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Aufgabe 3 - Wahrscheinlichkeitstheorie

Aufgaben
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1.
Vor der Einführung des neuen Medikaments Gubetro wurde dessen Wirksamkeit in mehreren umfassenden Studien untersucht. Eine der Studie betraf die möglicherweise unterschiedliche Wirksamkeit des Medikaments bei Frauen und Männern.
Dazu wurde das Medikament an insgesamt $6.900$ Personen getestet. Davon waren $3.400$ Personen weiblich. Bei $5.172$ der getesteten Personen zeigte das Medikament Erfolg.
1.1
Die Studienergebnisse sollen in der folgenden Vierfeldertafel wiedergegeben werden.
Trage die fehlenden Werte ein.
-Erfolg (E)Kein Erfolg($\overline{E}$)
Männlich(M)1.055
Weiblich(W)
-
1.2
Erkläre die Bedeutung der in der Vierfeldertafel eingetragenen Zahl $1.055$ im Sachzusammenhang.
1.3
Es wird eine der $6.900$ Testpersonen zufällig ausgewählt.
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass das Medikament Gubetro bei dieser Testperson in der Studie Erfolg hatte.
1.4
Aus den $6.900$ Testpersonen wird eine Frau zufällig ausgewählt.
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass Gubetro bei ihr in der Studie keinen Erfolg hatte.
1.5
Überprüfe, ob bei dieser Studie die erfolgreiche Wirkung des Medikaments vom Geschlecht der Testperson abhängig war.
2.
Das schon zugelassene Schmerzmittel Spürnix wirkt bei durchschnittlich $80\%$ der Patienten.
Ein Arzt verschreibt Spürnix an $20$ Patienten.
2.1
Berechne, bei wie vielen dieser Patienten er eine Wirksamkeit des Medikaments erwarten kann?
2.2
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass Spürnix bei allen $20$ Patienten wirkt.
2.3
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass Spürnix bei mindestens $18$ der $20$ Patienten wirkt.
2.4
Nimm Stellung zu folgender Aussage:
„Dass Spürnix bei wenigstens einem der $20$ Patienten wirkt, ist so gut wie sicher.“
Belege deine Stellungnahme durch eine passende Rechung.
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Aufgabe 3

1.1
$\blacktriangleright$ Vierfeldertafel vervollständigen
In diesem Aufgabenteil sollst du die gegebene Vierfeldertafel vervollständigen. Hierfür hast du gegeben, dass das Medikament an insgesamt $6.900$ Personen getestet wurde.
Außerdem hast du gegeben, dass $3.400$ von diesen Personen weiblich waren und das Medikament bei $5.172$ getesteten Personen Erfolg hatte. Trage zunächst die bekannten Werte wie folgt in die Vierfeldertafel ein. Für die Vierfeldertafel folgt:
$E$$\overline{E}$Summe
$M$$1.055$
$W$$3.400$
$5.172$$6.900$
1.2
$\blacktriangleright$ Bedeutung erklären
In diesem Aufgabenteil sollst du die Bedeutung, der in der Vierfeldertafel einngetragenen Zahl $1.055$ im Sachzusammenhang erklären. Überlege dir hierbei was für die $1.055$ Personen gilt.
1.3
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass bei einer Person, die unter den $6.900$ Testpersonen zufällig ausgewählt wird, das Medikament Erfolg hatte. Du weißt bereits, dass das Medikament bei $5.172$ von insgesamt $6.900$ Personen Erfolg hatte.
Die Wahrscheinlichkeit folgt anschließend aus der relativen Häufigkeit.
1.4
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen
In diesem Aufgabenteil sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass das Medikament keinen Erfolg hatte unter der Voraussetzung, dass aus den $6.900$ Testpersonen eine Frau ausgewählt wurde. Somit musst du eine bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Ereignis $A$ eintritt unter der Bedingung, dass Ereignis $B$ bereits eingetreten ist berechnet sich mit folgender Formel:
$P_B(A)= \dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$
$P_B(A)= \dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$
Hierbei ist die Wahrscheinlichkeit $P_W(\overline{E})$ gesucht, da die Wahrscheinlichkeit gesucht ist, dass das Medikament keinen Erfolg hatte unter der Bedingung, dass die Testperson weiblich ist.
1.5
$\blacktriangleright$ Abhängigkeit überprüfen
In dieser Teilaufgabe sollst du überprüfen, ob bei dieser Studie die erfolgreiche Wirkung des Medikaments von dem Geschlecht der Testperson abhängig war. Zwei Ereignisse $A$ und $B$ sind stochastisch unabhängig, wenn folgendes gilt:
$P(A\cap B)=P(A) \cdot P(B)$
$P(A\cap B)=P(A) \cdot P(B)$
Nun kannst du beispielsweise überprüfen, ob die erfolgreiche Wirkung des Medikaments davon abhängig ist, dass die Person weiblich ist. Somit kannst du berechnen, ob $P(E\cap W)=P(E) \cdot P(W)$ gilt. Gilt diese Gleichung so ist die erfolgreiche Wirkung des Medikaments stochastisch unabhängig von dem Geschlecht der Person. Gilt diese Gleichung nicht dann ist die erfolgreiche Wirkung des Medikaments abhängig von dem Geschlecht der Testperson.
2.1
$\blacktriangleright$ Erwartungswert berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du berechnen bei wie vielen von $20$ Patienten der Arzt eine Wirksamkeit des Medikaments erwarten kann. Hierbei hast du gegeben, dass das Schmerzmittel bei durchschnittlich $80\,\%$ der Patienten wirkt. Somit gilt $p=0,8$. Die zu erwartende Anzahl $E(X)$ der Patienten berechnet sich mit folgender Formel:
$E(X)= n \cdot p$
$E(X)= n \cdot p$
Hierbei gibt $n$ die gesamte Anzahl an Patienten an, an die das Schmerzmittel verschrieben wurde.
2.2
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass das Schmerzmittel bei allen $20$ Patienten wirkt. Die Anzahl der Patienten, bei denen das Schmerzmittel wirkt ist hierbei binomialverteilt. Bezeichne also die Anzahl der Patienten bei denen das Schmerzmittel wirkt mit $X$. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit kannst du mit $P(X=20)$ bezeichnen. Für die Wahrscheinlichkeit gilt bei einer Binomialverteilung:
$P(X=k) = \binom{n}{k}\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$
$P(X=k) = \binom{n}{k}\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$
2.3
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass das Schmerzmittel bei mindestens $18$ der $20$ Patienten wirkt. Somit ist die Wahrscheinlichkeit $P(X\geq 18)$ gesucht. Diese Wahrscheinlichkeit kannst du wie folgt umschreiben:
$\begin{array}[t]{rll} P(X\geq 18)&=& P(X=18) + P(X=19) + P(X=20)\\[10pt] \end{array}$
$P(X\geq 18)= \dotsc$
Da du $P(X=20)$ bereits berechnet hast, musst du noch die Wahrscheinlichkeiten $P(X=18)$ und $P(X=19)$ berechnen.
2.4
$\blacktriangleright$ Stellung nehmen
In dieser Teilaufgabe sollst du zur Aussage, dass das Schmerzmittel bei wenigstem einer dieser $20$ Patienten wirkt so gut wie sicher ist, Stellung nehmen und dies mit einer passenden Rechnung begründen. Du kannst dies begründen, indem du die Wahrscheinlichkeit berechnest, dass das Medikament bei mindestens einem Patienten wirkt. Berechne somit $P(X\geq 1)$. $P(X\geq 1)$ kannst du wie folgt umschreiben:
$\begin{array}[t]{rll} P(X\geq 1)&=& 1-P(X=0)\\[10pt] \end{array}$
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Aufgabe 3

1.1
$\blacktriangleright$ Vierfeldertafel vervollständigen
In diesem Aufgabenteil sollst du die gegebene Vierfeldertafel vervollständigen. Hierfür hast du gegeben, dass das Medikament an insgesamt $6.900$ Personen getestet wurde.
Außerdem hast du gegeben, dass $3.400$ von diesen Personen weiblich waren und das Medikament bei $5.172$ getesteten Personen Erfolg hatte. Trage zunächst die bekannten Werte wie folgt in die Vierfeldertafel ein. Für die Vierfeldertafel folgt:
$E$$\overline{E}$Summe
$M$$1.055$
$W$$3.400$
$5.172$$6.900$
Anschließend kannst du mit den Rechenregleln für die Vierfeldertafel die Vierfeldertafel wie folgt vervollständigen:
$E$$\overline{E}$Summe
$M$$2.445$$1.055$$3.500$
$W$$2.727$$673$$3.400$
$5.172$$1.728$$6.900$
1.2
$\blacktriangleright$ Bedeutung erklären
In diesem Aufgabenteil sollst du die Bedeutung, der in der Vierfeldertafel einngetragenen Zahl $1.055$ im Sachzusammenhang erklären. Die eingetragenen Zahl $1.055$ gibt die Anzahl der Personen an, welche männlich sind und bei denen der Test keinen Erfolg hatte.
1.3
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass bei einer Person, die unter den $6.900$ Testpersonen zufällig ausgewählt wird, das Medikament Erfolg hatte. Du weißt bereits, dass das Medikament bei $5.172$ von insgesamt $6.900$ Personen Erfolg hatte.
Die Wahrscheinlichkeit folgt anschließend aus der relativen Häufigkeit. Für die Wahrscheinlichkeit $P(E)$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} P(E)&=& \dfrac{5.172}{6.900}\\[10pt] &=& \dfrac{431}{575}\\[5pt] &\approx& 0,7496\\[5pt] \end{array}$
Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Medikament bei einer zufällig ausgewählten Person Erfolg hat $74,96\,\%$.
1.4
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen
In diesem Aufgabenteil sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass das Medikament keinen Erfolg hatte unter der Voraussetzung, dass aus den $6.900$ Testpersonen eine Frau ausgewählt wurde. Somit musst du eine bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Ereignis $A$ eintritt unter der Bedingung, dass Ereignis $B$ bereits eingetreten ist berechnet sich mit folgender Formel:
$P_B(A)= \dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$
$P_B(A)= \dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$
Hierbei ist die Wahrscheinlichkeit $P_W(\overline{E})$ gesucht, da die Wahrscheinlichkeit gesucht ist, dass das Medikament keinen Erfolg hatte unter der Bedingung, dass die Testperson weiblich ist. Somit gilt für $P_W(\overline{E})$ entsprechend:
$\begin{array}[t]{rll} P_W(\overline{E})&=&\dfrac{P(W\cap \overline{E})}{P(W)}\\[10pt] &=& \dfrac{\frac{673}{6.900}}{\frac{3.400}{6.900}} \\[5pt] &=& \dfrac{673}{3.400} \\[5pt] &\approx & 0,1979\\[5pt] \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Medikament bei einer weiblichen Person keinen Erfolgt hatte beträgt etwa $19,79\,\%$.
1.5
$\blacktriangleright$ Abhängigkeit überprüfen
In dieser Teilaufgabe sollst du überprüfen, ob bei dieser Studie die erfolgreiche Wirkung des Medikaments von dem Geschlecht der Testperson abhängig war. Zwei Ereignisse $A$ und $B$ sind stochastisch unabhängig, wenn folgendes gilt:
$P(A\cap B)=P(A) \cdot P(B)$
$P(A\cap B)=P(A) \cdot P(B)$
Nun kannst du beispielsweise überprüfen, ob die erfolgreiche Wirkung des Medikaments davon abhängig ist, dass die Person weiblich ist. Somit kannst du berechnen, ob $P(E\cap W)=P(E) \cdot P(W)$ gilt. Gilt diese Gleichung so ist die erfolgreiche Wirkung des Medikaments stochastisch unabhängig von dem Geschlecht der Person. Gilt diese Gleichung nicht dann ist die erfolgreiche Wirkung des Medikaments abhängig von dem Geschlecht der Testperson.
Überprüfe somit wie folgt die Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} P(E\cap W)&=& \dfrac{2.727}{6.900} \\[10pt] &=& 0,3952\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(E) \cdot P(W)&=& \dfrac{5.172}{6.900} \cdot \dfrac{3.400}{6.900}\\[10pt] &=& 0,3693\\[5pt] \end{array}$
Hiermit folgt, dass $P(E\cap W)\neq P(E) \cdot P(W)$ gilt und dadurch ist die erfolgreiche Wirkung des Medikaments abhängig von dem Geschlecht der Person.
2.1
$\blacktriangleright$ Erwartungswert berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du berechnen bei wie vielen von $20$ Patienten der Arzt eine Wirksamkeit des Medikaments erwarten kann. Hierbei hast du gegeben, dass das Schmerzmittel bei durchschnittlich $80\,\%$ der Patienten wirkt. Somit gilt $p=0,8$. Die zu erwartende Anzahl $E(X)$ der Patienten berechnet sich mit folgender Formel:
$E(X)= n \cdot p$
$E(X)= n \cdot p$
Hierbei gibt $n$ die gesamte Anzahl an Patienten an, an die das Schmerzmittel verschrieben wurde. Dadurch folgt für die erwartete Anzahl an Patienten:
$\begin{array}[t]{rll} E(X)&=& n \cdot p \\[10pt] &=& 20 \cdot 0,8 \\[5pt] &=& 16 \\[5pt] \end{array}$
Somit kann der Arzt erwarten, dass das Medikament bei $16$ Personen wirkt.
2.2
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass das Schmerzmittel bei allen $20$ Patienten wirkt. Die Anzahl der Patienten, bei denen das Schmerzmittel wirkt ist hierbei binomialverteilt. Bezeichne also die Anzahl der Patienten bei denen das Schmerzmittel wirkt mit $X$. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit kannst du mit $P(X=20)$ bezeichnen. Für die Wahrscheinlichkeit gilt bei einer Binomialverteilung:
$P(X=k) = \binom{n}{k}\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$
$P(X=k) = \binom{n}{k}\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$
Mit $n=20$ und $p=0,8$ folgt für $P(X=20)$:
$\begin{array}[t]{rll} P(X=20)&=&\binom{20}{20}\cdot 0,8^{20} \cdot (1-0,8)^{20-20} \\[10pt] &=& 0,8^{20} \\[5pt] &\approx& 0,0115\\[5pt] \end{array}$
$P(X=20)\approx 0,0115$
Somit beträgt die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P(X=20) \approx 1,15 \,\%$.
2.3
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass das Schmerzmittel bei mindestens $18$ der $20$ Patienten wirkt. Somit ist die Wahrscheinlichkeit $P(X\geq 18)$ gesucht. Diese Wahrscheinlichkeit kannst du wie folgt umschreiben:
$\begin{array}[t]{rll} P(X\geq 18)&=& P(X=18) + P(X=19) + P(X=20)\\[10pt] \end{array}$
$P(X\geq 18)= \dotsc$
Da du $P(X=20)$ bereits berechnet hast, musst du noch die Wahrscheinlichkeiten $P(X=18)$ und $P(X=19)$ berechnen. Für $P(X=18)$ und $P(X=19)$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} P(X=18)&=&\binom{20}{18}\cdot 0,8^{18} \cdot (1-0,8)^{20-18}\\[10pt] &=& \binom{20}{18}\cdot 0,8^{18} \cdot (0,2)^{2}\\[5pt] &\approx& 0,1369 \\[5pt] \end{array}$
$P(X=18)\approx 0,1369$
$\begin{array}[t]{rll} P(X=19)&=&\binom{20}{19}\cdot 0,8^{19} \cdot (1-0,8)^{20-19}\\[10pt] &=& \binom{20}{19}\cdot 0,8^{19} \cdot (0,2)^{1}\\[5pt] &\approx& 0,0576 \\[5pt] \end{array}$
$P(X=19) \approx 0,0576$
Dadurch folgt für die Wahrscheinlichkeit $P(X\geq 18)$:
$\begin{array}[t]{rll} P(X\geq 18)&=& P(X=18) + P(X=19) + P(X=20)\\[10pt] & \approx & 0,1369 + 0,0576 + 0,0115\\[5pt] &\approx& 0,206 \\[5pt] \end{array}$
$P(X\geq 18) \approx 0,206$
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P(X\geq 18)$ beträgt etwa $20,6\,\%$.
2.4
$\blacktriangleright$ Stellung nehmen
In dieser Teilaufgabe sollst du zur Aussage, dass das Schmerzmittel bei wenigstem einer dieser $20$ Patienten wirkt so gut wie sicher ist, Stellung nehmen und dies mit einer passenden Rechnung begründen. Du kannst dies begründen, indem du die Wahrscheinlichkeit berechnest, dass das Medikament bei mindestens einem Patienten wirkt. Berechne somit $P(X\geq 1)$. $P(X\geq 1)$ kannst du wie folgt umschreiben:
$\begin{array}[t]{rll} P(X\geq 1)&=& 1-P(X=0)\\[10pt] \end{array}$
Für P(X\geq 1) gilt mit $n=20$ und $p=0,8$:
$\begin{array}[t]{rll} P(X\geq 1)&=& 1-P(X=0)\\[10pt] &=& 1-\binom{20}{0}\cdot (0,8)^0 \cdot (1-0,8)^{20-0}\\[5pt] &=& 1- 0,2^{20}\\[5pt] &\approx& 1 \\[5pt] \end{array}$
$P(X\geq 1) \approx 1$
Damit gilt, dass $P(X\geq 1)\approx 1$ ist und somit die Aussage korrekt ist.
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