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Aufgabe 3 - Wahrscheinlichkeitstheorie

Aufgaben
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1.
An der Fußball-Europameisterschaft in Frankreich (EM 2016) nehmen erstmals $24$ Mannschaften teil; jeweils $4$ Mannschaften spielen in der Vorrunde in einer von $6$ Gruppen. Innerhalb einer Gruppe spielt genau einmal „jeder gegen jeden“. Begründe, dass in der Vorrunde insgesamt $36$ Spiele ausgetragen werden.
2.
Die deutsche Mannschaft hat in den letzten Jahren bei großen Turnieren im Schnitt $80\,\%$ ihrer Vorrundenspiele gewonnen. Es soll angenommen werden, dass sie auch bei der bevorstehenden EM in gleicher Weise erfolgreich ist.
Bestimme unter der Annahme der Unabhängigkeit der Spielausgänge die Wahrscheinlichkeit, dass die deutsche Mannschaft…
2.1
das erste Vorrundenspiel gewinnt.
2.2
alle drei Vorrundenspiele gewinnt.
2.3
mindestens eins der Vorrundenspiele gewinnt.
Seit der Einführung der Gruppenphase im Jahr 1980 haben sich Mannschaften mit zwei Siegen in der Vorrunde für die nächste Runde qualifiziert.
2.4
Ist zu erwarten, dass die deutsche Mannschaft die Gruppenphase übersteht?
Begründe deine Antwort im Rahmen einer Rechnung.
2.5
Die deutsche Mannschaft verliert ihr erstes Vorrundenspiel.
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass sie die nächste Runde erreicht.
#wahrscheinlichkeit
3.
In einem Zeitungsartikel zur EM $2016$ war zu lesen:
„Für die bevorstehende Fußballeuropameisterschaft in Frankreich $2016$ wurden $2,5$ Millionen Eintrittskarten vergeben. In einer ersten Verkaufsphase im Sommer $2015$ wurden $1$ Million Tickets angeboten, die unter den rund $11$ Millionen Interessenten verlost wurden. In der zweiten Verkaufsphase direkt nach der Auslosung der Gruppenphase wurden weitere $800.000$ Karten für die EM-Besucher der teilnehmenden Mannschaften über die Nationalverbände vergeben. Die Preisspanne für die Tickets reicht von $25$ Euro für ein Vorrundenspiel bis zu fast $1.000$ Euro für einen der besten Plätze beim Endspiel. Die restlichen $700.000$ Tickets wurden kostenlos auf Sponsoren, Funktionäre, Pressevertreter und Prominente verteilt. Rund $70\,\%$ der verkauften Karten wurden von Männern erworben. Insgesamt rechnen die Veranstalter mit einem Anteil von $25\,\%$ weiblicher EM-Besucher bei den Spielen.“
Hinweis: Der Begriff „EM-Besucher“ umfasst beide Geschlechter.
3.1
In der folgenden Vierfeldertafel soll die Aufteilung der $2,5$ Millionen Eintrittskarten erfasst werden. Bestimme die Werte. (Angaben in Millionen)
Verkauf
($V$)
Kein Verkauf
($\overline{V}$)
Männlich ($M$)
Weiblich ($W$)
$2,50$
Verkauf
($V$)
Kein Verkauf
($\overline{V}$)
Männlich ($M$)
Weiblich ($W$)
$2,50$
#vierfeldertafel
3.2
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
A: Ein zufällig ausgewählter EM-Besucher ist männlich und hat seine Karte nicht käuflich erworben.
B: Ein zufällig ausgewählter EM-Besucher ist männlich oder hat seine Karte nicht käuflich erworben.
#wahrscheinlichkeit
3.3
Ein zufällig ausgewählter EM-Besucher hat seine Karte nicht käuflich erworben. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieser weiblich ist.
#wahrscheinlichkeit
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Tipps
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1.
$\blacktriangleright$Anzahl der Spiele begründen
In dieser Teilaufgabe sollst du begründen, dass in der Vorrunde insgesamt $36$ Spiele ausgetragen werden. Hierbei ist gegeben, dass insgesamt $24$ Mannschaften an der Fußball-Europameisterschaft in Frankreich teilnehmen und jeweils $4$ Manschaften in der Vorrunde in einer Gruppe spielen. Es gibt somit insgesamt $6$ verschiedene Gruppen. Innerhalb einer Gruppe spielt genau einmal jeder gegen jeden.
Berechne zuerst wie viele Spiele es in einer Gruppe gibt und berechne anschließend die Anzahl der Spiele für alle $6$ Gruppen.
2.1
$\blacktriangleright$Wahrscheinlichkeit berechnen
Du sollst die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass die deutsche Mannschaft das erste Vorrundenspiel gewinnt. Hierfür hast du gegeben, dass die deutsche Mannschaft im Schnitt $80\,\%$ ihrer Vorrundenspiele gewinnt und es soll angenommen werden, dass sie bei der EM in gleicher Weise erfolgreich ist.
2.2
$\blacktriangleright$Wahrscheinlichkeit berechnen
Du sollst die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass die deutsche Mannschaft alle drei Vorrundenspiele gewinnt. Du weißt, dass die deutsche Mannschaft mit einer Wahrscheinlichkeit von $p=0,8$ ein Spiel gewinnt. Bezeichne die Anzahl der gewonnenen Spiele mit $X$. Somit ist die Wahrscheinlichkeit $P(X=3)$ gesucht.
Du hast gegeben, dass die Spielausgänge unabhängig voneinander sind. Das bedeutet, dass es immer gleichwahrscheinlich ist, dass die deutsche Mannschaft ein Spiel gewinnt oder verliert und nicht davon abhängig ist, ob sie das Spiel vorher gewonnen oder verloren haben.
2.3
$\blacktriangleright$Wahrscheinlichkeit berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass die deutsche Mannschaft mindestens eins der Vorrundenspiele gewinnt. Du weißt, dass die deutsche Mannschaft mit einer Wahrscheinlichkeit von $p=0,8$ ein Spiel gewinnt. Bezeichne hierbei $X$ als die Anzahl der Spiele, welche die deutsche Mannschaft gewinnt. Somit ist die Wahrscheinlichkeit $P(X\geq 1)$ gesucht. Diese Wahrscheinlichkeit kannst du mit dem Gegenereignis umschreiben.
2.4
$\blacktriangleright$Erfolg begründen
Du sollst begründen, ob zu erwarten ist, dass die deutsche Mannschaft die Gruppenphase übersteht. Hierzu hast du gegeben, dass seit der Einführung der Gruppenphase im Jahr 1980 sich Mannschaften mit zwei Siegen in der Vorrunde für die nächste Runde qualifiziert haben. Berechne somit die Anzahl der zu erwartenden Siege. $X$ bezeichnet hierbei die Anzahl der Spiele, welche die deutsche Mannschaft gewinnt. Deshalb sollst du den Erwartungswert von $X$ berechnen.
Es gilt hierbei, dass es nur zwei mögliche Ausgänge gibt, da die deutsche Mannschaft entweder ein Spiel gewinnt oder das Spiel nicht gewinnt, wobei die Erfolgswahrscheinlichkeit immer identisch ist. Außerdem ist gegeben, dass die einzelnen Ergebnisse unabhängig voneinander sind. Daraus folgt, dass die Zufallsvariable $X$ binomialverteilt ist.
Somit gilt für den Erwartungswert:
$E(X) =n \cdot p$
$E(X) =n \cdot p$
2.5
$\blacktriangleright$Wahrscheinlichkeit berechnen
Du hast gegeben, dass die deutsche Mannschaft ihr erstes Vorrundenspiel verliert und sollst die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass sie die nächste Runde erreicht. Das bedeutet du sollst die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass die deutsche Mannschaft zwei Spiele gewinnt unter der Vorraussetzung, dass sie das erste Spiel verloren hat. Es gilt hierbei allerdings, dass die jeweiligen Ereignisse unabhängig voneinander sind.
Somit ist die Wahrscheinlichkeit, dass die deutsche Mannschaft zwei Spiele gewinnt identisch mit der Wahrscheinlichkeit, dass die deutsche Mannschaft zwei Spiele gewinnt unter der Voraussetzung, dass die Mannschaft ihr erstes Spiel verloren hat.
3.1
$\blacktriangleright$Vierfeldertafel vervollständigen
Du sollst in der gegebenen Vierfeldertafel die Aufteilung der $2,5$ Millionen Eintrittskarten erfassen. Du hast hierbei gegeben, dass in der ersten Verkaufsphase $1$ Million Tickets und in der zweiten Verkaufsphase weitere $800.000$ Tickets verkauft wurden. Die restlichen $700.000$ Tickets wurden anschließend kostenlos verteilt.
Desweiteren weißt du, dass rund $70\,\%$ der verkauften Karten durch Männer erworben wurden. Insgesamt rechnen die Veranstalter mit einem Anteil von $25\,\%$ weiblicher EM-Besucher.
Trage die gegebenen Werte in die Vierfeldertafel ein und berechne anschließend mit den Rechenregeln der Vierfeldertafel die fehlenden Werte.
3.2
$\blacktriangleright$Wahrscheinlichkeit bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass ein zufällig ausgewählter EM-Besucher männlich ist und seine Karte nicht käuflich erworben hat. Somit ist die Wahrscheinlichkeit $P(A)=P\left(M \cap \overline{V}\right)$ gesucht. Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $A$ lässt sich folgendermaßen berechnen:
$P(A)=\dfrac{| A \vert}{\vert \Omega \vert}$
$P(A)=\dfrac{\vert A \vert}{\vert \Omega \vert}$
Hierbei bezeichnet $\vert \Omega \vert$ die Anzahl aller Eintrittskarten und $\vert A \vert$ die Anzahl aller Personen, welche auf das Ereignis $A$ zutreffen.
3.3
$\blacktriangleright$Wahrscheinlichkeit bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass ein zufällig ausgewählter EM-Besucher weiblich ist unter der Voraussetzung, dass sie ihre Karte nicht käuflich erworben hat. Es handelt sich um eine bedingte Wahrscheinlichkeit und dadurch ist die Wahrscheinlichkeit $P_{\overline{V}}(W)$ gesucht. Für die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis $W$ eintritt unter der Bedingung, dass $\overline{V}$ bereits eingetreten ist gilt folgende Formel:
$P_{\overline{V}}(W)=\dfrac{P\left(W \cap \overline{V}\right)}{P\left(\overline{V}\right)}$
$P_{\overline{V}}(W)=\dfrac{P\left(W \cap \overline{V}\right)}{P\left(\overline{V}\right)}$
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Lösungen
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1.
$\blacktriangleright$Anzahl der Spiele begründen
In dieser Teilaufgabe sollst du begründen, dass in der Vorrunde insgesamt $36$ Spiele ausgetragen werden. Hierbei ist gegeben, dass insgesamt $24$ Mannschaften an der Fußball-Europameisterschaft in Frankreich teilnehmen und jeweils $4$ Manschaften in der Vorrunde in einer Gruppe spielen. Es gibt somit insgesamt $6$ verschiedene Gruppen. Innerhalb einer Gruppe spielt genau einmal jeder gegen jeden.
Berechne zuerst wie viele Spiele es in einer Gruppe gibt und berechne anschließend die Anzahl der Spiele für alle $6$ Gruppen.
Die erste Gruppe besteht beispielsweise aus den Mannschaften mit den Namen $A$, $B$, $C$ und $D$. Betrachte nun die möglichen Spielpaarungen für die einzelnen Teams.
Zähle die Paarungen von Team $A$. Team $A$ kann gegen alle $3$ Gegener spielen. Team $B$ kann dann nur noch gegen Team $C$ und $D$ spielen, da sie bereits in der Partie $A$ gegen $B$ vorkamen. Team $C$ kann anschließend nur noch gegen Team $D$ spielen. Das bedeutet es werden in einer Gruppe insgesamt $6$ Spiele ausgetragen. Für die Anzahl der Spiele $n$ in $6$ Gruppen gilt somit:
$\begin{array}[t]{rll} n&=& 6 \cdot 6 \\[5pt] &=& 36\\[5pt] \end{array}$
Somit werden in der Vorrunde insgesamt $36$ Spiele ausgetragen.
2.1
$\blacktriangleright$Wahrscheinlichkeit berechnen
Du sollst die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass die deutsche Mannschaft das erste Vorrundenspiel gewinnt. Hierfür hast du gegeben, dass die deutsche Mannschaft im Schnitt $80\,\%$ ihrer Vorrundenspiele gewinnt und es soll angenommen werden, dass sie bei der EM in gleicher Weise erfolgreich ist.
Somit gilt, dass die deutsche Mannschaft mit einer Wahrscheinlichkeit von $80\,\%$ ihr erstes Vorrundenspiel gewinnt.
2.2
$\blacktriangleright$Wahrscheinlichkeit berechnen
Du sollst die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass die deutsche Mannschaft alle drei Vorrundenspiele gewinnt. Du weißt, dass die deutsche Mannschaft mit einer Wahrscheinlichkeit von $p=0,8$ ein Spiel gewinnt. Bezeichne die Anzahl der gewonnenen Spiele mit $X$. Somit ist die Wahrscheinlichkeit $P(X=3)$ gesucht.
Du hast gegeben, dass die Spielausgänge unabhängig voneinander sind. Das bedeutet, dass es immer gleichwahrscheinlich ist, dass die deutsche Mannschaft ein Spiel gewinnt oder verliert und nicht davon abhängig ist, ob sie das Spiel vorher gewonnen oder verloren haben.
Daraus folgt für die Wahrscheinlichkeit $P(X=3)$:
$\begin{array}[t]{rll} P(X=3)&=& p \cdot p \cdot p \\[5pt] &=& p^3\\[5pt] &=& (0,8)^3\\[5pt] &=& 0,512 \\[5pt] \end{array}$
Somit gewinnt die deutsche Mannschaft mit einer Wahrscheinlichkeit von $51,2\,\%$ alle Vorrundenspiele.
2.3
$\blacktriangleright$Wahrscheinlichkeit berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass die deutsche Mannschaft mindestens eins der Vorrundenspiele gewinnt. Du weißt, dass die deutsche Mannschaft mit einer Wahrscheinlichkeit von $p=0,8$ ein Spiel gewinnt. Bezeichne hierbei $X$ als die Anzahl der Spiele, welche die deutsche Mannschaft gewinnt. Somit ist die Wahrscheinlichkeit $P(X\geq 1)$ gesucht. Diese Wahrscheinlichkeit kannst du mit dem Gegenereignis umschreiben. Dadurch folgt:
$\begin{array}[t]{rll} P(X \geq 1)&=& 1- P(X = 0) \\[5pt] &=& 1- (1-p)^3\\[5pt] &=& 1- (1-0,8)^3\\[5pt] &=& 1- 0,008 \\[5pt] &=& 0,992\\[5pt] \end{array}$
$P(X \geq 1)=0,992$
Somit gewinnt die deutsche Mannschaft mit einer Wahrscheinlichkeit von $99,2\,\%$ mindestens eins ihrer Vorrundenspiele.
2.4
$\blacktriangleright$Erfolg begründen
Du sollst begründen, ob zu erwarten ist, dass die deutsche Mannschaft die Gruppenphase übersteht. Hierzu hast du gegeben, dass sich Mannschaften mit zwei Siegen in der Vorrunde für die nächste Runde qualifiziert haben seit der Einführung der Gruppenphase im Jahr 1980 . Berechne somit die Anzahl der zu erwartenden Siege. $X$ bezeichnet hierbei die Anzahl der Spiele, welche die deutsche Mannschaft gewinnt. Deshalb sollst du den Erwartungswert von $X$ berechnen.
Es gilt hierbei, dass es nur zwei mögliche Ausgänge gibt, da die deutsche Mannschaft entweder ein Spiel gewinnt oder das Spiel nicht gewinnt, wobei die Erfolgswahrscheinlichkeit immer identisch ist. Außerdem ist gegeben, dass die einzelnen Ergebnisse unabhängig voneinander sind. Daraus folgt, dass die Zufallsvariable $X$ binomialverteilt ist.
Somit gilt für den Erwartungswert:
$E(X) =n \cdot p$
$E(X) =n \cdot p$
Mit $n=3$ und $p=0,8$ folgt entsprechend:
$\begin{array}[t]{rll} E(X)&=& n \cdot p \\[5pt] &=& 3 \cdot 0,8 \\[5pt] &=& 2,4 \\[5pt] \end{array}$
Das bedeutet, dass zu erwarten ist, dass die deutsche Mannschaft $2$ Spiele in der Vorrunde gewinnt und sich somit auch für die nächste Runde qualifiziert.
2.5
$\blacktriangleright$Wahrscheinlichkeit berechnen
Du hast gegeben, dass die deutsche Mannschaft ihr erstes Vorrundenspiel verliert und sollst die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass sie die nächste Runde erreicht. Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit dafür gesucht ist, dass die deutsche Mannschaft zwei Spiele gewinnt unter der Voraussetzung, dass sie das erste Spiel verloren hat. Es gilt hierbei, dass die jeweiligen Ereignisse unabhängig voneinander sind.
Somit ist die Wahrscheinlichkeit, dass die deutsche Mannschaft zwei Spiele gewinnt identisch mit der Wahrscheinlichkeit, dass die deutsche Mannschaft zwei Spiele gewinnt unter der Voraussetzung, dass die Mannschaft ihr erstes Spiel verloren hat.
Bezeichne das Ereignis, dass die deutsche Mannschaft zwei Spiele gewinnt als Ereignis $C$. Somit folgt für $P(C)$:
$\begin{array}[t]{rll} P(C)&=& p \cdot p \\[5pt] &=& 0,8 \cdot 0,8 \\[5pt] &=& 0,64 \\[5pt] \end{array}$
Das bedeutet, dass die deutsche Mannschaft mit einer Wahrscheinlichkeit von $64\,\%$ die nächste Runde erreicht, nachdem sie ihr erstes Vorrundenspiel verloren hat.
#erwartungswert
3.1
$\blacktriangleright$Vierfeldertafel vervollständigen
Du sollst in der gegebenen Vierfeldertafel die Aufteilung der $2,5$ Millionen Eintrittskarten erfassen. Du hast hierbei gegeben, dass in der ersten Verkaufsphase $1$ Million Tickets und in der zweiten Verkaufsphase weitere $800.000$ Tickets verkauft wurden. Die restlichen $700.000$ Tickets wurden anschließend kostenlos verteilt.
Desweiteren weißt du, dass rund $70\,\%$ der verkauften Karten durch Männer erworben wurden. Insgesamt rechnen die Veranstalter mit einem Anteil von $25\,\%$ weiblicher EM-Besucher.
Trage die gegebenen Werte in die Vierfeldertafel ein und berechne anschließend mit den Rechenregeln der Vierfeldertafel die fehlenden Werte.
Du hast gegeben, dass insgesamt $1,8$ Millionen Tickets verkauft wurden und rund $70\,\%$ der verkauften Karten von Männern erworben wurden. Somit folgt für die Anzahl der Männer $m_V$, welche Tickets durch den Verkauf bekommen haben:
$\begin{array}[t]{rll} m_V&=& 1.800.000 \cdot 0,7 \\[5pt] &=& 1.260.000 \\[5pt] \end{array}$
Somit haben insgesamt $1,26$ Millionen der verkauften Karten Männer erworben.
Außerdem hast du gegeben, dass der Veranstalter mit einem Anteil von $25\,\%$ weiblichen EM-Besuchern rechnet. Das bedeutet, dass $25\,\%$ der $2,5$ Millionen Besucher weiblich sind. Somit folgt für die Anzahl $w$ der weiblichen Besucher:
$\begin{array}[t]{rll} w&=& 2.500.000 \cdot 0,25 \\[5pt] &=& 625.000 \\[5pt] \end{array}$
Insgesamt gibt es also $625.000$ weibliche EM-Besucher.
Daraus ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
Verkauf
($V$)
Kein Verkauf
($\overline{V}$)
Männlich ($M$)$1,26$
Weiblich ($W$)$0,625$
$1,80$$2,50$
Vierfeldertafel
Mit den Rechenregeln zur Vierfeldertafel kannst du die Vierfeldertafel wie folgt vervollständigen:
Verkauf
($V$)
Kein Verkauf
($\overline{V}$)
Männlich ($M$)$1,26$$0,615$$1,875$
Weiblich ($W$)$0,54$$0,085$$0,625$
$1,80$$0,70$$2,50$
Vierfeldertafel
#vierfeldertafel
3.2
$\blacktriangleright$Wahrscheinlichkeit bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass ein zufällig ausgewählter EM-Besucher männlich ist und seine Karte nicht käuflich erworben hat. Somit ist die Wahrscheinlichkeit $P(A)=P\left(M \cap \overline{V}\right)$ gesucht. Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $A$ lässt sich folgendermaßen berechnen:
$P(A)=\dfrac{| A \vert}{\vert \Omega \vert}$
$P(A)=\dfrac{\vert A \vert}{\vert \Omega \vert}$
Hierbei bezeichnet $\vert \Omega \vert$ die Anzahl aller Eintrittskarten und $\vert A \vert$ die Anzahl aller Personen, welche auf das Ereignis $A$ zutreffen.
Für die Wahrscheinlichkeit $P(A)$ gilt entsprechend:
$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=& P\left(M \cap \overline{V}\right) \\[5pt] &=& \dfrac{\left| M \cap \overline{V} \right|}{\vert \Omega \vert} \\[5pt] &=& \dfrac{ 0,615}{ 2,5 } \\[5pt] &=& 0,246 \end{array}$
Somit ist ein zufällig ausgewählter EM-Besucher mit einer Wahrscheinlichkeit von $24,6\,\%$ männlich und hat seine Karte nicht käuflich erworben.
$\blacktriangleright$Wahrscheinlichkeit bestimmen
Du sollst die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass ein zufällig ausgewählter EM-Besucher männlich ist oder seine Karte nicht käuflich erworben hat. Somit ist die Wahrscheinlichkeit $P(B)=P(M \cup \overline{V})$ gesucht. Die Wahrscheinlichkeit $P(M \cup \overline{V})$ kannst du folgendermaßen umformen:
$P\left(M \cup \overline{V}\right)=P(M)+P\left(\overline{V}\right)-P\left(M \cap \overline{V}\right)$
$P\left(M \cup \overline{V}\right)=\dotsc$
Die Wahrscheinlichkeit $P(M \cap \overline{V})$ hast du bereits zuvor berechnet. Somit kannst du die Wahrscheinlichkeiten $P(M)$ und $P(\overline{V})$ mit den entsprechenden Angaben aus der Vierfeldertafel berechnen. Damit folgt:
$\begin{array}[t]{rll} P(B)&=& P\left(M \cup \overline{V}\right) \\[5pt] &=& P(M)+P\left(\overline{V}\right)-P\left(M \cap \overline{V}\right) \\[5pt] &=& \dfrac{ 1,875}{ 2,5 } +\dfrac{ 0,7}{ 2,5 } -0,246\\[5pt] &=& 0,784 \end{array}$
$P(B)=0,784$
Daraus folgt, dass ein zufällig ausgewählter EM-Besucher mit einer Wahrscheinlichkeit von $78,4\,\%$ männlich ist oder seine Karte nicht käuflich erworben hat.
3.3
$\blacktriangleright$Wahrscheinlichkeit bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass ein zufällig ausgewählter EM-Besucher weiblich ist unter der Voraussetzung, dass sie ihre Karte nicht käuflich erworben hat. Es handelt sich um eine bedingte Wahrscheinlichkeit und dadurch ist die Wahrscheinlichkeit $P_{\overline{V}}(W)$ gesucht. Für die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis $W$ eintritt unter der Bedingung, dass $\overline{V}$ bereits eingetreten ist gilt folgende Formel:
$P_{\overline{V}}(W)=\dfrac{P\left(W \cap \overline{V}\right)}{P\left(\overline{V}\right)}$
$P_{\overline{V}}(W)=\dfrac{P\left(W \cap \overline{V}\right)}{P\left(\overline{V}\right)}$
Mit den entsprechenden Angaben aus der Vierfeldertafel folgt:
$\begin{array}[t]{rll} P_{\overline{V}}(W)&=& \dfrac{P\left(W \cap \overline{V}\right)}{P\left(\overline{V}\right)}\\[5pt] &=&\dfrac{\frac{0,085}{2,5}}{\frac{0,7}{2,5}}\\[5pt] &=& \dfrac{ 0,085}{ 0,7 } \\[5pt] &\approx& 0,1214 \end{array}$
Dadurch ist ein zufällig ausgewählter EM-Besucher mit einer Wahrscheinlichkeit von ungefähr $12,14\,\%$ weiblich unter der Bedingung, dass sie ihre Karte nicht käuflich erworben hat.
#bedingtewahrscheinlichkeit
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