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Aufgabe 2 - Analytische Geometrie

Aufgaben
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Die durch das Abschrägen entstandene dreieckige Seitenfläche hat die Eckpunkte:
$\text{E}(6 \mid 4 \mid 8)$, $\text{F}(6 \mid 10 \mid 5)$ und $\text{G}(3 \mid 10 \mid 8)$.
Die Längeneinheit beträgt $1 \, \text{m}$.
1.
Die Dachfläche der Vorhalle, in der die Punkte $\text{A}´$, $\text{B}´$ und $\text{D}´$ liegen, hat eine Höhe von $8 \, \text{m}$ über dem Boden. Gib die Koordinaten der Eckpunkte $\text{A}´$, $\text{B}´$, $\text{C}´$ und $\text{D}´$ des Quaders ohne abgeschrägte Ecken an.
#quader
2.
Bestimme eine Gleichung der Ebene $e$, in der das Dreieck $\text{EFG}$ liegt, in Parameter- oder Koordinatenform.
(Zur Kontrolle und weiteren Verwendung $e: 2x_1 + x_2 + 2x_3 =32$)
#parameterform#ebenengleichung#koordinatenform
3.
Im Punkt $\text{S}(5 \mid 8 \mid 7)$ des Dreiecks $\text{EFG}$ wird ein Laser installiert, dessen Lichtstrahl senkrecht zur Dreiecksfläche verläuft und auf die Seitenfläche $\text{ADD´A´}$ der Vorhalle fällt.
3.1
Bestimme die Koordinaten des Auftreffpunktes $\text{P}$.
#koordinaten
3.2
Aufgabe 2 - Analytische Geometrie
Abb. 2: (nicht maßstabsgerecht)
Aufgabe 2 - Analytische Geometrie
Abb. 2: (nicht maßstabsgerecht)
#winkel
3.3
Um die Belüftungsanlage der Vorhalle zu planen, wird das Volumen der Halle benötigt. Berechne das Volumen in $\text{m}^2$.
#volumen
Bildnachweise [nach oben]
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© 2016 – SchulLV.
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1.
$\blacktriangleright$Koordinaten der Eckpunkte angeben
In dieser Teilaufgabe sollst du die Koordinaten der Eckpunkte $A'$, $B'$, $C'$ und $D'$ des Quaders ohne abgeschrägte Ecke angeben. Du weißt hierbei, dass sich die Eckpunkte $A'$, $B'$, $C'$ und $D'$ auf einer Höhe von $8 \text{ m}$ über dem Erdboden befinden. Du hast gegeben, dass sich der Boden der Vorhalle in der $x_1-x_2$-Koordinatenebene befindet.
Der Boden der Vorhalle besitzt die vier Eckpunkte $A(0 \mid 0\mid 0)$, $B(6 \mid 0\mid 0)$, $C(6 \mid 10\mid 0)$ und $D(0 \mid 10\mid 0)$. Du sollst nun die Koordinaten der Eckpunkte $A'$, $B'$, $C'$ und $D'$ angeben. Diese Eckpunkte entstehen durch Verschiebung in Richtung der $x_3$-Koordinatenachse, da es sich hierbei um einen Quader handelt und die Seiten jeweils senkrecht aufeinander stehen. Gib somit die Koordinaten der Eckpunkte $A'$, $B'$, $C'$ und $D'$ durch Verschiebung der Punkte $A$, $B$, $C$ und $D$ an.
2.
$\blacktriangleright$Gleichung der Ebene bestimmen
Du sollst die Gleichung der Ebene $e$ aufstellen, in der das Dreieck $EFG$ liegt. Diese sollst du in Parameter-oder Koordinatenform aufstellen. Hierfür hast du die Punkte mit den Koordinaten $E(6 \mid 4 \mid 8)$, $F(6 \mid 10 \mid 5)$ und $G(3 \mid 10 \mid 8)$ gegeben.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Gleichung in Parameterform
Für die Gleichung der Ebene $e$ in Parameterform benötigst du zwei Richtungsvektoren und einen Stützvektor. Als Stützvektor kannst du hierbei jeden beliebigen Ortsvektor zu einem Punkt auf der Ebene benutzen. Wähle hierbei beispielsweise $\overrightarrow{0E}$.
Anschließend musst du zwei Richtungsvektoren bestimmen, welche auf der Ebene liegen. Bestimme beispielsweise die Richtungsvektoren $\overrightarrow{EF}$ und $\overrightarrow{EG}$.
Daraus ergibt sich folgende Parametergleichung für die Ebene $e$ mit den Paramtern $s$ und $t$:
$\begin{array}[t]{rll} e\,:\; \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{0E}+s\cdot \overrightarrow{EF}+t\cdot \overrightarrow{EG}\\[5pt] \end{array}$
$e\,:\; \overrightarrow{x}= \overrightarrow{0E}+s\cdot \overrightarrow{EF}+t\cdot \overrightarrow{EG}$
$e\,:\; \overrightarrow{x}= \dotsc$
Gehe somit wie folgt vor:
  1. Berechne die Richtungsvektoren
  2. Stelle die Ebenengleichung auf
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Gleichung in Koordinatenform
Eine Ebenengleichung in Koordinatenform sieht im Allgemeinen folgendermaßen aus:
$e: n_1\cdot x_1 +n_2\cdot x_2 +n_3\cdot x_3 = a$
$e: n_1\cdot x_1 +n_2\cdot x_2 +n_3\cdot x_3 = a$
$e: n_1\cdot x_1 + \dotsc$
Dabei ist $\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\end{pmatrix}$ ein Normalenvektor zur Ebene $e$, also ein Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht. Ein solcher Normalenvektor ergibt sich aus dem Kreuzprodukt zweier Vektoren, die in der Ebene liegen. Der Parameter $a$ kann anschließend über eine Punktprobe bestimmt werden.
Gehe also wie folgt vor:
  1. Berechne einen Normalenvektor von $e$ mit Hilfe des Kreuzprodukts zweier Richtungsvektoren der Punkte $E$, $F$ und $G$
  2. Führe eine Punktprobe durch, um $a$ zu bestimmen
  3. Stelle die Ebenengleichung auf
3.1
$\blacktriangleright$Koordinaten des Auftreffpunktes bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Koordinaten des Auftreffpunktes $P$ bestimmen. Hierfür hast du gegeben, dass im Punkt $S(5 \mid 8 \mid 7)$ des Dreiecks $EFG$ ein Laser installiert wird und dessen Lichtstrahl senkrecht zur Dreiecksfläche verläuft und auf die Seitenfläche $ADD'A'$ der Vorhalle fällt.
In der Aufgabe zuvor hast du bereits eine Ebene bestimmt, in der das Dreieck $EFG$ liegt. Hierfür ist die Ebene in Koordinatenform folgendermaßen gegeben:
$e: 2 \cdot x_1 +x_2 +2\cdot x_3= 32$
Daraus kannst du den Normalenvektor ablesen, der senkrecht zur Ebene steht. Es gilt für die allgemeine Gleichung der einer Ebene in Koordinatenform:
$e: n_1 \cdot x_1 +n_2 \cdot x_2 +n_3 \cdot x_3= a$
$e: n_1 \cdot x_1 +\dotsc$
Wobei der Normalenvektor folgendermaßen gegeben ist:
$n=\pmatrix{n_1 \\ n_2 \\ n_3}$
Den Lichtstrahl kannst du als Gerade beschreiben. Der Normalenvektor entspricht hierbei dem Richtungsvektor des Lichtstrahls und da der Lichtstrahl im Punkt $S(5 \mid 8 \mid 7)$ beginnt, kannst du den Ortsvektor zu dem Punkt $S$ als Stützvektor für die Gerade wählen.
Desweiteren sollst du den Schnittpunkt des Lichtstrahls mit der Seitenfläche $ADD'A'$ berechnen. Die Seitenfläche $ADD'A'$ liegt in der $x_2-x_3$-Ebene und somit besitzt jeder Punkt auf der Seitenfläche $ADD'A'$ als $x_1$ Koordinaten eine $0$. Den Auftreffpunkt $P$ kannst du somit folgendermaßen schreiben:
$P(0 \mid p_2 \mid p_3)$
Du kannst nun die Geradengleichung mit dem Auftreffpunkt $P$ gleichsetzen und die unbekannten Parameter bestimmen. Überprüfe anschließend, ob der Punkt $P$ mit den berechneten Koordinaten auf der Seitenfläche $ADD'A'$ liegt.
Gehe somit wie folgt vor:
  1. Stelle die Geradengleichung auf
  2. Bestimme den Auftreffpunkt $P$
  3. Überprüfe die Lage des Auftreffpunktes $P$
3.2
$\blacktriangleright$Winkelmaß begründen und berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du rechnerisch zeigen, dass die Winkelmaße der Winkel, die die beiden Lichtstrahlen mit dieser Senkrechten bilden gleich groß sind und anschließend dieses Winkelmaß berechnen. Hierzu hast du gegeben, dass ein Teil des Laserlichts im Punkt $P(0 \mid 5,5 \mid 2)$ reflektiert wird und auf den Boden der Halle im Punkt $P'(2 \mid 4,5 \mid 0)$ trifft.
Der Schnittwinkel zwischen zwei Geraden lässt sich mit der folgenden Formel berechnen:
$\cos\,\alpha=\dfrac{\left|\vec{u}\cdot\vec{v}\right|}{\left|\vec{u}\right|\cdot \left|\vec{v}\right|}$
$\cos\,\alpha=\dfrac{\left|\vec{u}\cdot\vec{v}\right|}{\left|\vec{u}\right|\cdot \left|\vec{v}\right|}$
Hierbei bezeichnen $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ die Richtungsvektoren der beiden Geraden.
In der Aufgabe zuvor hast du bereits eine Geradengleichung für den Lichtstrahl zum Punkt $P$ bestimmt. Daraus kannst du den Richtungsvektor des einfallenden Lichtstrahls bestimmen.
Du sollst nun den Richtungsvektor der Senkrechten bestimmen. Hierbei weißt du, dass der Punkt $P$ in der $x_2-x_3$-Koordinatenebene liegt. Das bedeutet, dass die Senkrechte hierbei auch senkrecht zur $x_2-x_3$-Koordinatenebene liegen muss.
Daraus folgt, dass die Senkrechte senkrecht zur $x_2$-Koordinatenachse und senkrecht zur $x_3$-Koordinatenachse verläuft. Überlege dir in welche Richtung der Normalenvektor somit verläuft und wie du den Normalenvektor aufstellen kannst.
Anschließend kannst du den Richtungsvektor des reflektierten Laserlichts durch die Punkte $P(0 \mid 5,5 \mid 2)$ und $P'(2 \mid 4,5 \mid 0)$ bestimmen.
Daraus kannst du die jeweiligen Formeln für die Schnittwinkel einsetzen und die Winkel miteinander vergleichen und berechnen.
Gehe somit wie folgt vor:
  1. Normalenvektor bestimmen
  2. Richtungsvektor des reflektierten Lichtstrahls berechnen
  3. Winkel vergleichen
  4. Winkelmaß bestimmen
3.3
$\blacktriangleright$Volumen der Vorhalle berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du das Volumen der Vorhalle berechnen. Hierbei weißt du, dass die Vorhalle die Form eines Quaders mit abgeschrägter Ecke besitzt. Du kannst somit zuerst das Volumen des kompletten Quaders $V_{\text{Q}}$ berechnen und anschließend das Volumen der abgeschrägten Ecke $V_{\text{Ecke}}$ davon abziehen. Somit ergibt sich folgende Formel zur Berechnung des Volumens $V$ der Vorhalle:
$V=V_{\text{Q}} - V_{\text{Ecke}}$
$V=V_{\text{Q}} - V_{\text{Ecke}}$
Das Volumen eines Quaders berechnet sich mit folgender Formel:
$V_\text{Q}=G_{\text{Q}}\cdot h_{\text{Q}}$
$V_\text{Q}=G_{\text{Q}} \cdot h_{\text{Q}}$
Die abgeschrägte Ecke besitzt die Form einer Dreieckspyramide mit den Eckpunkten $EGC'F$, wobei die Grundseite ein rechtwinkliges Dreieck ist und durch die Eckpunkte $EC'G$ begrenzt wird. Für das Volumen einer Dreieckspyramide gilt folgende Formel:
$V_\text{DP}=\dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h$
$V_\text{DP}=\dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h$
Alternativ kannst du das Volumen des Dreiecksprismas auch durch die Verschiebungsvektoren der Eckpunkte berechnen. Für das Volumen gilt somit folgende Formel:
$V_\text{DP}=\dfrac{1}{6} \left| \left(\overrightarrow{EG} \times \overrightarrow{EF} \right) \cdot \overrightarrow{EC'} \right|$
$V_\text{DP}=\dfrac{1}{6} \left| \left(\overrightarrow{EG} \times \overrightarrow{EF} \right) \cdot \overrightarrow{EC'} \right|$
$V_\text{DP}=\dotsc$
Du kannst nun die jeweiligen Volumen bestimmen und anschließend das Gesamtvolumen der Vorhalle berechnen. Gehe somit wiefolgt vor:
  1. Volumen des Quaders bestimmen
  2. Volumen der abgeschrägten Ecke bestimmen
  3. Gesamtvolumen der Vorhalle berechnen
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Lösungen
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1.
$\blacktriangleright$Koordinaten der Eckpunkte angeben
In dieser Teilaufgabe sollst du die Koordinaten der Eckpunkte $A'$, $B'$, $C'$ und $D'$ des Quaders ohne abgeschrägte Ecke angeben. Du weißt hierbei, dass sich die Eckpunkte $A'$, $B'$, $C'$ und $D'$ auf einer Höhe von $8 \text{ m}$ über dem Erdboden befinden. Du hast gegeben, dass sich der Boden der Vorhalle in der $x_1-x_2$-Koordinatenebene befindet.
Der Boden der Vorhalle besitzt die vier Eckpunkte $A(0 \mid 0\mid 0)$, $B(6 \mid 0\mid 0)$, $C(6 \mid 10\mid 0)$ und $D(0 \mid 10\mid 0)$. Du sollst nun die Koordinaten der Eckpunkte $A'$, $B'$, $C'$ und $D'$ angeben. Diese Eckpunkte entstehen durch Verschiebung in Richtung der $x_3$-Koordinatenachse, da es sich hierbei um einen Quader handelt und die Seiten jeweils senkrecht aufeinander stehen. Gib somit die Koordinaten der Eckpunkte $A'$, $B'$, $C'$ und $D'$ durch Verschiebung der Punkte $A$, $B$, $C$ und $D$ an.
Die Längeneinheit beträgt $1 \text{m}$. Da der Boden der Vorhalle in der $x_1-x_2$-Koordinatenebene liegt besitzt der Boden eine Höhe von $0 \text{ m}$. Somit entstehen die Eckpunkte $A'$, $B'$, $C'$ und $D'$ durch Verschiebung um $8$ Längeneinheiten in $y$-Richtung.
Dadurch folgen folgende Koordinaten der Eckpunkte $A'(0 \mid 0\mid 8)$, $B'(6 \mid 0\mid 8)$, $C'(6 \mid 10\mid 8)$ und $D'(0 \mid 10\mid 8)$.
2.
$\blacktriangleright$Gleichung der Ebene bestimmen
Du sollst die Gleichung der Ebene $e$ aufstellen, in der das Dreieck $EFG$ liegt. Diese sollst du in Parameter-oder Koordinatenform aufstellen. Hierfür hast du die Punkte mit den Koordinaten $E(6 \mid 4 \mid 8)$, $F(6 \mid 10 \mid 5)$ und $G(3 \mid 10 \mid 8)$ gegeben.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Gleichung in Parameterform
Für die Gleichung der Ebene $e$ in Parameterform benötigst du zwei Richtungsvektoren und einen Stützvektor. Als Stützvektor kannst du hierbei jeden beliebigen Ortsvektor zu einem Punkt auf der Ebene benutzen. Wähle hierbei beispielsweise $\overrightarrow{0E}$.
Anschließend musst du zwei Richtungsvektoren bestimmen, welche auf der Ebene liegen. Bestimme beispielsweise die Richtungsvektoren $\overrightarrow{EF}$ und $\overrightarrow{EG}$.
Daraus ergibt sich folgende Parametergleichung für die Ebene $e$ mit den Paramtern $s$ und $t$:
$\begin{array}[t]{rll} e\,:\; \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{0E}+s\cdot \overrightarrow{EF}+t\cdot \overrightarrow{EG}\\[5pt] \end{array}$
$e\,:\; \overrightarrow{x}= \overrightarrow{0E}+s\cdot \overrightarrow{EF}+t\cdot \overrightarrow{EG}$
$e\,:\; \overrightarrow{x}= \dotsc$
Gehe somit wie folgt vor:
  1. Berechne die Richtungsvektoren
  2. Stelle die Ebenengleichung auf
1. Schritt: Richtungsvektoren berechnen
Du kannst beispielsweise die Richtungsvektoren $\overrightarrow{EF}$ und $\overrightarrow{EG}$ berechnen. Einen Richtungsvektor zwischen zwei Punkten $E$ und $F$ kannst du mit den jeweiligen Ortsvekotren folgendermaßen berechnen:
$\overrightarrow{EF}= \overrightarrow{0F} - \overrightarrow{0E}$
$\overrightarrow{EF}= \overrightarrow{0F} - \overrightarrow{0E}$
Daraus folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{EF}&=& \overrightarrow{0F} - \overrightarrow{0E} \\[5pt] &=& \pmatrix{6 \\ 10 \\ 5}-\pmatrix{6 \\ 4 \\ 8} \\[5pt] &=& \pmatrix{0 \\ 6 \\ -3} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{EG}&=& \overrightarrow{0G} - \overrightarrow{0E} \\[5pt] &=& \pmatrix{3 \\ 10 \\ 8}-\pmatrix{6 \\ 4 \\ 8} \\[5pt] &=& \pmatrix{-3 \\ 6 \\ 0} \end{array}$
2. Schritt: Ebenengleichung aufstellen
Somit ergibt sich folgende Ebenengleichung in Parameterform:
$\begin{array}[t]{rll} e\,:\; \overrightarrow{x}&=& \pmatrix{6 \\ 4 \\ 8}+s\cdot \pmatrix{0 \\ 6 \\ -3}+t\cdot \pmatrix{-3 \\ 6 \\ 0}\\[5pt] \end{array}$
$e\,:\; \overrightarrow{x}= \dotsc$
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Gleichung in Koordinatenform
Eine Ebenengleichung in Koordinatenform sieht im Allgemeinen folgendermaßen aus:
$e: n_1\cdot x_1 +n_2\cdot x_2 +n_3\cdot x_3 = a$
$e: n_1\cdot x_1 +n_2\cdot x_2 +n_3\cdot x_3 = a$
$e: n_1\cdot x_1 + \dotsc$
Dabei ist $\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\end{pmatrix}$ ein Normalenvektor zur Ebene $e$, also ein Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht. Ein solcher Normalenvektor ergibt sich aus dem Kreuzprodukt zweier Vektoren, die in der Ebene liegen. Der Parameter $a$ kann anschließend über eine Punktprobe bestimmt werden.
Gehe also wie folgt vor:
  1. Berechne einen Normalenvektor von $e$ mit Hilfe des Kreuzprodukts zweier Richtungsvektoren der Punkte $E$, $F$ und $G$
  2. Führe eine Punktprobe durch, um $a$ zu bestimmen
  3. Stelle die Ebenengleichung auf
1. Schritt: Bestimmen des Normalenvektors
Bestimme zwei Richtungsvektoren, welche in der Ebene $e$ liegen. Die Richtungsvektoren hast du bereits in dem Lösungsweg $A$ bestimmt. Es gilt hierbei:
$\overrightarrow{EF} =\pmatrix{0 \\ 6 \\ -3} $
$\overrightarrow{EG} = \pmatrix{-3 \\ 6 \\ 0}$
Berechne nun $\overrightarrow{n}$ mit Hilfe des Kreuzprodukts:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n}&=&\overrightarrow{EF}\times \overrightarrow{EG} \\[5pt] &=&\pmatrix{0 \\ 6 \\ -3} \times \pmatrix{-3 \\ 6 \\ 2} \\[5pt] &=&\pmatrix{ -(-18) \\ 9 \\ -(-18)}\\[5pt] &=&\pmatrix{18 \\ 9 \\ 18}\\[5pt] \end{array}$
Somit lautet die Ebenengleichung
$e: 18\cdot x_1 + 9\cdot x_2 +18\cdot x_3 = a$
$e: 18\cdot x_1 + \dotsc$
2. Schritt: Punktprobe
Setze die Koordinaten eines Punktes der Ebene in die Ebenengleichung ein und berechne den unbekannten Parameter $a$. Wähle dazu beispielsweise $E(6\mid 4 \mid 8)$. Daraus folgt für $a$:
$\begin{array}[t]{rll} 18\cdot x_1 + 9\cdot x_2 +18\cdot x_3&=&a \\[5pt] 18\cdot 6 + 9\cdot 4 +18\cdot 8&=&a \\[5pt] 108 + 36 +144 &=&a\\[5pt] a&=&288\\[5pt] \end{array}$
$a=288$
3. Schritt: Ebenengleichung aufstellen
Die Ebenengleichung in Koordinatenform lautet somit:
$e: 18\cdot x_1 +9\cdot x_2 +18\cdot x_3= 288$
$e: 18\cdot x_1+ \dotsc$
Diese Gleichung kannst du beliebig durch Zahlen ungleich $0$ teilen und du erhältst die identische Ebene. Teile hier die komplette Ebenengleichung durch $9$ und du erhältst:
$e: 2 \cdot x_1 +x_2 +2\cdot x_3= 32$
$e: 2 \cdot x_1 +\dotsc$
#normalenvektor#richtungsvektor
3.1
$\blacktriangleright$Koordinaten des Auftreffpunktes bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Koordinaten des Auftreffpunktes $P$ bestimmen. Hierfür hast du gegeben, dass im Punkt $S(5 \mid 8 \mid 7)$ des Dreiecks $EFG$ ein Laser installiert wird und dessen Lichtstrahl senkrecht zur Dreiecksfläche verläuft und auf die Seitenfläche $ADD'A'$ der Vorhalle fällt.
In der Aufgabe zuvor hast du bereits eine Ebene bestimmt, in der das Dreieck $EFG$ liegt. Hierfür ist die Ebene in Koordinatenform folgendermaßen gegeben:
$e: 2 \cdot x_1 +x_2 +2\cdot x_3= 32$
Daraus kannst du den Normalenvektor ablesen, der senkrecht zur Ebene steht. Es gilt für die allgemeine Gleichung der einer Ebene in Koordinatenform:
$e: n_1 \cdot x_1 +n_2 \cdot x_2 +n_3 \cdot x_3= a$
$e: n_1 \cdot x_1 +\dotsc$
Wobei der Normalenvektor folgendermaßen gegeben ist:
$n=\pmatrix{n_1 \\ n_2 \\ n_3}$
Den Lichtstrahl kannst du als Gerade beschreiben. Der Normalenvektor entspricht hierbei dem Richtungsvektor des Lichtstrahls und da der Lichtstrahl im Punkt $S(5 \mid 8 \mid 7)$ beginnt, kannst du den Ortsvektor zu dem Punkt $S$ als Stützvektor für die Gerade wählen.
Desweiteren sollst du den Schnittpunkt des Lichtstrahls mit der Seitenfläche $ADD'A'$ berechnen. Die Seitenfläche $ADD'A'$ liegt in der $x_2-x_3$-Ebene und somit besitzt jeder Punkt auf der Seitenfläche $ADD'A'$ als $x_1$ Koordinaten eine $0$. Den Auftreffpunkt $P$ kannst du somit folgendermaßen schreiben:
$P(0 \mid p_2 \mid p_3)$
Du kannst nun die Geradengleichung mit dem Auftreffpunkt $P$ gleichsetzen und die unbekannten Parameter bestimmen. Überprüfe anschließend, ob der Punkt $P$ mit den berechneten Koordinaten auf der Seitenfläche $ADD'A'$ liegt.
Gehe somit wie folgt vor:
  1. Stelle die Geradengleichung auf
  2. Bestimme den Auftreffpunkt $P$
  3. Überprüfe die Lage des Auftreffpunktes $P$
1. Schritt: Geradengleichung aufstellen
Der Richtungsvektor des Lichtstrahls ist durch den Normalenvektor der Ebene $e$ gegeben. Der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ lautet:
$\overrightarrow{n}=\pmatrix{2 \\ 1 \\ 2}$
Da der Lichtstrahl im Punkt $S(5 \mid 8 \mid 7)$ beginnt, kannst du den Ortsvektor zu dem Punkt $S$ als Stützvektor für die Gerade wählen. Die Geradengleichung in Parameterform mit dem Parameter $k$ lautet damit:
$\begin{array}[t]{rll} l\,:\; \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{0S}+k\cdot \overrightarrow{n}\\[5pt] l\,:\; \overrightarrow{x}&=& \pmatrix{5 \\ 8 \\ 7}+k\cdot \pmatrix{2 \\ 1 \\ 2}\\[5pt] \end{array}$
$l\,:\; \overrightarrow{x}= \dotsc$
2. Schritt: Auftreffpunkt $\boldsymbol{P}$ bestimmen
Setze die Geradengleichung mit dem Punkt $P(0 \mid p_2 \mid p_3)$ gleich und bestimme die unbekannten Parameter. Somit folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{5 \\ 8 \\ 7}+k\cdot \pmatrix{2 \\ 1 \\ 2}&=&\pmatrix{0 \\ p_2 \\ p_3} & \quad \big| \, - \pmatrix{5 \\ 8 \\ 7}\\[5pt] k\cdot \pmatrix{2 \\ 1 \\ 2}&=&\pmatrix{-5 \\ p_2-8 \\ p_3-7} \\[5pt] \end{array}$
$k\cdot \pmatrix{2 \\ 1 \\ 2}= \dotsc$
Daraus ergeben sich folgende Gleichungen:
$\begin{array}{} \text{I}\quad& 2 \cdot k &=& -5\\ \text{II}\quad& k&=& p_2-8\\ \text{II}\quad& 2 \cdot k&=& p_3 -7\\ \end{array}$
Somit folgt aus der ersten Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} 2 \cdot k&=& -5 & \quad \mid \, :2\\[5pt] k &=& - \dfrac{5}{2} \\[5pt] \end{array}$
Mit $k=- \dfrac{5}{2}$ folgt für die zweite und die dritte Gleichung entsprechend:
$\begin{array}[t]{rll} k&=& p_2 -8 \\[5pt] - \dfrac{5}{2} &=& p_2 -8 & \quad \mid \, +8\\[5pt] p_2 &=& 5,5 \\[5pt] \end{array}$
$p_2=5,5$
$\begin{array}[t]{rll} 2 \cdot k&=& p_3 -7 \\[5pt] 2 \cdot \left(- \dfrac{5}{2}\right) &=& p_2 -8 & \quad \mid \, +8\\[5pt] p_3 &=& 3 \\[5pt] \end{array}$
$p_3 = 3 $
Daraus folgt für den Auftreffpunkt $P\left(0 \mid 5,5 \mid 3\right)$.
3. Schritt: Lage des Auftreffpunktes $\boldsymbol{P}$ überprüfen
Du sollst überprüfen, ob der berechnete Auftreffpunkt auf die Seitenfläche $ADD'A'$ fällt. Die Seitenfläche $ADD'A'$ ist durch die Eckpunkte $A(0 \mid 0\mid 0)$, $D(0 \mid 10 \mid 0)$, $D'(0 \mid 10 \mid 8)$ und $A'(0 \mid 0 \mid 8)$ begrenzt.
Der Auftreffpunkt $P(0 \mid 5,5 \mid 3)$ liegt auch in der $x_2-x_3$-Koordinatenebene und befindet sich mit den Koordinaten innerhalb der Eckpunkte.
#schnittpunkt#normalenvektor
3.2
$\blacktriangleright$Winkelmaß begründen und berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du rechnerisch zeigen, dass die Winkelmaße der Winkel, die die beiden Lichtstrahlen mit dieser Senkrechten bilden gleich groß sind und anschließend dieses Winkelmaß berechnen. Hierzu hast du gegeben, dass ein Teil des Laserlichts im Punkt $P(0 \mid 5,5 \mid 2)$ reflektiert wird und auf den Boden der Halle im Punkt $P'(2 \mid 4,5 \mid 0)$ trifft.
Der Schnittwinkel zwischen zwei Geraden lässt sich mit der folgenden Formel berechnen:
$\cos\,\alpha=\dfrac{\left|\vec{u}\cdot\vec{v}\right|}{\left|\vec{u}\right|\cdot \left|\vec{v}\right|}$
$\cos\,\alpha=\dfrac{\left|\vec{u}\cdot\vec{v}\right|}{\left|\vec{u}\right|\cdot \left|\vec{v}\right|}$
Hierbei bezeichnen $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ die Richtungsvektoren der beiden Geraden.
In der Aufgabe zuvor hast du bereits eine Geradengleichung für den Lichtstrahl zum Punkt $P$ bestimmt. Daraus kannst du den Richtungsvektor des einfallenden Lichtstrahls bestimmen.
Du sollst nun den Richtungsvektor der Senkrechten bestimmen. Hierbei weißt du, dass der Punkt $P$ in der $x_2-x_3$-Koordinatenebene liegt. Das bedeutet, dass die Senkrechte hierbei auch senkrecht zur $x_2-x_3$-Koordinatenebene liegen muss.
Daraus folgt, dass die Senkrechte senkrecht zur $x_2$-Koordinatenachse und senkrecht zur $x_3$-Koordinatenachse verläuft. Überlege dir in welche Richtung der Normalenvektor somit verläuft und wie du den Normalenvektor aufstellen kannst.
Anschließend kannst du den Richtungsvektor des reflektierten Laserlichts durch die Punkte $P(0 \mid 5,5 \mid 2)$ und $P'(2 \mid 4,5 \mid 0)$ bestimmen.
Daraus kannst du die jeweiligen Formeln für die Schnittwinkel einsetzen und die Winkel miteinander vergleichen und berechnen.
Gehe somit wie folgt vor:
  1. Normalenvektor bestimmen
  2. Richtungsvektor des reflektierten Lichtstrahls berechnen
  3. Winkel vergleichen
  4. Winkelmaß bestimmen
1. Schritt: Normalenvektor bestimmen
Du weißt bereits, dass der Normalenvektor und somit der Richtungsvektor senkrecht zur $x_2$-Achse und senkrecht zur $x_3$-Achse verlaufen muss. Daraus folgt, dass der Normalenvektor entlang der $x_1$ Achse verlaufen muss und somit folgt für den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$:
$\overrightarrow{n}=\pmatrix{1 \\ 0 \\ 0}$
2. Schritt: Richtungsvektor des reflektierten Lichtstrahls berechnen
Du sollst den Richtungsvektor des reflektierten Lichtstrahls berechnen. Hierzu weißt du, dass der reflektierte Lichtstrahl durch die Punkte $P(0 \mid 5,5 \mid 2)$ und $P'(2 \mid 4,5 \mid 0)$ verläuft. Daraus folgt für den Richtungsvektor $\overrightarrow{r}$ des reflektierten Lichtstrahls:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{r}&=& \overrightarrow{0P'}-\overrightarrow{0P}\\[5pt] &=&\pmatrix{2 \\ 4,5 \\ 0} -\pmatrix{0 \\ 5,5 \\ 2} \\[5pt] &=&\pmatrix{2 \\ -1 \\ -2} \\[5pt] \end{array}$
$\overrightarrow{r}=\pmatrix{2 \\ -1 \\ -2}$
3. Schritt: Winkel vergleichen
Für den Winkel $\alpha$ zwischen der Senkrechten und dem einfallenden Lichtstrahl folgt entsprechend mit dem Richtungsvektor des einfallenden Lichtstrahls $\overrightarrow{e}=\pmatrix{2 \\ 1 \\ 2}$ und dem Normalenvektor $\overrightarrow{n}=\pmatrix{1 \\ 0 \\ 0}$:
$\begin{array}[t]{rll} \cos\,\alpha&=& \dfrac{\left|\vec{e}\cdot\vec{n}\right|}{\left|\vec{e}\right|\cdot \left|\vec{n}\right|}\\[5pt] &=&\dfrac{\left|\pmatrix{2 \\ 1 \\ 2} \cdot \pmatrix{1 \\ 0 \\ 0} \right|}{\left|\pmatrix{2 \\ 1 \\ 2}\right|\cdot \left|\pmatrix{1 \\ 0 \\ 0}\right|} \\[5pt] &=&\dfrac{\left|2 \right|}{ \sqrt{2^2+1^2+2^2} \cdot \sqrt{1^2+0^2+0^2} } \\[5pt] &=&\dfrac{2}{ \sqrt{9} \cdot \sqrt{1} } \\[5pt] &=&\dfrac{2}{3} \\[5pt] \end{array}$
$\cos\,\alpha=\dfrac{2}{3}$
Für den Winkel $\beta$ zwischen dem reflektiertem Lichtstrahl mit dem Richtungsvektor $\overrightarrow{r}=\pmatrix{2 \\ -1 \\ -2}$ und dem Normalenvektor $\overrightarrow{n}=\pmatrix{1 \\ 0 \\ 0}$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \cos\,\beta&=& \dfrac{\left|\vec{r}\cdot\vec{n}\right|}{\left|\vec{r}\right|\cdot \left|\vec{n}\right|}\\[5pt] &=&\dfrac{\left|\pmatrix{2 \\ -1 \\ -2} \cdot \pmatrix{1 \\ 0 \\ 0} \right|}{\left|\pmatrix{2 \\ -1 \\ -2}\right|\cdot \left|\pmatrix{1 \\ 0 \\ 0}\right|} \\[5pt] &=&\dfrac{\left|2 \right|}{ \sqrt{2^2+(-1)^2+(-2)^2} \cdot \sqrt{1^2+0^2+0^2} } \\[5pt] &=&\dfrac{2}{ \sqrt{9} \cdot \sqrt{1} } \\[5pt] &=&\dfrac{2}{3} \\[5pt] \end{array}$
$\cos\,\beta=\dfrac{2}{3} $
Damit hast du gezeigt, dass die beiden Winkel gleich groß sind.
3. Schritt: Winkelmaß bestimmen
Bestimme das Winkelmaß des Winkels $\alpha$ wie folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \cos\,\alpha&=& \dfrac{2}{3} & \quad \scriptsize \mid \, \cos^{-1}\\[5pt] \alpha&=&\cos^{-1} \left(\dfrac{2}{3} \right)\\[5pt] \alpha&\approx& 48,19^{\circ}\\[5pt] \end{array}$
$\alpha \approx 48,19^{\circ}$
Somit beträgt das Winkelmaß etwa $48,19^{\circ}$.
#schnittwinkel
3.3
$\blacktriangleright$Volumen der Vorhalle berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du das Volumen der Vorhalle berechnen. Hierbei weißt du, dass die Vorhalle die Form eines Quaders mit abgeschrägter Ecke besitzt. Du kannst somit zuerst das Volumen des kompletten Quaders $V_{\text{Q}}$ berechnen und anschließend das Volumen der abgeschrägten Ecke $V_{\text{Ecke}}$ davon abziehen. Somit ergibt sich folgende Formel zur Berechnung des Volumens $V$ der Vorhalle:
$V=V_{\text{Q}} - V_{\text{Ecke}}$
$V=V_{\text{Q}} - V_{\text{Ecke}}$
Das Volumen eines Quaders berechnet sich mit folgender Formel:
$V_\text{Q}=G_{\text{Q}}\cdot h_{\text{Q}}$
$V_\text{Q}=G_{\text{Q}} \cdot h_{\text{Q}}$
Die abgeschrägte Ecke besitzt die Form einer Dreieckspyramide mit den Eckpunkten $EGC'F$, wobei die Grundseite ein rechtwinkliges Dreieck ist und durch die Eckpunkte $EC'G$ begrenzt wird. Für das Volumen einer Dreieckspyramide gilt folgende Formel:
$V_\text{DP}=\dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h$
$V_\text{DP}=\dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h$
Alternativ kannst du das Volumen des Dreiecksprismas auch durch die Verschiebungsvektoren der Eckpunkte berechnen. Für das Volumen gilt somit folgende Formel:
$V_\text{DP}=\dfrac{1}{6} \left| \left(\overrightarrow{EG} \times \overrightarrow{EF} \right) \cdot \overrightarrow{EC'} \right|$
$V_\text{DP}=\dfrac{1}{6} \left| \left(\overrightarrow{EG} \times \overrightarrow{EF} \right) \cdot \overrightarrow{EC'} \right|$
$V_\text{DP}=\dotsc$
Du kannst nun die jeweiligen Volumen bestimmen und anschließend das Gesamtvolumen der Vorhalle berechnen. Gehe somit wiefolgt vor:
  1. Volumen des Quaders bestimmen
  2. Volumen der abgeschrägten Ecke bestimmen
  3. Gesamtvolumen der Vorhalle berechnen
1. Schritt: Volumen des Quaders bestimmen
Du kannst zuerst das Volumen des Quaders bestimmen. An der Abbildung 1 kannst du ablesen, dass die $x_1$-Koordinate des Punktes $C$ die Breite des Quaders $b_{\text{Q}}=6 \text{ m}$ angibt und die $x_2$-Koordinate des Punktes $C$ die Länge des Quaders $l_{\text{Q}}=10 \text{ m}$ angibt. Die Höhe des Quaders $h_{\text{Q}}$ ist in der ersten Teilaufgabe mit $h_{\text{Q}}=8 \text{ m}$ gegeben.
Somit ergibt sich folgendes Quadervolumen:
$\begin{array}[t]{rll} V_{\text{Q}}&=& G\cdot h\\[5pt] &=& l_{\text{Q}} \cdot b_{\text{Q}} \cdot h_{\text{Q}} \\[5pt] &=& 10 \text{ m} \cdot 6 \text{ m} \cdot 8 \text{ m}\\[5pt] &=& 480 \text{ m}^3\\[5pt] \end{array}$
$V_{\text{Q}}=480 \text{ m}^3$
2. Schritt: Volumen der abgeschrägten Ecke bestimmen
Du sollst das Volumen der abgeschrägten Ecke bestimmen. Die Grundfläche der abgeschrägten Ecke besteht aus einem rechtwinkligen Dreieck mit den Eckpunkten $EC'G$.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Dreiecksprismavolumen ohne Vektoren
Die jeweiligen Seitenlängen kannst du durch die Koordinaten der einzelnen Punkte bestimmen. Es gilt aus der vorherigen Teilaufgabe $C'(6 \mid 10 \mid 8)$. Die Breite der Grundfläche des Dreiecks ist durch die Punkte $E$ und $C'$ begrenzt. Somit folgt $b_{\text{Ecke}}=6 \text{ m}$. Für die Länge der Grundfläche zwischen den Punkten $C'$ und $G$ gilt entsprechend $l_{\text{Ecke}}=3 \text{ m}$.
Du benötigst zur Berechnung des Volumens der abgeschrägten Ecke noch die Höhe der abgeschrägten Ecke. Diese ist von dem Punkt $F$ bis zum Punkt $C'$ gegeben. Daraus folgt für die Höhe $h_{\text{Ecke}}=3 \text{ m}$.
Somit ergibt sich folgendes Volumen der abgeschrägten Ecke:
$\begin{array}[t]{rll} V_{\text{Ecke}}&=& \dfrac{1}{3} G_{\text{Ecke}} \cdot h_{\text{Ecke}}\\[5pt] &=& \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot b_{\text{Ecke}} \cdot l_{\text{Ecke}} \cdot h_{\text{Ecke}} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{6} \cdot 6 \text{ m} \cdot 3 \text{ m} \cdot 3 \text{ m}\\[5pt] &=& 9 \text{ m}^3\\[5pt] \end{array}$
$V_{\text{Ecke}}= 9 \text{ m}^3$
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Dreiecksprismavolumen mit Vektoren
Du kannst das Volumen des Dreiecksprismas mit den jeweiligen Verschiebungsvektoren berechnen. Hierfür benötigst du die Verschiebungsvektoren $\overrightarrow{EG}$, $\overrightarrow{EF}$ und $\overrightarrow{EC'}$. Für die Richtungsvektoren gilt entsprechend mit $E(6 \mid 4 \mid 8)$, $F(6 \mid 10 \mid 5)$, $G(3 \mid 10 \mid 8)$ und $C'(6 \mid 10 \mid 8)$:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{EG}&=& \overrightarrow{0G} - \overrightarrow{0E}\\[5pt] &=& \pmatrix{3\\10 \\8 } - \pmatrix{6\\4 \\8 }\\[5pt] &=& \pmatrix{-3\\6 \\0 }\\[5pt] \end{array}$
$\overrightarrow{EG}= \pmatrix{-3\\6 \\0 }$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{EF}&=& \overrightarrow{0F} - \overrightarrow{0E}\\[5pt] &=& \pmatrix{6\\10 \\5 } - \pmatrix{6\\4 \\8 }\\[5pt] &=& \pmatrix{0\\6 \\-3 }\\[5pt] \end{array}$
$\overrightarrow{EF}=\pmatrix{0\\6 \\-3 }$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{EC'}&=& \overrightarrow{0C'} - \overrightarrow{0E}\\[5pt] &=& \pmatrix{6\\10 \\8 } - \pmatrix{6\\4 \\8 }\\[5pt] &=& \pmatrix{0\\6 \\0 }\\[5pt] \end{array}$
$\overrightarrow{EC'}= \pmatrix{0\\6 \\0 }$
Dadurch folgt für das Volumen der abgeschrägten Ecke:
$\begin{array}[t]{rll} V_{\text{Ecke}}&=& \dfrac{1}{6} \left| \left(\overrightarrow{EG} \times \overrightarrow{EF} \right) \cdot \overrightarrow{EC'} \right|\\[5pt] &=&\dfrac{1}{6} \left| \left(\pmatrix{-3\\6 \\0 } \times \pmatrix{0\\6 \\-3 } \right) \cdot \pmatrix{0\\6 \\0 } \right|\\[5pt] &=&\dfrac{1}{6} \left| \pmatrix{-18\\-9 \\-18 } \cdot \pmatrix{0\\6 \\0 } \right|\\[5pt] &=&\dfrac{1}{6} \left| -54 \right|\\[5pt] &=& 9 \left(\text{m}^3\right)\\[5pt] \end{array}$
$V_{\text{Ecke}}=9 \left(\text{ m}^3\right)$
3. Schritt: Gesamtvolumen der Vorhalle berechnen
Für das Gesamtvolumen der Vorhalle folgt:
$\begin{array}[t]{rll} V&=& V_{\text{Q}} - V_{\text{Ecke}}\\[5pt] &=& 480 \text{ m}^3 - 9 \text{ m}^3\\[5pt] &=& 471 \text{ m}^3\\[5pt] \end{array}$
$V=471 \text{ m}^3$
Somit gilt für das Volumen der Vorhalle $V=471 \text{ m}^3$.
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