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Aufgabe 2 - Analytische Geometrie

Aufgaben
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Eine Firma stellt moderne Teelichthalter her. Sie haben die Form einer auf der Spitze stehenden Pyramide mit rechteckiger Grundfläche, an deren Eckpunkten vier gleich lange Schnüre zum Aufhängen befestigt sind. Die Abbildung zeigt eine modellhafte Darstellung des Teelichthalters mit Aufhängeschnüren.
Es sind die Eckpunkte $A(10\mid 0\mid 10)$, $B(10\mid 14\mid 10)$, $D(0\mid 0\mid 10)$ der Grundfläche und die Spitze $S(5\mid 7\mid 0)$ der Pyramide sowie der Aufhängepunkt $K(5\mid 7\mid 32)$ gegeben.
Die Längeneinheit beträgt $1\,\text{cm}$.
1.
Gib die Koordinaten des Punktes $C$ an.
2.
Berechne die Länge der Aufhängeschnur $\overline{KA}$ und das Maß des Winkels zwischen den Aufhängeschnüren $\overline{KA}$ und $\overline{KB}$.
3.
Die Seitenflächen des Teelichthalters bestehen aus buntem Glas.
3.1
Stell eine Parametergleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene $e_1$ auf, in der die Seitenfläche $ASB$ liegt.
Zur Kontrolle und weiteren Verwendung: $e_1:2x_1-x_3=10$
3.2
Berechne den Inhalt der Seitenfläche $ASB$.
4.
Ein Teelicht wird auf einer rechteckigen gläsernen Platte mit den Eckpunkten $E$, $F$, $G$ und $H$ innerhalb des Halters abgestellt (siehe Abbildung). Diese Platte verläuft parallel zur Grundfläche der Pyramide und befindet sich in halber Pyramidenhöhe oberhalb der Spitze $S$.
4.1
Begründe, dass $x_3=5$ eine Koordinatengleichung der Ebene $e_2$ ist, in der die Fläche $EFGH$ liegt.
4.2
Handelsübliche zylinderförmige Teelichter haben einen Durchmesser von $4\,\text{cm}$.
Begründe, dass solche Teelichter auf die Platte $EFGH$ passen.
5.
Wenn das Teelicht genau in der Mitte der rechteckigen Platte steht und angezündet wird, befindet sich die Spitze der Flamme ungefähr im Punkt $P(5\mid 7\mid 9)$.
Damit sich die Seitenflächen des Teelichthalters nicht zu stark erhitzen, soll die Flammenspitze mindestens $3,5\,\text{cm}$ von den Seitenflächen entfernt sein.
Prüfe rechnerisch, ob diese Bedingungen für die Seitenfläche $ASB$ erfüllt ist.
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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Tipps
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1.
$\blacktriangleright$  Koordinaten angeben
Das Teelicht besteht aus einer Pyramide mit der rechteckigen Grundfläche $ABCD$, der Spitze $S$ und einer Aufhängung in $K$.
Du sollst die Koordinaten des Punktes $C$ der Grundfläche der rechteckigen Pyramide angeben. $C$ liegt im Schnittpunkt der Parallelen zu $\overrightarrow{AD}$ und $\overrightarrow{AB}$.
Mit diesen Strecken kannst du $\overrightarrow{C}$ durch Vektoraddition berechnen.
2.
$\blacktriangleright$  Länge berechnen
Um die Länge der Aufhängeschnur $\overrightarrow{KA}$ zu berechnen bestimmst du den Betrag oder die Norm des Vektors.
Für einen Vektor $\overrightarrow{a}=\pmatrix{a_1 \\ a_2 \\ a_3}$ gilt:
$\vert a\vert=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$
$\vert a\vert=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$
$\blacktriangleright$  Winkel berechnen
Den Aufhängewinkel zwischen Seilen vom Hängepunkt $K$ zu den Eckpunckten $A$ und $B$ erhältst du aus dem Winkelsatz für Vektoren. Dabei ist der Winkel zwischen zwei Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ gegeben durch:
$\cos\alpha=\dfrac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{\vert \overrightarrow{a}\vert \cdot\vert \overrightarrow{b}\vert}$
$\cos\alpha=\dfrac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{\vert \overrightarrow{a}\vert \cdot\vert \overrightarrow{b}\vert}$
Dabei steht im Zähler eine Vektormultiplikation. Das Skalarprodukt zweier Vektoren $\overrightarrow{a}=\pmatrix{a_1 \\ a_2 \\ a_3}$ und $\overrightarrow{b}=\pmatrix{b_1 \\ b_2 \\ b_3}$ berechnest du mit:
$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3$
$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3$
3.
3.1
$\blacktriangleright$  Parametergleichung aufstellen
Du sollst die Gleichung der Ebene $e_1$ aufstellen, in welcher die Seitenfläche $ASB$ liegt.
Für die Parametergleichung benötigst du zwei Verbindungsvektoren und einen Stützpunkt.
$\blacktriangleright$  Koordinatengleichung aufstellen
Aus der Parametergleichung berechnest du weiter die Koordinatengleichung der Ebene $e_1$.
Dazu benötigst du den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Über Gleichungssystem bestimmen
Für den Normalenvektor $\overrightarrow n$ gilt, dass er senkrecht auf den zwei Spannvektoren $\overrightarrow u$ und $\overrightarrow v$ steht. Somit gilt:
$\begin{array}[t]{lrll} I: & 0 &=& \overrightarrow u\cdot \overrightarrow n \\[5pt] II:& 0 &=&\overrightarrow v\cdot \overrightarrow n \\[5pt] \end{array}$
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Über das Kreuzprodukt
Das Kreuzprodukt gibt ebenfalls einen Vektor an, welcher senkrecht auf den zwei Spannvektoren steht. Für die Vektoren $\overrightarrow{a}=\pmatrix{a_1 \\ a_2 \\ a_3}$ und $\overrightarrow{b}=\pmatrix{b_1 \\ b_2 \\ b_3}$ gilt:
$\overrightarrow a\times\overrightarrow b=\pmatrix{ a_2\cdot b_3 -a_3\cdot b_2 \\ a_3\cdot b_1 -a_1\cdot b_3 \\ a_1\cdot b_2 -a_2\cdot b_1}$
$\overrightarrow a\times\overrightarrow b=\pmatrix{ a_2\cdot b_3 -a_3\cdot b_2 \\ a_3\cdot b_1 -a_1\cdot b_3 \\ a_1\cdot b_2 -a_2\cdot b_1}$
3.2
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen
Du sollst den Flächeninhalt der Dreiecksfläche $ASB$ in der Ebene $e_1$ berechnen. Bei dem Dreieck handelt es sich um ein gleichschenkliges Dreieck ohne rechten Winkel.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Dreiecksfläche berechnen
Um den Flächeninhalt des Dreiecks zu bestimmen, benötigs du eine Grundseite und die dazugehörige Höhe. Für den Flächeninhalt $A$ gilt:
$A=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot h_a$
$A=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot h_a$
1. Schritt: Vektoren berechnen
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Kreuzprodukt berechnen
Der Flächeninhalt lässt sich des weiteren durch den Betrag des Kreuzproduktes bestimmen.
Allerdings drückt dieser den Flächeninhalt eines Parallelogramms aus, für das Dreieck ist er deshalb noch zu halbieren. Das Kreuzprodukt hast du bereits für die Ebenengleichung bestimmt.
4.
4.1
$\blacktriangleright$  Koordinatengleichung begründen
Das Teelicht wird auf einer Platte mit den Eckpunkten $E$, $F$, $G$ und $H$ abgestellt. Du sollst begründen, dass diese Platte in der Ebene $x_3=5$ liegt. Berechne dazu die Koordinaten der Punkte.
Die Punkte liegen auf halber Pyramidenhöhe. Vom Punkt $S$ aus erreichst du $E$ nach dem halben Vektor $\overrightarrow{SA}$.
4.2
$\blacktriangleright$  Passgenauigkeit der Teelichter begründen
Du sollst begründen, warum normale Teelichter mit einem Durchmesser von $4\;\text{cm}$ auf die Platte passen. Dazu betrachtest du die dünnste Stelle zwischen zwei Plattenkanten.
Die schmalste Stelle der Platte ist zwischen den Kanten $\overrightarrow{EF}$ und $\overrightarrow{HG}$.
Ist der Abstand dieser Kanten und somit der Abstand der Punkte $E$ und $F$ oder $H$ und $G$ größer als $4\;\text{cm}$ passen die Teelichter auf die Platte.
5.
$\blacktriangleright$  Mindestabstand überprüfen
Die Flammenspitze einer Kerze befindet im Punkt $P\;(5\mid 7\mid 9)$. Sie soll mindestens $3,5\;\text{cm}$ von den Seitenflächen entfernt sein.
Der kürzeste Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene verläuft immer entlang einer Gerade mit dem Normalenvektor als Richtungsvektor.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Geradengleichung
Du stellst eine Geradengleichung durch die Spitze der Flamme mit dem Richtungsvektor $\overrightarrow{n}$ auf.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Hess'sche Normalenform
Mit der Hess'schen Normalenform berechnest du Abstände $d$ zwischen Punkten $\overrightarrow a$ und Ebenen $n_1\cdot x_1+n_2\cdot x_2+n_3\cdot x_3=u$.
$d=\dfrac{\overrightarrow a\cdot\overrightarrow n - u}{\vert\overrightarrow n\vert}$
$d=\dfrac{\overrightarrow a\cdot\overrightarrow n - u}{\vert\overrightarrow n\vert}$
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Lösungen
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1.
$\blacktriangleright$  Koordinaten angeben
Das Teelicht besteht aus einer Pyramide mit der rechteckigen Grundfläche $ABCD$, der Spitze $S$ und einer Aufhängung in $K$.
Du sollst die Koordinaten des Punktes $C$ der Grundfläche der rechteckigen Pyramide angeben. $C$ liegt im Schnittpunkt der Parallelen zu $\overrightarrow{AD}$ und $\overrightarrow{AB}$.
Mit diesen Strecken kannst du $\overrightarrow{C}$ durch Vektoraddition berechnen.
Es gilt:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{C} &=& \overrightarrow{D} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} + \overrightarrow{AD} &\\[5pt] &=& \overrightarrow{D} + \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} \\[5pt] &=& \pmatrix{0 \\ 0 \\ 10} + \pmatrix{10 \\ 14 \\ 10} - \pmatrix{10 \\ 0 \\ 10} \\[5pt] &=& \pmatrix{0 \\ 14 \\ 10} \end{array}$
Der letzte Eckpunkt hat die Koordinaten $C\;(0\mid 14\mid 10)$.
2.
$\blacktriangleright$  Länge berechnen
Um die Länge der Aufhängeschnur $\overrightarrow{KA}$ zu berechnen bestimmst du den Betrag oder die Norm des Vektors.
Für einen Vektor $\overrightarrow{a}=\pmatrix{a_1 \\ a_2 \\ a_3}$ gilt:
$\vert a\vert=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$
$\vert a\vert=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$
1. Schritt: Vektor $\boldsymbol{\overrightarrow{KA}}$ berechnen
Für den Betrag benötigst du den Vektor $\overrightarrow{KA}$. Diesen berechnest du durch $\overrightarrow A -\overrightarrow K$:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{KA}&=& \overrightarrow A -\overrightarrow K &\\[5pt] &=& \pmatrix{10 \\ 0 \\ 10}-\pmatrix{5 \\ 7 \\ 32} \\[5pt] &=& \pmatrix{5 \\ -7 \\ -22} \end{array}$
Der Verbindungsvektor zwischen $K$ und $A$ ist $\overrightarrow{KA}=\pmatrix{5 \\ -7 \\ -22}$.
2. Schritt: Vektorbetrag berechnen
Diesen Vektor setzt du in die Formel zur Berechnug des Betrags ein:
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{KA}\right|&=& \left| \pmatrix{5 \\ -7 \\ -22} \right| &\\[5pt] &=& \sqrt{5^2+7^2+22^2} \\[5pt] &=& \sqrt{558} \\[5pt] &=& 3\cdot\sqrt{62}\approx 23,62 \end{array}$
Die Verbindungsschnur hat eine Länge von $23,62\;\text{cm}$.
$\blacktriangleright$  Winkel berechnen
Den Aufhängewinkel zwischen Seilen vom Hängepunkt $K$ zu den Eckpunckten $A$ und $B$ erhältst du aus dem Winkelsatz für Vektoren. Dabei ist der Winkel zwischen zwei Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ gegeben durch:
$\cos\alpha=\dfrac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{\vert \overrightarrow{a}\vert \cdot\vert \overrightarrow{b}\vert}$
$\cos\alpha=\dfrac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{\vert \overrightarrow{a}\vert \cdot\vert \overrightarrow{b}\vert}$
Dabei steht im Zähler eine Vektormultiplikation. Das Skalarprodukt zweier Vektoren $\overrightarrow{a}=\pmatrix{a_1 \\ a_2 \\ a_3}$ und $\overrightarrow{b}=\pmatrix{b_1 \\ b_2 \\ b_3}$ berechnest du mit:
$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3$
$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3$
1. Schritt: Vektor berechnen
Du benötigst die Vektoren $\overrightarrow{KA}$ und $\overrightarrow{KB}$. $\overrightarrow{KA}$ hast du bereits bestimmt, für $\overrightarrow{KB}$ gehst du analog vor.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{KB}&=& \overrightarrow B -\overrightarrow K &\\[5pt] &=& \pmatrix{10 \\ 14 \\ 10}-\pmatrix{5 \\ 7 \\ 32} \\[5pt] &=& \pmatrix{5 \\ 7 \\ -22} \end{array}$
Der Verbindungsvektor von $K$ und $B$ ist $\pmatrix{5 \\ 7 \\ -22}$.
2. Schritt: Cosinussatz anwenden
Da die Spitze der Pyramide genau unter dem Aufhängepunkt liegt und die Grundfläche in der Ebene $x_3=10$ liegt, gilt $\left|\overrightarrow{KA}\right|=\left|\overrightarrow{KB}\right|$.
Du erhältst somit für den Winkel $\alpha$:
$\begin{array}[t]{rll} \cos\alpha&=& \dfrac{\pmatrix{5 \\ -7 \\ -22}\cdot\pmatrix{5 \\ 7 \\ -22}}{\left| \pmatrix{5 \\ -7 \\ -22} \right|\cdot\left|\pmatrix{5 \\ 7 \\ -22}\right|} &\\[5pt] &=& \dfrac{5\cdot 5-7\cdot 7+22\cdot 22}{3\cdot \sqrt{62}\cdot3\cdot\sqrt{62}} \\[5pt] &=&\dfrac{460}{9\cdot 62} \\[5pt] &=& \dfrac{460}{558} &\quad\scriptsize\mid\; \cos^{-1} \\[5pt] \alpha &=& \cos^{-1}\left(\dfrac{460}{558}\right) \\[5pt] &\approx & 34,48^\circ \end{array}$
$ \alpha\approx 34,48^\circ $
Der Winkel zwischen den beiden Verbindungen beträgt $34,48^\circ$.
3.
3.1
$\blacktriangleright$  Parametergleichung aufstellen
Du sollst die Gleichung der Ebene $e_1$ aufstellen, in welcher die Seitenfläche $ASB$ liegt.
Für die Parametergleichung benötigst du zwei Verbindungsvektoren und einen Stützpunkt.
1. Schritt: Verbindungsvektoren berechnen
Du nimmst $S$ als Stützpunkt und bestimmst die Vektoren $\overrightarrow{SA}$ und $\overrightarrow{SB}$.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{SB}&=& \overrightarrow{B} - \overrightarrow{S} &\\[5pt] &=& \pmatrix{10 \\ 14 \\ 10}-\pmatrix{5 \\ 7 \\ 0} \\[5pt] \overrightarrow v&=& \pmatrix{5 \\ 7 \\ 10} \end{array}$
Mit den beiden Vektoren $\overrightarrow{SA}=\pmatrix{5 \\ -7 \\ 10}$ und $\overrightarrow{SB}=\pmatrix{5 \\ 7 \\ 10}$ sowie dem Stützpunkt $S\;(5\mid 7\mid 0)$ stellst du mit den Parametern $s$ und $t$ die Parametergleichung auf:
$\begin{array}[t]{rll} e_1\,:\; \overrightarrow{x}&=& \pmatrix{5 \\ 7 \\ 0}+s\cdot\pmatrix{5 \\ -7 \\ 10}+t\cdot\pmatrix{5 \\ 7 \\ 10}&\\[5pt] \end{array}$
$ $
In $e_1$ liegt die Seitenfläche $ASB$.
$\blacktriangleright$  Koordinatengleichung aufstellen
Aus der Parametergleichung berechnest du weiter die Koordinatengleichung der Ebene $e_1$.
Dazu benötigst du den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Über Gleichungssystem bestimmen
Für den Normalenvektor $\overrightarrow n$ gilt, dass er senkrecht auf den zwei Spannvektoren $\overrightarrow u$ und $\overrightarrow v$ steht. Somit gilt:
$\begin{array}[t]{lrll} I: & 0 &=& \overrightarrow u\cdot \overrightarrow n \\[5pt] II:& 0 &=&\overrightarrow v\cdot \overrightarrow n \\[5pt] I:& 0 &=& 5\cdot n_1-7\cdot n_2+10\cdot n_3 \\[5pt] II:& 0& =& 5\cdot n_1+7\cdot n_2+10\cdot n_3 &\quad\scriptsize\mid\; I+II \\[5pt] I':& 0&=& 10\cdot n_1+20\cdot n_3 \\[5pt] I'':& n_1&=& -2\cdot n_3 \\[5pt] II': &0&=&7\cdot n_2 \end{array}$
$ $
Setze $n_3=t$ und du erhältst $n_1=-2\cdot t$, $n_2=0$ und $n_3=t$. Du erhältst den Normalenvektor $\overrightarrow{n}=\pmatrix{-2\cdot t \\ 0 \\ t}$.
Da für die Ebenengleichung die Länge des Vektors nicht von Bedeutung ist, setze $t=1$.
Eine Koordinatenform ist $-2\cdot x_1+x_3=u$.
Die Konstante $u$ bestimmst du durch Einsetzen des Stützpunktes $S$.
$\begin{array}[t]{rll} u&=& -2\cdot 5+0\cdot 7+1\cdot 0 & \\[5pt] &=& -10 \end{array}$
Die Seitenfläche liegt in der Ebene $e_1\,:\, -2\cdot x_1+x_3=-10$.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Über das Kreuzprodukt
Das Kreuzprodukt gibt ebenfalls einen Vektor an, welcher senkrecht auf den zwei Spannvektoren steht. Für die Vektoren $\overrightarrow{a}=\pmatrix{a_1 \\ a_2 \\ a_3}$ und $\overrightarrow{b}=\pmatrix{b_1 \\ b_2 \\ b_3}$ gilt:
$\overrightarrow a\times\overrightarrow b=\pmatrix{ a_2\cdot b_3 -a_3\cdot b_2 \\ a_3\cdot b_1 -a_1\cdot b_3 \\ a_1\cdot b_2 -a_2\cdot b_1}$
$\overrightarrow a\times\overrightarrow b=\pmatrix{ a_2\cdot b_3 -a_3\cdot b_2 \\ a_3\cdot b_1 -a_1\cdot b_3 \\ a_1\cdot b_2 -a_2\cdot b_1}$
Mit den Vektoren $\overrightarrow{SA}$ und $\overrightarrow{SB}$ ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{SA}\times\overrightarrow{SB}&=& \pmatrix{-7\cdot 10-10\cdot 7 \\ 10\cdot 5-5\cdot 10 \\ 5\cdot 7 +7\cdot 5}&\\[5pt] &=&\pmatrix{-140 \\ 0 \\ 70} \end{array}$
Der Vektor $\pmatrix{-140 \\ 0 \\ 70}$ und somit auch der Vektor $\overrightarrow n=\pmatrix{-2 \\ 0 \\ 1}$ steht senkrecht auf der Ebene.
Die Ebenengleichung ist von der Form $-2\cdot x_1+x_3=u$.
Die Konstante $u$ bestimmst du durch Einsetzen des Stützpunktes $S$.
$\begin{array}[t]{rll} u&=& -2\cdot 5+0\cdot 7+1\cdot 0 & \\[5pt] &=& -10 \end{array}$
Die Seitenfläche liegt in der Ebene $e_1\,:\, -2\cdot x_1+x_3=-10$.
3.2
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen
Du sollst den Flächeninhalt der Dreiecksfläche $ASB$ in der Ebene $e_1$ berechnen. Bei dem Dreieck handelt es sich um ein gleichschenkliges Dreieck ohne rechten Winkel.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Dreiecksfläche berechnen
Um den Flächeninhalt des Dreiecks zu bestimmen, benötigs du eine Grundseite und die dazugehörige Höhe. Für den Flächeninhalt $A$ gilt:
$A=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot h_a$
$A=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot h_a$
1. Schritt: Vektoren berechnen
Du benötigst die Länge der Vektoren $\overrightarrow{AB}$, welcher die Grundseite bildet, sowie $\overrightarrow{SA}$.
Aufgabe 2 - Analytische Geometrie
Abb. 1: Skizze des Dreiecks
Aufgabe 2 - Analytische Geometrie
Abb. 1: Skizze des Dreiecks
Die Vektoren $\overrightarrow{AB}=\pmatrix{0 \\ 14 \\ 0}$ und $\overrightarrow{SA}=\pmatrix{5 \\ -7 \\ 10}$ hast du bereits berechnet und bestimmst den Betrag.
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{SA}\right|&=& \sqrt{5^2+7^2+10^2} &\\[5pt] &=& \sqrt{174} \end{array}$
2. Schritt: Höhe berechnen
Die Vektoren haben die Länge $14\;\text{cm}$ und $\sqrt{174}\;\text{cm}$. Mit dem Satz des Phythagoras bestimmst du die Länge der Höhe $h$.
$a^2+b^2=c^2$
$a^2+b^2=c^2$
Für die Höhe gilt:
$\begin{array}[t]{rll} h&=&\sqrt{\sqrt{174}^2-\left(\dfrac{14}{2}\right)^2} &\\[5pt] &=& 5\cdot\sqrt{5}\approx 11,18 \end{array}$
Die Höhe $h$ ist $11,18\;\text{cm}$ lang.
3. Schritt: Flächeninhalt berechnen
Mit diesen Zahlen bestimmst du nun den Flächeninhalt.
$\begin{array}[t]{rll} A&=& \dfrac{1}{2}\cdot 14\cdot 5\cdot\sqrt{5} &\\[5pt] &=& 35\cdot\sqrt{5}\approx 78,26 \end{array}$
Die Fläche $ASB$ hat einen Inhalt von $78,26\;\text{cm}^2$.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Kreuzprodukt berechnen
Der Flächeninhalt lässt sich des weiteren durch den Betrag des Kreuzproduktes bestimmen.
Allerdings drückt dieser den Flächeninhalt eines Parallelogramms aus, für das Dreieck ist er deshalb noch zu halbieren. Das Kreuzprodukt hast du bereits für die Ebenengleichung bestimmt.
$\begin{array}[t]{rll} A&=&\dfrac{1}{2}\cdot\left|\pmatrix{-140\\0\\70}\right| &\\[5pt] &=&\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{140^2+70^2} \\[5pt] &=& 35\cdot\sqrt{5} \approx 11,18 \end{array}$
Die Fläche $ASB$ hat einen Inhalt von $78,26\;\text{cm}^2$.
4.
4.1
$\blacktriangleright$  Koordinatengleichung begründen
Das Teelicht wird auf einer Platte mit den Eckpunkten $E$, $F$, $G$ und $H$ abgestellt. Du sollst begründen, dass diese Platte in der Ebene $x_3=5$ liegt. Berechne dazu die Koordinaten der Punkte.
Die Punkte liegen auf halber Pyramidenhöhe. Vom Punkt $S$ aus erreichst du $E$ nach dem halben Vektor $\overrightarrow{SA}$.
Die Koordinaten lauten somit:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{E}&=& \overrightarrow{S} + \dfrac{1}{2}\cdot \overrightarrow{SA} &\\[5pt] &=& \pmatrix{5 \\ 7 \\ 0}+\dfrac{1}{2}\cdot\pmatrix{5 \\ -7 \\ 10} \\[5pt] &=& \pmatrix{7,5 \\ 3,5\\ 5} \end{array}$
Die anderen Punkte erhältst du durch analoge Rechnungen.
$E\;(7,5\mid 3,5\mid 5)$, $F\;(7,5\mid -3,5\mid 5)$, $G\;(2,5\mid -3,5\mid 5)$ und $H\;(2,5\mid 3,5\mid 5)$ sind die Koordinaten der Platteneckpunkte.
Alle Punkte unterschieden sich lediglich den den $x_1$- und $x_2$-Komponenten. Sie teilen die $x_3=5$ Koordinate.
Somit liegen alle in der Ebene $x_3=5$.
4.2
$\blacktriangleright$  Passgenauigkeit der Teelichter begründen
Du sollst begründen, warum normale Teelichter mit einem Durchmesser von $4\;\text{cm}$ auf die Platte passen. Dazu betrachtest du die dünnste Stelle zwischen zwei Plattenkanten.
Die schmalste Stelle der Platte ist zwischen den Kanten $\overrightarrow{EF}$ und $\overrightarrow{HG}$.
Ist der Abstand dieser Kanten und somit der Abstand der Punkte $E$ und $F$ oder $H$ und $G$ größer als $4\;\text{cm}$ passen die Teelichter auf die Platte.
Bestimme den Betrag des Vektors $\overrightarrow{EH}$ wie zuvor.
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{EH}\right|&=&\left|\pmatrix{7,5 \\ 3,5 \\ 5}-\pmatrix{2,5 \\ 3,5 \\ 5}\right| &\\[5pt] &=& \left| \pmatrix{5 \\ 0 \\ 0} \right| \\[5pt] &=& 5 \end{array}$
Die Kanten der Platten haben einen Abstand von $5\;\text{cm}$, ein Teelicht mit $4\;\text{cm}$ Durchmesser passt auf die Platte.
5.
$\blacktriangleright$  Mindestabstand überprüfen
Die Flammenspitze einer Kerze befindet im Punkt $P\;(5\mid 7\mid 9)$. Sie soll mindestens $3,5\;\text{cm}$ von den Seitenflächen entfernt sein.
Der kürzeste Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene verläuft immer entlang einer Gerade mit dem Normalenvektor als Richtungsvektor.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Geradengleichung
Du stellst eine Geradengleichung durch die Spitze der Flamme mit dem Richtungsvektor $\overrightarrow{n}$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} x&=& \pmatrix{5\\7\\9}+t\cdot\pmatrix{-2\\0\\1} &\\[5pt] &=& \pmatrix{5-2\cdot t \\7\\9+t} \end{array}$
Setze diese Gerade in die Ebenengleichung ein, um den Parameter $t$ zu bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} -10&=& -2\cdot(5-2\cdot t)+9+t &\\[5pt] &=& -10+4\cdot t+9+t \\[5pt] &=& 5\cdot t-1 &\quad\scriptsize\mid\; +1 \\[5pt] -9&=& 5\cdot t &\quad\scriptsize\mid\; \cdot\dfrac{1}{5} \\[5pt] -\dfrac{9}{5}&=& t \end{array}$
$ t=-\dfrac{9}{5} $
Der Normalenvektor passt $\dfrac{9}{5}$-mal in die Strecke zwischen Flammenspitze und Wand. Dieses Maß multiplizierst du mit der Länge des Normalenvektors und erhältst den kürzesten Abstand zwischen Flamme und Wand.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{9}{5}\cdot\left|\overrightarrow n\right|&=& \dfrac{9}{5}\cdot\sqrt{5} & \\[5pt] &\approx& 4,02 \end{array}$
Der Abstand zwischen Flamme und Seitenfläche beträgt $4,02\;\text{cm}$.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Hess'sche Normalenform
Mit der Hess'schen Normalenform berechnest du Abstände $d$ zwischen Punkten $\overrightarrow a$ und Ebenen $n_1\cdot x_1+n_2\cdot x_2+n_3\cdot x_3=u$.
$d=\dfrac{\overrightarrow a\cdot\overrightarrow n - u}{\vert\overrightarrow n\vert}$
$d=\dfrac{\overrightarrow a\cdot\overrightarrow n - u}{\vert\overrightarrow n\vert}$
Mit dem Ortsvektor $\overrightarrow P$ und dem Normalenvektor $\overrightarrow n$ erhälst du:
$\begin{array}[t]{rll} d&=& \dfrac{-5\cdot 2+7\cdot 0+9\cdot 1+10}{\sqrt{5}} &\\[5pt] &=&\dfrac{-10+9+10}{\sqrt{5}}\\[5pt] &=&\dfrac{9}{\sqrt{5}}\\[5pt] &\approx & 4,02 \end{array}$
Der Abstand zwischen Flamme und Seitenfläche beträgt $4,02\;\text{cm}$.
Bildnachweise [nach oben]
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