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Aufgabe 1 - Analysis

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1.
Abbildung 1 zeigt den Graphen $G_f$ der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x)=\dfrac{1}{8}\cdot (x^3-15x^2+50x)$
Graph
Abb. 1: Graph $G_f$
Graph
Abb. 1: Graph $G_f$
1.1
Zeige rechnerisch, dass $G_f$ im Punkt $W(5|0)$ einen Wendepunkt besitzt, und ermittle eine Gleichung der Tangente an $G_f$ im Punkt $W$.
#tangente#wendepunkt
1.2
$G_f$ geht aus dem Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g: \quad x \mapsto \dfrac{1}{8} \cdot (x^3-25x)$ durch eine Verschiebung in positive $x$-Richtung hervor.
Gebe an, um wie viel der Graph von $g$ dazu verschoben werden muss.
Begründe mithilfe der Funktion $g$, dass der Graph von $f$ symmetrisch bezüglich seines Wendepunktes ist.
#verschiebung
1.3
Berechne mit Hilfe einer Stammfunktion das Integral $\int_0^5 \! f(x) \, \mathrm{d}x$.
#integral
1.4
Begründe ohne Rechnung, dass $\int_0^8 \! f(x) \, \mathrm{d}x < \int_0^5 \! f(x) \, \mathrm{d}x$ gilt.
#integral
1.5
Betrachtet wird das Dreieck $ABC$ mit $A(0|0)$, $B(4|0)$ und $C(4|f(4))$. Rotiert dieses Dreieck um deine Seite $\overline{AB}$, so entsteht ein Körper. Nenne die Form des so entstandenen Körpers und berechne den Inhalt der Oberfläche dieses Körpers.
1.6
Graph
Abb. 2: Graph $G_h$
Graph
Abb. 2: Graph $G_h$
2.
Die Kosten, die einem Unternehmen bei der Herstellung einer Flüssigeit entstehen, können durch die Funktion $K: \quad x \mapsto x^3-12x^2+50x+20$ mit $x\in [0;9]$ beschrieben werden. Dabei gibt $K(x)$ die Kosten in $1000$ Euro an, die bei der Produnktion von $x$ Kubikmetern der Flüssigkeit insgesamt entstehen. Abbildung $3$ zeigt den Graphen von $K$.
Graph
Abb. 3: Graph $G_K$
Graph
Abb. 3: Graph $G_K$
2.1
Gebe mithilfe von Abbildung $3$ die Produktionsmenge an, bei der die Kosten $125~00$ Euro betragen.
2.2
Gebe das Monotonieverhalten von $K$ an und deute deine Angabe im Sachzusammenhang.
#monotonie
2.3
Beurteile folgende Aussage:
Je größer die Produnktionsmenge ist, desto höher sind die Kosten, die die Produnktion eines zusätzlichen Kubickmeters der Flüssigkeit verursacht.
2.4
Die Funktion $E$ mit $E(x)=23\cdot x$ gibt für $0 \leq x \leq 9$ den Erlös (in $1000$ Euro) an, den das Unternehmen beim Verkauf von $x$ Kubikmetern der Flüssigkeit erzielt. Für die so genannte Gewinnfunktion $G$ gilt $G(x)=E(x)-K(x)$. Positive Werte von $G$ werden als Gewinn bezeichnet, negative als Verlust.
2.4.1
Zeige, dass das Unternehmen keinen Gewinn erzielt, wenn vier Kubikmeter der Flüssigkeit verkauft werden.
2.4.2
Zeichne den Graphen von $E$ in Abbildung $3$ ein. Bestimme mithilfe der so entstehenden Darstellung den Bereich, in dem die verkaufte Wenge der Flüssigkeit liegen muss, damit das Unternehmen einen Gewinn erzielt.
2.4.3
Berechne, welche Menge der Flüssigkeit verkauft werden muss, damit das Unternehmen den größten Gewinn erzielt.
#gewinn
Bildnachweise [nach oben]
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