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Aufgabe 2 - Analytische Geometrie

Aufgaben
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Die Abbildung zeigt modellhaft wesentliche Elemente einer Kletteranlage: zwei horizontale Plattformen, die jeweils um einen vertikal stehenden Pfahl gebaut sind, sowie eine Kletterwand, die an einer der beiden Plattformen angebracht ist.
Im verwendeten Koordinatensystem beschreibt die $x_1x_2$-Ebene den horizontalen Untergrund; eine Längeneinheit entspricht $1\,\text{m}$in der Wirklichkeit. Die Punkte, in denen die Pfähle aus dem Untergrund austreten, werden durch $P_1(0\mid0\mid0)$ und $P_2(5\mid 10\mid 0)$ dargestellt.
Außerdem sind die Eckpunkte $A(3\mid 0\mid 2),$ $B(0\mid 3\mid 2),$ $E(6\mid 0\mid 0),$ $F( 0\mid 6\mid 0),$ $R(5\mid7\mid3),$ $S(8\mid 13\mid 3)$ und $T(2\mid 10\mid 3)$ gegeben.
Die Materialstärke aller Bauteile der Anlage soll vernachlässigt werden.
#zentraleraufgabenpool
1.1
In den Mittelpunkten der oberen und unteren Kante der Kletterwand sind die Enden eines Seils befestigt, das $20\,\%$ länger ist als der Abstand der genannten Mittelpunkte. Berechne die Länge des Seils.
1.2
Zeige, dass die Kletterwand die Form eines Trapezes hat.
#trapez
1.3
Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene $e,$ in der das Trapez mit den Eckpunkten $A,$ $B,$ $E$ und $F$ liegt.
[Zur Kontrolle: $e:\; 2x_1 + 2x_2 + 3x_3- 12 =0$]
#koordinatenform
1.4
Bestimme das Maß des Winkels, den die Kletterwand mit dem Untergrund einschließt.
1.5
Auf die Anlage treffendes Sonnenlicht kann im Modell durch parallele Geraden beschrieben werden. Die Eckpunkte der Plattform 2 werden durch $R,$ $S$ und $T$ dargestellt, die zugehörigen Eckpunkte des Schattens dieser Plattform durch $R'(4\mid 2\mid 0),$ $S'$ und $T'(1\mid 5\mid 0).$
1.5.1
Zeige rechnerisch, dass $T'$ auf der Strecke $\overline{EF}$ liegt.
1.5.2
Berechne die Koordinaten von $S'$ und stelle den Schatten der Plattform 2 in der obigen Abbildung grafisch dar.
1.6
Der Einstieg über die Kletterwand wird durch eine Kamera videoüberwacht, die im Eckpunkt $R$ der Plattform 2 installiert ist. Diese ist auf den Punkt $L$ auf der Grundkante $\overline{EF}$ der Kletterwand ausgerichtet, der von $R$ minimalen Entfernung besitzt.
Berechne diese minimale Entfernung.
1.7
Über ein Kletternetz kann man von einer Plattform zur anderen gelangen. Das Netz ist so gespannt, dass davon ausgegangen werden kann, dass es die Form eines ebenen Vierecks hat. Die vier Eckpunkte des Netzes sind an den beiden Pfählen befestigt, einer der beiden unteren Eckpunkte am Pfahl 1 auf der Höhe der zugehörigen Plattform, der andere untere Eckpunkt oberhalb der Plattform 2. An jedem Pfahl beträgt der Abstand der beiden dort befestigten Eckpunkte des Netzes $1,80\,\text{m}.$
1.7.1
Die untere Netzkante berührt die Plattform 2 an der Seite, die durch $\overline{RT}$ dargestellt wird. Betrachtet wird der untere Eckpunkt des Netzes, der oberhalb der Plattform 2 befestigt ist.
Berechne den Abstand dieses Eckpunkts von der Plattform 2.
1.7.2
Berechne den Flächeninhalt des Netzes.
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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Lösungen
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1.1
$\blacktriangleright$  Länge des Seils berechnenAufgabe 2 - Analytische Geometrie
1. Schritt: Koordinaten der Kantenmittelpunkte bestimmen
Mit der Mittelpunktsformel ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OM}_1&=& \frac{1}{2}\cdot \left(\overrightarrow{OA} +\overrightarrow{OB}\right) \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left(\pmatrix{3\\0\\2} + \pmatrix{0\\3\\2} \right) \\[5pt] &=& \pmatrix{1,5\\1,5\\2} \\[10pt] \overrightarrow{OM}_2&=& \frac{1}{2}\cdot \left(\overrightarrow{OE} +\overrightarrow{OF}\right) \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left(\pmatrix{6\\0\\0} + \pmatrix{0\\6\\0} \right) \\[5pt] &=& \pmatrix{3\\3\\0} \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OM}_1&=&\pmatrix{1,5\\1,5\\2} \\[10pt] \overrightarrow{OM}_2&=& \pmatrix{3\\3\\0} \\[10pt] \end{array}$
2. Schritt: Länge berechnen
Der Abstand der beiden Mittelpunkte ergibt sich über den Vektorbetrag. Insgesamt ergibt sich also für die Länge $l$ des Seils:
$\begin{array}[t]{rll} l&=& 1,2\cdot \left|\overrightarrow{M_1M_2} \right| \\[5pt] &=& 1,2\cdot \left|\pmatrix{1,5\\1,5\\-2} \right| \\[5pt] &=& 1,2\cdot \sqrt{1,5^2+1,5^2 +(-2)^2} \\[5pt] &\approx& 3,50 \\[5pt] \end{array}$
$ l\approx 3,50 $
Das Seil ist ca. $3,50\,\text{m}$ lang.
#vektorbetrag
1.2
$\blacktriangleright$  Trapezform zeigen
Bei dem Viereck $AEFB$ handelt es sich um ein Trapez, wenn zwei gegenüberliegende Seiten parallel sind. Der Abbildung kannst du entnehmen, dass mit großer Wahrscheinlichkeit die beiden Strecken $[AB]$ und $[EF]$ parallel sind. Überprüfe also, ob die zugehörigen Verbindungsvektoren linear abhängig sind.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB}&=& a\cdot \overrightarrow{EF} \\[5pt] \pmatrix{-3\\3\\0}&=& a\cdot \pmatrix{-6\\6\\0} \end{array}$
Diese Gleichung ist für $a=\frac{1}{2}$ erfüllt. Die beiden Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{EF}$ sind also parallel. Die Kletterwand ist demnach trapezförmig.
#lineareabhängigkeit
1.3
$\blacktriangleright$  Ebenengleichung in Koordinatenform ermitteln
Ein Normalenvektor von $e$ kann über das Kreuzprodukt zweier nicht paralleler Verbindungsvektoren von drei Punkten bestimmt werden, die in der Ebene liegen sollen.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n} &=& \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AE} \\[5pt] &=& \pmatrix{-3\\3\\0}\times \pmatrix{3\\0\\-2} \\[5pt] &=& \pmatrix{ 3\cdot (-2) - 0\cdot 0 \\ 0\cdot 3 -(-3)\cdot (-2) \\ (-3)\cdot 0 - 3\cdot 3 } \\[5pt] &=& \pmatrix{-6\\-6\\-9} \\[5pt] &=& -3\cdot \pmatrix{2\\2\\3} \\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{n} = -3\cdot \pmatrix{2\\2\\3}$
Für die Ebenengleichung kann nun sowohl der gekürzte Normalenvektor als auch der ursprüngliche verwendet werden. Mit einer Punktprobe mithilfe der Koordinaten eines der vier Punkte folgt:
$\begin{array}[t]{rll} e:\quad 2\cdot x_1 +2\cdot x_2 +3\cdot x_3 &=& d &\quad \scriptsize \mid\; F(0\mid 6\mid 0)\\[5pt] 2\cdot 0 +2\cdot 6 +3 \cdot 0 &=& d \\[5pt] 12&=& d \end{array}$
$ d = 12 $
Eine Gleichung von $e$ in Koordinatenform lautet:
$e:\quad 2 x_1 +2 x_2 +3 x_3 -12=0$
$ e: \,… $
#kreuzprodukt
1.4
$\blacktriangleright$  Winkelgröße bestimmen
Der Untergrund wird durch die $x_1x_2$-Ebene beschrieben. Ein zugehöriger Normalenvektor ist $\overrightarrow{n}_1 = \pmatrix{0\\0\\1}.$ Die Kletterwand liegt im Modell in der Ebene $e$ mit dem Normalenvektor $\overrightarrow{n}_2 = \pmatrix{2\\2\\3}.$ Mit der Formel für den Schnittwinkel zweier Ebenen ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} \cos \alpha&=& \dfrac{\left| \overrightarrow{n}_1 \circ \overrightarrow{n}_2 \right|}{\left|\overrightarrow{n}_1 \right|\cdot \left|\overrightarrow{n}_2 \right| } \\[5pt] \cos \alpha&=& \dfrac{\left| \pmatrix{0\\0\\1} \circ \pmatrix{2\\2\\3} \right|}{\left|\pmatrix{0\\0\\1}\right|\cdot \left|\pmatrix{2\\2\\3} \right| } \\[5pt] \cos \alpha&=& \dfrac{3}{1 \cdot \sqrt{2^2+2^2+3^2} } \\[5pt] \cos \alpha&=& \dfrac{3}{ \sqrt{17} } &\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1} \\[5pt] \alpha&\approx& 43,3^{\circ} \end{array}$
$ \alpha \approx 43,3^{\circ} $
Die Kletterwand schließt einen Winkel der Größe von ca. $43,3^{\circ}$ ein.
#schnittwinkel
1.5.1
$\blacktriangleright$  Lage des Punkts auf der Strecke zeigen
Damit $T'$ auf der Strecke $\overline{EF}$ liegt, muss sich der Ortsvektor von $T'$ in der folgenden Form mit $0\leq t \leq 1$ darstellen lassen:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OT'}&=& \overrightarrow{OE} + t\cdot \overrightarrow{EF} \\[5pt] \pmatrix{1\\5\\0}&=& \pmatrix{6\\0\\0} +t\cdot \pmatrix{-6\\6\\0} \end{array}$
Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&1&=& 6-6t \\ \text{II}\quad&5&=& 0+6t \\ \text{III}\quad&0&=& 0+0t \\ \end{array}$
Die letzte Gleichung ist für alle Werte von $t$ erfüllt. Für die zweite Gleichung gilt:
$\begin{array}[t]{rll} 5&=& 6t &\quad \scriptsize \mid\; :6 \\[5pt] \frac{5}{6}&=& t \end{array}$
Für die erste Gleichung folgt:
$\begin{array}[t]{rll} 1&=& 6- 6t&\quad \scriptsize \mid\;-6 \\[5pt] -5&=& -6t &\quad \scriptsize \mid\;:(-6) \\[5pt] \frac{5}{6}&=& t \end{array}$
Alle Gleichungen sind also für $t= \frac{5}{6}$ erfüllt. Damit liegt der Punkt $T'$ auf der Strecke $\overline{EF}.$
1.5.2
$\blacktriangleright$  Koordinaten berechnen
1. Schritt: Geradengleichung für die Lichtstrahlen aufstellen
Die Sonnenstrahlen bewegen sich entlang der Richtung vom Punkt $R$ aus zum Punkt $R'$ bzw. vom Punkt $T$ zum Punkt $T'.$ Du kannst also beispielsweise $\overrightarrow{RR'}$ als Richtungsvektor der Geraden verwenden. Da der Schattenunkt von $S$ gesucht ist, wähle $S$ als Aufpunkt.
$\begin{array}[t]{rll} l:\, \overrightarrow{x} &=& \overrightarrow{OS} + r \cdot \overrightarrow{RR'} \\[5pt] &=& \pmatrix{8\\13\\3} + r\cdot \pmatrix{-1\\-5\\-3}\\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Koordinaten berechnen
Der Schattenpunkt $S'$ ist der Durchstoßpunkt der Geraden $l$ durch die $x_1x_2$-Ebene. Für diese gilt die Gleichung $x_3=0.$ Für $S'$ muss also $S'(x_1\mid x_2\mid 0)$ gelten.
Einsetzen in die Geradengleichung liefert:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OS'}&=& \pmatrix{8\\13\\3} + r\cdot \pmatrix{-1\\-5\\-3} \\[5pt] \pmatrix{x_1\\x_2\\0}&=& \pmatrix{8\\13\\3} + r\cdot \pmatrix{-1\\-5\\-3} \end{array}$
$ \overrightarrow{OS'} = \pmatrix{8\\13\\3} + r\cdot \pmatrix{-1\\-5\\-3} $
Die letzte Zeile für die $x_3$-Koordinate ist erfüllt, wenn $r=1$ gilt. Dann folgt:
$\overrightarrow{OS'} = \pmatrix{8\\13\\3} + 1\cdot \pmatrix{-1\\-5\\-3} = \pmatrix{7\\8\\0}$
$ \overrightarrow{OS'} = \pmatrix{7\\8\\0} $
Die Koordinaten von $S'$ lauten $S'(7\mid 8\mid 0).$
$\blacktriangleright$  Schatten grafisch darstellen
Aufgabe 2 - Analytische Geometrie
Abb. 1: Schatten
Aufgabe 2 - Analytische Geometrie
Abb. 1: Schatten
1.6
$\blacktriangleright$  Minimale Entfernung berechnen
Bestimme den Abstand der Gerade durch die beiden Punkte $E$ und $F$ zum Punkt $R.$
1. Schritt: Hilfsebene aufstellen
Die Hilfsebene $H$ soll orthogonal zur Geraden liegen und durch den Punkt $R$ verlaufen. Verwende als Normalenvektor also den Vektor $\overrightarrow{EF}:$
$\overrightarrow{n} = \overrightarrow{EF} = \pmatrix{-6\\6\\0}.$
Eine Ebenengleichung von $H$ hat also die Form $H:\; -6x_1+6x_2 = d.$ Mithilfe einer Punktprobe von $R$ ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} -6x_1+6x_2 &=& d &\quad \scriptsize \mid\; R(5\mid 7\mid 3) \\[5pt] -6\cdot 5 +6\cdot 7 &=& d \\[5pt] 12 &=& d \end{array}$
$ d=6 $
Die Hilfsebene, die orthogonal zur Geraden durch $E$ und $F$ liegt und den Punkt $R$ enthält, kann also durch folgende Gleichung beschrieben werden:
$H:\; -6x_1 + 6x_2 = 12 $
2. Schritt: Durchstoßpunkt bestimmen
Der Punkt auf der Geraden durch $E$ und $F$ mit dem kürzesten Abstand zu $R$ ist nun der Durchstoßpunkt der Geraden mit der Hilfsebene. Die Gerade durch $E$ und $F$ kann wie folgt beschrieben werden:
$\begin{array}[t]{rll} g:\; \overrightarrow{x} &=& \overrightarrow{OE} +s\cdot \overrightarrow{EF} \\[5pt] &=& \pmatrix{6\\0\\0} + s\cdot \pmatrix{-6\\6\\0} \\[5pt] &=& \pmatrix{6-6s \\ 6s\\0}\\[5pt] \end{array}$
Einsetzen in die Ebenengleichung liefert:
$\begin{array}[t]{rll} H:\; -6x_1 +6x_2 &=& 12 \\[5pt] -6\cdot(6-6s) +6\cdot 6s &=& 12 &\quad \scriptsize \mid\;:6 \\[5pt] -6+6s+6s &=& 2 \\[5pt] -6+12s&=& 2 &\quad \scriptsize \mid\; +6 \\[5pt] 12s&=& 8 &\quad \scriptsize \mid\; :12 \\[5pt] s&=& \frac{3}{4} \end{array}$
$ s=\frac{3}{4} $
Da $0\leq s\leq 1$ ist, liegt der Durchstoßpunkt auf der Strecke $\overline{EF}.$ Der Ortsvektor des Durchstoßpunkts ist:
$\overrightarrow{OP} = \pmatrix{6-6\cdot \frac{3}{4} \\ 6\cdot \frac{3}{4} \\0} = \pmatrix{\frac{3}{2}\\ \frac{9}{2} \\ 0} $
3. Schritt: Abstand berechnen
Die Entfernung von $R$ und $\overline{EF}$ ergibt sich über den Abstand von $R$ und $P:$
$\begin{array}[t]{rll} d(P,R)&=& \left|\overrightarrow{PR}\right| \\[5pt] &=& \left| \pmatrix{\frac{7}{2} \\ \frac{5}{2}\\3} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{\left(\frac{7}{2} \right)^2 + \left(\frac{5}{2} \right)^2 + 3^2} \\[5pt] &\approx& 5,24 \\[5pt] \end{array}$
$ d(P,R) \approx 5,24 $
Die minimale Entfernung der Kamera von der Grundkante $\overline{EF}$ der Kletterwand beträgt ca. $5,24\,\text{m}.$
#vektorbetrag
1.7.1
$\blacktriangleright$  Abstand zur Plattform berechnen
1. Schritt: Unteren Eckpunkt an Pfahl 1 bestimmen
Beide Pfähle stehen vertikal. Alle Punkte auf Pfahl 1 haben also die gleichen $x_1$- und $x_2$-Koordinaten. Insbesondere hat daher also der untere Befestigungspunkt $B_1$ an Pfahl 1 die $x_1$- und $x_2$-Koordinaten $0,$ wie $P_1.$
Gleichzeitig liegt der untere Befestigungspunkt $B_1$ auf der Plattform 1 und hat daher wegen der horizontalen Lage der Plattformen die gleiche $x_3$-Koordinate wie die Punkte $A,$ $B,$ $C$ und $D,$ also $x_3 = 2.$
Der untere Befestigungspunkt an Pfahl 1 hat also die Koordinaten $B_1(0\mid 0\mid 2).$
2. Schritt: Geradengleichung der unteren Netzkante bestimmen
Die untere Netzkante verläuft durch $B_1$ und einen Punkt auf Pfahl 2. Da Pfahl 2 ebenfalls vertikal verläuft, besitzen alle Punkte auf Pfahl 2 die Koordinaten $B_2(5\mid 10\mid z).$ Die Gerade $h,$ die die untere Netzkante beschreibt hat also folgende Form:
$\begin{array}[t]{rll} h:\;\overrightarrow{x} &=& \overrightarrow{OB_1} + t\cdot \overrightarrow{B_1B_2} \\[5pt] &=& \pmatrix{0\\0\\2} + t\cdot \pmatrix{5\\10\\z-2} \end{array}$
$ h:\;\overrightarrow{x} = … $
Der Parameter $z$ muss nun so gewählt werden, dass $h$ die Strecke $\overline{RT}$ schneidet.
3. Schritt: Gleichsetzen
Die Strecke $\overline{RT}$ ist Teil der Gerade $i$ mit der folgenden Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} i:\; \overrightarrow{x} &=& \overrightarrow{OR} + u\cdot \overrightarrow{RT} \\[5pt] &=& \pmatrix{5\\7\\3} + u\cdot \pmatrix{-3\\3\\0} \\[5pt] \end{array}$
$ i:\; \overrightarrow{x}= … $
Gleichsetzen der beiden Geraden $h$ und $i$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{0\\0\\2} + t\cdot \pmatrix{5\\10\\z-2} &=& \pmatrix{5\\7\\3} + u\cdot \pmatrix{-3\\3\\0} &\quad \scriptsize \mid\; -\pmatrix{0\\0\\2} \\[5pt] t\cdot \pmatrix{5\\10\\z-2} &=& \pmatrix{5\\7\\1} + u\cdot \pmatrix{-3\\3\\0} &\quad \scriptsize \mid\;-u\cdot \pmatrix{-3\\3\\0} \\[5pt] t\cdot \pmatrix{5\\10\\z-2} - u\cdot \pmatrix{-3\\3\\0} &=& \pmatrix{5\\7\\1} \end{array}$
$ \pmatrix{0\\0\\2} + t\cdot \pmatrix{5\\10\\z-2} = … $
Daraus entsteht ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Variablen:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&5&=& 5t +3u \\ \text{II}\quad&7&=& 10t -3u \\ \text{III}\quad&1&=& (z-2)t \\ \end{array}$
Aus der ersten Gleichung folgt:
$\begin{array}[t]{rll} 5&=& 5t+3u &\quad \scriptsize \mid\;-3u \\[5pt] 5-3u &=& 5t &\quad \scriptsize \mid\; :5 \\[5pt] 1-0,6u &=& t \end{array}$
$ t = 1-0,6u $
Einsetzen in die zweite Gleichung liefert dann:
$\begin{array}[t]{rll} 7 &=& 10t -3u &\quad \scriptsize \mid\; t=1-0,6u \\[5pt] 7 &=& 10(1-0,6u)-3u \\[5pt] 7 &=& 10-6u-3u \\[5pt] 7&=& 10-9u &\quad \scriptsize \mid\;-10 \\[5pt] -3&=& -9u &\quad \scriptsize \mid\; :(-9) \\[5pt] \frac{1}{3}&=& u \end{array}$
$ u =\frac{1}{3} $
Es ist also
$t = 1-0,6\cdot \frac{1}{3} = 0,8 $
Einsetzen in die dritte Gleichung liefert:
$\begin{array}[t]{rll} 1 &=& (z-2)t &\quad \scriptsize \mid\;t = 0,8 \\[5pt] 1&=& (z-2)\cdot 0,8 \\[5pt] 1&=& 0,8z -1,6 &\quad \scriptsize \mid\; +1,6\\[5pt] 2,6 &=& 0,8z &\quad \scriptsize \mid\;:0,8 \\[5pt] 3,25 &=& z \end{array}$
$ z = 3,25 $
Der untere Befestigungspunkt an Pfahl 2 hat also die Koordinaten $(5\mid 10\mid 3,25).$ Da Pfahl 2 vertikal und Plattform 2 horizontal verläuft, verlaufen diese orthogonal zueinander. Die Ebene, in der die Plattform 2 liegt, kann wegen der Koordinaten von $R,$ $S$ und $T$ durch die Gleichung $x_3 = 3$ beschrieben werden.
Plattform 2 befindet sich daher in einer Höhe von $3\,\text{m}$ über dem Boden, während sich der untere Befestigungspunkt aufgrund der $x_3$-Koordinaten in einer Höhe von $3,25\,\text{m}$ über dem Boden befindet.
Der untere Befestigungspunkt an Pfahl 2 hat also von der Plattform 2 einen Abstand von $25\,\text{cm}.$
#durchstoßpunkt
1.7.2
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt des Netzes ermitteln
Da die beiden Pfähle senkrecht zum Untergrund stehen sind sie parallel zueinander. Da jeweils zwei Ecken des Netzes an einem Pfahl befestigt sind, sind die beiden Seiten des Vierecks, die an den Pfählen befestigt sind, parallel zueinander. Das Viereck, das das Netz darstellt, ist also ein Trapez, dessen parallele Seiten beide $a=c=1,80\,\text{m}$ lang sind. Die Höhe des Trapezes entspricht dem Abstand der beiden Pfähle. Da die Pfähle senkrecht zum Untergrund stehen, entspricht ihr Abstand dem Abstand der beiden Punkte $P_1$ und $P_2,$ in denen die Pfähle auf den Untergrund treffen.
$\begin{array}[t]{rll} h&=& \left|\overrightarrow{P_1P_2} \right| \\[5pt] &=& \left|\pmatrix{5\\10\\0} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{5^2+10^2+0^2} \\[5pt] &=& \sqrt{125} \\[5pt] \end{array}$
Der Flächeninhalt ergibt sich dann mithilfe der Flächenformel eines Trapezes:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& \frac{1}{2}\cdot (a +c) \cdot h \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot (1,80\,\text{m} + 1,80\,\text{m})\cdot \sqrt{125}\,\text{m}\\[5pt] &\approx& 20,12\,\text{m}^2 \end{array}$
$ A\approx 20,12\,\text{m}^2 $
Das Netz ist ca. $20,12\,\text{m}^2$ groß.
#vektorbetrag#trapez
Bildnachweise [nach oben]
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