow{a} \right) = 0 $
$e: \overrightarrow{n} \circ \left( \overrightarrow{x}- \overrightarrow{a} \right) = 0 $
Hierbei bezeichnet $\overrightarrow{n}$ den Normalenvektor, der senkrecht auf der Ebene steht und $a$ der Stützvektor der Ebene. $\overrightarrow{x}$ ist durch $\overrightarrow{x}= \pmatrix{x_1\\x_2 \\x_3}$ gegeben. Du weißt, dass die Hilfsebene senkrecht zur Geradengleichung $g_{Tri}$ veräuft. Somit kannst du als Normalenektor den Richtungssvektor der Geradengleichung wählen. Außerdem soll die Hilfsebene durch den Punkt $F$ verlaufen. Wähle also als Stützvektor den Ortsvektor zum Punkt $F$.
Somit gilt $\overrightarrow{n}=\pmatrix{4 \\ 10 \\ 1}$ und $\overrightarrow{a}=\pmatrix{12 \\ -48 \\ -8}$. Daraus folgt folgende Ebenengleichung in Parameterform:
$e: \pmatrix{4\\10 \\1} \circ \left( \pmatrix{x_1\\x_2 \\x_3}- \pmatrix{12\\-48 \\-8} \right) = 0 $
$e: \pmatrix{4\\10 \\1} \circ \dotsc$
2. Schritt: Ebenengleichung in Koordinatenform bestimmen
Du sollst die Ebenengleichung in Koordinatenform bestimmen. Die allgemeine Ebenengleichung in Koordinatenform lautet:
$e: d_1 \cdot x_1 + d_2 \cdot x_2 +d_3 \cdot x_3 -e= 0 $
$e: d_1 \cdot x_1 + d_2 \cdot x_2 +d_3 \cdot x_3 -e= 0 $
$e: d_1 \cdot \dotsc$
Die Ebenengleichung kannst bestimmen, indem du das Skalarprodukt in der Ebenengleichung in Normalenform berechnest. Somit folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{4\\10 \\1} \circ \left( \pmatrix{x_1\\x_2 \\x_3}- \pmatrix{12\\-48 \\-8} \right) &=& 0 \\[5pt] \pmatrix{4\\10 \\1} \circ \pmatrix{x_1 -12\\x_2 +48 \\x_3+8} &=& 0\\[5pt] 4 \cdot x_1 -48 +10 \cdot x_2 +10 \cdot 48 +1\cdot x_3 +8&=& 0 \\[5pt] 4 \cdot x_1 +10 \cdot x_2 + x_3 +440&=& 0\\[5pt] \end{array}$
$4x_1 + 10x_2 +\dotsc $
Damit gilt für die Ebenengleichung in Koordinatenform:
$e: 4x_1 + 10x_2 + x_3 +440 = 0 $
3. Schritt: Wert des Parameters berechnen
Berechne den Wert des Parameters, indem du die Geradengleichung umschreibst in einen Punkt in Abhängigkeit des Parameters $s$. Für die Geradengleichung gilt:
$g_{Tri}: \overrightarrow{x}= \pmatrix{ 24 \\ -6 \\ -8}+s \cdot \pmatrix{ 4 \\ 10 \\ 1}$
Somit gilt für den Punkt in Abhängigkeit des Parameters $\pmatrix{24 + 4s \\ -6 +10s \\ -8 +s}$. Die Koordinaten kannst du in die Ebenengleichung in Koordinatenform einsetzen und den Wert des Parameters $s$ bestimmen. Somit folgt:
$\begin{array}[t]{rll} 4 \cdot x_1 + 10 \cdot x_2 + x_3 +440 &=& 0 \\[5pt] 4 \cdot (24 +4s) + 10 \cdot (-6+10s) + (-8+s) +440 &=& 0\\[5pt] 96 +16s -60 +100s -8 +s +440 &=& 0 \\[5pt] 117s +468&=& 0 & \quad \scriptsize \mid \, -468\\[5pt] 117s &=& -468 & \quad \scriptsize \mid \, :117\\[5pt] s &=& -4 \end{array}$
$s=-4$
4. Schritt: Schnittpunkt berechnen
Den Schnittpunkt $S$ kannst du berechnen, indem du den Wert des Parameters $s$ in die Geradengleichung $g_{Tri}$ einsetzt. Somit folgt:
$\begin{array}[t]{rll} g_{Tri}: \overrightarrow{x} &=& \pmatrix{ 24 \\ -6 \\ -8}+s \cdot \pmatrix{ 4 \\ 10 \\ 1} \\[5pt] &=& \pmatrix{ 24 \\ -6 \\ -8}+(-4) \cdot \pmatrix{ 4 \\ 10 \\ 1} \\[5pt] &=& \pmatrix{ 8 \\ -46 \\ -12} \\[5pt] \end{array}$
$g_{Tri}: \overrightarrow{x}= \dotsc$
Somit gilt für den Schnittpunkt $S(8 \mid -46 \mid -12)$.
5. Schritt: Länge des Verschiebungsvektors berechnen
Du sollst die Länge des Verschiebungsvektors zwischen den Punkten $S$ und $F$ berechnen. Berechne zuerst den Verschiebungsvektor $\overrightarrow{SF}$ und anschließend die Länge des Verschiebungsvektors.
Für den Verschiebungsvektor $\overrightarrow{SF}$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{SF} &=& \overrightarrow{0F} -\overrightarrow{0S} \\[5pt] &=& \pmatrix{ 12 \\ -48 \\ -8}- \pmatrix{ 8 \\ -46 \\ -12}\\[5pt] &=& \pmatrix{ 4 \\ -2 \\ 4} \\[5pt] \end{array}$
$\overrightarrow{SF}=\pmatrix{ 4 \\ -2 \\ 4} $
Daraus folgt für die Länge des Verschiebungsvektors:
$\begin{array}[t]{rll} \left | \overrightarrow{SF} \right|&=& \left| \pmatrix{ 4 \\ -2 \\ -4} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{ 4^2 + (-2)^2 +4^2}\\[5pt] &=& \sqrt{ 16 + 4 + 16} \\[5pt] &=& \sqrt{36} \\[5pt] &=& 6 \\[5pt] \end{array}$
$\left | \overrightarrow{SF} \right|=6$
Somit beträgt der Abstand zwischen dem Punkt $F$ und der Geraden $6 \text{ LE}$ also entsprechend $600$ Meter.
#normalenform#verbindungsvektor#abstand#koordinatenform
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