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Erwartungswert bestimmen
Wegen der im Aufgabentext angegebenen Grundannahmen kann $X$ als binomialverteilt mit $n=340$ und $p=1-0,03 = 0,97$ betrachtet werden.
Der Erwartungswert von $X$ ergibt sich entsprechend wie folgt:
$\begin{array}[t]{rll}
\mu_X &=& n\cdot p \\[5pt]
&=& 340\cdot 0,97 \\[5pt]
&=& 329,8
\end{array}$
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Bereich angeben
Die Standardabweichung von $X$ ist:
$\begin{array}[t]{rll}
\sigma&=& \sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)} \\[5pt]
&=& \sqrt{340\cdot 0,97\cdot 0,03}\\[5pt]
&=& \sqrt{9,894} > 3\\[5pt]
\end{array}$
Die $\sigma$-Regeln können also angewendet werden. Du findest folgende Regel:
$P(\mu -1,96\cdot \sigma \leq X \leq \mu +1,96\cdot \sigma) \approx 0,95$
$ P(…)\approx 0,95 $
$P(\mu -1,96\cdot \sigma \leq X \leq \mu +1,96\cdot \sigma) \approx 0,95$
Setze also die Werte ein:
$\begin{array}[t]{rll}
I &=&[\mu-1,96\cdot \sigma ; \mu +1,96\cdot \sigma] \\[5pt]
&=& [329,8-196\cdot \sqrt{9,894};329,8+196\cdot \sqrt{9,894} ]\\[5pt]
&\approx& [324; 336]\\[5pt]
\end{array}$
$ I\approx [324; 336] $
$\begin{array}[t]{rll}
I &=&[\mu-1,96\cdot \sigma ; \mu +1,96\cdot \sigma] \\[5pt]
&=& [329,8-196\cdot \sqrt{9,894};329,8+196\cdot \sqrt{9,894} ]\\[5pt]
&\approx& [324; 336]\\[5pt]
\end{array}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $95\,\%$ liegt die Anzahl der belegten Plätze im Intervall $[324;336].$