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Aufgabe 2 - Analytische Geometrie

Aufgaben
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Eine Halle mit einer Länge von $20~\text{m}$, einer Breite von $20~\text{m}$ und einer Höhe von $15~\text{m}$ soll zu einer Kletterhalle umgebaut werden. Zur Planung legt der Konstrukteur ein dreidimensionales kartesisches Koordinatensystem so fest, dass der Hallenboden in der $x_1x_2$-Ebene liegt und je eine Wand in der $x_1x_3$-Ebene sowie in der $x_2x_3$-Ebene liegt (vgl. Abbildung $1$). Die anderen beiden Wände und die Decke sind nicht abbgebildet.
Eine Längeneinheit entspricht $1~\text{m}$.
Aufgabe 2 - Analytische Geometrie
Abb. 1: Skizze der Halle
Aufgabe 2 - Analytische Geometrie
Abb. 1: Skizze der Halle
1
Tritte und Griffe der Anfängerroute sollen so angebracht sein, dass man den Weg vereinfacht als Strecke von $A(0|6|0)$ nach $B(0|11|12)$ betrachten kann.
1.1
Berechne der Vereinfachung entsprechend die Länge der Anfängerroute $\overline{AB}$.
1.2
Die Anfängerroute $\overline{AB}$ ist an der Wand angebracht, deren untere Seite längs der $x_2$-Achse verläuft. Berechne das Maß des Winkels $\alpha$, unter dem die Anfängerroute $\overline{AB}$ diese untere Seite schneidet.
2.
Die hintere obere Hallenecke soll durch eine dreieckige Holzplatte verkleidet werden, auf der die erfolgreichen KLetterer ihren Namen hinterlassen können. Die Eckpunkte der Holzplatte sind durch $G(0|0|9)$, $H(0|6|15)$ und $I(3|0|15)$ festgelegt (vgl. Abbildung $1$).
2.1
Berechne den Flächeninhalt der Holzplatte.
2.2
Ausgehend von der hinteren oberen Ecke $P(0|0|15)$ wird zur Stabilisiierung eine Strebe senkrecht auf der Holzplatte befestigt.
2.2.1
Bestimme eine Gleichung der Ebene $e$, in der die Holzplatte liegt, in Koordinatenform.
Zur Kontrolle und weiteren Verwendung: $e:\quad 2x_1+x_2-x_3+9=0$)
2.2.2
Gebe eine Gleichung der Geraden $g$ an, längs derer die Strebe verläuft.
2.2.3
Berechne die Länge der Strebe
#geradengleichung#koordinatenform
3.
An der Wand, die in der $x_1x_2$-Ebene liegt, soll ein Hindernis in der Form einer Pyramide angebracht werden. Ihre Grundfläche soll die Punkte $C(4|0|4)$, $D(6|0|8)$, $E(10|0|6)$ und $F(8|0|2)$ als Eckpunkt aufweisen (vgl. Abbildung $1$).
#pyramide
3.1
Weise nach, dass die Grundfläche $CDEF$ der Pyramide ein Quadrat ist.
#quadrat
3.2
Die Spitze $S$ der Pyramide soll auf der Senkrechten zur Grundfläche $CDEF$ durch deren Mittelpunkt liegt und von der Grundfläche den Abstand $1~\text{m}$ haben.
Bestimme die Koordinaten von $S$.
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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Lösungen
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1.1
$\blacktriangleright$  Strecke berechnen
Die Länge der Strecke $\overline{AB}$ zwischen den Punkten $A$ und $B$, kannst du mit dem Betrag des Vektors $\overrightarrow{AB}$ berechnen. Bestimme zunächst den Vektor $\overrightarrow{AB}$:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB}&=&\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA} \\[5pt] &=&\begin{pmatrix}0 \\ 11 \\12\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0 \\ 6 \\0\end{pmatrix} \\[5pt] &=&\begin{pmatrix}0 \\ 5 \\12\end{pmatrix} \end{array}$
Berechne jetzt den Betrag, um die Länge der Strecke zu bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{AB}&=&\,\bigg \vert \, \begin{pmatrix}0 \\ 5 \\12\end{pmatrix} \,\bigg \vert \, \\[5pt] &=& \sqrt{0^2+5^2+12^2}&\quad \\[5pt] &=&13 \end{array}$
#vektorbetrag#vektoren
1.2
$\blacktriangleright$  Winkel bestimmen
Für den Winkel zwischen zwei Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ gilt:
$\cos(\alpha)=\dfrac{\vec{u}\circ \vec{v}}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|}$
Gesucht ist der Winkel zwischen den Vektoren $\vec{u}=\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}0\\5\\12\end{pmatrix}$ und der $x_2$-Achse für die der Vektor $\vec{v}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$ gilt. Berechne zunächst:
$\begin{array}[t]{rll} |\vec{u}|&=&13 \\[5pt] |\vec{v}|&=&\sqrt{1^2}=1\\[5pt] \vec{u}\circ \vec{v}&=& 0\cdot 0+5\cdot 1+12\cdot 0=5 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} |\vec{u}|&=&13 \\[5pt] |\vec{v}|&=&\sqrt{1^2}=1\\[5pt] \vec{u}\circ \vec{v}&=&5 \end{array}$
Damit gilt für den Winkel $\alpha$:
$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&=&\dfrac{5}{13\cdot 1} \\[5pt] \alpha&=& \cos^{-1}\left(\dfrac{5}{13}\right) \\[5pt] &=&67,38^{\circ} \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&=&\dfrac{5}{13\cdot 1} &\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1}\\[5pt] \alpha &=& 67,38^{\circ} \end{array} $
#schnittwinkel
2.1
$\blacktriangleright$  Fläche berechnen
Du kannst diese Aufgabe auf verschiedene Wege Lösen.
$\blacktriangleright$  Lösungsweg 1: Dreicksfläche berechnen
Berechne die Fläche des Dreiecks mit $A=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot b \cdot \sin(\gamma)$, wobei $\gamma$ der Winkel zwischen den Seiten $a$ und $b$ ist.
Du kannst dies mit jeder beliebigen Ecke durchführen, hier werden sie Seiten $a=\overline{GI}$, $b=\overline{GH}$ und $\gamma=\sphericalangle HGI$ verwedet.
Berechne die beiden Vektoren:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{GH}&=&\overrightarrow{OH}-\overrightarrow{OG} \\[5pt] &=&\begin{pmatrix} 0\\6\\15\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\9\end{pmatrix} \\[5pt] &=&\begin{pmatrix}0\\6\\6\end{pmatrix} \end{array}$
Sowie deren Beträge:
$\begin{array}[t]{rll} \,\bigg \vert \,\begin{pmatrix}0\\6\\6\end{pmatrix} \,\bigg \vert \,&=&\sqrt{0^2+6^2+6^2} \\[5pt] &=&\sqrt{72}\\[5pt] &\approx& 8,49 \end{array}$
Für den Winkel $\gamma$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} \cos(\gamma)&=&\dfrac{\begin{pmatrix}3\\0\\6\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}0\\6\\6\end{pmatrix}}{\,\bigg \vert \,\begin{pmatrix}3\\0\\6\end{pmatrix} \,\bigg \vert \,\cdot \,\bigg \vert \,\begin{pmatrix}0\\6\\6\end{pmatrix} \,\bigg \vert \,} \\[8pt] &=&\dfrac{3\cdot 0 + 0 \cdot 6+ 6\cdot 6}{6,71\cdot 8,49} \\[5pt] &\approx& 0,6319 &\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1} \\[5pt] \gamma&\approx& 50,81^{\circ} \end{array}$
$ \gamma \approx 50,81^{\circ} $
Damit gilt für die Fläche des Dreiecks:
$A=\dfrac{1}{2}\cdot 6,71 \cdot 8,49 \cdot \sin(50,81^{\circ})\approx 22,08$
$ A\approx 22,08 $
Die Fläche der Holzplatte entspricht also etwa $22,08~\text{m}^2$.
$\blacktriangleright$  Lösungsweg 2: Kreuzprodukt
Der Betrag des Kreuzprodukts entspricht dem Flächenihalt des Parallelogramms, welches von den beiden Vektoren aufgespannt wird. Ein Dreieck ist gerade ein halbes Parallelogramm, weshalb gilt:
$A=\dfrac{1}{2} \cdot |\overrightarrow{GI}\times \overrightarrow{GI}|$
Die Wahl der Vektoren spielt keine Rolle, auch $|\overrightarrow{IG}\times \overrightarrow{IH}|$ oder $|\overrightarrow{HI}\times \overrightarrow{HG}|$ sind möglich. Mit
$\overrightarrow{GI}=\begin{pmatrix}3\\0\\6\end{pmatrix}\qquad$ und $\qquad \overrightarrow{GH}=\begin{pmatrix}0\\6\\6\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{GI}=\begin{pmatrix}3\\0\\6\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{GH}=\begin{pmatrix}0\\6\\6\end{pmatrix}$
gilt dann:
$\begin{array}[t]{rll} A&=&\dfrac{1}{2}\,\bigg \vert \,\begin{pmatrix}3\\0\\6\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}0\\6\\6\end{pmatrix}\,\bigg \vert \, \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2} \, \bigg \vert \, \begin{pmatrix}6\cdot 0-6\cdot 6\\0\cdot 6-6\cdot 3\\6\cdot 3-0\cdot 0\end{pmatrix} ~ \bigg \vert~ \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2} ~\bigg \vert~ \begin{pmatrix}-36\\-18\\18\end{pmatrix}~\bigg \vert~ \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2} \sqrt{(-36)^2+(-18)^2+18^2} \\[5pt] &\approx&22,05 \end{array}$
$ A\approx 22,05$
Die Fläche der Holzplatte entspricht auch hier etwa $22,05~\text{m}^2$.
#dreieck#kreuzprodukt
2.2
2.2.1
$\blacktriangleright$  Ebenengleichung bestimmen
Bestimme zunächst die Ebenengleichung in Parameterdarstellung. Benutze die dafür schon berechneten Vektoren $\overrightarrow{GI}$ und $\overrightarrow{GH}$:
$\begin{array}[t]{rll} E:\quad \vec{x}&=&\overrightarrow{OG}+r\cdot \overrightarrow{GI}+s\cdot \overrightarrow{GH} \\[5pt] \vec{x}&=&\begin{pmatrix}0\\0\\9\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}3\\0\\6\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}0\\6\\6\end{pmatrix} \end{array}$
Um die Parameterform in die Koordinatenform umzuformen, musst du den Normalenvektor der beiden Spannvektoren berechnen. Auch dieses Kreuzprodukt wurde schon in Aufgabe 2.1 berechnet:
$\vec{n}=\begin{pmatrix}3\\0\\6\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0\\6\\6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-36\\-18\\18\end{pmatrix}$
Diesen Vektor kannst du kürzen und vereinfacht als $\vec{n}=\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$ schreiben.
Setze jetzt den Normalenvektor und den Punkt $G$ in die allgemeine Koordinatenform $n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3+d=0$ ein um $d$ zu bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} 2\cdot0 +1 \cdot 0 - 1\cdot 9 +d&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; +9\\[5pt] d&=&9 \end{array}$
$ d=9 $
Damit erhältst du die Ebenengleichung
$E:\quad 2x_1+x_2-x_3+9=0$.
2.2.2
$\blacktriangleright$  Geradengleichung angeben
Die Strebe verläuft senkrecht zur Ebene, also muss der Richtungsvektor dem Normalenvektor der Ebene $E$ enstprechen. Außerdem ist die Strebe im Punkt $P(0|0|15)$ angebracht. Somit muss die Gerade durch diesen Punkt laufen und du erhältst:
$g:\quad \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\15\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$
2.2.3
$\blacktriangleright$  Länge der Strebe berechnen
Um die Länge berechnen zu können, musst du zunächst den Schnittpunkt der Geraden $g$ mit der Ebene $E$ berechnen. Schreibe die Gerade als Vektor
$g:\quad \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\15\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2t\\t\\15-t\end{pmatrix}$
$g:\quad \vec{x}=\begin{pmatrix}2t\\t\\15-t\end{pmatrix}$
und setze sie für $x_1$, $x_2$ und $x_3$ in die Ebenegleichung ein:
$\begin{array}[t]{rll} 2\cdot 2t+t-(15-t)+9&=&0 \\[5pt] 4t+t-15+t+9&=&0 \\[5pt] 6t-6&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; +6 \\[5pt] t&=&1 \end{array}$
$ t=1$
Der Schnittpunkt ist demnach
$\overrightarrow{OS}=\begin{pmatrix}0\\0\\15\end{pmatrix}+1\cdot \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\\14\end{pmatrix}$
$ \overrightarrow{OS}=\begin{pmatrix}2\\1\\14\end{pmatrix} $
Und für die Strebe gilt:
$\begin{array}[t]{rll} |\overrightarrow{PS}|&=&\,\bigg \vert \,\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}\,\bigg \vert \, \\[5pt] &=&\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2} \\[5pt] &\approx& 2,45 \end{array}$
Die Strebe ist etwa $2,45~\text{m}$ lang.
#normalenvektor#schnittpunkt
3.1
$\blacktriangleright$  Quadrat nachweisen
Um zu zeigen, dass $4$ Punkte ein Quadrat formen, musst du zeigen, dass
  • alle Seiten gleich lang sind
  • alle Winkel rechte Winkel sind
Berechne zunächst alle $4$ Seitenvektoren:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{EF}&=&\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OE} \\[5pt] &=&\begin{pmatrix}8\\0\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}10\\0\\6\end{pmatrix} \\[5pt] &=&\begin{pmatrix}-2\\0\\-4\end{pmatrix} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{FC}&=&\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OF} \\[5pt] &=&\begin{pmatrix}4\\0\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}8\\0\\2\end{pmatrix} \\[5pt] &=&\begin{pmatrix}-4\\0\\2\end{pmatrix} \end{array}$
Jetzt kanst du deren Längen bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} |\overrightarrow{EF}|&=&\sqrt{(-2)^2+0^2+(-4)^2} \\[5pt] &=&\sqrt{20} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} |\overrightarrow{FC}|&=&\sqrt{(-4)^2+0^2+2^2} \\[5pt] &=&\sqrt{20} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} |\overrightarrow{CD}|&=&\sqrt{20} \\[5pt] |\overrightarrow{DE}|&=&\sqrt{20} \\[5pt] |\overrightarrow{EF}|&=&\sqrt{20} \\[5pt] |\overrightarrow{FC}|&=&\sqrt{20} \\[5pt] \end{array}$
Um einen rechten Winkel zu zeigen, muss das Skalarprodukt zwischen den beiden Vektoren null sein. Berechne also die Skalarprudukte für jeden Winkel:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{EF}\circ \overrightarrow{FC}&=&\begin{pmatrix}-2\\0\\-4\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}-4\\0\\2\end{pmatrix} \\[5pt] &=&(-2)\cdot (-4)+(-4)\cdot 2 \\[5pt] &=&0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{FC}\circ \overrightarrow{CD}&=&\begin{pmatrix}-4\\0\\2\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}2\\0\\4\end{pmatrix} \\[5pt] &=&(-4)\cdot 2+2\cdot 4 \\[5pt] &=&0 \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{CD}\circ \overrightarrow{CD}&=& 0 \\[5pt] \overrightarrow{DE}\circ \overrightarrow{CD}&=& 0 \\[5pt] \overrightarrow{EF}\circ \overrightarrow{CD}&=& 0 \\[5pt] \overrightarrow{FC}\circ \overrightarrow{CD}&=& 0 \\[5pt] \end{array} $
Damit ist gezeigt, dass die Grundfläche ein Rechteck ist.
#vektorbetrag
3.2
$\blacktriangleright$  Koordinaten bestimmen
Bestimme zunächst den Mittelpunkt der Grundfläche:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OM}&=&\overrightarrow{OC}+\dfrac{1}{2}\cdot \overrightarrow{CD}+\dfrac{1}{2}\cdot \overrightarrow{DE}& \\[5pt] &=&\begin{pmatrix}4\\0\\4\end{pmatrix}+\dfrac{1}{2}\cdot \begin{pmatrix}2\\0\\4\end{pmatrix}+\dfrac{1}{2}\cdot \begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}\\[5pt] &=&\begin{pmatrix}4\\0\\4\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}\\[5pt] &=&\begin{pmatrix}7\\0\\5\end{pmatrix} \end{array}$
$ \overrightarrow{OM}=\begin{pmatrix}7\\0\\5\end{pmatrix}$
Da die Spitze senkrecht auf der Grundfläche stehen soll, muss die Spitze auch senkrecht zu $x_1x_3$-Ebene stehen. Der Abstand soll $1~\text{m}$ sein. Der Vektor $\overrightarrow{MS}$ ist demnach $\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$. Somit gilt für die Spitze:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OS}&=&\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MS} \\[5pt] &=&\begin{pmatrix}7\\0\\5\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} \\[5pt] &=&\begin{pmatrix}7\\1\\5\end{pmatrix} \end{array}$
Die Koordinaten der Spitze sind $S(7|1|5)$.
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