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Aufgabe 3 -Wahrscheinlichkeit

Aufgaben
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1.
In einem Schulzentrum arbeiten insgesamt $4500$ Schülerinnen und Schüler, Lehrkräfte und Angestellte. Alle dieser Personen können in der Mensa des Schulzentrums essen.
Von diesen $4500$ Personen gehen $2925$ regelmäßig (d.h. mindestens einmal pro Woche) in die Mensa essen, die restlichen essen dort nie oder nur selten. Unter den Personen, die regelmäßig in der Mensa essen, sind $234$ Vegetarier. Diese nehmen ausschließlich vegetarisches Essen zu sich. Insgesamt sind $8~\%$ aller Personen des Schulzentrums Vegetarier.
1.1
Betrachte die Merkmale
M:
„Die Person besucht regelmäßig die Mensa.“
V:
„Die Person ist Vegetarier.“
und erstelle zu der oben beschriebenen Situation eine vollständige Vierfeldertafel.
#vierfeldertafel
1.2
Berechne die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
A:
„Eine zufällig ausgewählte Person isst regelmäßig in der Mensa.“
B:
„Eine zufällig ausgewählte Person ist Vegetarier und isst nie oder nur selten in der Mensa.“
C:
„Eine zufällig ausgewählte Person ist regelmäßiger Mensabesucher oder Vegetarier.“
#wahrscheinlichkeit
1.3
Nach Aussage des Küchenchefs haben der regelmäßige Mensabesuch und der Umstand, Vegetarier zu sein, keinen Einfluss aufeinander.
Überprüfe, ob der Küchenchef recht hat.
1.4
Der Küchenchef führt Umfragen unter den Personen durch, die regelmäßig in der Mensa essen. Die letzte Umfrage hat ergeben, dass durchschnittlich $20~\%$ der Nichtvergetarier das vegetarische Essen nehmen.
Bestimme mit Hilfe eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person, die das vegetarische Essen isst, auch ein Vegetarier ist.
2.
Erfahrungsgemäß sind im Mittel drei Viertel aller Mensabesucher mit der Qualität des Essens zufrieden. In einer weiteren Umfrage werden $60$ zufällig ausgewählte Gäste zur Qualität des Essens befragt. Man geht davon aus, dass die Anzahl der Gäste, die zufrieden sind, durch eine binomialverteilte Zufallsgröße beschrieben werden kann.
Beschreibe unter dieser Annahme im Sachzusammenhang ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit mit HIlfe des folgenden Terms berechnet werden kann:
$1-(0,75^0\cdot 0,25^{60}+60\cdot 0,75^1\cdot 0,25^{59})$
3.
Die Mensabesucher wünschen sich eine Erweiterung des Mensa-Angebotes. Das lohnt sich für den Betreiber jedoch nur, wenn jede Person, die die Mensa regelmäßig besucht, wenigstens dreimal pro Woche in der Mensa isst.
Die Zufallsgröße $X$ gibt an, an wie vielen Tagen pro Woche ein zufällig ausgewählter regelmäßiger Mensabesucher, durchschnittlich in der Mensa isst. Mit Hilfe von Stichproben konnte folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung für $X$ ermittelt werden.
$x$$1 $$ 2$$ 3$$4 $$ 5$
$P(X=x)$$ 0,14$$ 0,24$$0,32 $$ 0,2$$ 0,1$
$x$$P(X=x)$
$1 $$0,14 $
$2 $$ 0,24$
$ 3$$ 0,32$
$4 $$0,2 $
$5 $$ 0,1$
3.1
Berechne den Erwartungswert der Zufallsgröße $X$. Interpretiere diesen Wert und die daraus zu ziehenden Konsequenzen im Sachzusammenhang.
#erwartungswert
3.2
Im Folgenden wird eine Zufallsgröße $Y$ betrachtet, die die gleichen Werte wie $X$ annimmt. Die Zufallsgröße $Y$ soll den gleichen Erwartungswert wie $X$, aber eine größere Varianz als $X$ aufweisen.
Gebe ein Beispiel für eine mögliche Wahrscheinlichkeitsverteilung für $Y$ an. Erläutere deine Vorgehensweise.
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Lösungen
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1.1
$\blacktriangleright$  Vierfeldertafel ausfüllen
Es gibt insgesamt $4500$ Schüler. Davon sind $2925$ Mensabesucher und $8~\%=360$ Vegetarier. Außerdem erfährst du, dass $234$ der Mensabesucher auch Vegetarier sind. Trage zunächst diese Informationen in eine Vierfeldertafel ein:
$M$$\overline{M}$Gesamt
$V$$234$$360$
$\overline{V}$
Gesamt$2925$$4500$
Jetzt kannst du den Rest der Tafel berechnen:
$M$$\overline{M}$Gesamt
$V$$234$$360-234=126$$360$
$\overline{V}$$2925-234=2691$$1575-126=1449$$4500-360=4140$
Gesamt$2925$$4500-2925=1575$$4500$
$M$$\overline{M}$Gesamt
$V$$234$$126$$360$
$\overline{V}$$2691$$1449$$4140$
Gesamt$2925$$1575$$4500$
1.2
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten berechnen
Es essen $2925$ Personen regelmäßig in der Mensa. Für die Wahrscheinlichkeit gilt:
$P(A)=\dfrac{2925}{4500}=0,65=65~\%$
In der Vierfeldertafel kannst du ablesen, dass es $126$ Personen gibt die Vegetarier sind und nie oder selten in der Mensa essen. Damit gilt für die Wahrscheinlichkeit:
$P(B)=\dfrac{126}{4500}=0,028=2,8~\%$
In diesem Fall ist es nicht erlaubt die Zahl der Vegetarier und der Mensabesucher zu addieren, da manche Personen sonst doppelt gezählt werden würden. Addiere zu den Mensabesuchern noch die Zahl der Vegetarier, die keine Mensabesucher sind, um die Anzahl der Personen zu bestimmen, die regelmäßig die Mensa besuchen oder Vegetarier sind: $2925+126=3051$.
Alternativ kannst du das Gegenereignis bestimmen. Dies wäre die Anzahl der Personen, die weder Vegetarier, noch Mensabesucher sind. Dies kannst du auch an der Vierfeldertafel mit $1449$ Personen ablesen. Druch $4500-1449=3051$ erhältst du wiederrum die gesuchte Zahl. Für die Wahrscheinlichkeit gilt:
$P(C)=\dfrac{3051}{4500}=0,678=67,8~\%$
1.3
$\blacktriangleright$  Aussage überprüfen
Falls die Aussage wahr ist, müsste die Wahrscheinlichkeit einen Vegetarier anzutreffen gleich sein, egal ob bei den Mensabesuchern oder bei den Personen, die nicht in die Mensa gehen. Berechne also die beiden bedingten Wahrscheinlichkeiten:
$P_{\overline{M}}(V)=\dfrac{126}{1575}=0,08=8~\%$
$ P(V\text{ aus }M)=\dfrac{234}{2925}=8~\% \\ P(V\text{ aus }\overline{M} )=\dfrac{126}{1575}=8~\% $
Damit ist die Aussage bestätigt.
1.4
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Aufgabe 3 -Wahrscheinlichkeit
Abb. 1: Baumdiagramm
Aufgabe 3 -Wahrscheinlichkeit
Abb. 1: Baumdiagramm
#baumdiagramm
2.
$\blacktriangleright$  Ereignis beschreiben
In der Aufgabe ist von einer Binomialverteilung die Rede mit der Wahrscheinlichkeit $p=\dfrac{3}{4}=0,75$ für eine zufriedene Person und $n=60$ Personen.
Mit dem Ausdruck
$0,75^0\cdot 0,25^{60}=\begin{pmatrix}60\\0\end{pmatrix}\cdot 0,75^0\cdot 0,25^{60}$
$ 0,75^0\cdot 0,25^{60} $
wird die Wahrscheinlichkeit für $0$ von $60$ zufriedene Personen bestitmmt.
Mit
$60\cdot 0,75^1\cdot 0,25^{59}=\begin{pmatrix}60\\1\end{pmatrix}\cdot 0,75^0\cdot 0,25^{60}$
$ 60\cdot 0,75^1\cdot 0,25^{59} $
wird die Wahrscheinlichkeit für $1$ zufridene Person aus $60$ berechnet.
Der gesamte Ausdruck berechnet also die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses von keiner oder einer zufriedenen Person. Das gesuchte Ereignis ist, dass mindestens $2$ Personen mit der Qualität des Essens zufrieden sind.
3.1
$\blacktriangleright$  Erwartungswert berechnen
Der Erwartungswert lässt sich wie folgt berechnen:
$E(X)=1\cdot 0,14+2\cdot 0,24+3\cdot 0,32+4\cdot 0,2+5\cdot 0,1=2,88$
$ E(X)=… $
Im Durchschnitt geht ein Mensabesucher $2,88$ Mal pro Woche in die Mensa. Somit würde sich eine Erweiterung des Mensa-Angebotes für den Betreiber nicht lohnen.
3.2
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeitsverteilung angeben
Die Varianz ist ein Maß für die Streuung der einzelnen Stichproben um den Erwartungswert. Gehen alle oder die meisten Personen $2$ oder $3$ mal pro Woche in Mensa, so ist die Varianz klein, weil die Stichproben alle nahe am Erwartungswert liegen. Sind unter den Besuchern allerdings viele die nur $1$ oder sogar $5$ mal pro Woche in die Mensa gehen, so ist die Streuung (der Abstand) der Stichproben zum Erwartungswert größer und damit auch die Varianz.
Um die Verteilung leichter berechnen zu können, kannst du $P(X=2)=0$, $P(X=3)=0$ und $P(X=4)=0$ setzen. Gehe also davon aus, dass die Mensabesucher entweder $1$ oder $5$ mal pro Woche in der Mensa essen:
$x$$1 $$ 2$$ 3$$4 $$ 5$
$P(X=x)$$ p$$ 0$$0 $$ 0$$ 1-p$
$x$$P(X=x)$
$1 $$p $
$2 $$ 0$
$ 3$$ 0$
$4 $$0$
$5 $$ 1-p$
Jetzt musst du noch die Wahrscheinlichkeit so wählen, dass der Erwartungswert $E(X)=2,88$ stimmt. Löse dafür die Gleichung nach $p$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} 1\cdot p+5 \cdot (1-p)&=& 2,88\\[5pt] -4p+5&=& 2,88 &\quad \scriptsize \mid\;-5 \\[5pt] -4p&=& -2,12 &\quad \scriptsize \mid\; :(-4)\\[5pt] p&=&0,53 \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} 1\cdot p+5 \cdot (1-p)&=& 2,88\\[5pt] p&=&0,53 \end{array} $
Somit wäre eine Mögliche Verteilung mit höherer Varianz:
$x$$1 $$ 2$$ 3$$4 $$ 5$
$P(X=x)$$ 0,53$$ 0$$0 $$ 0$$ 0,47$
$x$$P(X=x)$
$1 $$0,53 $
$2 $$ 0$
$ 3$$ 0$
$4 $$0$
$5 $$ 0,47$
#erwartungswert
-- bildnachweis --
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