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Aufgabe 1 - Analysis

Aufgaben
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1.
Gegeben ist die Funktion $f: D_{max} \rightarrow \mathbb{R}$ mit
$f(x) = \frac{x^2-1}{x+2}$.
1.1
Gib die maximale Definitionsmenge $D_{max}$ an. Untersuche das Grenzverhalten von $f$ an der Definitionslücke und gib die Art der Definitionslücke an.
#gebrochenrationalefunktion#definitionsbereich#grenzwert
1.2
Berechne die Schnittpunkte des Graphen von $f$ mit den Koordinatenachsen.
#schnittpunkt
1.3
Weise rechnerisch nach, dass sich der Funktionsterm von $f$ in der folgenden Form schreiben lässt:
$f(x) = x-2 + \frac{3}{x+2}$.
1.4
Gib die Gleichung der Asymptote an und untersuche das Annäherungsverhalten des Graphen von $f$ an die Asymptote.
#asymptote
1.5
Bestimme die Gleichung der ersten Ableitung von $f$.
Zur Kontrolle und weiteren Verwendung:
$f´(x) = \frac{x^2 + 4x + 1}{(x+2)^2}$.
Zur weiteren Verwendung (ohne Nachweis!)
$f´´(x) = \frac{6}{(x+2)^3}$.
#ableitung
1.6
Untersuche rechnerisch den Graphen von $f$ auf Extrempunkte (einschließlich ihrer Art).
#extrempunkt
1.7
Begründe: Der Graph von $f$ ist im Intervall $]- \infty ; -2[$ rechtsgekrümmt und im Intervall $]-2;+\infty[$ linksgekrümmt.
#krümmung
1.8
Skizziere unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse den Graphen von $f$ in das im Material gegebene Koordinatensystem.
1.9
Der Graph von $f$ schließt mit der $x$-Achse eine Fläche ein. Bestimme das Maß dieser Fläche unter Angabe einer Stammfunktion. Nutze zur Ermittlung einer Stammfunktion die Zerlegung des Funktionsterms gemäß 1.3.
#stammfunktion#flächeninhalt
2.
Deiche an Küsten schützen das umliegende Land vor Überflutungen.
Der Graph der Funktion $g$ mit dem Term
$g(x)=-\frac{1}{50} (x^4 - 4x^3)$
soll im Intervall $[0;4]$ den Verlauf der Oberflächenlinie des Querschnitts eines Deiches modellieren. Der Ursprung des Koordinatensystems stellt den Beginn der Aufschüttung des Deiches dar. Die Längeneinheit beträgt $10 \, \text{m}$. Die Abbildung 1 zeigt den Graphen der Funktion $g$ im Intervall $[0; 4]$.
Aufgabe 1 - Analysis
Abb. 1: Graph der Funktion $g$ im Intervall $[0;4]$
Aufgabe 1 - Analysis
Abb. 1: Graph der Funktion $g$ im Intervall $[0;4]$
2.1
Der (absolut) höchste Punkt eines Deiches wird als Deichkrone bezeichnet.
Zeige rechnerisch, dass der Deich $30 \, \text{m}$ vom Beginn der Aufschüttung entfernt (Stelle 3 des Koordinatensystems) seine maximale Höhe hat und gib diese in der Einheit $\text{m}$ an.
2.2
Auf der Wasserseite (vom Meer zur Deichkrone) verlaufen Deichprofile flacher als auf der Landseite.
Vergleiche dazu im Rahmen von Rechnungen den maximalen Betrag der Steigung auf der Wasserseite mit dem maximalen Betrag der Steigung auf der Landseite.
#steigung
2.3
Bestimme unter Angabe einer Stammfunktion den Flächeninhalt des Deichquerschnitts $\left(\text{in der Einheit m}^2\right)$ und berechne zum Vergleich den Flächeninhalt eines dreieckigen Deichprofils mit den Eckpunkten $(0 \mid 0)$, $(4 \mid 0)$ und $(3 \mid 0,54)$ (Angabe der Koordinaten im gewählten Koordinatensystem).
#flächeninhalt#stammfunktion

Material 1

Aufgabe 1 - Analysis
Aufgabe 1 - Analysis
Bildnachweise [nach oben]
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Tipps
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1.1
$\blacktriangleright$Definitionsmenge angeben
In dieser Teilaufgabe sollst du die maximale Definitionsmenge $D_{ \text{max}}$ angeben. Hierzu sollst du das Grenzverhalten von $f$ an der Definitionslücke untersuchen und die Art der Definitionslücke angeben. Die Funktion $f$ ist hierbei folgendermaßen gegeben:
$f:D_{ \text{max}}\rightarrow \mathbb{R}$ mit $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x+2}$
Bestimme also zunächst die Definitionslücke und gib das Grenzverhalten an der Definitionslücke und die Art der Definitionslücke an. Bei der Funktion $f$ handelt es sich um eine gebrochenrationale Funktion. Das bedeutet, dass sich die Funktion im Nenner und im Zähler als eine ganzrationale Funktion darstellen lässt. Definitionslücken treten an den Stellen auf, an denen die ganzrationale Funktion im Nenner eine Nullstelle besitzt, da du nicht durch $0$ teilen darfst.
Desweiteren sollst du das Grenzverhalten an der Definitionslücke untersuchen und die Art der Definitionslücke angeben. Hierfür musst du untersuchen, ob die Nullstelle der Nennerfunktion identisch mit der Nullstelle der Zählerfunktion ist. Ist dies der Fall musst du das Grenzverhalten der kompletten Funktion weiter betrachten, um zu beschreiben, ob es sich um eine hebbare Definitionslücke oder um eine Polstelle handelt. Ist dies nicht der Fall handelt es sich um eine Polstelle und die gegebene Funktion besitzt an dieser Stelle eine senkrechte Asymptote.
Anschließend musst du die Vielfachheit der Polstelle überprüfen. Diese Vielfachheit nennt man auch Ordnung der Polstelle. Ist die Ordnung der Polstelle ungerade spricht man von einer Polstelle mit Vorzeichenwechsel. Ist die Ordnung der Polstelle gerade handelt es sich um eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel. Das bedeutet, dass wenn du den Linksseitigen und den Rechtssseitigen Grenzwert an der Polstelle betrachtest sich das Vorzeichen der Grenzwerte vertauscht.
Handelt es sich um eine senkrechte Asymptote gilt für eine Polstelle $x_0$ entsprechend:
$\lim\limits_{x\to x_0^{-}} f(x)=\pm \infty$ und entsprechend $\lim\limits_{x\to x_0^{+}} f(x)=\mp \infty$.
Du musst also noch die entsprechenden Vorzeichen untersuchen. Hierfür genügt es einen Funktionswert zu berechnen, welcher sich von links oder rechts an die Polstelle annähert und das Vorzeichen zu betrachten.
Gehe somit folgendermaßen vor:
  • Bestimme die Definitionslücke, indem du die Nullstelle des Nenners berechnest.
  • Überprüfe, ob die Nullstelle des Nenners identisch mit der des Zählers ist.
  • Betrachte das Grenzverhalten an der Polstelle.
1.2
$\blacktriangleright$Schnittpunkte bestimmen
Du sollst die Schnittpunkte des Graphen von $f$ mit den Koordinatenachsen angeben. Die Funktion $f$ ist hierbei mit $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x+2}$ gegeben.
Bestimme den Schnittpunkt $S_y(0 \mid y)$ mit der $y$-Achse, indem du in der gegebenen Funktionsgleichung $x=0$ setzt und den Funktionswert berechnest. Anschließend kannst du den Schnittpunkt des Graphen von $f$ mit der $x$-Achse bestimmen, indem du $f(x)=0$ setzt und nach $x$ auflöst.
1.3
$\blacktriangleright$Funktionsterm nachweisen
Du sollst rechnerisch nachweisen, dass sich der Funktionsterm von $f$ in der Form $f(x)=x-2+ \dfrac{3}{x+2}$ schreiben lässt. Du musst also den gegebenen Funktionsterm $f(x)=x-2+ \dfrac{3}{x+2}$ so umformen, dass du den ursprünglichen Term $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x+2}$ erhältst.
1.4
$\blacktriangleright$Asymptote angeben
In dieser Teilaufgabe sollst du die Gleichung der Asymptoten angeben. In der ersten Teilaufgabe hast du bereits gezeigt, dass der Graph bei $x=-2$ eine senkrechte Asymptote besitzt. Somit gilt für die Gleichung der senkrechten Asymptote $x=-2$. Du musst untersuchen, ob der Graph eine weitere schiefe oder eine waagerechte Asymptote besitzt.
Die allgemeine Form einer gebrochenrationalen Funktion lautet:
$f(x)=\dfrac{a_n\cdot x^{n} + a_{n-1} \cdot x^{n-1} \cdot \dotsc \cdot a_1 \cdot x^1}{b_m\cdot x^{m} + b_{m-1} \cdot x^{m-1} \cdot \dotsc \cdot b_1 \cdot x^1}$
$f(x)=\dfrac{a_n\cdot x^{n} + a_{n-1} \cdot x^{n-1} \cdot \dotsc \cdot a_1 \cdot x^1}{b_m\cdot x^{m} + b_{m-1} \cdot x^{m-1} \cdot \dotsc \cdot b_1 \cdot x^1}$
$f(x)= \dotsc $
Der Graph einer gebrochenrationalen Funktion besitzt eine waagrechte Asymptote, falls der Grad der ganzrationalen Funktion im Zähler $n$ kleiner oder gleich dem Zählergrad der ganzrationalen Funktion im Nenner $m$ ist.
Außerdem besitzt der Graph einer gebrochenrationalen Funktion eine schiefe Asymptote, falls der Grad der ganzrationalen Funktion im Zähler $n$ um $1$ größer als der Zählergrad der ganzrationalen Funktion im Nenner $m$ ist.
1.5
$\blacktriangleright$Ableitung bestimmen
Du sollst die Gleichung der ersten Ableitung von $f$ bestimmen. Die Gleichung der Funktion $f$ ist mit $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x+2}$ gegeben. Benutze hierbei die Quotientenregel. Die Quotientenregel für die allgemeine Form $f(x)=\dfrac{g(x)}{h(x)}$ lautet:
$f'(x)=\dfrac{g'(x)\cdot h(x)-g(x) \cdot h'(x)}{(h(x))^2}$
$f'(x)=\dfrac{g'(x)\cdot h(x)-g(x) \cdot h'(x)}{(h(x))^2}$
1.6
$\blacktriangleright$Extrempunkte bestimmen
Du hast die Funktion $f$ gegeben und sollst deren Graph auf Extrempunkte untersuchen. Für eine Extremstelle $x_E$ benötigst du die beiden folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\, f'(x_E)=0$
  • Hinreichendes Kriterium:
    • Ist $f''(x_E)> 0$, handelt es sich um eine Minimalstelle.
    • Ist $f''(x_E)< 0$, handelt es sich um eine Maximalstelle.
Hierbei hast du bereits die ersten beiden Ableitungen in der vorherigen Aufgabe bestimmt. Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $f'(x)=0$ setzt und nach $x$ löst.
  2. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $f''(x)$ einsetzt. So bestimmst du gleichzeitig die Art der Extrema.
  3. Berechne die Funktionswerte von $f$ an den Extremstellen.
1.7
$\blacktriangleright$Krümmung begründen
Du sollst begründen, dass der Graph im Intervall $]-\infty;-2[$ rechtsgekrümmt und im Intervall $]-2;+\infty[$ linksgekrümmt ist. Falls $f''(x) < 0$ ist, ist der Graph der Funktion $f$ rechtsgekrümmt und falls $f''(x) > 0$ gilt ist der Graph linksgekrümmt. Hierbei gilt $f''(x)=\dfrac{6}{(x+2)^3}$. Überprüfe somit welche Vorzeichen die Funktionswerte der Funktion $f''(x)$ in den jeweiligen Intervallen annehmen.
1.8
$\blacktriangleright$Graphen skizzieren
In dieser Teilaufgabe sollst du den Graphen von $f$ unter berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in das im Material gegebene Koordinatensystem einzeichnen. Trage hierbei alle bereits berechneten Eigenschaften des Graphen in das Material ein und beachte die gegebenen Bedingungnen. Daraus folgt für den Graphen:
1.9
$\blacktriangleright$Fläche bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du das Maß der Fläche bestimmen, welche der Graph von $f$ mit der $x$-Achse einschließt. Du sollst hierzu eine Stammfunktion angeben, wobei du die Zerlegung des Funktionsterms gemäß 1.3 verwenden sollst.
In der Teilaufgabe 1.3 hast du den Funktionsterm durch $f(x)=x-2+\dfrac{3}{x+2}$ gegeben und sollst nun durch Integration eine Stammfunktion bestimmen. Anschließend kannst du mittels der Stammfunktion die Fläche zwischen dem Graphen $f$ und der $x$-Achse berechen, indem du die beiden Nullstellen des Graphen von $f$ als Grenzen des Integrals setzt. Die Nullstellen hast du bereits in der Teilaufgabe 1.2 berechnet. Es gilt $N_1(1 \mid 0)$ und $N_2(-1 \mid 0)$.
Den Ausdruck $\dfrac{3}{x+2}$ musst du hierbei partiell Integrieren, da es sich um eine verkettete Funktion handelt. Du kannst den Ausdruck folgendermaßen durch die Verkettung $u(v(x))=\dfrac{3}{x+2}$ schreiben.
Somit gilt $v(x)=x+2$ und $u(t)=\dfrac{3}{t}$. Hierbei ist die innere Funktion $v(x)$ linear und die Stammfunktion kannst du durch folgende Formel berechnen:
$F(x)= U\left(v(x)\right)\cdot \frac{1}{v'(x)} +c $
$F(x)= U\left(v(x)\right)\cdot \frac{1}{v'(x)} +c $
Anschließend kannst mit dem Hauptsatz der Integralrechnung die gesuchte Fläche $A$ bestimmen. Der Hauptsatz der Integralrechnung lautet:
$\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \; \mathrm dx= F(b) - F(a) $
$\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\; \mathrm dx= F(b) - F(a) $
Hierbei gilt $U(t)=3 \cdot \ln(\mid t \mid)$ und $v'(x)=1$.
2.1
$\blacktriangleright$Hochpunkt bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du zeigen, dass der Deich $30 \text{ m}$ vom Beginn der Aufschüttung entfernt seine maximale Höhe besitzt und diese maximale Höhe in Meter angeben. Du sollst somit die Koordinaten des Hochpunktes des Deiches bestimmen. Der Graph der Funktion $g$ mit dem Funktionsterm $g(x)= -\dfrac{1}{50} \left(x^4-4x^3 \right)$ beschreibt im Intervall $[0;4]$ den Verlauf der Oberflächenlinie des Querschnitts des Deiches.
Für einen Hochpunkt benötigst du die beiden folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\, g'(x_E)=0$
  • Hinreichendes Kriterium: $\, g''(x_E)< 0$
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die ersten beiden Ableitungsfunktionen $g'$ und $g''$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $g'(x)=0$ setzt und nach $x$ löst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $g''(x)$ einsetzt.
  4. Berechne den Funktionswert von $g$ an dem Hochpunkt.
2.2
$\blacktriangleright$Steigungen vergleichen
Du sollst im Rahmen von Rechnungen den maximalen Betrag der Steigung auf der Wasserseite mit dem maximalen Betrag der Steigung auf der Landseite vergleichen. Hierbei ist gegeben, dass sich die Wasserseite vom Meer bis zur Deichkrone erstreckt.
Du musst somit die Maximalstellen der Ableitungsfunktion $g'(x)$ im jeweiligen Intervall bestimmen. Die Wasserseite erstreckt sich hierbei im Intervall $[0;3]$ und die Landseite im Intervall $[3;4]$. An dem Graph der Funktion $g$ kannst du erkennen, dass die Steigung auf der Wasserseite zuerst ansteigt und anschließend erneut abflacht. Das bedeutet, dass der Betrag der maximalen Steigung genau an dem Hochpunkt des Graphen der Steigungsfunktion $g'(x)$ auftritt.
Auf der Landseite hingegen, lässt sich an dem Graphen der Funktion $g$ erkennen, dass die Steigung negativ ist und dass sie betragsmäßig stets zunimmt. Somit tritt die betragsmäßig größte Steigung auf der Landseite bei $x=4$ auf. Du musst somit den Betrag der Steigung an der Stelle $x=4$ berechnen, also den Betrag des Funktionswertes $g'(x=4)$.
$\blacktriangleright$ Betragsgrößte Steigung auf der Wasserseite
Bestimme zuerst die Koordinaten des Hochpunktes und somit die betragsgrößte Steigung auf der Wasserseite. Für einen Hochpunkt benötigst du die beiden folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\, g''(x_E)=0$
  • Hinreichendes Kriterium: $\, g'''(x_E)< 0$
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die ersten beiden Ableitungsfunktionen $g''$ und $g'''$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $g'(x)=0$ setzt und nach $x$ löst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $g''(x)$ einsetzt.
  4. Berechne den Funktionswert von $g$ an dem Hochpunkt.
2.3
$\blacktriangleright$Fläche des Deichquerschnitts bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du den Flächeninhalt des Deichquerschnitts in der Einheit $\text{m}^2$ bestimmen. Hierzu sollst du eine Stammfunktion angeben. Du hast den Funktionsterm der Funktion $g$ mit $g(x)=-\dfrac{1}{50} \left(x^4-4x^3\right)$ gegeben. Zuerst sollst du durch Integration eine Stammfunktion bestimmen. Die gesuchte Fläche kannst du anschließend mit dem Hauptsatz der Integralrechnung und den Intervallgrenzen, als Grenzen des Integrals, berechnen.
Der Hauptsatz der Integralrechnung lautet:
$\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \; \mathrm dx= F(b) - F(a) $
$\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\; \mathrm dx= F(b) - F(a) $
$\blacktriangleright$Fläche des Dreiecksquerschnittes bestimmen
Zum Vergleich sollst du den Flächeninhalt eines dreieckigen Profils mit den Eckpunkten $(0 \mid 0)$, $(4 \mid 0)$ und $(3 \mid 0,54)$ bestimmen. An den Koordinaten kannst du erkennen, dass die Eckpunkte $(0 \mid 0)$ und $(4 \mid 0)$ auf der $x$-Achse liegen. Der Eckpunkt $(3 \mid 0,54)$ liegt stattdessen oberhalb der $x$-Achse.
Für den Flächeninhalt eines Dreiecks gilt folgende Formel:
$A_D=\dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h_g$
$A_D=\dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h_g$
Hierbei gibt $g$ die Länge der Grundseite an und $h_g$ die Länge der Höhe, welche senkrecht auf der Grundseite steht.
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1.1
$\blacktriangleright$Definitionsmenge angeben
In dieser Teilaufgabe sollst du die maximale Definitionsmenge $D_{ \text{max}}$ angeben. Hierzu sollst du das Grenzverhalten von $f$ an der Definitionslücke untersuchen und die Art der Definitionslücke angeben. Die Funktion $f$ ist hierbei folgendermaßen gegeben:
$f:D_{ \text{max}}\rightarrow \mathbb{R}$ mit $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x+2}$
Bestimme also zunächst die Definitionslücke und gib das Grenzverhalten an der Definitionslücke und die Art der Definitionslücke an. Bei der Funktion $f$ handelt es sich um eine gebrochenrationale Funktion. Das bedeutet, dass sich die Funktion im Nenner und im Zähler als eine ganzrationale Funktion darstellen lässt. Definitionslücken treten an den Stellen auf, an denen die ganzrationale Funktion im Nenner eine Nullstelle besitzt, da du nicht durch $0$ teilen darfst.
Desweiteren sollst du das Grenzverhalten an der Definitionslücke untersuchen und die Art der Definitionslücke angeben. Hierfür musst du untersuchen, ob die Nullstelle der Nennerfunktion identisch mit der Nullstelle der Zählerfunktion ist. Ist dies der Fall musst du das Grenzverhalten der kompletten Funktion weiter betrachten, um zu beschreiben, ob es sich um eine hebbare Definitionslücke oder um eine Polstelle handelt. Ist dies nicht der Fall handelt es sich um eine Polstelle und die gegebene Funktion besitzt an dieser Stelle eine senkrechte Asymptote.
Anschließend musst du die Vielfachheit der Polstelle überprüfen. Diese Vielfachheit nennt man auch Ordnung der Polstelle. Ist die Ordnung der Polstelle ungerade spricht man von einer Polstelle mit Vorzeichenwechsel. Ist die Ordnung der Polstelle gerade handelt es sich um eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel. Das bedeutet, dass wenn du den Linksseitigen und den Rechtssseitigen Grenzwert an der Polstelle betrachtest sich das Vorzeichen der Grenzwerte vertauscht.
Da es sich um eine senkrechte Asymptote handelt gilt für eine Polstelle $x_0$ entsprechend:
$\lim\limits_{x\to x_0^{-}} f(x)=\pm \infty$ und entsprechend $\lim\limits_{x\to x_0^{+}} f(x)=\mp \infty$.
Du musst also noch die entsprechenden Vorzeichen untersuchen. Hierfür genügt es einen Funktionswert zu berechnen, welcher sich von links oder rechts an die Polstelle annähert und das Vorzeichen zu betrachten.
Gehe somit folgendermaßen vor:
  • Bestimme die Definitionslücke, indem du die Nullstelle des Nenners berechnest.
  • Überprüfe, ob die Nullstelle des Nenners identisch mit der des Zählers ist.
  • Betrachte das Grenzverhalten an der Polstelle.
1. Schritt: Nullstelle des Nenners berechnen
Setze die Funktion des Nenners mit $0$ gleich und löse nach $x$ auf. Berechne die Definitionslücke wie folgt:
$\begin{array}[t]{rll} x+2&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; -2\\[5pt] x&=& -2 \\[5pt] \end{array}$
Somit besitzt die Funktion bei $x=-2$ eine Definitionslücke.
2. Schritt: Nullstellen vergleichen
Die Funktion des Zählers ist mit $g(x)=x^2-1$ gegeben. Setze hierbei $x=-2$ ein und überprüfe ob die Nullstellen übereinstimmen. Daraus folgt:
$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=& x^2-1\\[5pt] g(-2)&=& (-2)^2-1 \\[5pt] &=& 3 \\[5pt] \end{array}$
Somit sind die Nullstellen nicht identisch und die Funktion besitzt bei $x=-2$ eine senkrechte Asymptote und die Definitionslücke ist eine Polstelle. Diese Polstelle ist eine Polstelle erster Ordnung, da die Nulstelle nur einmal auftritt. Daraus folgt für den Definitionsbereich $D_{ \text{max}}=\mathbb{R}\setminus \{ -2\}$.
3. Schritt: Grenzverhalten an der Polstelle betrachten
Untersuche das Grenzverhalten an der Polstelle, indem du einen Funktionswert berechnest, welcher sich von links an die Polstelle bei $x=-2$ annähert. Wähle beispielsweise $x=-2,5$. Somit folgt für den Funktionswert:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& \dfrac{x^2-1}{x+2} \\[5pt] f(x=-2,5)&=& \dfrac{(-2,5)^2-1}{-2,5+2} \\[5pt] &=& -10,5 \\[5pt] \end{array}$
$f(x=-2,5)= -10,5$
Daraus kannst du erkennen, dass für den linksseitigen Grenzwert der Funktion $f$ folgendes gilt:
$\lim\limits_{x\to 2^{-}} f(x)=- \infty$
Damit folgt für den rechtsseitigen Grenzwert der Funktion $f$:
$\lim\limits_{x\to 2^{+}} f(x)=+ \infty$
#asymptote
1.2
$\blacktriangleright$Schnittpunkte bestimmen
Du sollst die Schnittpunkte des Graphen von $f$ mit den Koordinatenachsen angeben. Die Funktion $f$ ist hierbei mit $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x+2}$ gegeben.
Bestimme den Schnittpunkt $S_y(0 \mid y)$ mit der $y$-Achse, indem du in der gegebenen Funktionsgleichung $x=0$ setzt und den Funktionswert berechnest. Anschließend kannst du den Schnittpunkt des Graphen von $f$ mit der $x$-Achse bestimmen, indem du $f(x)=0$ setzt und nach $x$ auflöst.
1. Schritt: Schnittpunkt mit der $\boldsymbol{y}$-Achse
Für den Schnittpunkt $S_y(0 \mid y)$ mit der $y$-Achse folgt:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&\dfrac{x^2-1}{x+2}\\[5pt] f(0)&=& \dfrac{0^2-1}{0+2} \\[5pt] &=& -\dfrac{1}{2} \\[5pt] \end{array}$
Somit besitzt der Graphen der Funktion $f$ bei $S_y(0 \mid -\frac{1}{2})$ einen Schnittpunkt mit der $y$-Achse.
2. Schritt: Schnittpunkt mit der $\boldsymbol{x}$-Achse
Setze $f(x)=0$ und löse nach $x$ auf. Daraus folgt:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 0\\[5pt] \dfrac{x^2-1}{x+2}&=& 0 \\[5pt] \end{array}$
Hierbei ist der Definitionsbereich aus der ersten Teilaufgabe mit $D=\mathbb{R}\setminus\{-2\}$ gegeben und deshalb kann der Nenner in dem angegebenen Definitionsbereich nicht $0$ werden. Durch den Satz des Nullproduktes genügt es somit den Zähler zu betrachten. Daraus folgt:
$\begin{array}[t]{rll} x^2-1&=& 0 & \quad \scriptsize \mid \; +1\\[5pt] x^2&=& 1 & \quad \scriptsize \mid \; \sqrt{\,}\\[5pt] x_1&=& 1 \\[5pt] x_2&=& -1 \\[5pt] \end{array}$
$x_{1,2}=\pm 1 $
Der Graph der Funktion $f$ besitzt somit bei $N_1(1\mid 0)$ und $N_2(-1\mid 0)$ Schnittpunkte mit der $x$-Achse.
#y-achsenschnittpunkt#nullstelle
1.3
$\blacktriangleright$Funktionsterm nachweisen
Du sollst rechnerisch nachweisen, dass sich der Funktionsterm von $f$ in der Form $f(x)=x-2+ \dfrac{3}{x+2}$ schreiben lässt. Du musst also den gegebenen Funktionsterm $f(x)=x-2+ \dfrac{3}{x+2}$ so umformen, dass du den ursprünglichen Term $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x+2}$ erhältst.
Forme den gegebenen Funktionsterm wie folgt um:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& x-2+ \dfrac{3}{x+2}\\[5pt] &=& \dfrac{x \cdot (x+2)}{x+2} -\dfrac{2 \cdot (x+2)}{x+2}+ \dfrac{3}{x+2} \\[5pt] &=& \dfrac{x^2 +2x}{x+2} -\dfrac{2 \cdot x-4}{x+2}+ \dfrac{3}{x+2} \\[5pt] &=& \dfrac{x^2 +2x-2x-4+3}{x+2} \\[5pt] &=& \dfrac{x^2 -1}{x+2} \\[5pt] \end{array}$
$ f(x)=\dotsc $
Somit hast du rechnerisch gezeigt, dass sich der Funktionsterm $f$ auch in der Form $f(x)=x-2+ \dfrac{3}{x+2}$ schreiben lässt.
1.4
$\blacktriangleright$Asymptote angeben
In dieser Teilaufgabe sollst du die Gleichung der Asymptoten angeben. In der ersten Teilaufgabe hast du bereits gezeigt, dass der Graph bei $x=-2$ eine senkrechte Asymptote besitzt. Somit gilt für die Gleichung der senkrechten Asymptote $x=-2$. Du musst untersuchen, ob der Graph eine weitere schiefe oder eine waagerechte Asymptote besitzt.
Die allgemeine Form einer gebrochenrationalen Funktion lautet:
$f(x)=\dfrac{a_n\cdot x^{n} + a_{n-1} \cdot x^{n-1} \cdot \dotsc \cdot a_1 \cdot x^1}{b_m\cdot x^{m} + b_{m-1} \cdot x^{m-1} \cdot \dotsc \cdot b_1 \cdot x^1}$
$f(x)=\dfrac{a_n\cdot x^{n} + a_{n-1} \cdot x^{n-1} \cdot \dotsc \cdot a_1 \cdot x^1}{b_m\cdot x^{m} + b_{m-1} \cdot x^{m-1} \cdot \dotsc \cdot b_1 \cdot x^1}$
$f(x)= \dotsc $
Der Graph einer gebrochenrationalen Funktion besitzt eine waagrechte Asymptote, falls der Grad der ganzrationalen Funktion im Zähler $n$ kleiner oder gleich dem Zählergrad der ganzrationalen Funktion im Nenner $m$ ist.
Außerdem besitzt der Graph einer gebrochenrationalen Funktion eine schiefe Asymptote, falls der Grad der ganzrationalen Funktion im Zähler $n$ um $1$ größer als der Zählergrad der ganzrationalen Funktion im Nenner $m$ ist.
Hierbei ist $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x+2}$ gegeben. Somit besitzt die Ganzrationale Funktion im Zähler den Grad $n=2$ und die Ganzrationale Funktion im Nenner den Grad $m=1$. Daraus folgt, dass der Graph der Funktion $f$ eine schiefe Asymptote besitzt.
Aus der Teilaufgabe 1.3 weißt du bereits, dass du den Funktionsterm von $f$ auch durch $f(x)=x-2+\dfrac{3}{x+2}$ schreiben kannst. Hierfür kannst du eine Grenzwertbetrachtung durchführen.
Betrachte hierbei den Bruch in dem gegebenen Funktionsterm. Es gilt, dass der Grad der Funktion im Zähler kleiner ist als der Grad der Funktion im Nenner. Daraus folgt für den Grenzwert des Bruches:
$\lim\limits_{x\to\pm\infty} \dfrac{3}{x+2} = 0$
Der Graph der Funktion $f$ strebt deshalb gegen die Asymptote mit der Funktionsgleichung $y=x-2$.
#grenzwert
1.5
$\blacktriangleright$Ableitung bestimmen
Du sollst die Gleichung der ersten Ableitung von $f$ bestimmen. Die Gleichung der Funktion $f$ ist mit $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x+2}$ gegeben. Benutze hierbei die Quotientenregel. Die Quotientenregel für die allgemeine Form $f(x)=\dfrac{g(x)}{h(x)}$ lautet:
$f'(x)=\dfrac{g'(x)\cdot h(x)-g(x) \cdot h'(x)}{(h(x))^2}$
$f'(x)=\dfrac{g'(x)\cdot h(x)-g(x) \cdot h'(x)}{(h(x))^2}$
Somit folgt für Gleichung der Ableitung von $f$:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& \dfrac{x^2-1}{x+2} \\[10pt] f'(x)&=& \dfrac{2x \cdot (x+2)-(x^2-1) \cdot 1}{(x+2)^2} \\[5pt] &=& \dfrac{2x^2 +4x -x^2+1}{(x+2)^2} \\[5pt] &=& \dfrac{x^2 +4x +1}{(x+2)^2} \\[5pt] \end{array}$
$f'(x)= \dotsc$
Somit gilt für die Ableitung die Gleichung $f'(x)=\dfrac{x^2 +4x +1}{(x+2)^2}$.
#quotientenregel
1.6
$\blacktriangleright$Extrempunkte bestimmen
Du hast die Funktion $f$ gegeben und sollst deren Graph auf Extrempunkte untersuchen. Für eine Extremstelle $x_E$ benötigst du die beiden folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\, f'(x_E)=0$
  • Hinreichendes Kriterium:
    • Ist $f''(x_E)> 0$, handelt es sich um eine Minimalstelle.
    • Ist $f''(x_E)< 0$, handelt es sich um eine Maximalstelle.
Hierbei hast du bereits die ersten beiden Ableitungen in der vorherigen Aufgabe bestimmt. Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $f'(x)=0$ setzt und nach $x$ löst.
  2. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $f''(x)$ einsetzt. So bestimmst du gleichzeitig die Art der Extrema.
  3. Berechne die Funktionswerte von $f$ an den Extremstellen.
1. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Durch Gleichsetzen von $f'(x)$ mit Null, erhältst du mögliche Extremstellen:
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&=&0 \\[5pt] \dfrac{x^2+4x+1}{(x+2)^2}&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Satz des NP, da } x\neq-2 \\[5pt] x^2+4x+1&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; \text{pq-Formel} \\[5pt] x_1&=& -2+\sqrt{3} \\[5pt] x_2&=& -2-\sqrt{3} \end{array}$
$X_{1,2}=\dotsc$
2. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} f''(x)&=&\dfrac{6}{(x+2)^3}\\[5pt] f''(-2+\sqrt{3})&=&\dfrac{6}{(-2+\sqrt{3}+2)^3} \\[5pt] &=& \dfrac{6}{3 \sqrt{3} } > 0\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f''(-2-\sqrt{3})&=&\dfrac{6}{(-2-\sqrt{3}+2)^3} \\[5pt] &=& \dfrac{6}{-3 \sqrt{3} } < 0\\[5pt] \end{array}$
Somit handelt es sich bei dem Extrempunkt an der Stelle $x_1=-2+\sqrt{3}$ um ein Tiefpunkt und bei dem Extrempunkt an der Stelle $x_2=-2-\sqrt{3}$ um ein Hochpunkt. Wir haben bereits gezeigt, dadurch dass die Gebrochenrationale Funktion eine schiefe Asymptote besitzt es sich nur um einen lokalen Hochpunkt bzw. Tiefpunkt handeln kann.
1.7
$\blacktriangleright$Krümmung begründen
Du sollst begründen, dass der Graph im Intervall $]-\infty;-2[$ rechtsgekrümmt und im Intervall $]-2;+\infty[$ linksgekrümmt ist. Falls $f''(x) < 0$ ist, ist der Graph der Funktion $f$ rechtsgekrümmt und falls $f''(x) > 0$ gilt ist der Graph linksgekrümmt. Hierbei gilt $f''(x)=\dfrac{6}{(x+2)^3}$. Überprüfe somit welche Vorzeichen die Funktionswerte der Funktion $f''(x)$ in den jeweiligen Intervallen annehmen.
Für $x< -2$ folgt, dass der Ausdruck $x+2 < 0$ ist und somit auch $f''(x)=\dfrac{6}{(x+2)^3} < 0$ ist. Somit ist der Graph der Funktion $f$ für $x< -2$ und somit auch im Intervall $]-\infty;-2[$ rechtsgekrümmt.
Für $x> -2$ folgt, dass der Ausdruck $x+2 > 0$ ist und somit auch $f''(x)=\dfrac{6}{(x+2)^3} > 0$ ist. Damit folgt, dass der Graph der Funktion $f$ für $x> -2$ und somit auch im Intervall $]-2;+\infty[$ linksgekrümmt ist.
1.8
$\blacktriangleright$Graphen skizzieren
In dieser Teilaufgabe sollst du den Graphen von $f$ unter berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in das im Material gegebene Koordinatensystem einzeichnen. Trage hierbei alle bereits berechneten Eigenschaften des Graphen in das Material ein und beachte die gegebenen Bedingungnen. Daraus folgt für den Graphen:
Aufgabe 1 - Analysis
Abb. 1: Skizze des Graphen von $f$
Aufgabe 1 - Analysis
Abb. 1: Skizze des Graphen von $f$
1.9
$\blacktriangleright$Fläche bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du das Maß der Fläche bestimmen, welche der Graph von $f$ mit der $x$-Achse einschließt. Du sollst hierzu eine Stammfunktion angeben, wobei du die Zerlegung des Funktionsterms gemäß 1.3 verwenden sollst.
In der Teilaufgabe 1.3 hast du den Funktionsterm durch $f(x)=x-2+\dfrac{3}{x+2}$ gegeben und sollst nun durch Integration eine Stammfunktion bestimmen. Anschließend kannst du mittels der Stammfunktion die Fläche zwischen dem Graphen $f$ und der $x$-Achse berechen, indem du die beiden Nullstellen des Graphen von $f$ als Grenzen des Integrals setzt. Die Nullstellen hast du bereits in der Teilaufgabe 1.2 berechnet. Es gilt $N_1(1 \mid 0)$ und $N_2(-1 \mid 0)$.
Den Ausdruck $\dfrac{3}{x+2}$ musst du hierbei partiell Integrieren, da es sich um eine verkettete Funktion handelt. Du kannst den Ausdruck folgendermaßen durch die Verkettung $u(v(x))=\dfrac{3}{x+2}$ schreiben.
Somit gilt $v(x)=x+2$ und $u(t)=\dfrac{3}{t}$. Hierbei ist die innere Funktion $v(x)$ linear und die Stammfunktion kannst du durch folgende Formel berechnen:
$F(x)= U\left(v(x)\right)\cdot \frac{1}{v'(x)} +c $
$F(x)= U\left(v(x)\right)\cdot \frac{1}{v'(x)} +c $
Anschließend kannst mit dem Hauptsatz der Integralrechnung die gesuchte Fläche $A$ bestimmen. Der Hauptsatz der Integralrechnung lautet:
$\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \; \mathrm dx= F(b) - F(a) $
$\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\; \mathrm dx= F(b) - F(a) $
Hierbei gilt $U(t)=3 \cdot \ln(\mid t \mid)$ und $v'(x)=1$. Du kannst eine Stammfunktion mit $c=0$ somit folgendermaßen aufstellen:
$\begin{array}[t]{rll} F(x)&=& \dfrac{1}{2} \cdot x^2-2x+ U\left(v(x)\right)\cdot \frac{1}{v'(x)} \\[5pt] &=& U\left(x+2\right)\cdot \frac{1}{1}\\[5pt] &=& 3 \cdot \ln(|x+2|)\\[5pt] \end{array}$
$F(x)= 3 \cdot \ln(|x+2|)$
Mit dem Hauptsatz der Integralrechnung und den $x$-Koordinaten der Nullstellen $N_1(1 \mid 0)$ und $N_2(-1 \mid 0)$ folgt somit für die gesuchte Fläche $A$:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& \left| \displaystyle\int_{-1}^{1} f(x) \; \mathrm dx \right| \\[5pt] &=& \left| F(1) - F(-1) \right|\\[5pt] &=& \left|\dfrac{1}{2} \cdot 1^2-2 + 3 \cdot \ln(|1+2|) - \left(\dfrac{1}{2} \cdot (-1)^2 -2 \cdot (-1) +3 \cdot \ln(|-1+2|)\right)\right|\\[5pt] &=& \left|-\dfrac{3}{2} + 3 \cdot \ln(|1+2|) - \left(\dfrac{5}{2} +3 \cdot \ln(|-1+2|)\right)\right|\\[5pt] &\approx& \left|-0,704 \right|\text{ FE}\\[5pt] &\approx& 0,704 \text{ FE}\\[5pt] \end{array}$
$A \approx 0,704 \text{ FE}$
Somit schließt der Graphen der Funktion $f$ mit der $x$-Achse einen Flächeninhalt von $A \approx 0,704 \text{ FE}$.
#integral
2.1
$\blacktriangleright$Hochpunkt bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du zeigen, dass der Deich $30 \text{ m}$ vom Beginn der Aufschüttung entfernt seine maximale Höhe besitzt und diese maximale Höhe in Meter angeben. Du sollst somit die Koordinaten des Hochpunktes des Deiches bestimmen. Der Graph der Funktion $g$ mit dem Funktionsterm $g(x)= -\dfrac{1}{50} \left(x^4-4x^3 \right)$ beschreibt im Intervall $[0;4]$ den Verlauf der Oberflächenlinie des Querschnitts des Deiches.
Für einen Hochpunkt benötigst du die beiden folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\, g'(x_E)=0$
  • Hinreichendes Kriterium: $\, g''(x_E)< 0$
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die ersten beiden Ableitungsfunktionen $g'$ und $g''$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $g'(x)=0$ setzt und nach $x$ löst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $g''(x)$ einsetzt.
  4. Berechne den Funktionswert von $g$ an dem Hochpunkt.
1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=& -\dfrac{1}{50} \left(x^4-4x^3 \right) \\[10pt] g'(x)&=& -\dfrac{1}{50} \left(4x^3-12x^2 \right)\\[5pt] &=& -\dfrac{4}{50} \left(x^3-3x^2 \right) \\[10pt] g''(x)&=& -\dfrac{4}{50} \left(3x^2-6x \right) \\[5pt] &=& -\dfrac{12}{50} \left(x^2-2x \right) \end{array}$
$g'(x)= \dotsc$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Durch Gleichsetzen von $f'(x)$ mit Null, erhältst du mögliche Extremstellen:
$\begin{array}[t]{rll} g'(x)&=& 0 \\[5pt] -\dfrac{4}{50} \left(x^3-3x^2 \right)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \left(-\dfrac{50}{4}\right) \\[5pt] x^3-3x^2&=& 0 \\[5pt] x^2 \cdot (x-3)&=& 0 \\[5pt] x_{1,2}&=& 0 \\[5pt] x_3&=& 3 \\[5pt] \end{array}$
$x_{1,2,3}=\dotsc$
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
Setze die jeweiligen Lösungen in den Funktionsterm von $g''(x)$ und überprüfe das hinreichende Kriterium. Somit folgt:
$\begin{array}[t]{rll} g''(x)&=& -\dfrac{12}{50} ( x^2-2x ) \\[5pt] g''(x_{1,2}=0)&=& -\dfrac{12}{50} ( 0^2-2 \cdot 0 ) \\[5pt] &=& 0 \\[5pt] \end{array}$
$g''(0)=0$
$\begin{array}[t]{rll} g''(x_3=3)&=& -\dfrac{12}{50} \left(3^2-2 \cdot 3 \right) \\[5pt] &=& -\dfrac{12}{50} \cdot 3 \\[5pt] &=& -\dfrac{36}{50} \quad < 0 \\[5pt] \end{array}$
$g''(3)=-\dfrac{36}{50}$
Somit hast du gezeigt, dass der Graph der Funktion $g$ bei $x=3$ einen Hochpunkt besitzt. Das bedeutet entsprechend, dass der Deich bei $30 \text{ m}$ von Beginn der Aufschüttung entfernt seine maximale Höhe besitzt.
4. Schritt: Funktionswerte berechnen
Berechne den Funktionswert des Hochpunktes, indem du $x=3$ in den gegebenen Funktionsterm einsetzt. Dadurch folgt:
$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=& -\dfrac{1}{50} \left(x^4-4x^3 \right) \\[5pt] g(x=3)&=& -\dfrac{1}{50} \left(3^4-4\cdot 3^3 \right)\\[5pt] &=& 0,54 \\[5pt] \end{array}$
$g(x=3)=0,54$
Der Deich besitzt somit eine maximale Höhe von $5,4 \text{ m}$.
#extrempunkt
2.2
$\blacktriangleright$Steigungen vergleichen
Du sollst im Rahmen von Rechnungen den maximalen Betrag der Steigung auf der Wasserseite mit dem maximalen Betrag der Steigung auf der Landseite vergleichen. Hierbei ist gegeben, dass sich die Wasserseite vom Meer bis zur Deichkrone erstreckt.
Du musst somit die Maximalstellen der Ableitungsfunktion $g'(x)$ im jeweiligen Intervall bestimmen. Die Wasserseite erstreckt sich hierbei im Intervall $[0;3]$ und die Landseite im Intervall $[3;4]$. An dem Graph der Funktion $g$ kannst du erkennen, dass die Steigung auf der Wasserseite zuerst ansteigt und anschließend erneut abflacht. Das bedeutet, dass der Betrag der maximalen Steigung genau an dem Hochpunkt des Graphen der Steigungsfunktion $g'(x)$ auftritt.
Auf der Landseite hingegen, lässt sich an dem Graphen der Funktion $g$ erkennen, dass die Steigung negativ ist und dass sie betragsmäßig stets zunimmt. Somit tritt die betragsmäßig größte Steigung auf der Landseite bei $x=4$ auf. Du musst somit den Betrag der Steigung an der Stelle $x=4$ berechnen, also den Betrag des Funktionswertes $g'(x=4)$.
$\blacktriangleright$ Betragsgrößte Steigung auf der Wasserseite
Bestimme zuerst die Koordinaten des Hochpunktes und somit die betragsgrößte Steigung auf der Wasserseite. Für einen Hochpunkt benötigst du die beiden folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\, g''(x_E)=0$
  • Hinreichendes Kriterium: $\, g'''(x_E)< 0$
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die ersten beiden Ableitungsfunktionen $g''$ und $g'''$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $g'(x)=0$ setzt und nach $x$ löst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $g''(x)$ einsetzt.
  4. Berechne den Funktionswert von $g$ an dem Hochpunkt.
1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} g'(x)&=& -\dfrac{4}{50} \left(x^3-3x^2 \right) \\[10pt] g''(x)&=& -\dfrac{12}{50} \left(x^2-2x \right) \\[10pt] g'''(x)&=& -\dfrac{12}{50} \left(2x-2 \right) \\[5pt] &=& -\dfrac{24}{50} \left(x-1 \right) \end{array}$
$g''(x)= \dotsc$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Durch Gleichsetzen von $f'(x)$ mit Null, erhältst du mögliche Extremstellen:
$\begin{array}[t]{rll} g''(x)&=& 0 \\[5pt] -\dfrac{12}{50} \left(x^2-2x \right) &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \left(-\dfrac{50}{12}\right) \\[5pt] x^2-2x&=& 0 \\[5pt] x \cdot (x-2)&=& 0 \\[5pt] x_{1}&=& 0 \\[5pt] x_2&=& 2 \\[5pt] \end{array}$
$x_{1,2}= \dotsc$
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
Setze die jeweiligen Lösungen in den Funktionsterm von $g''(x)$ und überprüfe das hinreichende Kriterium. Somit folgt:
$\begin{array}[t]{rll} g''(x)&=& -\dfrac{24}{50} ( x-1 ) \\[5pt] g'''(x_1=0)&=& -\dfrac{24}{50} ( 0-1 ) \\[5pt] &=& \dfrac{24}{50} \quad > 0\\[5pt] \end{array}$
$g'''(0)= \dfrac{24}{50}$
$\begin{array}[t]{rll} g''(x_3=2)&=& -\dfrac{24}{50} ( 2-1 ) \\[5pt] &=& -\dfrac{24}{50} \cdot 3 \\[5pt] &=& -\dfrac{36}{50} \quad < 0 \\[5pt] \end{array}$
$g''(2)= -\dfrac{36}{50}$
Dadurch hast du gezeigt, dass der Graph der Funktion $g '$ bei $x=2$ einen Hochpunkt besitzt.
4. Schritt: Funktionswerte berechnen
Berechne den Funktionswert des Hochpunktes, indem du $x=2$ in den gegebenen Funktionsterm einsetzt. Dadurch folgt:
$\begin{array}[t]{rll} g'(x)&=& -\dfrac{4}{50} \left(x^3-3x^2 \right) \\[5pt] g'(x=2)&=& -\dfrac{4}{50} \left(2^3-3\cdot 2^2 \right) \\[5pt] &=& \dfrac{8}{25} \\[5pt] \end{array}$
$g'(2)=\dfrac{8}{25}$
Die betragsgrößte Steigung auf der Wasserseite beträgt somit $\dfrac{8}{25}$.
$\blacktriangleright$ Betragsgrößte Steigung auf der Landseite
Du sollst außerdem noch die betragsgrößte Steigung auf der Landseite berechnen. Diese Steigung tritt bei $x=4$ auf. Somit gilt:
$\begin{array}[t]{rll} \big| g'(x) \big|&=&\big| -\dfrac{4}{50} \left(x^3-3x^2 \right) \big| \\[5pt] \big|g'(x=4) \big|&=& \big| -\dfrac{4}{50} \left(4^3-3\cdot 4^2 \right) \big| \\[5pt] &=&\big| -\dfrac{32}{25} \big| \\[5pt] &=&\dfrac{32}{25} \\[5pt] \end{array}$
$ \big| g'(x) \big|=\dfrac{32}{25}$
Der maximale Betrag der Steigung auf der Wasserseite beträgt $\dfrac{8}{25}$ und der maximale Betrag der Steigung auf der Landseite beträgt $\dfrac{32}{25}$. Somit ist der maximale Betrag der Steigung auf der Landseite größer als auf der Wasserseite.
2.3
$\blacktriangleright$Fläche des Deichquerschnitts bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du den Flächeninhalt des Deichquerschnitts in der Einheit $\text{m}^2$ bestimmen. Hierzu sollst du eine Stammfunktion angeben. Du hast den Funktionsterm der Funktion $g$ mit $g(x)=-\dfrac{1}{50} \left(x^4-4x^3\right)$ gegeben. Zuerst sollst du durch Integration eine Stammfunktion bestimmen. Die gesuchte Fläche kannst du anschließend mit dem Hauptsatz der Integralrechnung und den Intervallgrenzen, als Grenzen des Integrals, berechnen.
Der Hauptsatz der Integralrechnung lautet:
$\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \; \mathrm dx= F(b) - F(a) $
$\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\; \mathrm dx= F(b) - F(a) $
Die Stammfunktion $G(x)$ lässt sich folgendermaßen berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=& -\dfrac{1}{50} \left(x^4-4x^3\right)\\[5pt] G(x)&=& -\dfrac{1}{50} \left(\frac{1}{5} \cdot x^5- x^4\right)\\[5pt] &=& -\dfrac{1}{250} \left( x^5- 5x^4\right)\\[5pt] \end{array}$
$G(x)= \dotsc$
Mit dem Hauptsatz der Integralrechnung und den Intervallgrenzen des Intervalls $[0;4]$ für die gesuchte Fläche $A$:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& \displaystyle\int_{0}^{4} g(x) \; \mathrm dx \\[5pt] &=& G(4) - G(0)\\[5pt] &=& -\dfrac{1}{250} \left( 4^5- 5\cdot 4^4\right) -\dfrac{1}{250} \left( 0^5- 5\cdot 0^4\right)\\[5pt] &=& \dfrac{128}{125} \text{ FE}\\[5pt] &=& 1,024 \text{ FE}\\[5pt] &=& 102,4 \text{ m}^2\\[5pt] \end{array}$
$A=102,4 \text{ m}^2$
Somit besitzt der Deichquerschnitt einen Flächeninhalt von $102,4 \text{ m}^2$.
$\blacktriangleright$Fläche des Dreiecksquerschnittes bestimmen
Zum Vergleich sollst du den Flächeninhalt eines dreieckigen Profils mit den Eckpunkten $(0 \mid 0)$, $(4 \mid 0)$ und $(3 \mid 0,54)$ bestimmen. An den Koordinaten kannst du erkennen, dass die Eckpunkte $(0 \mid 0)$ und $(4 \mid 0)$ auf der $x$-Achse liegen. Der Eckpunkt $(3 \mid 0,54)$ liegt stattdessen oberhalb der $x$-Achse.
Für den Flächeninhalt eines Dreiecks gilt folgende Formel:
$A_D=\dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h_g$
$A_D=\dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h_g$
Hierbei gibt $g$ die Länge der Grundseite an und $h_g$ die Länge der Höhe, welche senkrecht auf der Grundseite steht. Wähle die Seite, welche durch die Punkte $(0 \mid 0)$ und $(4 \mid 0)$ begrenzt wird als Grundseite. Da die Grundseite auf der $x$-Achse liegt und der Eckpunkt $(3 \mid 0,54)$ oberhalb der $x$-Achse liegt entspricht $h_g$ exakt dem Wert der $y$-Koordinate des Eckpunktes $(3 \mid 0,54)$. Somit folgt für den Flächeninhalt des Dreiecks:
$\begin{array}[t]{rll} A_D&=& \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h_g \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2} \cdot (4-0) \cdot 0,54\\[5pt] &=& 1,08 \text{ FE}\\[5pt] &=& 108 \text{ m}^2\\[5pt] \end{array}$
$A_D= 108 \text{ m}^2$
Der Dreiecksquerschnitt besitzt einen Flächeninhalt von $108 \text{ m}^2$ und der Flächeninhalt liegt somit etwa im Bereich des Deichquerschnittes.
#integral
Bildnachweise [nach oben]
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