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Aufgabe 3 - Wahrscheinlichkeitstheorie

Aufgaben
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Der Traum vom Goldrausch geht weiter: In Alaska kann erfolgreich nach Gold gesucht werden.
3.1
In Alaska enthalten $65\,\%$ des Bodens so viel Gold, dass er als ertragreich angesehen werden kann. Bevor Schatzsucher ihren Claim (Schürfgebiet) abstecken, werden Probebohrungen durchgeführt. Diese sollen Aufschluss über die Goldhaltigkeit des Bodens liefern. Ist der Boden tatsächlich ertragreich, so ergibt dies die Probebohrung in $73\,\%$ aller Fälle. Ist der Boden nicht ertragreich, so ergibt dies die Probebohrung in $80\,\%$ der Fälle.
3.1.1
Erstelle zu der beschriebenen Situation ein beschriftetes Baumdiagramm.
#baumdiagramm
3.1.2
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Boden ertragreich ist und die Probebohrung dies anzeigt.
#wahrscheinlichkeit
3.1.3
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Probebohrung ertragreichen Boden anzeigt.
3.1.4
Zeige: Weist die Probebohrung ertragreichen Boden aus, so ist mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa $87\,\%$ der Boden auch wirklich ertragreich.
3.2
Der Chef der Goldgräberfirma „Lucky-Search“ hat sechs Arbeitsplätze zu besetzen. Für die Crew haben sich $40$ Personen beworben, davon $13$ Personen ohne Erfahrung und $27$ Personen mit Erfahrung im Goldschürfen.
3.2.1
Der Chef wählt die Person ohne Berücksichtigung der Eignung nach einem Losverfahren aus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er vier Personen ohne Erfahrung und zwei Personen mit Erfahrung im Goldschürfen auswählt?
3.2.2
Angenommen, ein guter Freund des Chefs mit Goldschürfererfahrung befindet sich unter den Bewerbern und wird daher eingestellt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Chef für sein Team darüber hinaus zufällig genau einen Bewerber ohne Erfahrung auswählt.
3.3
Im langjährigen Mittel werden $4$ von $7$ Goldschürftagen durch den Chef als zufriedenstellend klassifiziert. Die Schürfsaison dauert insgesamt $154$ Tage.
3.3.1
Es wird von einer Super-Saison gesprochen, wenn mindestens $98\,\%$ aller $154$ Schürftage zufriedenstellend ablaufen. Beschreiben ein Verfahren, um die Wahrscheinlichkeit für eine Super-Saison zu bestimmen.
3.3.2
Berechne, wie viele zufriendenstellende Tage erwartet werden können und wie groß die Streuung hierbei ist.
3.3.3
Betrachtet werden nun $14$ zufällig ausgewählte Schürftage. Zeige, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa $18\,\%$ genau die Hälfte dieser Schürftage zufriedenstellend verläuft.
3.4
Jede der zahlreichen Maschinen in Abbaugebiet lässt sich durchschnittlich nur in $5$ von $8$ Fällen unmittelbar starten. Berechne, bei mindestens wie vielen Maschinen das Starten versucht werden muss, damit mit mehr als $95\,\%$iger Sicherheit wenigstens eine unmittelbar anspringt.
3.5
Zwei weitere Goldgräberunternehmen „Nugget“ und „Glory“ versuchen im Abbaugebiet ihr Glück. Die Firma „Nugget“ findet mit einer Wahrscheinlichkeit von $\dfrac{2}{3}$ eine gewinnbringende Menge an Gold. Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Firmen eine gewinnbringende Menge finden, beträgt $\dfrac{10}{21}$ und die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestes eine der Firmen eine gewinnbringende Menge findet, beträgt $\dfrac{19}{21}$.
Im Folgenden wird thematisiert, ob die Unternehmen „Nugget“ und „Glory“ die Gewinne im beschriebenen Modell stochastisch unabhängig oder abhängig voneinander erwirtschaften.
3.5.1
Zeige: Die Wahrscheinichkeit, dass die Firma „Glory“ gewinnbringend schürft, beträgt $\dfrac{5}{7}$.
3.5.2
Untersuche rechnnerisch die Ereignisse
N: „Firma Nugget findet eine gewinnbringende Menge an Gold“ und
G: „Firma Glory findet eine gewinnbringende Menge an Gold“
auf Unabhängigkeit.
#stochastischeunabhängigkeit
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Tipps
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3.1.1
$\blacktriangleright$  Baumdiagramm erstellen
In dieser Teilaufgabe sollst du ein Baumdiagramm zur beschriebenen Situation erstellen und das Baumdiagramm mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten und Ereignissen beschriften.
Definiere zuerst die verschiedenen Ereignisse. Bezeichne beispielsweise das Ereignis, dass der Boden als ertragreich angesehen wird mit $E$ und das Ereignis, dass die Probebohrung ertragreichen Boden anzeigt mit $B$.
Du hast gegeben, dass $65\,\%$ des Bodens als ertragreich angesehen wird. Somit gilt $P(E)=0,65$. Außerdem hast du gegeben, dass die Wahrscheinlichkeit, dass die Probebohrung einen ertragreichen Boden anzeigt, unter der Vorausssetzung, dass der Boden wirklich als ertragreich angesehen wird $73\,\%$ beträgt. Hierbei handelt es sich um eine bedingte Wahrscheinlichkeit, da die Wahrscheinlichkeit dafür gegeben ist, dass das Ereignis $P$ eintritt unter der Voraussetzung, dass Ereignis $E$ bereits gilt. Somit gilt $P_E(B)=0,73$. Entsprechend gilt für die Wahrscheinlichkeit, dass die Probebohrung anzeigt, dass der Boden nicht ertragreich ist unter der Voraussetzung das der Boden wirklich nicht ertragreich ist $P_{\overline{E}}\left(\overline{B}\right)=0,8$.
3.1.2
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Du sollst die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass der Boden ertragreich ist und die Probebohrung dies anzeigt. Somit sollst du die Wahrscheinlichkeit $P(E \cap P)$ bestimmen. Aus der Aufgabenstellung hast du hierfür bereits die Wahrscheinlichkeit $P_E(P)$ und $P(E)$ gegeben. Somit kannst du die Formel von Bayes verwenden. Die Formel von Bayes lautet für die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis $A$ eintritt unter der Voraussetzung, dass das Ereignis $B$ bereits eingetreten ist:
$P_B(A)=\dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$
$P_B(A)=\dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$
Entsprechend kannst du mit den gegebenen Wahrscheinlichkeiten $P_E(P)=0,73$ und $P(E)=0,65$ die gesuchte Wahrscheinlicheit $P(E \cap P)$ bestimmen.
3.1.3
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
Du sollst die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass eine Probebohrung ertragreichen Boden anzeigt. Das bedeutet, dass du die Wahrscheinlichkeit $P(B)$ bestimmen sollst. Aus dem Baumdiagramm hast du die Wahrscheinlichkeiten $P_E(B)$, $P(E)$, $P_{\overline{E}}(B)$ und $P\left(\overline{E}\right)$ gegeben. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit kannst du mit der Formel zur totalen Wahrscheinlichkeit bestimmen. Die Formel für die totale Wahrscheinlichkeit lautet für die gegebene Aufgabenstellung:
$P(B)=P_E(B)\cdot P(E) + P_{\overline{E}}(B) \cdot P\left(\overline{E}\right)$
$P(B)=P_E(B)\cdot P(E) + P_{\overline{E}}(B) \cdot P\left(\overline{E}\right)$
$P(B)=P_E(B) \cdot P(E) + \dotsc$
3.1.4
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit nachweisen
Du sollst zeigen, dass falls die Probebohrung ertragreichen Boden nachweist der Boden mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa $87\,\%$ auch wirklich ertragreich ist. Du sollst somit nachweisen, dass $P_B(E) \approx 0,87$ gilt. In den Teilaufgaben zuvor hast du bereits die Wahrscheinlichkeiten $P(E \cap B)$ und $P(B)$ bestimmen. Mit dem Satz von Bayes kannst du dadurch die Wahrscheinlichkeit $P_B(E)$ bestimmen.
3.2.1
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
Du sollst die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass der Chef vier Personen ohne Erfahrung und zwei Personen mit Erfahrung im Goldschürfen auswählt. Hierfür hast du gegeben, dass der Chef ohne Berücksichtigung der Eignung nach einem Losverfahren auswählt. Außerdem haben sich insgesamt $40$ Personen beworben, wobei davon $13$ Personen ohne Erfahrung und $27$ Personen mit Erfahrung im Goldschürfen sind.
Hierbei handelt es sich um Ziehen ohne zurücklegen, da eine bestimmte Person nicht zweimal ausgewählt werden kann. Deshalb musst du beachten, dass sich die Wahrscheinlichkeit nach dem auswählen aufgrund der veränderten Personenanzahl ändert.
Somit handelt es sich hierbei um eine hypergeometrische Verteilung, wobei hierbei zwei Zufallsvariablen betrachtet werde. Somit sind die zwei Zufallsvariablen zweidimensional hypergeometrisch verteilt. Für die Wahrscheinlichkeit einer zweidimensionalen hypergeometrischen Verteilung folgt:
$P(X_1=k_1,X_2=k_2)=\dfrac{ \binom{r_1}{k_1} \cdot \binom{r_2}{k_2}}{\binom{r_1+r_2}{k_1+k_2}}$
$P(X_1=k_1,X_2=k_2)=\dfrac{ \binom{r_1}{k_1} \cdot \binom{r_2}{k_2}}{\binom{r_1+r_2}{k_1+k_2}}$
$P(X_1=k_1,X_2=k_2)=\dotsc$
Es gilt, dass $r_1$ die Anzahl der Personen ohne Erfahrung beschreibt und $r_2$ die Anzahl der Personen mit Erfahrung.
In der Aufgabenstellung ist gegeben, dass $r_1=13$ und $r_2=27$ gilt.
Weiter bezeichnet $X_1$ die Anzahl der ausgewählten Personen ohne Erfahrung und $X_2$ die Anzahl der ausgewählten Personen mit Erfahrung. Somit ist die Wahrscheinlichkeit $P(X_1=4, X_2=2)$ gesucht.
3.2.2
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
Du hast gegeben, dass der Chef einen guten Freund mit Goldschürferfahrung, der sich unter den Bewerbern befindet, einstellt und sollst die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass der Chef darüber hinaus zufällig genau einen Bewerber ohne Erfahrung auswählt. Somit sollst du die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass der Chef genau einen Bewerber ohne Erfahrung auswählt, wobei du hierbei beachten musst, dass er nach seinem Freund nur noch $5$ Arbeitsplätze zu vergeben hat und sich die Anzahl der Bewerber und entsprechend damit die Anzahl der Personen mit Goldschürferfahrung geändert hat.
Hierbei gilt $r_2=26$ und $r_1=13$ und die Wahrscheinlichkeit $P(X_1=1, X_2=4)$ ist gesucht.
3.3.1
$\blacktriangleright$  Verfahren beschreiben
In dieser Teilaufgabe sollst du ein Verfahren beschreiben, um die Wahrscheinlichkeit für eine Super-Saison zu bestimmen. Es wird hierbei von einer Super-Saison gesprochen, falls mindestens $98\,\%$ aller Schürftage zufriedenstellend ablaufen.
Du hast gegeben, dass im langjährigen Mittel $4$ von $7$ Goldschürftagen durch den Chef als zufriedenstellend klassifiziert werden und eine Schürfsaison insgesamt $154$ Tage dauert. Bezeichne beispielsweise die Anzahl der Goldschürftagen, welche durch den Chef als zufriedenstellend klassifiziert werden mit $X$.
Daraus folgt, dass $X$ binomialverteilt ist mit der Wahrscheinlichkeit $p=\dfrac{4}{7}$ und der Anzahl der Tage in einer Schürfsaison $n=154$.
Du sollst die Wahrscheinlichkeit $P(X \geq 0,98 \cdot 154)$ bestimmen. Beschreibe dazu eine Möglichkeit die gesuchte Wahrscheinlichkeit zu bestimmen.
3.3.2
$\blacktriangleright$  Erwartungswert berechnen
Du sollst berechnen, wie viele zufriedenstellende Tage erwartet werden können. Das bedeutet, du sollst den Erwartungswert der zufriedenstellenden Tage berechnen. Aus der Teilaufgabe zuvor weißt du bereits, dass die Anzahl der zufriedenstellende Tage $X$ binomialverteilt ist mit den Parametern $n=154$ und $p=\dfrac{4}{7}$. Für den Erwartungswert einer binomalverteilten Zufallsgröße gilt:
$E(X)=n \cdot p$
$E(X)=n \cdot p$
$\blacktriangleright$  Streuung berechnen
Du sollst die Streuung der zufriedenstellende Tage berechnen. Ein Maß für die Streuung ist die Standardabweichung $\sigma$. Für die Standardabweichung einer binomialverteilten Zufallsgröße mit den Parametern $n$ und $p$ gilt folgende Formel:
$\sigma(X)=\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$
$\sigma(X)=\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$
3.3.3
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit nachweisen
Du sollst nachweisen, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa $18\,\%$ genau die Hälfte der Schürftage zufriedenstellend verlaufen. Hierbei werden $14$ zufällig ausgewählte Schürftage betrachtet. Bezeichne die Anzahl der zufriedenstellenden Schürftage mit $X$. Somit folgt, dass $X$ binomialverteilt ist mit den Parametern $n=14$ und $p=\dfrac{4}{7}$. Du sollst somit $P(X=7) \approx 0,18$ nachweisen.
3.4
$\blacktriangleright$  Anzahl der Maschinen berechnen
Du sollst berechnen, bei wie vielen Maschinen das Starten versucht werden muss, damit mit mehr als $95\,\%$iger Wahrscheinlichkeit wenigstens eine unmittelbar anspringt. Du hast gegeben, dass sich jede der Maschinen im Abbaugebiet durchschnittlich nur in $5$ von $8$ Fällen starten lässt. Somit gilt, dass eine Maschine mit einer Wahrscheinlichkeit von $p=\dfrac{5}{8}$ startet. Bezeichne die Anzahl der Maschinen mit $X$. Somit gilt, dass $X$ binomialverteilt ist mit den Parametern $p=\dfrac{5}{8}$ und $n$.
Du sollst $n$ so bestimmen, dass $P(X \geq 1)\geq 0,95$ gilt. Die Wahrscheinlichkeit $P(X \geq 1)$ kannst du durch die Gegenwahrscheinlichkeit folgendermaßen umschreiben:
$P(X \geq 1)= 1 - P(X=0)$
Da $X$ binomialverteilt ist mit $n$ und $p=\dfrac{5}{8}$ gilt:
$P(X=0)=\binom{n}{0} \cdot \left(\dfrac{5}{8} \right)^0 \cdot \left(1-\dfrac{5}{8} \right)^{n}$
$P(X=0)= \dotsc$
Daraus lässt sich die Ungleichung $1-P(X=0) \geq 0,95$ nach $n$ auflösen und somit erhältst du die Mindestanzahl an Maschinen, welche versucht werden müssen zu starten.
3.5.1
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit nachweisen
In dieser Teilaufgabe sollst du zeigen, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Firma „Glory“ gewinnbringend schürft $\dfrac{5}{7}$ beträgt.
Bezeichne hierbei das Ereignis, dass die Firma „Nugget“ gewinnbringend schürft mit $N$ und das Ereignis, dass die Firma „Glory“ gewinnbringend schürft mit $G$.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Firma „Nugget“ eine gewinnbringende Menge an Gold findet ist gegeben durch $P(N)=\dfrac{2}{3}$. Desweiteren hast du die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beide Firmen eine gewinnbringende Menge an Gold schürfen mit $P(N \cap G)=\dfrac{10}{21}$ gegeben. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens eine der Firmen eine gewinnbringende Menge findet beträgt $\dfrac{19}{21}$. Somit gilt $P(N \cup G)=\dfrac{19}{21}$.
Hierbei gilt folgende Formel:
$P(N \cup G)= P(N) + P(G) - P(N \cap G)$
$P(N \cup G)= P(N) + P(G) - P(N \cap G)$
$P(N \cup G)=\dotsc $
Damit kannst du die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P(G)$ bestimmen.
3.5.2
$\blacktriangleright$  Unabhängigkeit untersuchen
Du sollst rechnerisch die Ereignisse $N$ und $G$ auf Unabhängigkeit untersuchen. Das Ereignis $N$ beschreibt, dass die Firma „Nugget“ eine gewinnbringende Menge an Gold findet und das Ereignis $G$ beschreibt, dass die Firma „Glory“ eine gewinnbringende Menge an Gold findet. Aus der Aufgabenstellung und der vorherigen Teilaufgabe hast du die Wahrscheinlichkeiten $P(N)$, $P(G)$ und $P(N \cap G)$ gegeben. Hierbei gilt, dass die Ereignisse $N$ und $G$ genau dann stochastisch unabhängig sind, falls folgende Gleichung gilt:
$P(N \cap G)= P(N) \cdot P(G)$
$P(N \cap G)= P(N) \cdot P(G)$
Überprüfe somit die gegebene Gleichung.
Hierbei ist gegeben, dass $P(N \cap G)=\dfrac{10}{21}$ und $P(N)=\dfrac{2}{3}$ gilt. Aus der vorherigen Teilaufgabe weißt du, dass außerdem $P(G)=\dfrac{5}{7}$ gilt.
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3.1.1
$\blacktriangleright$  Baumdiagramm erstellen
In dieser Teilaufgabe sollst du ein Baumdiagramm zur beschriebenen Situation erstellen und das Baumdiagramm mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten und Ereignissen beschriften.
Definiere zuerst die verschiedenen Ereignisse. Bezeichne beispielsweise das Ereignis, dass der Boden als ertragreich angesehen wird mit $E$ und das Ereignis, dass die Probebohrung ertragreichen Boden anzeigt mit $B$.
Du hast gegeben, dass $65\,\%$ des Bodens als ertragreich angesehen wird. Somit gilt $P(E)=0,65$. Außerdem hast du gegeben, dass die Wahrscheinlichkeit, dass die Probebohrung einen ertragreichen Boden anzeigt, unter der Vorausssetzung, dass der Boden wirklich als ertragreich angesehen wird $73\,\%$ beträgt. Hierbei handelt es sich um eine bedingte Wahrscheinlichkeit, da die Wahrscheinlichkeit dafür gegeben ist, dass das Ereignis $P$ eintritt unter der Voraussetzung, dass Ereignis $E$ bereits gilt. Somit gilt $P_E(B)=0,73$. Entsprechend gilt für die Wahrscheinlichkeit, dass die Probebohrung anzeigt, dass der Boden nicht ertragreich ist unter der Voraussetzung das der Boden wirklich nicht ertragreich ist $P_{\overline{E}}\left(\overline{B}\right)=0,8$.
Daraus folgt folgendes Baumdiagramm mit den entsprechenden Pfadregeln:
Abb. 1: Baumdiagramm
Abb. 1: Baumdiagramm
#pfadregeln
3.1.2
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Du sollst die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass der Boden ertragreich ist und die Probebohrung dies anzeigt. Somit sollst du die Wahrscheinlichkeit $P(E \cap P)$ bestimmen. Aus der Aufgabenstellung hast du hierfür bereits die Wahrscheinlichkeit $P_E(P)$ und $P(E)$ gegeben. Somit kannst du die Formel von Bayes verwenden. Die Formel von Bayes lautet für die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis $A$ eintritt unter der Voraussetzung, dass das Ereignis $B$ bereits eingetreten ist:
$P_B(A)=\dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$
$P_B(A)=\dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$
Entsprechend kannst du mit den gegebenen Wahrscheinlichkeiten $P_E(P)=0,73$ und $P(E)=0,65$ die gesuchte Wahrscheinlicheit $P(E \cap P)$ wie folgt bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} P_E(B)&=&\dfrac{P(E \cap P)}{P(E)} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot P(E)\\[5pt] P(E \cap P)&=& P_E(B) \cdot P(E)\\[5pt] &=& 0,73 \cdot 0,65\\[5pt] &=& 0,4745\\[5pt] \end{array}$
$P(E \cap P)=0,4745$
Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Boden ertragreich ist und die Probebohrung dies anzeigt $47,45\,\%$.
#bedingtewahrscheinlichkeit#satzvonbayes
3.1.3
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
Du sollst die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass eine Probebohrung ertragreichen Boden anzeigt. Das bedeutet, dass du die Wahrscheinlichkeit $P(B)$ bestimmen sollst. Aus dem Baumdiagramm hast du die Wahrscheinlichkeiten $P_E(B)$, $P(E)$, $P_{\overline{E}}(B)$ und $P\left(\overline{E}\right)$ gegeben. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit kannst du mit der Formel zur totalen Wahrscheinlichkeit bestimmen. Die Formel für die totale Wahrscheinlichkeit lautet für die gegebene Aufgabenstellung:
$P(B)=P_E(B)\cdot P(E) + P_{\overline{E}}(B) \cdot P\left(\overline{E}\right)$
$P(B)=P_E(B)\cdot P(E) + P_{\overline{E}}(B) \cdot P\left(\overline{E}\right)$
$P(B)=P_E(B) \cdot P(E) + \dotsc$
Daraus folgt für die Wahrscheinlichkeit $P(B)$ mit den gegebenen Wahrscheinlichkeiten:
$\begin{array}[t]{rll} P(B)&=& P_E(B)\cdot P(E) + P_{\overline{E}}(B) \cdot P\left(\overline{E}\right)\\[5pt] &=& 0,73 \cdot 0,65 + 0,2 \cdot 0,35\\[5pt] &=& 0,5445\\[5pt] \end{array}$
$P(B)= 0,5445$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Probebohrung ertragreichen Boden anzeigt beträgt somit $54,45\,\%$.
#satzdertotalenwahrscheinlichkeit
3.1.4
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit nachweisen
Du sollst zeigen, dass falls die Probebohrung ertragreichen Boden nachweist der Boden mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa $87\,\%$ auch wirklich ertragreich ist. Du sollst somit nachweisen, dass $P_B(E) \approx 0,87$ gilt. In den Teilaufgaben zuvor hast du bereits die Wahrscheinlichkeiten $P(E \cap B)$ und $P(B)$ bestimmen. Mit dem Satz von Bayes kannst du dadurch die Wahrscheinlichkeit $P_B(E)$ wie folgt bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} P_B(E)&=& \dfrac{P(E \cap B)}{P(B)}\\[5pt] &=& \dfrac{0,4745}{0,5445}\\[5pt] &\approx& 0,8714\\[5pt] \end{array}$
$P_B(E) \approx 0,8714$
Dadurch hast du gezeigt, dass falls die Probebohrung ertragreichen Boden nachweist der Boden mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa $87\,\%$ auch wirklich ertragreich ist.
#satzvonbayes
3.2.1
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
Du sollst die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass der Chef vier Personen ohne Erfahrung und zwei Personen mit Erfahrung im Goldschürfen auswählt. Hierfür hast du gegeben, dass der Chef ohne Berücksichtigung der Eignung nach einem Losverfahren auswählt. Außerdem haben sich insgesamt $40$ Personen beworben, wobei davon $13$ Personen ohne Erfahrung und $27$ Personen mit Erfahrung im Goldschürfen sind.
Hierbei handelt es sich um Ziehen ohne zurücklegen, da eine bestimmte Person nicht zweimal ausgewählt werden kann. Deshalb musst du beachten, dass sich die Wahrscheinlichkeit nach dem auswählen aufgrund der veränderten Personenanzahl ändert.
Somit handelt es sich hierbei um eine hypergeometrische Verteilung, wobei hierbei zwei Zufallsvariablen betrachtet werde. Somit sind die zwei Zufallsvariablen zweidimensional hypergeometrisch verteilt. Für die Wahrscheinlichkeit einer zweidimensionalen hypergeometrischen Verteilung folgt:
$P(X_1=k_1,X_2=k_2)=\dfrac{ \binom{r_1}{k_1} \cdot \binom{r_2}{k_2}}{\binom{r_1+r_2}{k_1+k_2}}$
$P(X_1=k_1,X_2=k_2)=\dfrac{ \binom{r_1}{k_1} \cdot \binom{r_2}{k_2}}{\binom{r_1+r_2}{k_1+k_2}}$
$P(X_1=k_1,X_2=k_2)=\dotsc$
Es gilt, dass $r_1$ die Anzahl der Personen ohne Erfahrung beschreibt und $r_2$ die Anzahl der Personen mit Erfahrung.
In der Aufgabenstellung ist gegeben, dass $r_1=13$ und $r_2=27$ gilt.
Weiter bezeichnet $X_1$ die Anzahl der ausgewählten Personen ohne Erfahrung und $X_2$ die Anzahl der ausgewählten Personen mit Erfahrung. Somit ist die Wahrscheinlichkeit $P(X_1=4, X_2=2)$ gesucht.
Daraus folgt:
$\begin{array}[t]{rll} P(X_1=4,X_2=2)&=& \dfrac{ \binom{13}{4} \cdot \binom{27}{2}}{\binom{13+27}{4+2}}\\[5pt] &=& \dfrac{ \binom{13}{4} \cdot \binom{27}{2}}{\binom{40}{6}}\\[5pt] &=& \dfrac{ 715 \cdot 351}{3.838.380}\\[5pt] &\approx& 0,0654\\[5pt] \end{array}$
$P(X_1=4,X_2=2) \approx \dotsc$
Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Chef vier Personen ohne Erfahrung und zwei Personen mit Erfahrung auswählt etwa $6,54\,\%$.
#hypergeometrischeverteilung
3.2.2
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
Du hast gegeben, dass der Chef einen guten Freund mit Goldschürferfahrung, der sich unter den Bewerbern befindet, einstellt und sollst die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass der Chef darüber hinaus zufällig genau einen Bewerber ohne Erfahrung auswählt. Somit sollst du die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass der Chef genau einen Bewerber ohne Erfahrung auswählt, wobei du hierbei beachten musst, dass er nach seinem Freund nur noch $5$ Arbeitsplätze zu vergeben hat und sich die Anzahl der Bewerber und entsprechend damit die Anzahl der Personen mit Goldschürferfahrung geändert hat.
Hierbei gilt $r_2=26$ und $r_1=13$ und die Wahrscheinlichkeit $P(X_1=1, X_2=4)$ ist gesucht. Daraus folgt:
$\begin{array}[t]{rll} P(X_1=1,X_2=4)&=& \dfrac{ \binom{13}{1} \cdot \binom{26}{4}}{\binom{13+26}{1+4}}\\[5pt] &=& \dfrac{ \binom{13}{1} \cdot \binom{26}{4}}{\binom{39}{5}}\\[5pt] &=& \dfrac{ 13 \cdot 14.950}{575.757}\\[5pt] &\approx& 0,3376\\[5pt] \end{array}$
$P(X_1=1,X_2=4) \approx $
Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Chef auser seinem guten Freund mit Goldschürferfahrung genau einen Bewerber ohne Erfahrung auswählt etwa $33,76\,\%$ beträgt.
#hypergeometrischeverteilung
3.3.1
$\blacktriangleright$  Verfahren beschreiben
In dieser Teilaufgabe sollst du ein Verfahren beschreiben, um die Wahrscheinlichkeit für eine Super-Saison zu bestimmen. Es wird hierbei von einer Super-Saison gesprochen, falls mindestens $98\,\%$ aller Schürftage zufriedenstellend ablaufen.
Du hast gegeben, dass im langjährigen Mittel $4$ von $7$ Goldschürftagen durch den Chef als zufriedenstellend klassifiziert werden und eine Schürfsaison insgesamt $154$ Tage dauert. Bezeichne beispielsweise die Anzahl der Goldschürftagen, welche durch den Chef als zufriedenstellend klassifiziert werden mit $X$.
Daraus folgt, dass $X$ binomialverteilt ist mit der Wahrscheinlichkeit $p=\dfrac{4}{7}$ und der Anzahl der Tage in einer Schürfsaison $n=154$.
Du sollst die Wahrscheinlichkeit $P(X \geq 0,98 \cdot 154)$ bestimmen. Beschreibe dazu eine Möglichkeit die gesuchte Wahrscheinlichkeit zu bestimmen.
Hierbei gilt $0,98 \cdot 154 =150,92$ und somit ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P(X \geq 151)$. Die Wahrscheinlichkeit kannst du folgendermaßen umschreiben:
$\begin{array}[t]{rll} P(X \geq 151)&=& P(X=151) + P(X=152) + P(X=153)+ P(X=154)\\[5pt] \end{array}$
$P(X\geq 151)= \dotsc$
Da $X$ binomialverteilt ist gilt mit den Parametern $n$ und $p$:
$P(X=k)=\binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$
$P(X=k)=\binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$
$P(X=k)=\dotsc$
Somit kannst du mt den gegebenen Parametern $n=154$ und $p=\dfrac{4}{7}$ die gesuchten Wahrscheinlichkeiten bestimmen.
#binomialverteilung
3.3.2
$\blacktriangleright$  Erwartungswert berechnen
Du sollst berechnen, wie viele zufriedenstellende Tage erwartet werden können. Das bedeutet, du sollst den Erwartungswert der zufriedenstellenden Tage berechnen. Aus der Teilaufgabe zuvor weißt du bereits, dass die Anzahl der zufriedenstellende Tage $X$ binomialverteilt ist mit den Parametern $n=154$ und $p=\dfrac{4}{7}$. Für den Erwartungswert einer binomalverteilten Zufallsgröße gilt:
$E(X)=n \cdot p$
$E(X)=n \cdot p$
Somit folgt für den Erwartungswert der zufriedenstellenden Tage:
$\begin{array}[t]{rll} E(X)&=& n \cdot p\\[5pt] &=& 154 \cdot \dfrac{4}{7}\\[5pt] &=& 88\\[5pt] \end{array}$
Somit ist zu erwarten, dass es $88$ zufriedenstellende Tage gibt.
$\blacktriangleright$  Streuung berechnen
Du sollst die Streuung der zufriedenstellende Tage berechnen. Ein Maß für die Streuung ist die Standardabweichung $\sigma$. Für die Standardabweichung einer binomialverteilten Zufallsgröße mit den Parametern $n$ und $p$ gilt folgende Formel:
$\sigma(X)=\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$
$\sigma(X)=\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$
Somit folgt für die Streuung der zufriedenstellenden Tage mit $n=154$ und $p=\dfrac{4}{7}$:
$\begin{array}[t]{rll} \sigma(X)&=& \sqrt{ n \cdot p \cdot (1-p)}\\[5pt] &=& \sqrt{154 \cdot \dfrac{4}{7} \cdot \left(1-\dfrac{4}{7} \right)} \\[5pt] &=& \sqrt{154 \cdot \dfrac{4}{7} \cdot \dfrac{3}{7}} \\[5pt] &=& \sqrt{\dfrac{264}{7}}\\[5pt] &\approx& 6,14\\[5pt] \end{array}$
$\sigma(X) \approx 6,14$
Somit beträgt die Standardabweichung etwa $6,14$ Tage.
#erwartungswert#standardabweichung
3.3.3
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit nachweisen
Du sollst nachweisen, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa $18\,\%$ genau die Hälfte der Schürftage zufriedenstellend verlaufen. Hierbei werden $14$ zufällig ausgewählte Schürftage betrachtet. Bezeichne die Anzahl der zufriedenstellenden Schürftage mit $X$. Somit folgt, dass $X$ binomialverteilt ist mit den Parametern $n=14$ und $p=\dfrac{4}{7}$. Du sollst somit $P(X=7) \approx 0,18$ nachweisen.
Dadurch folgt:
$\begin{array}[t]{rll} P(X=k)&=& \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \\[5pt] P(X=7)&=& \binom{14}{7} \cdot \left(\dfrac{4}{7} \right)^7 \cdot \left(1-\dfrac{4}{7}\right)^{14-7}\\[5pt] &=& \binom{14}{7} \cdot \left(\dfrac{4}{7} \right)^7 \cdot \left(\dfrac{3}{7}\right)^{7}\\[5pt] &\approx& 0,1813\\[5pt] \end{array}$
$P(X=7) \approx 0,1813$
Somit hast du gezeigt, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa $18\,\%$ genau die Hälfte der Schürftage zufriedenstellend verlaufen.
#binomialverteilung
3.4
$\blacktriangleright$  Anzahl der Maschinen berechnen
Du sollst berechnen, bei wie vielen Maschinen das Starten versucht werden muss, damit mit mehr als $95\,\%$iger Wahrscheinlichkeit wenigstens eine unmittelbar anspringt. Du hast gegeben, dass sich jede der Maschinen im Abbaugebiet durchschnittlich nur in $5$ von $8$ Fällen starten lässt. Somit gilt, dass eine Maschine mit einer Wahrscheinlichkeit von $p=\dfrac{5}{8}$ startet. Bezeichne die Anzahl der Maschinen mit $X$. Somit gilt, dass $X$ binomialverteilt ist mit den Parametern $p=\dfrac{5}{8}$ und $n$.
Du sollst $n$ so bestimmen, dass $P(X \geq 1)\geq 0,95$ gilt. Die Wahrscheinlichkeit $P(X \geq 1)$ kannst du durch die Gegenwahrscheinlichkeit folgendermaßen umschreiben:
$P(X \geq 1)= 1 - P(X=0)$
Da $X$ binomialverteilt ist mit $n$ und $p=\dfrac{5}{8}$ gilt:
$P(X=0)=\binom{n}{0} \cdot \left(\dfrac{5}{8} \right)^0 \cdot \left(1-\dfrac{5}{8} \right)^{n}$
$P(X=0)= \dotsc$
Daraus lässt sich die Ungleichung $1-P(X=0) \geq 0,95$ nach $n$ auflösen und somit erhältst du die Mindestanzahl an Maschinen, welche versucht werden zu starten.
Somit folgt:
$\begin{array}[t]{rll} 1- P(X=0)&\geq& 0,95 \\[5pt] 1-\binom{n}{0} \cdot \left(\dfrac{5}{8} \right)^0 \cdot \left(1-\dfrac{5}{8} \right)^{n} &\geq& 0,95\\[5pt] 1- \left(\dfrac{3}{8} \right)^{n}&\geq& 0,95 & \quad \scriptsize \mid \, + \left(\dfrac{3}{8} \right)^{n}\\[5pt] 1 &\geq& 0,95 + \left(\dfrac{3}{8} \right)^{n}& \quad \scriptsize \mid \, - 0,95\\[5pt] \left(\dfrac{3}{8} \right)^{n} &\geq& 0,05 & \quad \scriptsize \mid \, \log(\,)\\[5pt] n&\geq& \dfrac{\log(0,05)}{\log\left(\frac{3}{8} \right)}\\[5pt] n&\geq& 3,05 \\[5pt] \end{array}$
$ n \geq 3,05 $
Somit muss bei mindestens $4$ Maschinen das Starten versucht werden, damit mit mehr als $95\,\%$iger Sicherheit wenigstens eine unmittelbar anspringt.
#binomialverteilung
3.5.1
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit nachweisen
In dieser Teilaufgabe sollst du zeigen, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Firma „Glory“ gewinnbringend schürft $\dfrac{5}{7}$ beträgt.
Bezeichne hierbei das Ereignis, dass die Firma „Nugget“ gewinnbringend schürft mit $N$ und das Ereignis, dass die Firma „Glory“ gewinnbringend schürft mit $G$.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Firma „Nugget“ eine gewinnbringende Menge an Gold findet ist gegeben durch $P(N)=\dfrac{2}{3}$. Desweiteren hast du die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beide Firmen eine gewinnbringende Menge an Gold schürfen mit $P(N \cap G)=\dfrac{10}{21}$ gegeben. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens eine der Firmen eine gewinnbringende Menge findet beträgt $\dfrac{19}{21}$. Somit gilt $P(N \cup G)=\dfrac{19}{21}$.
Hierbei gilt folgende Formel:
$P(N \cup G)= P(N) + P(G) - P(N \cap G)$
$P(N \cup G)= P(N) + P(G) - P(N \cap G)$
$P(N \cup G)=\dotsc $
Damit kannst du die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P(G)$ bestimmen. Es folgt:
$\begin{array}[t]{rll} P(N \cup G)&=& P(N)+ P(G) -P(N \cap G) & \quad \scriptsize \mid \, +P(N \cap G)\\[5pt] P(N \cup G)+ P(N \cap G)&=& P(N) + P(G)& \quad \scriptsize \mid \, -P(N)\\[5pt] P(G)&=& P(N \cup G)+ P(N \cap G)-P(N)\\[5pt] &=& \dfrac{10}{21} + \dfrac{19}{21}-\dfrac{2}{3}\\[5pt] &=& \dfrac{5}{7}\\[5pt] \end{array}$
$P(G)=\dfrac{5}{7}$
Somit hast du gezeigt, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Firma „Glory“ gewinnbringend schürft $\dfrac{5}{7}$ beträgt.
3.5.2
$\blacktriangleright$  Unabhängigkeit untersuchen
Du sollst rechnerisch die Ereignisse $N$ und $G$ auf Unabhängigkeit untersuchen. Das Ereignis $N$ beschreibt, dass die Firma „Nugget“ eine gewinnbringende Menge an Gold findet und das Ereignis $G$ beschreibt, dass die Firma „Glory“ eine gewinnbringende Menge an Gold findet. Aus der Aufgabenstellung und der vorherigen Teilaufgabe hast du die Wahrscheinlichkeiten $P(N)$, $P(G)$ und $P(N \cap G)$ gegeben. Hierbei gilt, dass die Ereignisse $N$ und $G$ genau dann stochastisch unabhängig sind, falls folgende Gleichung gilt:
$P(N \cap G)= P(N) \cdot P(G)$
$P(N \cap G)= P(N) \cdot P(G)$
Überprüfe somit die gegebene Gleichung.
Hierbei ist gegeben, dass $P(N \cap G)=\dfrac{10}{21}$ und $P(N)=\dfrac{2}{3}$ gilt. Aus der vorherigen Teilaufgabe weißt du, dass außerdem $P(G)=\dfrac{5}{7}$ gilt. Somit folgt für die Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} P(N \cap G)&=& P(N)\cdot P(G) \\[5pt] \dfrac{10}{21}&=& \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{5}{7}\\[5pt] \dfrac{10}{21}&=& \dfrac{10}{21}\\[5pt] \end{array}$
Damit hast du gezeigt, dass die Ereignisse $N$ und $G$ stochastisch unabhängig zueinander sind.
Bildnachweise [nach oben]
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