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Aufgabe 1 - Analysis

Aufgaben
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1.
Abbildung 1 zeigt den Graphen $G_f$ der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x)=\dfrac{1}{8}\cdot (x^3-15x^2+50x)$
Aufgabe 1 - Analysis
Abb. 1: Graph $G_f$
Aufgabe 1 - Analysis
Abb. 1: Graph $G_f$
1.1
Zeige rechnerisch, dass $G_f$ im Punkt $W(5|0)$ einen Wendepunkt besitzt, und ermittle eine Gleichung der Tangente an $G_f$ im Punkt $W$.
#tangente#wendepunkt
1.2
$G_f$ geht aus dem Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g: \quad x \mapsto \dfrac{1}{8} \cdot (x^3-25x)$ durch eine Verschiebung in positive $x$-Richtung hervor.
Gebe an, um wie viel der Graph von $g$ dazu verschoben werden muss.
Begründe mithilfe der Funktion $g$, dass der Graph von $f$ symmetrisch bezüglich seines Wendepunktes ist.
#verschiebung
1.3
Berechne mit Hilfe einer Stammfunktion das Integral $\int_0^5 \! f(x) \, \mathrm{d}x$.
#integral
1.4
Begründe ohne Rechnung, dass $\int_0^8 \! f(x) \, \mathrm{d}x < \int_0^5 \! f(x) \, \mathrm{d}x$ gilt.
#integral
1.5
Betrachtet wird das Dreieck $ABC$ mit $A(0|0)$, $B(4|0)$ und $C(4|f(4))$. Rotiert dieses Dreieck um deine Seite $\overline{AB}$, so entsteht ein Körper. Nenne die Form des so entstandenen Körpers und berechne den Inhalt der Oberfläche dieses Körpers.
1.6
Aufgabe 1 - Analysis
Abb. 2: Graph $G_h$
Aufgabe 1 - Analysis
Abb. 2: Graph $G_h$
2.
Die Kosten, die einem Unternehmen bei der Herstellung einer Flüssigeit entstehen, können durch die Funktion $K: \quad x \mapsto x^3-12x^2+50x+20$ mit $x\in [0;9]$ beschrieben werden. Dabei gibt $K(x)$ die Kosten in $1000$ Euro an, die bei der Produnktion von $x$ Kubikmetern der Flüssigkeit insgesamt entstehen. Abbildung $3$ zeigt den Graphen von $K$.
Aufgabe 1 - Analysis
Abb. 3: Graph $G_K$
Aufgabe 1 - Analysis
Abb. 3: Graph $G_K$
2.1
Gebe mithilfe von Abbildung $3$ die Produktionsmenge an, bei der die Kosten $125~00$ Euro betragen.
2.2
Gebe das Monotonieverhalten von $K$ an und deute deine Angabe im Sachzusammenhang.
#monotonie
2.3
Beurteile folgende Aussage:
Je größer die Produnktionsmenge ist, desto höher sind die Kosten, die die Produnktion eines zusätzlichen Kubickmeters der Flüssigkeit verursacht.
2.4
Die Funktion $E$ mit $E(x)=23\cdot x$ gibt für $0 \leq x \leq 9$ den Erlös (in $1000$ Euro) an, den das Unternehmen beim Verkauf von $x$ Kubikmetern der Flüssigkeit erzielt. Für die so genannte Gewinnfunktion $G$ gilt $G(x)=E(x)-K(x)$. Positive Werte von $G$ werden als Gewinn bezeichnet, negative als Verlust.
2.4.1
Zeige, dass das Unternehmen keinen Gewinn erzielt, wenn vier Kubikmeter der Flüssigkeit verkauft werden.
2.4.2
Zeichne den Graphen von $E$ in Abbildung $3$ ein. Bestimme mithilfe der so entstehenden Darstellung den Bereich, in dem die verkaufte Wenge der Flüssigkeit liegen muss, damit das Unternehmen einen Gewinn erzielt.
2.4.3
Berechne, welche Menge der Flüssigkeit verkauft werden muss, damit das Unternehmen den größten Gewinn erzielt.
#gewinn
Bildnachweise [nach oben]
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1.1
$\blacktriangleright$  Wendepunkt nachweisen
1. Schritt: Ableitungsfunktionen bilden
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& \frac{1}{8}\cdot( x^3 -15x^2 +50x) \\[5pt] f(x)&=& \frac{1}{8}\cdot x^3 -\frac{15}{8}\cdot x^2 +\frac{50}{8}x \\[5pt] f'(x)&=& \frac{3}{8}\cdot x^2 -\frac{15}{4}x +\frac{25}{4} \\[5pt] f''(x)&=& \frac{3}{4}\cdot x -\frac{15}{4} \\[5pt] f'''(x)&=& \frac{3}{4} \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} f''(5)&=& \frac{3}{4}\cdot 5 -\frac{15}{4} \\[5pt] &=& 0 \\[5pt] \end{array}$
Das notwendige Kriterium für Wendestellen ist also an der Stelle $x=5$ erfüllt.
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} f'''(5)&=& \frac{3}{4} \neq 0 \end{array}$
Das hinreichende Kriterium für Wendestellen ist also ebenfalls für $x=5$ erfüllt.
4. Schritt: $f(5)$ bestimmen
Setze $x=5$ in die Funktionsgleichung ein, um den $y$-Wert zu erhalten:
$f(5)=\dfrac{1}{8}\cdot (5^3-15\cdot 5^2+50\cdot 5)=0$
$ f(5)=0 $
Der Punkt $W(5\mid 0)$ ist also ein Wendepunkt von $G_f.$
$\blacktriangleright$  Tangentengleichung ermitteln
Die Steigung $m$ der Tangente entspricht der Steigung von $G_f$ im Punkt $W,$ kann also mithilfe von $f'$ bestimmt werden:
$\begin{array}[t]{rll} f'(5)&=& \frac{3}{8}\cdot 5^2 -\frac{15}{4}\cdot 5 +\frac{25}{4}\\[5pt] &=& -\frac{25}{8} \end{array}$
$ f'(5)= -\frac{25}{8} $
Mithilfe einer Punktprobe mit den Koordinaten von $W$ lässt sich noch der $y$-Achsenabschnitt bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} t:\quad y&=& m\cdot x +b &\quad \scriptsize \mid\;m=-\frac{25}{8} \\[5pt] y&=& -\frac{25}{8}\cdot x +b &\quad \scriptsize \mid\; W(5\mid 0)\\[5pt] 0&=& -\frac{25}{8}\cdot 5 +b \\[5pt] 0&=& -\frac{125}{8}+b &\quad \scriptsize \mid\;+\frac{125}{8} \\[5pt] \frac{125}{8}&=& b \end{array}$
$ b = \frac{125}{8} $
Eine Gleichung der Tangente an $G_f$ im Punkt $W$ lautet:
$t: \quad y = -\frac{25}{8}\cdot x + \frac{125}{8} $
#notwendigeskriteriumfürwendestellen#hinreichendeskriteriumfürwendestellen#ableitung
1.2
$\blacktriangleright$  Verschiebung ermitteln
Der Funktionsterm von $g$ lässt sich wie folgt umformen:
$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=& \frac{1}{8} \cdot \left(x^3-25x\right) \\[5pt] &=& \frac{1}{8} \cdot x\cdot \left(x^2-25\right) &\quad \scriptsize \text{3. binomische Formel}\\[5pt] &=& \frac{1}{8} \cdot x\cdot \left(x-5\right)\cdot \left(x+5\right) \\[5pt] \end{array}$
$ g(x)= … $
Die Nullstellen von $g$ sind also $x=0,$ $x=5$ und $x=-5.$ Die Nullstellen von $f$ sind $x=0,$ $x=5$ und $x=10.$ Der Graph von $g$ muss also um $5$ Einheiten in positive $x$-Richtung verschoben werden, damit daraus der Graph von $f$ hervorgeht.
$\blacktriangleright$  Symmetrie begründen
Da der Funktionsterm der ganzrationalen Funktion $g$ nur aus $x$ mit ungeraden Exponenten besteht, ist der Graph von $g$ punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.
Da $G_f$ aus $G_g$ durch Verschiebung um $5$ Einheiten in positive $x$-Richtung hervorgeht, ist daher $G_f$ punktsymmetrisch zum Punkt $(5\mid 0),$ also bezüglich seines Wendepunkts.
#symmetrie
1.3
$\blacktriangleright$  Stammfunktion bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&\dfrac{1}{8}\cdot (x^3-15x^2+50x) \\[5pt] F(x)&=&\dfrac{1}{8}\cdot(\dfrac{1}{4}x^4-\dfrac{15}{3}x^3+\dfrac{50}{2}x^2) \\[5pt] &=&\dfrac{1}{32}x^4-\dfrac{5}{8}x^3+\dfrac{25}{8}x^2 \end{array}$
$\blacktriangleright$  Integral berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \int_0^5 \! f(x) ~\text{d}x&=&\left[~ F(x) ~\right]_0^5 \\[5pt] &=&\left[~ \dfrac{1}{32}x^4-\dfrac{5}{8}x^3+\dfrac{25}{8}x^2 ~\right]_0^5 \\[5pt] &=&\left[~ \dfrac{1}{32}\cdot 5^4-\dfrac{5}{8}\cdot 5^3+\dfrac{25}{8}\cdot 5^2 ~\right]-\left[~ \dfrac{1}{24}\cdot 0^4-\dfrac{5}{8}\cdot 0^3+\dfrac{25}{8}\cdot 0^2 ~\right] \\[5pt] &=&\dfrac{625}{32} \\[5pt] &\approx& 19,53 \end{array}$
$ \int_0^5 \! f(x) ~\text{d}x \approx 19,53 $
#stammfunktion
1.4
$\blacktriangleright$  Ungleichung begründen
Aufgabe 1 - Analysis
Abb. 1: Graph mit eingezeichnetem Integral
Aufgabe 1 - Analysis
Abb. 1: Graph mit eingezeichnetem Integral
1.5
$\blacktriangleright$  Oberfläche berechnen
Aufgabe 1 - Analysis
Abb. 2: Skizze Rotationskörper
Aufgabe 1 - Analysis
Abb. 2: Skizze Rotationskörper
#kegel#satzdespythagoras
1.6
$\blacktriangleright$  Lage der Graphen beschreiben
Der Graph in Abbildung $2$ zeigt die Differenz der Funktionen $h(x)$ und $f(x)$. Ist $h(x)-f(x)$ positiv, also der Graph oberhalb der $x$-Achse, dann ist $h(x)>f(x)$. Ist der Graph unterhalb der $x$-Achse, dann ist $h(x)-f(x) < 0$, also $h(x)< f(x)$.
Für die Schnittpunkte des abgebildeten Graphen mit der $x$-Achse gilt $h(x)-f(x)=0$, also $h(x)=f(x)$. Die Graphen von $f$ und $h$ sind an diesen Stellen also gleich und beitzen gemeinsame Schnittpunkte. An dem Graphen kannst du ablesen, dass dies für $x=0$ und $x=5$ der Fall ist:
$h(0)=f(0)\qquad$ und $h(5)=f(5)$
Für $0<x< 2,1$ ist der Graph unterhalb der $x$-Achse. Es gilt also $h(x)< f(x)$. Der Graph von $f$ liegt in diesem Bereich über dem Graphen von $h$. An der Stelle $x\approx 0,9$ beitzt der abgebildete Graph einen Tiefpunkt. An dieser Stelle ist der Abstand der Graphen $f$ und $g$ am größten.
Für $2,1<x< 5$ ist der Graph oberhalb der $x$-Achse, weshalb $h(x)>f(x)$ gilt. In diesem Bereich liegt der Graph von $h$ oberhalb des Graphen von $f$.
2.1
$\blacktriangleright$  Produktionsmenge angeben
In der Abbildung ist die Schnittstelle des Graphen mit der Gerade $y= 125$ gesucht. Diese lässt sich zu $x\approx 7$ ablesen.
Bei einer Produktionsmenge von ca. $7$ Kubikmetern der Flüssigkeit fallen $125\,000$ Euro Kosten an.
2.2
$\blacktriangleright$  Monotonieverhalten angeben
Der Abbildung lässt sich entnehmen, dass $K$ für $0\leq x \leq 9$ monoton steigt.
Die Kosten steigen also mit der Menge der produzierten Flüssigkeit.
2.3
$\blacktriangleright$  Aussage Beurteilen
Wenn die Kosten pro Kubikmeter mit der Produktionsmenge zunehmen würden, dann müsste der Graph exponentiell steigen. Da dieser allerdings zuerst abflacht, nehmen die Kosten pro Kubikmeter für $0<x<4$ mit der Produktionsmenge ab. Für $x>4$ stimmt die Aussage, dass die Kosten pro Kubikmeter mit steigender Produktionszahl zunehmen.
Im Allgemeinen ist die Aussage deshalb falsch.
2.4
2.4.1
$\blacktriangleright$  Ausbleibenden Gewinn zeigen
Für die Gewinnfunktion gilt:
$\begin{array}[t]{rll} G(4)&=& E(4)-K(4) \\[5pt] &=& 23\cdot 4 - \left(4^3-12\cdot 4^2 +50\cdot 4 +20 \right) \\[5pt] &=& 92-92 \\[5pt] &=& 0 \\[5pt] \end{array}$
$ G(4)=0 $
Bei einem Verkauf von $4$ Kubikmetern der Flüssigkeit beträgt der Gewinn $0\,€.$ Das Unternehmen erzielt also keinen Gewinn.
2.4.2
$\blacktriangleright$  Erlös einzeichnen und den Bereich für Gewinn bestimmen
Aufgabe 1 - Analysis
Abb. 3: Graph von $E$
Aufgabe 1 - Analysis
Abb. 3: Graph von $E$
2.4.3
$\blacktriangleright$  Menge für maximalen Gewinn finden
Gesucht ist die Maximalstelle $x_M$ von $G$ im Bereich $0\leq x\leq 9.$
1. Schritt: Ableitungsfunktionen bilden
$\begin{array}[t]{rll} G(x)&=& 23x -\left(x^3-12x^2 +50x +20\right) \\[5pt] &=& -x^3 + 12x^2 - 27x - 20 \\[10pt] G'(x)&=& -3x^2+24x-27 \\[10pt] G''(x)&=& -6x+24\\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium für Extremstellen anwenden
$\begin{array}[t]{rll} 0&=& G'(x) \\[5pt] 0&=& -3x^2+24x-27 &\quad \scriptsize \mid\; abc-\text{Formel} \\[5pt] x_{1/2}&=& \dfrac{-24\pm \sqrt{24^2-4\cdot (-3) \cdot(-27) }}{2\cdot (-3)} \\[5pt] &=& \dfrac{-24\pm \sqrt{252}}{-6} \\[5pt] x_1&=& 4-\sqrt{7} \\[5pt] x_2&=& 4+\sqrt{7} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 0&=& G'(x) \\[5pt] … \\[5pt] x_1&=& 4-\sqrt{7} \\[5pt] x_2&=& 4+\sqrt{7} \end{array}$
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} G''\left(4-\sqrt{7}\right)&=& -6\cdot \left( 4-\sqrt{7}\right)+24 \\[5pt] &=& +6\sqrt{7} > 0 \\[10pt] G''\left(4+\sqrt{7}\right)&=& -6 \cdot \left( 4 + \sqrt{7}\right) + 24 \\[5pt] &=& -6\sqrt{7} <0 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} G''\left(4-\sqrt{7}\right) > 0 \\[10pt] G''\left(4+\sqrt{7}\right)<0 \\[5pt] \end{array}$
An der Stelle $x= 4+\sqrt{7} $ besitzt der Graph von $G$ einen Hochpunkt.
4. Schritt: Funktionswerte vergleichen
Vergleiche die Funktionswerte an den Intervallrändern mit dem im Hochpunkt:
$\begin{array}[t]{rll} G(0)&=& -0^3 + 12\cdot 0^2 - 27\cdot 0 - 20 \\[5pt] &=& -20 \\[10pt] G(9)&=& -9^3 + 12\cdot 9^2 - 27\cdot 9 - 20 \\[5pt] &=& -20 \\[5pt] G\left(4+\sqrt{7}\right)&=& -\left(4+\sqrt{7}\right)^3 + 12\cdot \left(4+\sqrt{7}\right)^2 - 27\cdot \left(4+\sqrt{7}\right) - 20 \\[5pt] &\approx& 37,04 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} G(0)&=& -20 \\[10pt] G(9)&=& -20 \\[5pt] G\left(4+\sqrt{7}\right)&\approx& 37,04 \end{array}$
Es müssen $4+\sqrt{7}\approx 6,6$ Kubikmeter der Flüssigkeit verkauft werden, damit das Unternehmen den größten Gewinn erzielt.
#notwendigeskriteriumfürextrema#extrempunkt#hinreichendeskriteriumfürextrema
Bildnachweise [nach oben]
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