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Aufgabe 1 - Analysis

Aufgaben
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1.
Gegeben ist die Funktion $f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ mit $f(x)=(x+4)\cdot e^{-\frac{1}{2}x}.$
1.1
Gib die maximale Definitionsmenge der Funktion $f$ an. Untersuche $f$ auf Nullstellen und auf einfache Symmetrie.
1.2
Begründe mit Hilfe des Funktionsterms das Grenzwertverhalten der Funktion $f$ für $x \longrightarrow +\infty$ und für $x \longrightarrow -\infty$.
1.3
Bestimme die Gleichung der ersten Ableitung von $f$.
Zur Kontrolle und weiteren Verwendung: $f'(x)=(-\frac{1}{2}x-1)\cdot e^{-\frac{1}{2}x}$.
Zur weiteren Verwendung (ohne Nachweis): $f''(x)=\frac{1}{4}x\cdot e^{-\frac{1}{2}x}$
1.4
Untersuche rechnerisch den Graphen von $f$ auf Extrempunkte (einschließlich ihrer Art) und auf Wendepunkte.
1.5
Skizziere unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse den Graphen von $f$.
1.6
Die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(0\mid 4)$ und die Koordinatenachsen schließen eine Dreiecksfläche ein. Berechne den Inhalt dieser Dreiecksfläche.
2
In der Abbildung ist das Profil der Startrampe einer Skaterbahn zu sehen. (Längeneinheit $1\,\text{m}$). Der Verlauf des Profils zwischen den Punkten $A(1\mid 2)$ und $E(3\mid 0)$ soll durch eine Funktion modelliert werden. Dabei soll das Profil bei $E$ die gleiche Steigung haben wie die $x$-Achse.
2.1
Architekt P.A. Rabel schlägt die Funktion mit der Gleichung $p(x)=\frac{1}{2}(x-3)^2$ vor.
Weise nach, dass diese Funktion eine geeignete Modellierung des Profilverlaufs zwischen $A$ und $E$ im Sinne der oben genannten Anforderungen darstellt.
2.2
Architekt G.E. Rade schlägt vor, den Profilverlauf zwischen $A$ und $E$ geradlinig durch eine lineare Funktion $g$ zu modellieren. Bestimme eine Funktionsgleichung von $g$ und begründe, dass es sich nicht um eine geeignete Modellierung im Sinne der oben genannten Anforderungen handelt.
2.3
Die Bahn wird nach dem Vorschlag des Architekten P.A. Rabel (aus 2.1) gebaut. Die komplette vordere Seitenfläche der Rampe (siehe schraffierter Teil der Abbildung) soll einen Anstrich erhalten. Berechne den Inhalt dieser Fläche.
(Bei der Berechnung eines Integrals ist eine Stammfunktion anzugeben.)
3
3.1
Eine der Abbildungen 1 bis 6 stellt den Graphen der Ableitungsfunktion $f'$ dar.
Gib diese Abbildung an und begründe deine Wahl.
3.2.1
Eine der Abbildungen 1 bis 6 stellt den Graphen einer Stammfunktion von $f$ dar.
Gib diese Abbildung an und begründe deine Wahl.
3.2.1
Skizziere auf diesem Aufgabenblatt in die in 3.2.1 ausgewählte Abbildung den Graphen derjenigen Stammfunktion $F$ von $f$ mit der Eigenschaft $F(0)=-1$.
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© 2016 – SchulLV.
[2]
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[3.1]
© 2016 – SchulLV.
[3.2]
© 2016 – SchulLV.
[3.3]
© 2016 – SchulLV.
[3.4]
© 2016 – SchulLV.
[3.5]
© 2016 – SchulLV.
[3.6]
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Tipps
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1.1
$\blacktriangleright$ Maximale Definitionsmenge der Funktion $\boldsymbol{f}$ angeben
Dir ist die Funktion $f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ mit $f(x)=(x+4)\cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x}$ gegeben. Du sollst die maximale Definitionsmenge der Funktion $f$ angeben.
Bei solchen Aufgaben musst du darauf achten, dass du keine Zahlen einsetzt, die dazuführen, dass du
  • durch $0$ teilst,
  • unter einer Wurzel eine negativen Zahl stehen hast,
  • negative Zahlen logarithmierst.
  • Beachte auch den Definitionsbereich der Spezialfälle wie die Umkehrungen der trigonometrischen Funktionen ($\arcsin, \arccos, \dots$).
$\blacktriangleright$ Nullstellen der Funktion $\boldsymbol{f}$ angeben
Untersuche die Funktion $f$ zunächst auf Nullstellen. Dazu setzt du den Funktionsterm gleich Null und löst nach $x$ auf.
Du kannst den Term dafür in zwei Faktoren aufteilen, denn wenn ein Faktor Null wird, ist das Produkt auch Null.
$\blacktriangleright$ Graphen auf Symmetrie untersuchen
Überprüfe nun den Graphen von $f$ auf einfache Symmetrie. Dazu musst du überprüfen, ob der Graph achsen- oder punktsymmetrisch ist.
Der Graph von $f$ ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse, falls
$f(x) = f(-x)$
$f(x) = f(-x)$
für alle $x$ aus dem Definitionsbereich $D_f $ gilt.
Weise also nach, dass für die Funktion $f$ diese Gleichung erfüllt ist. Eine Funktion $f$ ist punktsymmetrisch, falls
$f(-x) = -f(x)$
$f(-x) = -f(x)$
für alle $x$ aus dem Definitionsbereich $D_f$ gilt. Weise nach, dass diese Bedingung erfüllt ist.
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&(x+4)\cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x} &\quad \scriptsize \\[5pt] f(-x)&=&(-x+4)\cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}\cdot(-x)}=(-x+4)\cdot \mathrm{e}^{\frac{1}{2}x}\neq -f(x) &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Du hast gezeigt, dass der Graph der Funktion weder achsen- noch punktsymmetrisch ist.
1.2
$\blacktriangleright$ Verhalten für $\boldsymbol{x}\rightarrow+\infty$ und für $\boldsymbol{x} \rightarrow - \infty$ begründen
Begründe mit Hilfe des Funktionsterms das Grenzverhalten der Funktion für $x\rightarrow+\infty$ und für $x \rightarrow - \infty$. Dazu kannst du den Funktionsterm für $x\rightarrow+\infty$ und $x\rightarrow-\infty$ betrachten.
Verhalten für $\boldsymbol{x\rightarrow+\infty}$
$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{x\to\infty}f(x)&=& \lim\limits_{x\to\infty}\left((x+4)\cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x}\right) &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Um das Verhalten der Funktion für $x\rightarrow+\infty$ zu untersuchen, kannst du die Faktoren separat betrachten.
Verhalten für $\boldsymbol{x\rightarrow-\infty}$
Um das Verhalten der Funktion für $x\rightarrow+\infty$ zu untersuchen, kannst du die Faktoren wieder separat betrachten.
1.3
$\blacktriangleright$ Gleichung der ersten Ableitung von $\boldsymbol{f}$ bestimmen
Du sollst die erste Ableitung von $f$ bestimmen. Folgendes kann dir dabei behilflich sein:
  • Du kannst die Gleichung in zwei Faktoren aufteilen und jede Faktor separat ableiten. Verwende die Produktregel
  • Du kannst zur Ableitung des zweiten Faktors $\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x}$ die Kettenregel verwenden
1.4
$\blacktriangleright$ Graphen von $\boldsymbol{f}$ auf Extrempunkte untersuchen
Du hast die Funktion $f$ gegeben und sollst deren Graph auf Extrempunkte untersuchen. Für eine Extremstelle $x_E$ benötigst du die beiden folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\, f'\left(x_E\right)=0$
  • Hinreichendes Kriterium:
    • Ist $f''\left(x_E\right)> 0$, handelt es sich um eine Minimalstelle.
    • Ist $f''\left(x_E\right)< 0$, handelt es sich um eine Maximalstelle.
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die ersten beiden Ableitungsfunktionen $f'$ und $f''$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $f'(x)=0$ setzt und nach $x$ löst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $f''(x)$ einsetzt. So bestimmst du gleichzeitig die Art der Extrema.
  4. Berechne die Funktionswerte von $f$ an den Extremstellen.
$\blacktriangleright$ Graphen von $\boldsymbol{f}$ auf Wendepunkte untersuchen
Eine Wendestelle von $f$ ist eine Extremstelle der ersten Ableitungsfunktion $f'$. Dementsprechend gelten hierfür ebenfalls die beiden Kriterien, wobei hier aber alles eine Ebene nach oben gesetzt wird:
  1. Notwendiges Kriterium: $f''(x_W) = 0$
  2. Hinreichendes Kriterium: Hierfür gibt es zwei Möglichkeiten
    • Wert der dritten Ableitung: $f'''(x_W) \neq 0$
    • Vorzeichen-Wechsel der zweiten Ableitung: Ist der Wert der zweiten Ableitung von $f$ vor der Stelle $x_W$ positiv und nach $x_W$ negativ bzw. umgekehrt, so handelt es sich bei $x_W$ tatsächlich um eine Wendestelle
Die Koordinaten der Wendepunkte des Graphen einer Funktion $f$ kannst du wie folgt berechnen:
  1. Bilde die zweite und dritte Ableitungsfunktion von $f$
  2. Notwendiges Kriterium anwenden: $f''(x) = 0$ setzen. Dadurch erhältst du mögliche Extremstellen $x_W$
  3. Hinreichendes Kriterium überprüfen: $f'''(x_W)$ berechnen.
  4. $y$-Koordinaten: $f(x_W)$ berechnen
1.5
$\blacktriangleright$ Graphen von $\boldsymbol{f}$ skizzieren
Du sollst den Graphen von $f$ skizzieren, dazu kannst du ein geeigentes Koordinatensystem wählen auf das du alle bereits berechneten Werte eintragen kannst. Trage dann die berechnete Nullstelle und die Extrempunkte ein. Du musst ebenfalls das Verhalten der Funktion gegen plus- und minus- unendlich berücksichtigen.
1.6
$\blacktriangleright$ Flächeninhalt der Dreiecksfläche berechnen
Du sollst den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnen, dass durch die Tangente im Punkt $(0\;|\;4)$ und die Koordinatenachsen eingeschlossen wird. Du kannst in folgenden Schritten vorgehen:
  1. Bestimme die Tangentengleichung der Tangente im Punkt $(0\;|\;4)$
  2. Bestimme die Grenzen eines Integrals. Die Tangente schneidet die $y$-Achse an der Stelle $x=0$, dies ist die erste Grenze. Berechne den Schnittpunkt der Tangente mit der $x$-Achse, um die zweite Grenze festzulegen
  3. Das Integral gibt den Flächeninhalt unter einer Funktion an. Berechne deswegen das Integral in den Grenzen, die du im zweiten Schritt bestimmt hast
2.1
$\blacktriangleright$ Funktion als geeignete Modellierung nachweisen
Überprüfe, ob die Funktion $p(x)=\frac{1}{2}(x-3)^2$ den Verlauf des Profils zwischen den Punkten $A$ und $E$ beschreibt. Überprüfe dafür, ob
  1. die Punkte $A$ und $E$ auf dem Graphen der Funktion $p$ liegen
  2. die Steigung im Punkt $E$ Null ist
2.2
$\blacktriangleright$ Funktionsgleichung von $\boldsymbol{g}$ aufstellen
Der Graph soll nun durch eine Gerade zwischen $A$ und $E$ modelliert werden. Du sollst zeigen, dass die Anforderungen dann nicht mehr erfüllt sind. Gehe in folgenden Schritten vor:
  1. Geradengleichung durch die Punkte $A$ und $E$ aufstellen
  2. Steigung im Punkt $E$ überprüfen
2.3
$\blacktriangleright$ Inhalt der Fläche berechnen
Du sollst den Flächeninhalt der Seitenfläche berechnen. Dazu musst du das Integral in den Grenzen von $0$ bis $3$ berechnen. Teile den Graphen dazu in zwei sinvolle Abschnitte ein.
3.1
$\blacktriangleright$ Abbildung der Ableitungsfunktion $\boldsymbol{f'}$ angeben und Wahl begründen
Du hast den Graphen $G_f$ gegeben und sollst die passende Ableitungsfunktion aus den Abbildungen $1-6$ auswählen. Betrachte dazu den gegebenen Graphen und markiere wichtige Stellen, wie zum Beispiel:
  • Nullstellen
  • Extrempunkte
  • Steigung vor und nach der Extremstelle
3.2.1
$\blacktriangleright$ Abbildung einer Stammfunktion von $\boldsymbol{f}$ angeben
Du sollst im nächsten Schritt die Abbildung einer Stammfunktion von $f$ auswählen. Zur Auswahl stehen die Abbildungen $1-6$, wobei du oben bereits herausgefunden hast, dass die Abbildung $3$ den Graphen der Ableitung darstellt.
Gehe davon aus, dass der Graph $G_f$ die Ableitung der Stammfunktion darstellt. Es gilt $F'(x)=f(x)$.
Betrachte die wichtigen Stellen des Graphen $G_f$, wie zum Beispiel:
  • Nullstellen
  • Extrempunkte
  • Steigung vor und nach der Extremstelle
3.2.2
$\blacktriangleright$ Die Stammfunktion von $\boldsymbol{f}$ mit der Eigenschaft $\boldsymbol{F(0)=-1}$ skizzieren
Du sollst nun diejenige Stammfunktion skizzieren, die die Eigenschaft $F(0)=-1$ aufweist. Dazu musst du die abgebildete Stammfunktion um soviele Einheiten nach unten verschieben bis die Funktion bei $x=0$ den Wert $y=-1$ hat. Verschiebe den Graphen dann an jeder Stelle um diesen Wert nach unten.
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Lösungen
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1.1
$\blacktriangleright$ Maximale Definitionsmenge der Funktion $\boldsymbol{f}$ angeben
Dir ist die Funktion $f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ mit $f(x)=(x+4)\cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x}$ gegeben. Du sollst die maximale Definitionsmenge der Funktion $f$ angeben.
Bei solchen Aufgaben musst du darauf achten, dass du keine Zahlen einsetzt, die dazuführen, dass du
  • durch $0$ teilst,
  • unter einer Wurzel eine negativen Zahl stehen hast,
  • negative Zahlen logarithmierst.
  • Beachte auch den Definitionsbereich der Spezialfälle wie die Umkehrungen der trigonometrischen Funktionen ($\arcsin, \arccos, \dots$).
Bei der Funktion $f$ ist keiner dieser Punkte erfüllt. Die maximale Definitionsmenge ist deswegen $D_f= \mathbb{R}$.
$\blacktriangleright$ Nullstellen der Funktion $\boldsymbol{f}$ angeben
Untersuche die Funktion $f$ zunächst auf Nullstellen. Dazu setzt du den Funktionsterm gleich Null und löst nach $x$ auf.
Du kannst den Term dafür in zwei Faktoren aufteilen, denn wenn ein Faktor Null wird, ist das Produkt auch Null.
Die Funktionsgleichung: $f(x)=(x+4)\cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x}=0$, lässt sich aufteilen in $(x+4)$ und $\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x}$.
$\begin{array}[t]{rll} x+4&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; -4\\[5pt] x&=&-4 \end{array}$
Die erste Nullstelle ist $x=-4$. Betrachte nun den zweiten Faktor und setze ihn mit Null gleich.
$\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x}=0$
Für diesen Term gibt es keine Nullstelle, denn $\mathrm{e}^x$ ist immer größer Null, egal was im Exponenten steht. Somit ist die einzige Nullstelle der Funktion $x=-4$.
$\blacktriangleright$ Graphen auf Symmetrie untersuchen
Überprüfe nun den Graphen von $f$ auf einfache Symmetrie. Dazu musst du überprüfen, ob der Graph achsen- oder punktsymmetrisch ist.
Der Graph von $f$ ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse, falls
$f(x) = f(-x)$
$f(x) = f(-x)$
für alle $x$ aus dem Definitionsbereich $D_f $ gilt.
Weise also nach, dass für die Funktion $f$ diese Gleichung erfüllt ist.
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&(x+4)\cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x} &\quad \scriptsize \\[5pt] f(-x)&=&(-x+4)\cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}\cdot(-x)}=(-x+4)\cdot \mathrm{e}^{\frac{1}{2}x}\neq f(x) &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Du hast somit gezeigt, dass der Graph der Funktion $f$ nicht achsensymetrisch ist.
Eine Funktion $f$ ist punktsymmetrisch, falls
$f(-x) = -f(x)$
$f(-x) = -f(x)$
für alle $x$ aus dem Definitionsbereich $D_f$ gilt. Weise nach, dass diese Bedingung erfüllt ist.
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&(x+4)\cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x} &\quad \scriptsize \\[5pt] f(-x)&=&(-x+4)\cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}\cdot(-x)}=(-x+4)\cdot \mathrm{e}^{\frac{1}{2}x}\neq -f(x) &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Du hast gezeigt, dass der Graph der Funktion weder achsen- noch punktsymmetrisch ist.
1.2
$\blacktriangleright$ Verhalten für $\boldsymbol{x}\rightarrow+\infty$ und für $\boldsymbol{x} \rightarrow - \infty$ begründen
Begründe mit Hilfe des Funktionsterms das Grenzverhalten der Funktion für $x\rightarrow+\infty$ und für $x \rightarrow - \infty$. Dazu kannst du den Funktionsterm für $x\rightarrow+\infty$ und $x\rightarrow-\infty$ betrachten.
Verhalten für $\boldsymbol{x\rightarrow+\infty}$
$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{x\to\infty}f(x)&=& \lim\limits_{x\to\infty}\left((x+4)\cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x}\right) &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Um das Verhalten der Funktion für $x\rightarrow+\infty$ zu untersuchen, kannst du die Faktoren separat betrachten.
Der Term $x+4$ strebt gegen unendlich. Der Term $\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x}$ strebt gegen Null, denn $\mathrm{e}^x$ strebt gegen unendlich. Somit strebt $\frac{1}{\mathrm{e}^x}$ gegen Null. Da das Grenzverhalten der Exponentialfunktion dominiert erhältst du als Grenzwert der Funktion $f$ den Wert Null:
$\lim\limits_{x\to\infty}(f(x))\rightarrow 0$
Verhalten für $\boldsymbol{x\rightarrow-\infty}$
Um das Verhalten der Funktion für $x\rightarrow+\infty$ zu untersuchen, kannst du die Faktoren wieder separat betrachten.
Der Term $x+4$ strebt gegen minus-unendlich. Der Term $\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x}$ strebt gegen unendlich. Die Exponentialfunktion dominiert, trotzdem strebt die Funktion gegen minus-unendlich, da das Vorzeichen des ersten Terms für $x<4$ negativ ist.
1.3
$\blacktriangleright$ Gleichung der ersten Ableitung von $\boldsymbol{f}$ bestimmen
Du sollst die erste Ableitung von $f$ bestimmen. Folgendes kann dir dabei behilflich sein:
  • Du kannst die Gleichung in zwei Faktoren aufteilen und jede Faktor separat ableiten. Verwende die Produktregel
  • Du kannst zur Ableitung des zweiten Faktors $\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x}$ die Kettenregel verwenden
Die Gleichung $f(x)=(x+4)\cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x}$ lässt sich in die zwei Faktoren $x+4$ und $\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x}$ aufteilen. Leite zuerst jeden Faktor einzeln ab. Den ersten Faktor kannst du nach den bekannten Ableitungsregeln berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} u(x)&=&x+4 &\quad \scriptsize \\[5pt] u'(x)&=&1 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} v(x)&=&\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x} &\quad \scriptsize \\[5pt] v'(x)&=&? \end{array}$
Um den zweiten Faktor zu berechnen kannst du die Kettenregel anwenden und den Term $v(x)=\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x}$ nochmal unterteilen in $p(x)=\mathrm{e}^x$ und $g(x)=-\frac{1}{2}x$. Leite jeden Term ab.
$\begin{array}[t]{rll} p(x)&=& \mathrm{e}^x&\quad \scriptsize \\[5pt] p'(x)&=&\mathrm{e}^x \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=& -\frac{1}{2}x&\quad \scriptsize \\[5pt] g'(x)&=& -\frac{1}{2} \end{array}$
Nun kannst du die Terme mit der Kettenregel verknüpfen, um $v'(x)$ zu erhalten:
$v'(x)=p'(g(x))\cdot g'(x)$
$v(x)=p'(g(x))\cdot g'(x)$
Setze die berechneten Terme ein, um $v'(x)$ zu erhalten:
$v'(x)=\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x}\cdot -\frac{1}{2}$
Du kannst jetzt die Produktregel anwenden, um die Ableitung der Funktion $f$ zu berechnen:
$f'(x)=u(x)\cdot v'(x)+u'(x)\cdot v(x)$
$f'(x)=u(x)\cdot v'(x)+u'(x)\cdot v(x)$
Setze die berechneten Terme ein:
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&=&(x+4)\cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x}\cdot -\frac{1}{2} + 1\cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& x\cdot \frac{-1}{2}\cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x} + 4 \cdot \frac{-1}{2}\cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x} + \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& x\cdot \frac{-1}{2}\cdot \mathrm{e}^{-\frac{-1}{2}x} - \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\left(\frac{-1}{2}x-1\right)\cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x} \end{array}$
Die erste Ableitungsfunktion von $f$ lautet $f'(x)= \left(\frac{-1}{2}x-1\right)\cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x}$.
1.4
$\blacktriangleright$ Graphen von $\boldsymbol{f}$ auf Extrempunkte untersuchen
Du hast die Funktion $f$ gegeben und sollst deren Graph auf Extrempunkte untersuchen. Für eine Extremstelle $x_E$ benötigst du die beiden folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\, f'\left(x_E\right)=0$
  • Hinreichendes Kriterium:
    • Ist $f''\left(x_E\right)> 0$, handelt es sich um eine Minimalstelle.
    • Ist $f''\left(x_E\right)< 0$, handelt es sich um eine Maximalstelle.
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die ersten beiden Ableitungsfunktionen $f'$ und $f''$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $f'(x)=0$ setzt und nach $x$ löst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $f''(x)$ einsetzt. So bestimmst du gleichzeitig die Art der Extrema.
  4. Berechne die Funktionswerte von $f$ an den Extremstellen.
1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen
Du hast oben bereits die erste Ableitung von $f$ bestimmt: $f'(x)= \left(\frac{-1}{2}x-1\right)\cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x}$. Die zweite Ableitung ist dir in der Aufgabenstellung gegeben: $f''(x)= \frac{1}{4}\cdot x \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x}$ .
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Durch Gleichsetzen von $f'(x)$ mit Null, erhältst du mögliche Extremstellen:
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&=&0 &\quad \scriptsize \\[5pt] \left(\frac{-1}{2}x-1\right)\cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x}&=&0 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Teile zur Berechnung der Nullstelle die Gleichung in zwei Faktoren auf. Da die Expontentialfunktion nicht Null wird, ist es ausreichend nur den ersten Faktor zu betrachten.
$\begin{array}[t]{rll} \frac{-1}{2}x-1&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; + 1\\[5pt] \frac{-1}{2}x&=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 2 \mid\; : (-1)\\[5pt] x&=& -2 & \end{array}$
Die mögliche Extremstelle ist also bei $x=-2$.
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
Setze das Ergebnis aus dem zweiten Schritt in $f''(x)$ ein. Ist $f''(x_E)> 0$, handelt es sich um eine Minimalstelle. Ist $f''(x_E)< 0$, handelt es sich um eine Maximalstelle.
$\begin{array}[t]{rll} f''(x)&=&\frac{1}{4}\cdot x \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x} &\quad \scriptsize \\[5pt] f''(-2)&=&\frac{1}{4}\cdot (-2) \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}(-2)} &\quad \scriptsize \\[5pt] f(-2)&\approx& -1,36 \end{array}$
Da $ f''(x_E)< 0$, handelt es sich um eine Maximalstelle.
4. Schritt: Funktionswerte berechnen
Die Funktionswerte kannst du berechnen, indem du das Ergebnis aus dem zweiten Schritt in $f(x)$ einsetzt.
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&(x+4)\cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x} &\quad \scriptsize \\[5pt] f(-2)&=&((-2)+4)\cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}(-2)} &\quad \scriptsize \\[5pt] f(-2)&=& 2e \approx 5,44 \end{array}$
Du erhältst den Hochpunkt $H(-2\;| \;5,44)$.
$\blacktriangleright$ Graphen von $\boldsymbol{f}$ auf Wendepunkte untersuchen
Eine Wendestelle von $f$ ist eine Extremstelle der ersten Ableitungsfunktion $f'$. Dementsprechend gelten hierfür ebenfalls die beiden Kriterien, wobei hier aber alles eine Ebene nach oben gesetzt wird:
  1. Notwendiges Kriterium: $f''(x_W) = 0$
  2. Hinreichendes Kriterium: Hierfür gibt es zwei Möglichkeiten
    • Wert der dritten Ableitung: $f'''(x_W) \neq 0$
    • Vorzeichen-Wechsel der zweiten Ableitung: Ist der Wert der zweiten Ableitung von $f$ vor der Stelle $x_W$ positiv und nach $x_W$ negativ bzw. umgekehrt, so handelt es sich bei $x_W$ tatsächlich um eine Wendestelle
Die Koordinaten der Wendepunkte des Graphen einer Funktion $f$ kannst du wie folgt berechnen:
  1. Bilde die zweite und dritte Ableitungsfunktion von $f$
  2. Notwendiges Kriterium anwenden: $f''(x) = 0$ setzen. Dadurch erhältst du mögliche Extremstellen $x_W$
  3. Hinreichendes Kriterium überprüfen: $f'''(x_W)$ berechnen.
  4. $y$-Koordinaten: $f(x_W)$ berechnen
1. Schritt: Zweite und dritte Ableitung bestimmen
Die zweite Ableitung ist dir bereits gegeben, du kannst deswegen gleich die dritte Ableitung von $f$ bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} f''(x)&=&\frac{1}{4}\cdot x \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x} &\quad \scriptsize \\[5pt] f'''(x)&=&? \end{array}$
Du sollst die dritte Ableitung von $f$ bestimmen, dass bedeutet, das du $f''(x)$ nochmal ableitest. Folgendes kann dir dabei behilflich sein:
  • Du kannst den Funktionsterm in zwei Faktoren aufteilen und jeden Faktor separat ableiten. Verwende die Produktregel.
  • Du kannst zur Berechnung des zweiten Faktors $\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x}$ die Kettenregel verwenden.
Die Gleichung $f(x)=\frac{1}{4}\cdot x \cdot \mathrm{e}^{-\frac{-1}{2}x}$ lässt sich in die zwei Faktoren $\frac{1}{4}\cdot x$ und $\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x}$ aufteilen. Leite zuerst jeden Faktor einzeln ab. Den ersten Faktor kannst du nach den bekannten Ableitungsregeln ableiten.
$\begin{array}[t]{rll} u(x)&=&\frac{1}{4}\cdot x &\quad \scriptsize \\[5pt] u'(x)&=&\frac{1}{4} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} v(x)&=&\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x} &\quad \scriptsize \\[5pt] v'(x)&=&? \end{array}$
Um den zweiten Faktor abzuleiten, kannst du die Kettenregel anwenden und den Term $v(x)=\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x}$ nochmal unterteilen in $p(x)=\mathrm{e}^x$ und $g(x)=-\frac{1}{2}x$. Leite jeden Term ab.
$\begin{array}[t]{rll} p(x)&=& \mathrm{e}^x&\quad \scriptsize \\[5pt] p'(x)&=&\mathrm{e}^x \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=& -\frac{1}{2}x&\quad \scriptsize \\[5pt] g'(x)&=& -\frac{1}{2} \end{array}$
Nun kannst du die Terme mit der Kettenregel verknüpfen, um $v'(x)$ zu erhalten:
$v'(x)=p'(g(x))\cdot g'(x)$
$v(x)=p'(g(x))\cdot g'(x)$
Setze die berechneten Terme ein, um $v'(x)$ zu erhalten:
$v'(x)=\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x}\cdot -\frac{1}{2}$
Du kannst jetzt die Produktregel anweden, um die Ableitung von $f''$ zu berechnen:
$g'(x)=u(x)\cdot v'(x)+u'(x)\cdot v(x)$
$f'(x)=u(x)\cdot v'(x)+u'(x)\cdot v(x)$
Setze die berechneten Terme ein:
$\begin{array}[t]{rll}f'''(x)&=&\left(\frac{1}{4}\cdot x\right)\cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x}\cdot -\frac{1}{2} + \frac{1}{4}\cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& x\cdot \frac{-1}{8}\cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x} + \frac{1}{4} \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& x\cdot \frac{-1}{2}\cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x} - \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\left(\frac{-1}{8}x+\frac{1}{4}\right)\cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x} \end{array}$
Die dritte Ableitungsfunktion von $f$ lautet $f'''(x)= \left(\frac{-1}{8}x+\frac{1}{4}\right)\cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x} $.
2. Schritt: Zweite Ableitung Null setzen
$\begin{array}[t]{rll} f''(x)&=&\frac{1}{4}\cdot x \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x} &\quad \scriptsize \\[5pt] 0&=&\frac{1}{4}\cdot x \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x} &\quad \scriptsize \\[5pt] 0&=& x \end{array}$
Die Bedingung ist nur für $x=0$ erfüllt, somit ist dies ein mögliche Wendestelle.
3. Schritt: $f'''(x_E)$ bestimmen
Setze das Ergebnis aus dem zweiten Schritt in die dritte Ableitungsfunktion $f'''(x)$ ein.
$\begin{array}[t]{rll} f'''(x)&=& \left(\frac{-1}{8}x+\frac{1}{4}\right)\cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x} &\quad \scriptsize \\[5pt] f'''(0)&=& \left(\frac{-1}{8}\cdot 0 +\frac{1}{4}\right)\cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} \cdot 0} &\quad \scriptsize \\[5pt] f'''(0)&=& \frac{1}{4} \end{array}$
Da $f'''(0)\neq 0$ ist, ist $x=0$ eine Wendestelle.
4. Schritt: Wendepunkt bestimmen
Du kannst nun den Wendepunkt berechnen, indem du die Wendestelle $x=0$ in die Funktionsgleichung von $f$ einsetzt.
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&(x+4)\cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x} &\quad \scriptsize \\[5pt] f(0)&=&(0+4)\cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}\cdot 0} &\quad \scriptsize \\[5pt] f(0)&=&4 \end{array}$
Du erhältst den Wendepunkt $W\;(0\;|\;4)$.
1.5
$\blacktriangleright$ Graphen von $\boldsymbol{f}$ skizzieren
Du sollst den Graphen von $f$ skizzieren, dazu kannst du ein geeigentes Koordinatensystem wählen auf das du alle bereits berechneten Werte eintragen kannst. Trage dann die berechnete Nullstelle und die Extrempunkte ein. Du musst ebenfalls das Verhalten der Funktion gegen plus- und minus- unendlich berücksichtigen. Du erhältst folgenden Graphen:
Aufgabe 1 - Analysis
Abb. 1: Graph von $f$
Aufgabe 1 - Analysis
Abb. 1: Graph von $f$
1.6
$\blacktriangleright$ Flächeninhalt der Dreiecksfläche berechnen
Du sollst den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnen, dass durch die Tangente im Punkt $(0\;|\;4)$ und die Koordinatenachsen eingeschlossen wird. Du kannst in folgenden Schritten vorgehen:
  1. Bestimme die Tangentengleichung der Tangente im Punkt $(0\;|\;4)$
  2. Bestimme die Grenzen eines Integrals. Die Tangente schneidet die $y$-Achse an der Stelle $x=0$, dies ist die erste Grenze. Berechne den Schnittpunkt der Tangente mit der $x$-Achse, um die zweite Grenze festzulegen
  3. Das Integral gibt den Flächeninhalt unter einer Funktion an. Berechne deswegen das Integral in den Grenzen, die du im zweiten Schritt bestimmt hast
1.Schritt: Tangentengleichung bestimmen
Die Tangentengleichung kann mit folgender Gleichung beschrieben werden
$y=mx+c=f'(x_1)x+c$$y=mx+c=f'(x_1)x+c$
Die Steigung der Tangente entspricht der ersten Ableitung von $f$ im Berührpunkt $(0\;|\;4)$. Bestimme deswegen die Ableitung an der Stelle $x=0$.
Du hast die erste Ableitung oben bereits bestimmt. Setze nun $x=0$ ein, um die Steigung im Berührpunkt zu bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&=& \left(\frac{-1}{2}x-1\right)\cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x}&\quad \scriptsize \\[5pt] f'(0)&=& \left(\frac{-1}{2}\cdot 0-1\right)\cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}\cdot 0}&\quad \scriptsize \\[5pt] f'(0)&=& -1 = m \end{array}$
Wenn du nun den Berührpunkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzt, erhältst du $c$.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x+c &\quad \scriptsize \\[5pt] 4&=&(-1)\cdot 0 +c &\quad \scriptsize \\[5pt] 4&=&c \end{array}$
Die Tangente im Berührpunkt hat die Geradengleichung $y=-1\cdot x + 4$.
2.Schritt: Grenzen des Integrals bestimmen
Den Flächeninhalt des gesuchten Dreiecks kannst du bestimmen, indem du das Integral von $y= -1 \cdot x +4$ berechnest. Du benötigst dafür zunächst die richtigen Grenzen, damit das Dreieck durch die Koordinatenachsen eingeschlossen wird. Du weißt, dass die untere Grenzen durch die $y$-Achse gegeben ist, also durch $x=0$. Die zweite Grenze kannst du berechnen, indem du den Schnittpunkt der Tangente und der $x$-Achse bestimmst. Die $x$-Achse kann durch die Gleichung $y=0$ beschrieben werden. Setze die Funktionsgleichungen gleich:
$\begin{array}[t]{rll} 0&=& -1\cdot x +4 &\quad \scriptsize \mid\; -4 \mid\; :(-1)\\[5pt] x&=& 4 \end{array}$
Du hast somit die zweite Grenze bestimmt mit $x=4$.
3.Schritt: Integral berechnen
Berechne das Integral der oben bestimmten Funktion der Tangente in den Grenzen von $x=0$ bis $x=4$.
$\displaystyle\int_{0}^{4}(-1)\cdot x+ 4\mathrm \; dx=\left[\frac{-1}{2}\cdot x^2+4\cdot x\right]^4_0=\frac{-1}{2}\cdot (4)^2 + 4\cdot 4 -\left(\frac{-1}{2}\cdot 0^2 +4 \cdot0\right)=8 \;\text{LE}^2$
Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt $8\;\text{LE}^2$.
2.1
$\blacktriangleright$ Funktion als geeignete Modellierung nachweisen
Überprüfe, ob die Funktion $p(x)=\frac{1}{2}(x-3)^2$ den Verlauf des Profils zwischen den Punkten $A$ und $E$ beschreibt. Überprüfe dafür, ob
  1. die Punkte $A$ und $E$ auf dem Graphen der Funktion $p$ liegen
  2. die Steigung im Punkt $E$ Null ist
1.Schritt: Lage der Punkte $E$ und $A$ auf $p$ überprüfen
Wenn du überprüfen willst, ob die Punkte auf dem Graphen der Funktion liegen, musst du die Koordinaten der Punkte in die Funktionsgleichung von $p$ einsetzen:
Koordinaten von $E$ $(3\;|\;0)$ in $p$ einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} p(x)&=&\frac{1}{2}(x-3)^2&\quad \scriptsize \\[5pt] p(3)&=&\frac{1}{2}(3-3)^2&\quad \scriptsize \\[5pt] p(3)&=&0 \end{array}$
Die Bedingung ist also erfüllt. Koordinaten von $A$ $(1\;|\;2)$ in $p$ einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} p(x)&=&\frac{1}{2}(x-3)^2&\quad \scriptsize \\[5pt] p(3)&=&\frac{1}{2}(1-3)^2&\quad \scriptsize \\[5pt] p(3)&=&2 \end{array}$
Die Bedingung ist ebenfalls erfüllt.
2.Schritt: Steigung im Punkt $E$ bestimmen
Du sollst nun nachweisen, dass im Punkt $E$ die gleiche Steigung, die auch die $x$-Achse hat, vorliegt. Du weißt, dass die Steigung der $x$-Achse Null ist. Dies muss also auch für $p(3)$ gelten. Leite $p(x)$ ab und setzte $x=3$ ein. Wende für die Ableitung die Kettenregel an.
$\begin{array}[t]{rll} p(x)&=&\frac{1}{2}(x-3)^2&\quad \scriptsize \\[5pt] p(x)&=&(x-3)\cdot x&\quad \scriptsize \\[5pt] p(3)&=&(3-3)\cdot 3=0 \end{array}$
Du hast somit gezeigt, dass die Funktion $p(x)$ eine geeignete Modellierung ist.
2.2
$\blacktriangleright$ Funktionsgleichung von $\boldsymbol{g}$ aufstellen
Der Graph soll nun durch eine Gerade zwischen $A$ und $E$ modelliert werden. Du sollst zeigen, dass die Anforderungen dann nicht mehr erfüllt sind. Gehe in folgenden Schritten vor:
  1. Geradengleichung durch die Punkte $A$ und $E$ aufstellen
  2. Steigung im Punkt $E$ überprüfen
1.Schritt:Geradengleichung aufstellen
Die Geradengleichung durch zwei Punkte kannst du mit der Punkt-Steigungsformel aufstellen:
$f(x)=m\cdot (x-x_1)+y_1$
$f(x)=m\cdot (x-x_1)+y_1$
Dabei entsprich $x_1$ der $x$-Koordinate einer der gegeben Punkte und $y_1$ dem zugehörigen $y$-Wert. Die Steigung $m$ musst zu zunächst mit Hilfe der Punkte $A$ und $E$ berechnen:
$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
Setze die Koordinaten der Punkte ein.
$m=\frac{0-2}{3-1}=-1$
Die Steigung der Geraden beträgt also $m=-1$. Verwende nun die Punktsteigungsform und setze das berechnete $m$ sowie die $x$- und $y$-Koordinate eines der Punkte, z.B von $A$ ein.
$f(x)=-1\cdot (x-1)+2=-x+3$
Die Funktionsgleichung der Geraden lautet $f(x)=-x+3$.
2.Schritt: Steigung im Punkt $E$ überprüfen
Leite zuerst $f$ einmal ab und setze die $x$-Koordinate des Punktes $E$ ein:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&-x+3&\quad \scriptsize \\[5pt] f'(x)&=&-1&\quad \scriptsize \\[5pt] f'(3)&=& -1 \end{array}$
Die Steigung im Punkt $E$ ist nicht Null, somit ist die Anforderung für die Funktion $f$ nicht erfüllt.
2.3
$\blacktriangleright$ Inhalt der Fläche berechnen
Du sollst den Flächeninhalt der Seitenfläche berechnen. Dazu musst du das Integral in den Grenzen von $0$ bis $3$ berechnen. Teile den Graphen dazu in zwei sinvolle Abschnitte ein.
1.Abschnitt: von $0$ bis $1$
Im Abschnitt von $0$ bis $1$ ist die Skaterbahn durch eine Gerade gegeben, deren Funktionsgleichung du direkt ablesen kannst: $h(x)=2$
Du kannst nun das Integral in den Grenzen von $0$ bis $1$ berechnen:
$\displaystyle\int_{0}^{1}2\;\mathrm dx=\left[2x\right]_0^1=2\cdot1-(2\cdot 0)=2\;\text{LE}^2$
$
2.Abschnitt: von $1$ bis $3$
Die Funktionsgleichung im Bereich von $1$ bis $3$ ist dir gegeben, mit $p(x)=\frac{1}{2}(x-3)^2$. Berechne das Integral in den Grenzen von $0$ bis $3$.
$\displaystyle\int_{1}^{3}\frac{1}{2}(x-3)^2\;\mathrm dx=\left[\frac{1}{6}(x-3)^3\right]_1^3=\frac{1}{6}(3-3)^3-\left(\frac{1}{6}(1-3)^3\right)=\frac{4}{3}\;\text{LE}^2$
Wenn du die beiden Flächeninhalte addierst, erhältst du den gesamten Flächeninhalt:
$2\;\text{LE}^2+\frac{4}{3}\;\text{LE}^2=\frac{10}{3}\;\text{LE}^2$
Die Fläche, die angestrichen werden soll, ist $\frac{10}{3}\;\text{LE}^2$ groß.
3.1
$\blacktriangleright$ Abbildung der Ableitungsfunktion $\boldsymbol{f'}$ angeben und Wahl begründen
Du hast den Graphen $G_f$ gegeben und sollst die passende Ableitungsfunktion aus den Abbildungen $1-6$ auswählen. Betrachte dazu den gegebenen Graphen und markiere wichtige Stellen, wie zum Beispiel:
  • Nullstellen
  • Extrempunkte
  • Steigung vor und nach der Extremstelle
Der Extrempunkt der Funktion $f$ ist eine Nullstelle der Ableitung $f'$. Der Graph von $f$ hat einen Extrempunkt bei $x=2$. Wenn du überprüfst bei welcher der Abbildungen die Nullstelle bei $x=2$ liegt, gibt es die Möglichkeiten, dass Abbildung $1$ oder Abbildung $3$ die Ableitungsfunktion darstellen. Die anderen fallen raus, da sie dieses Kriterium nicht erfüllen.
Um herauszufinden, ob nun Abbildung $1$ oder $3$ die Ableitungsfunktion darstellt, kannst du die Steigung vor und nach der Extremstelle betrachten. Im Bereich in der der Graph einer Funktion eine positive Steigung hat, verläuft der Graph ihrer Ableitungsfunktion oberhalb der $x$-Achse, bei negativer Steigung unterhalb der $x$-Achse. Die Steigung des Graphen $G_f$ ist bis $x<2$ positiv, ab $x>2$ negataiv. Du weißt deswegen, dass der Graph der Ableitungsfunktion zuerst oberhalb und dann unterhalb der $x$-Achse verlaufen muss. Somit ist der Graph zur Ableitungsfunktion in Abbildung $3$ dargestellt.
3.2.1
$\blacktriangleright$ Abbildung einer Stammfunktion von $\boldsymbol{f}$ angeben
Du sollst im nächsten Schritt die Abbildung einer Stammfunktion von $f$ auswählen. Zur Auswahl stehen die Abbildungen $1-6$, wobei du oben bereits herausgefunden hast, dass die Abbildung $3$ den Graphen der Ableitung darstellt.
Gehe davon aus, dass der Graph $G_f$ die Ableitung der Stammfunktion darstellt. Es gilt $F'(x)=f(x)$.
Betrachte die wichtigen Stellen des Graphen $G_f$, wie zum Beispiel:
  • Nullstellen
  • Extrempunkte
  • Steigung vor und nach der Extremstelle
Hat der Graph einer Ableitungsfunktion eine Nullstelle, so hat der Graph der zugehörigen Funktion einen Extrempunkt an dieser Stelle. Der Graph $G_f$ entspricht dem Graphen der Ableitung von $F$. Du erkennst, dass sich eine Nullstelle bei $x=0$ und $x=4$ befindet, somit muss der Graph der zugehörigen Funktion einen Extrempunkt an diesen Stellen haben. Dies ist bei Abbildung $2$ und Abbildung $4$ der Fall.
Um zu entscheiden, welche der Abbildungen den gesuchten Graphen darstellt, benötigst du ein weiteres Kriterium. Eine Extremstelle der Ableitung lässt auf eine Wendestelle der Ausgangsfunktion schließen. Der Graph $G_f$ hat ein Maximum bei $x=2$, somit ist eine Wendestelle bei der Ausgangsfunktion denkbar. Bei Abbildung $2$ ist an der Stelle $x=2$ ein Extrempunkt zu sehen. Dies kann also nicht die passende Abbildung sein, da ein Maximum der Funktion auf eine Nullstelle der Ableitungsfunktion hinweist und nicht auf ein Maximum. Abbildung $4$ hat an der Stelle $x=2$ eine Wendestelle, somit ist dies die gesuchte Abbildung.
3.2.2
$\blacktriangleright$ Die Stammfunktion von $\boldsymbol{f}$ mit der Eigenschaft $\boldsymbol{F(0)=-1}$ skizzieren
Du sollst nun diejenige Stammfunktion skizzieren, die die Eigenschaft $F(0)=-1$ aufweist. Dazu musst du die abgebildete Stammfunktion um soviele Einheiten nach unten verschieben bis die Funktion bei $x=0$ den Wert $y=-1$ hat. Verschiebe den Graphen dann an jeder Stelle um diesen Wert nach unten.
Du erhältst folgenden Graphen:
Aufgabe 1 - Analysis
Abb. 2: Stammfunktionen von $f$
Aufgabe 1 - Analysis
Abb. 2: Stammfunktionen von $f$
Bildnachweise [nach oben]
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© 2016 – SchulLV.
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