Aufgabe 3 - Wahrscheinlichkeit

Eine Fluggesellschaft plant die Verlegung der Einflussschneise ihres Flughafens. Um sich einen Überblick zu verschaffen, wie die Einwohner der betroffenen Orte zu der Verlegung stehen, wird eine Umfrage in Auftrag gegeben:
In Ommersbach werden $150$ Einwohner und in Heckenheim $100$ Einwohner befragt. $95$ aller Befragten stimmen einer Verlegung zu, davon genau $5$ mit Wohnort Heckenheim. Alle anderen Befragten sprechen sich gegen eine Verlegung aus.

Erstelle eine Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten, die das Umfrageergebnis darstellt.

Ein zufällig ausgewählter Teilnehmer der Umfrage wird nach der Abstimmung interviewt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass es sich dabei um einen Einwohner aus Heckenheim handelt, der gegen die Verlegung ist.

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte befragte Person entweder aus Heckenheim kommt oder der Verlegung der Flugschneise zustimmt.

Untersuche, ob bei der Befragung die Einstellung zur Verlegung der Einflugschneise stochastisch abhängig vom Wohnort Heckenheim ist.

Ein Teilnehmener der Umfrage hat sich für die Verlegung der Flugschneise ausgesprochen. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Person aus Heckenheim kommt. Zeichne ein vollständig beschriftetes Baumdiagramm, das diese Wahrscheinlichkeit enthält.

In Heckenheim haat sich eine Bürgerinitiative gegen die Verlegung der Einflugschneise gegründet. Diese wird von einem sechsköpfigen Team koordiniert, das von einer Frau geleitet wird. Der Bürgermeister der betroffenen Gemeinde hat drei Mitglieder des Koordinierungsteams in sein Büro eingeladen, um mehr über das Engagement der Bürgerinitiative zu erfahren.

Bestimme die Anzahl der möglichen Zusammensetzungen der Delegation, die das Koordinierungsteam ins Rathaus entsenden kann.

Ermittle den Faktor, um den sich die anzahl der möglichen Zusammensetzungen verringert, wenn eines der drei Mitglieder die Vorsitzende des Koordinierungsteams ist.

Zu dem Koordinaierungsteam gehört neben der Vorsitzenden genau eine weitere Frau. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass zu der Delegation, die das Koordinierungsteam ins Rathaus entsendet, genau ein Mann gehört.

Eine Fluggesellschaft weiß aus langjähriger Erfahrung, dass im Mittel $3\,\%$ aller getätigten Buchungen wieder storniert werden. Betrachtet wird im Folgenden eine bestimmte Flugstrecke, auf der die Fluggesellschaft ausschließlich flugzeuge mit $340$ Passagierplätzen einsetzt.
Das hier verwendete mathematische Modell beruht auf folgenden Grundannahmen:

• Für alle Flüge werden genau $340$ tickets verkauft und alle Tickets sind bezahlt.
• Jedes Ticket kostet $300$ Euro.
• Stornierungen von Plätzen erfolgen unabhängig voneinander und unabhängig vom Flugdatum. Es erfolgt keine Rückerstattung bei Stornierung.

Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Anzahl der belegten Plätze. Bestimme den Erwartungswert von $X$ sowie mit hilfe der $\sigma$-Regeln einen symmetrischen Bereich um den Erwartungswert, in dem die Anzahl der belegten Plätze mit circa $95\,\%$iger Wahrscheinlichkeit liegt.

Begründe, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einem Flug mindestens zwanzig Plätze frei bleiben, kleiner als $5\,\%$ ist. Gib einen Term zur Berechnung dieser Wahrscheinlichkeit an.

Um den Umsatz zu erhöhen, bietet die Gesellschaft pro Flug zehn Tickets mehr an, als Sitzplätze vorhanden sind. Falls mehr als $340$ Passagiere den Flug antreten wollen, muss die Fluggesellschaft die entsprechende Anzahl von Passagieren umbuchen.

Die Zufallsgröße $U$ beschreibt die Anzahl der Passagiere, die umgebucht werden müssen. Stelle mit Hilfe des Materials die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $U$ in einer Tabelle dar.
Zeige, dass auf lange Sicht mit etwa einer Umbuchung pro Flug zu rechnen ist.

Jede Umbuchung verursacht Mehrkosten in Höhe von $500\,€.$ Untersuche, ob sich die Strategie, $350$ Tickets pro Flug zu verkaufen, für die Fluggesellschaft auf lange Sicht lohnt.

$\blacktriangleright$  Vierfeldertafel erstellen

$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen Insgesamt haben $150+100 = 250$ Personen an der Umfrage teilgenommen. Davon stammen $5$ aus Heckenheim und sind gegen die Verlegung: $\frac{5}{250} = 0,02 = 2\,\%$ Mit einer Wahrscheinlichkeit von $2\,\%$ handelt es sich bei einem zufällig interviewten Teilnehmer der Umfrage um einen Bewohner von Heckenheim, der gegen die Verlegung ist.

$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen Die Anzahl der Personen, die entweder aus Heckenheim stammen oder für die Verlegung der Flugschneise gestimmt haben ergibt sich zu: $5+95+90 = 190$ Von den $250$ Befragten stammen also $190$ entweder aus Heckenheim oder sind für die Verlegung. $\frac{190}{250} = 0,76 = 76\,\%$ Mit einer Wahrscheinlichkeit von $76\,\%$ stammt ein zufällig ausgewählter Befragter entweder aus Heckenheim oder ist für die Verlegung der Flugschneise.

$\blacktriangleright$  Stochastische Abhängigkeit untersuchen Zwei Ereignisse $A$ und $B$ sind stochastisch unabhängig, wenn $P(A\cap B) = P(A) \cdot P(B)$ gilt. Verwende folgende Bezeichnungen:

• $H:$ Ein Befragter ist Einwohner von Heckenheim.
• $V:$ Ein Befragter ist für die Verlegung.

$\begin{array}[t]{rll} P(H)&=& \frac{100}{250} \\[5pt] &=& 0,4 \\[10pt] P(V)&=& \frac{95}{250}\\[5pt] &=& 0,38 \\[10pt] P(H)\cdot P(V) &=& 0,4\cdot 0,38 \\[5pt] &=& 0,152 \\[10pt] P(H\cap V) &=& \frac{5}{250} \\[5pt] &=& 0,02 \\[10pt] \end{array}$ Es ist also $P(H\cap V)\neq P(H)\cdot P(V).$ Also ist die Aussprache für oder gegen die Flugschneise stochastisch abhängig davon, ob der Wohnort des Befragten Heckenheim ist.

$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen Insgesamt haben sich $95$ Personen für die Verlegung ausgesprochen, davon stammen $5$ aus Heckenheim: $\frac{5}{95} = \frac{1}{19}$ Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Befragter, der sich für die Verlegung ausgesprochen hat, aus Heckenheim stammt, beträgt $\frac{1}{19}.$ $\blacktriangleright$  Baumdiagramm zeichnen

$\blacktriangleright$  Anzahl der Möglichkeiten bestimmen Das Koordinierungsteam besteht aus $6$ Personen, von denen $3$ eingeladen werden. Es handelt sich um Ziehen ohne Zurücklegen und die Reihenfolge soll nicht betrachtet werden. Es soll also die Anzahl der möglichen Kombinationen von $3$ Elementen aus einer Menge von $6$ Elementen bestimmt werden. Verwende dazu also den Binomialkoeffizienten: $\binom{6}{3} = 20$ Das Koordinierungsteam hat insgesamt $20$ mögliche Zusammensetzungen zur Auswahl.

$\blacktriangleright$  Faktor ermitteln Wenn einer der drei Plätze schon fest durch die Vorsitzende besetzt ist, gilt es noch zwei Plätze unter fünf Mitgliedern zu verteilen. Eine analoge Rechnung zu 2.1 ergibt: $\binom{5}{2} = 10$ Die Anzahl der Möglichkeiten halbiert sich, verringert sich also um den Faktor $0,5.$

$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen Von den sechs Mitgliedern sind zwei Frauen und vier Männer. Mit den Pfadregeln ergibt sich folgende Wahrscheinlichkeit: Mit einer Wahrscheinlichkeit von $20\,\%$ befindet sich in der Delegation genau ein Mann.

$\blacktriangleright$  Erwartungswert bestimmen Wegen der im Aufgabentext angegebenen Grundannahmen kann $X$ als binomialverteilt mit $n=340$ und $p=1-0,03 = 0,97$ betrachtet werden. Der Erwartungswert von $X$ ergibt sich entsprechend wie folgt: $\begin{array}[t]{rll} \mu_X &=& n\cdot p \\[5pt] &=& 340\cdot 0,97 \\[5pt] &=& 329,8 \end{array}$ $\blacktriangleright$  Bereich angeben Die Standardabweichung von $X$ ist: $\begin{array}[t]{rll} \sigma&=& \sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)} \\[5pt] &=& \sqrt{340\cdot 0,97\cdot 0,03}\\[5pt] &=& \sqrt{9,894} > 3\\[5pt] \end{array}$ Die $\sigma$-Regeln können also angewendet werden. Du findest folgende Regel: Setze also die Werte ein: Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $95\,\%$ liegt die Anzahl der belegten Plätze im Intervall $[324;336].$

$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit begrenzen In Aufgabe 3.1 wurde bereits das Intervall $[324;336]$ bestimmt. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der belegten Sitzplätze in diesem Intervall liegt, beträgt ca. $95\,\%.$ Damit mindestens $20$ Plätze frie bleiben, dürften höchstens $320$ Plätze belegt sein.
Aufgrund des gegebenen Intervalls lässt sich sagen, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $5\,\%$ höchstens $323$ und mindestens $337$ Plätze belegt werden. Diese Wahrscheinlichkeit beinhaltet bereits die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens $320$ Plätze belegt sind. Wodurch die Wahrscheinlichkeit dafür kleiner sein muss als die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens $324$ oder mindestens $337$ Plätze belegt sind. Sie muss also kleiner als $5\,\%$ sein. $\blacktriangleright$  Term angeben Die gesuchte Wahrscheinlichkeit entspricht der Wahrscheinlichkeit $P(X\leq 320)=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{320} P(X=k).$

$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeitsverteilung darstellen Betrachte die Zufallsgröße $T$ aus dem Material. $T$ beschreibe die Anzahl der gebuchten Tickets.
Die Zufallsgröße $U$ kann Werte zwischen $0$ und $10$ annehmen. Es gilt $P(U=0) = P(T\leq 340)$ und $P(U = k) = P(T=340+k)$ für $1\leq k\leq 10.$ $\blacktriangleright$  Anzahl Umbuchungen auf lange Sicht zeigen Die Anzahl der Umbuchungen auf lange Sicht entspricht dem Erwartungswert von $U:$ Auf lange Sicht kann also bei jedem Flug mit etwa einer Umbuchung gerechnet werden.

$\blacktriangleright$  Einnahmen auf lange Sicht untersuchen Wenn bei jedem Flug immer $350$ Tickets verkauft werden, nimmt die Fluggesellschaft dadurch $10\cdot 300\,€ = 3.000\,€ $ mehr ein, als wenn sie nur ausreichend Tickets verkaufen würde.
Sie muss im Schnitt mit einer Umbuchung rechnen, die $500\,€$ kostet. Also beläuft sich die Bilanz auf: $3.000\,€ -500\,€ = 2.500\,€$ Auf lange Sicht macht die Fluggesellschaft durch den Mehrverkauf der Tickets also $2.500\,€$ Gewinn pro Flug.