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Aufgabe 1 - Analysis

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1.
Gegeben sei die Funktion $f:\, D_{\text{max}} \to \mathbb{R},$ $x\mapsto 0,4 +1,6\cdot \mathrm e^{0,5x}.$
1.1
Gib die maximale Definitionsmenge der Funktion $f$ an. Bestimme begründet die Grenzwerte für $x\to \infty$ und $x\to -\infty.$
#grenzwert#definitionsbereich
1.2
Begründe, dass die Funktion $f$ weder Extrem- noch Wendestellen besitzt und bestimme das Monotonieverhalten und die Wertemenge von $f$ sowie das Krümmungsverhalten des Graphen von $f.$
#wendepunkt#wertebereich#extrempunkt#krümmung#monotonie
1.3
Berechne den $y$-Achsenabschnitt und zeichne unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse den Graphen von $f.$
1.4
Im Folgenden ist $F$ eine Stammfunktion von $f.$
#stammfunktion
1.4.1
Der Graph der Funktion $F$ besitzt den $y$-Achsenabschnitt $2.$ Bestimme einen Funktionsterm von $F.$
1.4.2
Berechne den Wert der Differenz $F(0)-F(-2)$ und erläutere, welche geometrische Bedeutung diese Differenz im Hinblick auf den Graphen der funktion $f$ besitzt.
2.
Beim Kugelstoßen in der Leichtathletik vollziehen die Kugeln verschiedene Bahnen.
Abbildung 1 zeigt schematisch drei Bahnen, auf denen sich eine Kugel beim Kugelstoßen bewegen kann. Im verwendeten Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit $1\,\text{m}$ in der Realität; die $x$-Achse beschreibt den horizontal verlaufenden Boden. Die Kugel soll als punktförmig angenommen werden.
Die Kugel wird aus der Ruhelage $(R)$ beschleunigt, bis sie im Abstoßpunkt $(A)$ die Hand der Athletin verlässt. Die anschließende Flugkurve der Kugel ist abhängig von ihrer Geschwindigkeit beim Abstoßen. Damit verändert sich insbesondere die Stoßweite, d.h. der Abstand der $x$-Werte de sAbstoßpunktes und des Auftreffpunktes auf dem Boden („horizontaler Abstand“).
#zentraleraufgabenpool
2.1
Die Bahn der Kugel von der Ruhelage bis zum Abstoßpunkt kann modellhaft durch die auf dem Intervall $[-2;0]$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)= 0,4 +1,6\cdot \mathrm e^{0,5\cdot x}$ beschrieben werden.
2.1.1
Berechne die Länge der Bahn der Kugel von der Ruhelage bis zum Abstoßpunkt näherungsweise als Länge der Strecke von $R$ nach $A.$
2.1.2
Berechne den „horizontalen Abstand“ der Kugel von der Ruhelage, wenn sie sich in der Hand der Athletin $1,50\,\text{m}$ über dem Boden befindet.
2.1.3
Während eines Stoßes wurde die Höhe der Kugel über dem Boden an fünf Stellen gemessen. Die fünf Stellen werden im Modell durch die $x$-Werte $x_1$ bis $x_5$ dargestellt, die gemessenen Höhen werden mit $h_1$ bis $h_5$ bezeichnet.
Beurteile die folgende Aussage:
Wenn der Wert des Terms $\left|\displaystyle\sum\limits_{i=1}^5 (h_i-f(x_i)) \right|$ klein ist, dann werden die gemessenen Höhen durch die Werte, die das Modell liefert, gut beschrieben.
2.2
Nach dem Abstoßen der Kugel lässt sich jede mögliche Flugkurve mithilfe einer der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $p_a$ mit $p_a(x) = -ax^2+bx+2$ und $a\in \mathbb{R}^+$ beschrieben.
Alle möglichen Bahnen der Kugel weisen im Abstoßpunkt keinen Knick auf.
2.2.1
Ermittle den Wert von $b.$
[Zur Kontrolle und weiteren Verwendung: $b=0,8$]
2.2.2
Berechne denjenigen Wert von $a,$ für den der Graph von $p_a$ durch den Punkt $(3\mid 3,5)$ verläuft.
2.2.3
Bei der Flugkurve zu $a=0,1$ beträgt die Stoßweite $10\,\text{m}.$ Berechne die Größe des Winkels, unter dem die Kugel auf den Boden trifft.
2.2.4
Zeige, dass $\left(\frac{0,4}{a}\mid 2+\frac{0,16}{a}\right)$ der einzige Hochpunkt des Graphen von $p_a$ ist.
#extrempunkt
2.2.5
Es gibt eine Gerade, auf der die Hochpunkte aller Funktionsgraphen $G_{p_a}$ mit $a\in \mathbb{R}^+$ liegen.
Berechne die Steigung dieser Geraden.
2.2.6
Der Zusammenhang zwischen den Werten von $a$ und den Stoßweiten $s$ mit $s>0$ lässt sich durch die Gleichung $a=\frac{0,8}{s}+\frac{2}{s^2}$ darstellen.
2.2.6.1
Leite diese Gleichung her.
2.2.6.2
Bei einem Stoß beträgt die Stoßweite $20\,\text{m}.$ Berechne die größte Höhe über dem Boden, die die Kugel bei diesem Stoß erreicht.
2.2.7
Abbildung 2 stellt den in 2.2.6 beschriebenen Zusammenhang zwischen den Werten von $y=a(s)$ und den Stoßweiten $s$ graphisch dar.
2.2.7.1
Beurteile die folgende Aussage:
Unterscheiden sich die Weiten zweier Stöße um $2\,\text{m},$ so ist der zur größeren Weite gehörende Wert von $a$ halb so groß wie der zur kleineren Weite gehörende Wert von $a.$
2.2.7.2
Zeichne in Abbildung 2 die beiden Parallelen zur $s$-Achse ein, die durch die Punkte des Graphen mit den $s$-Koordinaten $2$ bzw. $10$ verlaufen. Berechne unter Angabe einer Stammfunktion den Inhalt des Flächenstücks, das der in Abbildung 2 dargestellte Graph mit der $a$-Achse und den beiden eingezeichneten Parallelen einschließt.
3.
#rotationsvolumen
3.1
Zeige, dass sich im Behälter mehr als $1500\,\text{cm}^3$ Wasser befinden.
3.2
In den Behälter werden zusätzliche $300\,\text{cm}^3$ Wasser gefüllt. Die Füllhöhe über dem Boden steigt dadurch um $1\,\text{cm}.$ Stelle eine Gleichung auf, mit der sich die Füllhöhe vor dem Einfüllen der $300\,\text{cm}^3$ Wasser berechnen lässt.
Bildnachweise [nach oben]
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