Inhalt
Smarter Learning!
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
SL, Gemeinschaftsschule
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 13
Klasse 13
Klasse 12
Klasse 11
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Klasse 7
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Geo
Lernbereich
Digitales Schulbuch
Abitur E-Kurs
Abitur G-Kurs
Mittlerer Bildungsabschlu...
VERA 8 E-Kurs
VERA 8 G-Kurs
Mittlerer Bil...
Prüfung
wechseln
Abitur E-Kurs
Abitur G-Kurs
Mittlerer Bildungsabschluss
VERA 8 E-Kurs
VERA 8 G-Kurs
Smarter Learning!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!

Pflichtteil

Aufgaben
Download als Dokument:PDF

Aufgabe 1

a)
Mit der folgenden Formel kann man das Volumen eines Körpers berechnen:
$V=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot r^2 \cdot h$
$V=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot r^2 \cdot h$
i)
Kreuze das Kästchen unter dem Körper an, dessen Volumen man mit dieser Formel berechnen kann.
(1 P.)
ii)
Wie bezeichnet man den von dir angekreuzten Körper?
(1 P.)
iii)
Gib eine Formel an, mit der man die Mantelfläche des angekreuzten Körpers berechnen kann.
(1 P.)
b)
i)
Ordne den folgenden Bezeichnungen des rechtwinkligen Dreiecks die passenden Seiten $x$, $y$ und $z$ zu:
(1 P.)
ii)
Gib für das angegebene Dreieck mithilfe der Seiten $x$, $y$ und $z$ an:
(2 P.)
c)
i)
Gib in Zehnerpotenzschreibweise an:
(1 P.)
$450.000=$$0,00039=$
ii)
Gib ohne Potenz an:
(1 P.)
$2,3\cdot10^{-3}=$$5,13\cdot10^4=$
d)
i)
Gib in der Tabelle die Koordinaten des Scheitelpunkts der folgenden quadratischen Funktion an und kreuze die zutreffende Aussage an.
(2 P.)

FunktionsgleichungScheitelpunktÖffnungForm
$f(x)=-3\cdot(x+2)^2-4$ S (__/__) nach unten


nach oben

in $y$-Richtung gestreckt


in $y$-Richtung gestaucht

ii)
Berechne die Lösungen der folgenden quadratischen Gleichungen:
(2 P.)
$2\cdot(x+3)^2-8=0$
e)
Die Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion lautet $f(x)=4\cdot2^x$.
i)
Ergänze die fehlenden Werde in der Wertetabelle, sodass sie zur angegebenen Exponentialfunktion passen.
(2 P.)
$x$$-1$$0$$1$$2$$3$$4$
$f(x)$ $4$$8$$16$$32$
ii)
Skizziere den Graphen der Funktion $f(x)$ in dem Koordinatensystem. Wähle eine geeignete Einteilung.
(2 P.)
f)
Ein Glücksrad soll in farbige Felder unterteilt werden, sodass das Glücksrad mit einer Wahrscheinlichkeit von $25\%$ auf einem blauen Feld stehenbleibt. In einem Drittel der Fälle soll das Glücksrad auf einem grünen Feld stehenbleiben, die restlichen Felder sollen weiß sein. Färbe das Glücksrad so ein, dass die angegebenen Wahrscheinlichkeiten stimmen.
(2 P.)
g)
Eine quaderförmige Holzplatte aus Eichenholz hat eine Länge von $60\,\text{cm}$, eine Breite von $15\,\text{cm}$ und eine Höhe von $1\,\text{cm}$. Die Holzplatte wiegt $1\,\text{kg}$.
Wie schwer ist eine zweite, ebenfalls quaderförmige Holzplatte, wenn sie auch aus Eichenholz gefertigt ist? Notiere deine Überlegungen.
(2 P.)
Maße der zweiten Holzplatte: Länge $=60\,\text{cm}$, Breite $=15\,\text{cm}$, Höhe $=2\,\text{cm}$
#quadratischefunktion#satzdespythagoras#potenzschreibweise#exponentialfunktion#trigonometrie

Aufgabe 2

a)
Ein Kreis hat den Durchmesser $2,5\,\text{cm}$. Berechne den Umfang und den Flächeninhalt dieses Kreises.
(2 P.)
b)
Berechne den Umfang eines Kreises, dessen Flächeninhalt $12,57\,\text{cm}^2$ beträgt.
(2 P.)
c)
Berechne den Flächeninhalt der folgenden Figur:
(2 P.)
#kreis

Aufgabe 3

a)
Die rechtwinkligen Stufen einer Wohnungstreppe haben eine Höhe von $\text{h} = 15 \,\text{cm}$ und eine Trittlänge von $\text{t} = 35 \,\text{cm}$. Rechne nach, ob die Treppenformel für diese Wohnungstreppe erfüllt ist.
(1,5 P.)
b)
Bei einer Treppe mit einer Trittlänge von $\text{t} = 29 \,\text{cm}$ ist der in der Abbildung eingezeichnete Winkel $\alpha=30,5^{\circ}$. Ist die Treppenformel für diese Treppe erfüllt? Begründe durch eine Rechnung.
(2 P.)
c)
Von einer Treppe sind die in der Zeichnung angegebenen Maße bekannt. Ist die Treppenformel für diese Treppe erfüllt? Begründe deine Rechnung.
(2,5 P.)
#satzdespythagoras

Aufgabe 4

a)
Löse das folgende Gleichungssystem.
(3 P.)
$\begin{array}[t]{rll} \text{I}. \; 0,5x-4y&=& -1 \\[5pt] \text{II}. \; 1,5x+2y&=& 11 \end{array}$
b)
Beschreibe in Worten schrittweise die Vorgehensweise, mit der du folgendes Gleichungssystem lösen würdest.
(1,5 P.)
$\begin{array}[t]{rll} \text{I}. \; y&=& 2x+1 \\[5pt] \text{II}. \; 3x+2y&=& -5 \end{array}$
c)
Bestimme die Lösung des folgenden Gleichungssystems zeichnerisch.
(1,5 P.)
$\begin{array}[t]{rll} \text{I}. \; y&=& x-2 \\[5pt] \text{II}. \; y&=& -2x+4 \end{array}$
#einsetzungsverfahren#additionsverfahren#gleichungssystem#gleichsetzungsverfahren

Aufgabe 5

In einem Freizeitpark kann man in einem kugelförmigen Helium-Ballon, an dem Sitze befestigt sind, aufsteigen.
a)
Der Ballon hat einen Durchmesser von $8\,\text{m}$. Rechne nach, dass der Ballon dann ein Volumen von ungefähr $270\,\text{m}^2$ hat.
(2 P.)
b)
Je Kubikmeter Helium kann der Ballon eine Masse von $1\,\text{kg}$ anheben. Können die Freunde Agnes ($55\,\text{kg}$) und Benedikt ($83\,\text{kg}$) gemeinsam mit dem Ballon aufsteigen, wenn der gefüllte Ballon komplett mit Korb und Seil bereits $180\,\text{kg}$ wiegt? Rechne nach.
(1 P.)
c)
Ein anderer Ballon hat den halben Durchmesser. Matthias behauptet, dass dieser Ballon dann auch die halbe Masse anheben kann.
Hat Matthias Recht? Begründe.
(1 P.)
d)
Die Ballonhülle wird aus einer speziellen Kunststofffaser gefertigt. Berechne, wie viel Quadratmeter Kunststofffaser man für die komplette Ballonhülle benötigt, wenn der Ballon einen Durchmesser von $8\,\text{m}$ hat.
(2 P.)
#kugel

Aufgabe 6

Dennis Schröder aus Braunschweig ist ein deutscher Sportler, der seit der Saison 2013-2014 in der nordamerikanischen Profilliga NBA Basketball spielt. In den Boxplots ist jeweils die Verteilung der von Dennis Schröder erzielten Punkte in den Spielen der Saison 2013-2014 bzw. 2014-2015 dargestellt.
a)
Entscheide, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind, oder ob man das nicht mit Hilfe der Boxplots entscheiden kann. Kreuze entsprechend an.
(2 P.)
Aussagerichtigfalschkann man
nicht entscheiden
Dennis Schröder hat in der Saison 2013-2014 in der Hälfte der Spiele mindestens 4 Punkte erzielt.
Dennis Schröder hat in der Saison 2013-2014 in keinem Spiel mehr als 6 Punkte erzielt.
Dennis Schröder hat in der Saison 2014-2015 in jedem Spiel Punkte erzielt.
Dennis Schröder hat in der Saison 2014-2015 in genau einem Spiel 24 Punkte erzielt.
b)
Begründe deine Entscheidung für die letzte Aussage in der Tabelle
Dennis Schröder hat in der Saison 2014-2015 in genau einem Spiel 24 Punkte erzielt.
(1 P.)
c)
Um den Meister in der NBA zu ermitteln, treten die besten Teams der Saison in einer Meisterschaftsrunde gegeneinander an. In der folgenden Rangliste sind die von Dennis Schröder in 13 Spielen der Meisterrunde erzielten Punkte notiert:
Punkte$0$$0$$4$$5$$6$$6$$9$$9$$9$$12$$13$$14$$18$

(1 P.)
i)
Ermittle mit der Rangliste die folgenden Kennwerte. Trage sie in die Tabelle ein.
(2 P.)

MinimumMaximumMedianUnteres QuartilOberes Quartil





ii)
Zeichne den zugehörigen Boxplot.
(2 P.)

#boxplot#median#quartil

Aufgabe 7

Der Wirkstoff von Kopfschmerztabletten wird im Körper exponentiell abgebaut. Dabei nimmt die Wirkstoffmenge im Körper um $20\%$ pro Stunde ab. Eine Kopfschmerztablette enthält $500\,\text{mg}$ des Wirkstoffs.
a)
Berechne die Wirkstoffmenge im Körper, wenn seit der Einnahme der Kopfschmerztablette $1$ Stunde vergangen ist.
(1 P.)
b)
Gib eine Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion an, mit der der Abbau der Wirkstoffmenge im Körper beschrieben werden kann, nachdem man eine Kopfschmerztablette eingenommen hat.
(1 P.)
c)
Sara behauptet: „Nach $3$ Stunden halbiert sich die Wirkstoffmenge im Körper.“ Hat Sara Recht? Erkläre.
(1,5 P.)
d)
Weil ihm die Wirkung der ersten Tabelle nicht ausreichend erscheint, nimmt ein Patient nach $90$ Minuten noch eine weitere Kopfschmerztablette ein. Berechne die Wirkstoffmenge, die sich jetzt im Körper des Patienten befindet.
(2,5 P.)
#exponentielleswachstum
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© 2016 – SchulLV.
[2]
© 2016 – SchulLV.
[3]
© 2016 – SchulLV.
[4]
© 2016 – SchulLV.
[5]
© 2016 – SchulLV.
[6]
© 2016 – SchulLV.
[7]
© 2016 – SchulLV.
[8]
© 2016 – SchulLV.
[9]
© 2016 – SchulLV.
[10]
Public Domain.
[11]
© 2016 – SchulLV.
[12]
© 2016 – SchulLV.
[13]
© 2016 – SchulLV.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Tipps
Download als Dokument:PDF

Aufgabe 1

a)
i)
$\blacktriangleright$ Volumenformel nennen
Deine Aufgabe ist es, den Körper anzukreuzen, dessen Volumen die Formel $V=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot r^2 \cdot h$ angibt. Hierzu solltest du dir erst in Erinnerung rufen, um welche Körper es sich handelt und dann die jeweiligen Volumenformeln mit der angegebenen Formel vergleichen.
ii)
$\blacktriangleright$ Körper benennen
Du sollst nun den Körper benennen, der mit der entsprechenden Volumenformel berechnet wird.
iii)
$\blacktriangleright$ Mantelfläche berechnen
Die Mantelfläche des angegebenen Körpers lässt sich mit einer Formel berechnen.
b)
i)
$\blacktriangleright$ Seiten im Dreieck
Du sollst den angegebenen Seiten die entsprechenden Bezeichnungen zuordnen. Hierbei ist es wichtig, dass es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt. Du kennst die Bezeichnungen der Seiten $x$, $y$ und $z$ aus dem Unterricht. Die Seite gegenüber des rechten Winkels ist immer die Hypothenuse. Die Seite, die am Winkel $\alpha$ liegt, heißt Ankathete, und die Seite, die $\alpha$ gegenüberliegt heißt Gegenkathete.
ii)
$\blacktriangleright$ Winkel im Dreieck
Die Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck helfen dir dabei, Seitenlängen zu berechnen und umgekehrt. Hierzu werden Kathete, Ankathete und Hypothenuse verwendet. Die drei Seiten lassen sich mit der Formel vom Satz des Pythagoras berechnen. Deine Aufgabe ist es, die Berechnungen Sinus, Cosinus und Tangens mithilfe der Winkel und Seiten anzugeben.
c)
i)
$\blacktriangleright$ Potenzschreibweise
Du sollst in der Aufgabe die Zahlen in Zehnerpotenzen umschreiben. Dabei entspricht jede Verschiebung des Kommas um eine Stelle nach links einer Potenz. Jede Verschiebung nach rechts entspricht einer negativen Potenz.
ii)
$\blacktriangleright$ Potenzschreibweise
Nun gilt es, das Gegenteil der vorherigen Aufgabe anzuwenden. Verschiebe bei den angegebenen Zahlen das Komma um die entsprechende Anzahl nach links oder rechts.
d)
i)
$\blacktriangleright$ Scheitelpunktform
Du sollst zu der angegebenen quadratischen Gleichung Scheitelpunkt, Öffnung, Stauchung und Streckung herausfinden. Hierzu ist die Funktion schon in der Scheitelpunktsform angegeben.
$f(x)=a(x-d)^2+e$, wobei der Scheitelpunkt $S=(d \mid e)$ ist.
  • $a<1$ bedeutet, die Funktion ist gestaucht.
  • $a>1$ bedeutet, die Funktion ist gestreckt.
  • Die Parabel ist nach unten geöffent, wenn $a$ negativ ist.
$f(x)=a(x-d)^2+e$, wobei der Scheitelpunkt $S=(d/e)$ ist.
  • $a<1$ bedeutet, die Funktion ist gestaucht.
  • $a>1$ bedeutet, die Funktion ist gestreckt.
  • Die Parabel ist nach unten geöffnet, wenn $a$ negativ ist.
ii)
$\blacktriangleright$ quadratische Gleichung
Um die Lösung der quadratischen Gleichung zu berechnen, wandelst du die Scheitelpunktsform in die allgemeine Form um. Dann dividierst du durch den Faktor vor dem $x^2$, sodass dieses alleine steht und wendest die p,q-Formel an.
$x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$
$x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$
e)
i)
$\blacktriangleright$ Wertetabelle der Exponentialfunktion
Um die fehlenden Werte in der Tabelle zu ergänzen musst du den entsprechenden $x$-Wert in die Formel $f(x)=4\cdot2^x$ eintragen und dann den Wert für $f(x)$ berechnen.
ii)
$\blacktriangleright$ Skizze der Exponentialfunktion
Skizziere den Graphen der Funktion $f(x)$ in dem Koordinatensystem, indem du dir zunächst für die $y$-Achse eine passende Skala überlegst. Dann kannst du die Punkte aus der Wertetabelle eintragen. Lege eine Kurve durch die Punkte.
f)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten
Ein Glücksrad soll in farbige Felder unterteilt werden. Dazu sollte dir zunächst bewusst sein, dass das gesamte Glücksrad aus $12$ Teilen besteht.
g)
$\blacktriangleright$ Volumenberechnung
Um das Gewicht der Holzplatte zu berechnen solltest du erst das Volumen der jeweiligen Platten berechnen und hier dann das Verhältnis von Platte eins zu zwei betrachten. Da sich Volumen und Gewicht linear verhalten, kannst du so das Gewicht herleiten.
Formel: $V=a \cdot b \cdot d$

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$ Kreisumfang und Flächeninhalt
Die angegebenen Informationen sollst du nutzen, um Umfang und Flächeninhalt des Kreises zu berechnen. Hierzu solltest du aus dem Durchmesser den Radius berechnen und dann die dir bekannten Formeln verwenden.
$\text{d}=2 \cdot \text{r}$
$\text{U} = 2 \cdot \pi \cdot \text{r}$
$\text{A} = \pi \cdot \text{r}^2$
$d=2 \cdot r$
$U = 2 \cdot \pi \cdot r$
$A = \pi \cdot r^2$
b)
$\blacktriangleright$ Kreisumfang
Berechne nun den Umfang eines Kreises, aus dem gegebenen Flächeninhalt. Hierzu kannst du die Formeln aus Aufgabe a) verwenden und nach $\text{r}$ umstellen. Dann kannst du mit dem ermittelten Radius den Umfang berechnen.
c)
$\blacktriangleright$ Flächeninhalt Figur
Um den Flächeninhalt der Figur zu berechnen, solltest du die Figur in Teile unterteilen, die gut zu berechnen sind. Der Flächeninhalt der einzelnen eingefärbten Flächen lässt sich gut bestimmen und im Anschluss kannst du die Flächeninhalte addieren.
Fläche $1$: Hierbei handelt es sich um einen Halbkreis, der über die hell orangene Fläche hinausgeht.
Fläche $2$: Auch das ist ein Halbkreis, wobei der Radius halb so groß ist, wie bei dem blauen Halbkreis.
Fläche $3$: Hier kommt an der einen Stelle die orangene Fläche hinzu, während an der anderen Stelle die hell orangene Fläche abgezogen wird. Somit kannst du die beiden Flächen für die Berechnung der Gesamtfläche ignorieren.

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$ Treppenformel prüfen
Nun sollst du für die angegebenen Werte überprüfen, ob die Treppenformel erfüllt ist. Hierzu kannst du die gegebenen Werte in die Formel eintragen, das Ergebnis berechnen und dann bewerten.
Treppenformel : $2 \cdot \text{h} + \text{t}$
b)
$\blacktriangleright$ Treppenformel aus Winkel berechnen
Nun hast du nicht die Höhe und die Tiefe der Stufe gegeben, sondern einen Winkel. Da es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, kannst du mit dem Tangens die Höhe berechnen. Im Anschluss kannst du, wie in Aufgabenteil a) die Treppenformel überprüfen.
c)
$\blacktriangleright$ Treppenformel gesamt bestimmen
Bei der Zeichnung hast du nicht die Diagonale für eine Treppenstufe gegeben, sondern für drei Treppenstufen. Wenn du nun die Gesamtlänge durch drei teilst, hast du die Diagonale einer Stufe ermittelt. Mit dem Satz des Pythagoras kannst du danach die Höhe und schließlich die Treppenformel berechnen.

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$ Lineares Gleichungssystem lösen
Zur Lösung des linearen Gleichungssystems bieten sich drei Verfahren, das Additions-, das Gleichsetzungs- und das Einsetzungsverfahren an. Wir wählen für diese Aufgaben das Einsetzungsverfahren, stellen also die erste Gleichung nach $x$ um und setzen dieses Ergebnis dann in der zweiten Gleichung für $x$ ein, um $y$ zu berechnen.
b)
$\blacktriangleright$ Lineares Gleichungssystem lösen
Um das Gleichungssystem zu lösen bietet sich das Einsetzungsverfahren an, da eine Gleichung bereits nach einer Variablen umgestellt ist. Hierzu setzt du im ersten Schritt die Gleichung I. für $y$ in die zweite Gleichung ein. Dabei ist es wichtig, die Gleichung I. in Klammern zu belassen, die dann ausmultipliziert werden müssen. Im Anschluss werden entsprechende Werte zusammengefasst und nach $x$ umgestellt. Das Ergebnis für $x$ kann man dann in die Gleichung I. einsetzen und so $y$ berechnen.
c)
$\blacktriangleright$ Lineares Gleichungssystem lösen
Die Lösung für das Gleichungssystem ergibt sich daraus, dass du die beiden linearen Funktionen als Geraden in das Koordinatensystem einträgst und dann ihren Schnittpunkt bestimmst. Hierzu markierst du ausgehend vom $y$-Achsenabschnitt das entsprechende Steigungsdreieck und zeichnest dann eine Gerade ein.

Aufgabe 5

a)
$\blacktriangleright$ Volumen der Kugel bestimmen
Um das Volumen einer Kugel zu berechnen hilft dir folgende Formel:
$V=\frac {4}{3} \; \cdot \; \pi \; \cdot \; r^3$
$V=\frac {4}{3} \; \cdot \; \pi \; \cdot \; r^3$
Der Ballon hat einen Durchmesser von $8\,\text{m}$, um nun zu überprüfen, ob das angegebene Volumen stimmt, kannst und es mit der Formel berechnen. Achtung, die Formel nutzt den Radius und du hast den Durchmesser angegeben. Den Durchmesser musst du also noch halbieren, um den Radius zu erhalten.
b)
$\blacktriangleright$ Gewicht berechnen
Um das zu berechnen, musst du sowohl das Gesamtgewicht von Agnes, Benedikt und dem Ballongewicht bestimmen als auch die Tragleistung des Ballons. Für das Gesamtgewicht kannst du alle Teilgewichte addieren. Die Tragleistung berechnest du, indem du die Kubikmeterzahl des gesamten Ballons mit der tragbaren Masse pro Kubikmeter multiplizierst.
c)
$\blacktriangleright$ Volumen der Kugel bestimmen
Erneut kannst du die Volumenberechnung durchführen. Bei halbem Durchmesser halbiert sich folglich auch der Radius, den du für deine Berechnung brauchst.
d)
$\blacktriangleright$ Oberfläche der Kugel berechnen
Um die Oberfläche der Kugel zu berechnen hilft dir folgende Formel:
$V=4 \; \cdot \; \pi \; \cdot \; r^2$
$V=4 \; \cdot \; \pi \; \cdot \; r^2$
Um nun die komplette Ballonhülle anzufertigen, musst du aus dem Durchmesser den Radius berechnen und die Formel verwenden.

Aufgabe 6

a)
$\blacktriangleright$ Boxplot auswerten
Bei einem Boxplot werden alle Wurfergebnisse aufsteigend angeordnet und dann ausgewertet. Der Median gibt hierbei genau den mittleren Wert an. Das obere und untere Quartil jeweils $25 \%$ der kleinsten oder größten Werte. Um nun zu entscheiden, welche Aussagen stimmen, schaust du dir die Werte aus der Abbildung genau an.
b)
$\blacktriangleright$ Boxplot auswerten
Der maximale Wert in der Saison 2014-2015 liegt zwar bei $24$, das bedeutet aber nicht, dass dieser Wert genau einmal geworfen wurde.
c)
i)
$\blacktriangleright$ Boxplot auswerten
Um nun die Werte zu bestimmen, die für dieses Boxplot zutreffen ist erstmal die Gesamtzahl der Ergebnisse wichtig. Hier gibt es $13$ Spiele in der Meisterschaft.
ii)
$\blacktriangleright$ Boxplot zeichnen
Um nun das zugehörige Boxplot zu zeichnen, trage Minimum, Maximum, die Quartile und den Median in ein Koordinatensystem ein. Vergiss nicht, die Achsen zu beschriften.

Aufgabe 7

Der Wirkstoff von Kopfschmerztabletten wird im Körper exponentiell abgebaut. Dabei nimmt die Wirkstoffmenge im Körper um $20\%$ pro Stunde ab. Eine Kopfschmerztablette enthält $500\,\text{mg}$ des Wirkstoffs.
a)
$\blacktriangleright$ Prozentrechnung
Um den Wirkstoffgehalt nach einer Stunde zu berechnen, musst du von der Startmenge $500\,\text{mg}$ $20\%$ abziehen. Es befinden sich also noch $80\%$ des Wirkstoffs im Blut.
b)
$\blacktriangleright$ Exponentialfunktion bestimmen
Für die Erstellung der Exponentialfunktion musst du die einzelnen Variablen der allgemeinen Form durch bestimmte Werte füllen. Die allgemeine Exponentialfunktion mit der Form : $f(x)=b \, \cdot \, a^t$.
Das $b$ gibt hierbei den Startwert an. $t$ steht für die Zeit in Stunden und $a$ ist der Wachstumsfaktor.
c)
$\blacktriangleright$ Funktionswert bestimmen
Um den Wert nach $3$ Stunden zu ermitteln, setze $3$ für $t$ in die Funktionsgleichung ein und berechne die Wirkstoffmenge im Körper. Verglichen werden soll das Ergebnis mit der halben Startmenge.
d)
$\blacktriangleright$ Funktionswert bestimmen
Um dieses Ergebnis zu ermitteln, ist es sinnvoll beide Werte getrennt zu berechnen und dann zu addieren. Mit der Funktionsgleichung lässt sich ermitteln, wie viel Wirkstoff nach $90$ Minuten (das entspricht $1,5$ Stunden) im Blut ist. Hierzu werden dann die $500\,\text{mg}$ einer neuen Tablette addiert.
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© 2016 – SchulLV.
[2]
© 2016 – SchulLV.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen
Download als Dokument:PDF

Aufgabe 1

a)
i)
$\blacktriangleright$ Volumenformel
Deine Aufgabe ist es, den Körper anzukreuzen, dessen Volumen die Formel $V=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot r^2 \cdot h$ beschreibt. Hierzu solltest du dir erst in Erinnerung rufen, um welche Körper es sich handelt und dann die jeweiligen Volumenformeln mit der angegebenen Formel vergleichen.
ii)
$\blacktriangleright$ Körper benennen
Du sollst nun den Körper benennen, der mit der entsprechenden Volumenformel berechnet wird. Bei dem Körper handelt es sich um einen Kegel.
iii)
$\blacktriangleright$ Mantelfläche
Die Mantelfläche des angegebenen Körpers lässt sich mit folgender Formel berechnen:
$M=\pi\cdot r\cdot s$, wobei $r=$ Radius und $s=$Kantenlänge.
b)
i)
$\blacktriangleright$ Seiten im Dreieck
Du sollst den angegebenen Seiten die entsprechenden Bezeichnungen zuordnen. Hierbei ist es wichtig, dass es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt. Du kennst die Bezeichnungen der Seiten $x$, $y$ und $z$ aus dem Unterricht. Die Seite gegenüber des rechten Winkels ist immer die Hypothenuse. Die Seite, die am Winkel $\alpha$ liegt, heißt Ankathete, und die Seite, die $\alpha$ gegenüberliegt heißt Gegenkathete.
ii)
$\blacktriangleright$ Winkel im Dreieck
Die Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck helfen dir dabei, Seitenlängen zu berechnen und umgekehrt. Hierzu werden Kathete, Ankathete und Hypothenuse verwendet. Die drei Seiten lassen sich mit der Formel vom Satz des Pythagoras berechnen. Deine Aufgabe ist es, die Berechnungen Sinus, Cosinus und Tangens mithilfe der Winkel und Seiten anzugeben.
c)
i)
$\blacktriangleright$ Potenzschreibweise
Du sollst in der Aufgabe die Zahlen in Zehnerpotenzen umschreiben. Dabei entspricht jede Verschiebung des Kommas um eine Stelle nach links einer Potenz. Jede Verschiebung nach rechts entspricht einer negativen Potenz.
$450.000=45 \cdot 10^4$$0,00039=39 \cdot 10^{-5}$
ii)
$\blacktriangleright$ Potenzschreibweise
Nun gilt es, das Gegenteil der vorherigen Aufgabe anzuwenden. Verschiebe bei den angegebenen Zahlen das Komma um die entsprechende Anzahl nach links oder rechts.
$2,3\cdot10^{-3}=0,0023$$5,13\cdot10^4=51.300$
d)
i)
$\blacktriangleright$ Scheitelpunktform
Du sollst zu der angegebenen quadratischen Gleichung Scheitelpunkt, Öffnung, Stauchung und Streckung herausfinden. Hierzu ist die Funktion schon in der Scheitelpunktsform angegeben.
$f(x)=a(x-d)^2+e$, wobei der Scheitelpunkt $S=(d \mid e)$ ist.
  • $a<1$ bedeutet, die Funktion ist gestaucht.
  • $a>1$ bedeutet, die Funktion ist gestreckt.
  • Die Parabel ist nach unten geöffent, wenn $a$ negativ ist.
$f(x)=a(x-d)^2+e$, wobei der Scheitelpunkt $S=(d\mid e)$ ist.
  • $a<1$ bedeutet, die Funktion ist gestaucht.
  • $a>1$ bedeutet, die Funktion ist gestreckt.
  • Die Parabel ist nach unten geöffnet, wenn $a$ negativ ist.
FunktionsgleichungScheitelpunktÖffnungForm
$f(x)=-3\cdot(x+2)^2-4$ S ($-2 \mid -4$) nach unten


nach oben

in $y$-Richtung gestreckt


in $y$-Richtung gestaucht

ii)
$\blacktriangleright$ Quadratische Gleichung
Um die Lösung der quadratischen Gleichung zu berechnen, wandelst du die Scheitelpunktsform in die allgemeine Form um. Dann dividierst du durch den Faktor vor dem $x^2$, sodass dieses alleine steht und wendest die p,q-Formel an.
$x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$
$x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$
$\begin{array}[t]{rll} 2\cdot(x+3)^2-8&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{binomische Formel}\\[5pt] 2\cdot(x^2+6x+9)-8&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{ausmultiplizieren und zusammenfassen}\\[5pt] 2x^2+12x+10&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] x^2+6x+5&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{p,q-Formel}\\[5pt] x_{1,2}&=& -\frac{6}{2}\pm \sqrt{{\frac{6}{2}}^2-5} &\quad \scriptsize \mid\; \text{berechnen}\\[5pt] x_1 &=& -1\\[5pt] x_2 &=& -5 \end{array}$
e)
i)
$\blacktriangleright$ Wertetabelle der Exponentialfunktion
Um die fehlenden Werte in der Tabelle zu ergänzen, musst du den entsprechenden $x$-Wert in die Funktion einsetzen und dann den Funktionswert berechnen.
$x$$-1$$0$$1$$2$$3$$4$
$f(x)$$\color{#87c800}{2}$ $\color{#87c800}{4}$$\color{#87c800}{8}$$\color{#87c800}{16}$$\color{#87c800}{32}$$\color{#87c800}{64}$
ii)
$\blacktriangleright$ Skizze der Exponentialfunktion
Skizziere den Graphen der Funktion $f(x)$ in dem Koordinatensystem, indem du dir zunächst für die $y$-Achse eine passende Skala überlegst. Dann kannst du die Punkte aus der Wertetabelle eintragen. Lege eine Kurve durch die Punkte.
f)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten
Ein Glücksrad soll in farbige Felder unterteilt werden. Dazu sollte dir zunächst bewusst sein, dass das gesamte Glücksrad aus $12$ Teilen besteht. Ein Drittel von $12$ Flächen entspricht $4$, also müssen vier Flächen grün gemalt werden. $25 \%$ entspricht $\frac{1}{4}$ und somit müssen $3$ Flächen blau gemalt werden.
g)
$\blacktriangleright$ Volumenberechnung
Um das Gewicht der Holzplatte zu berechnen, solltest du erst das Volumen der jeweiligen Platten berechnen und hier dann das Verhältnis von Platte eins zu zwei betrachten. Da sich Volumen und Gewicht linear verhalten, kannst du so das Gewicht herleiten.
Formel: $V=a \cdot b \cdot d$
$V_1=60\, \text{cm} \cdot 15\, \text{cm} \cdot 1\, \text{cm} = 240\, \text{cm}^3$
$V_2=60\, \text{cm} \cdot 15\, \text{cm} \cdot 2\, \text{cm} = 480\, \text{cm}^3$
Hieraus erkennt man, dass das Volumen der zweiten Holzplatte doppelt so groß ist, wie das Volumen der ersten und demnach auch doppelt so viel Gewicht hat. Also wiegt die zweite Holzplatte $1\,\text{kg} \cdot 2 = 2\,\text{kg}$.

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$ Kreisumfang und Flächeninhalt
Die angegebenen Informationen sollst du nutzen, um Umfang und Flächeninhalt des Kreises zu berechnen. Hierzu solltest du mit dem Durchmesser den Radius berechnen und dann die dir bekannten Formeln verwenden.
$\text{d}=2 \cdot \text{r}$
$\text{U} = 2 \cdot \pi \cdot \text{r}$
$\text{A} = \pi \cdot \text{r}^2$
$d=2 \cdot r$
$U = 2 \cdot \pi \cdot r$
$A = \pi \cdot r^2$
Nun kannst du die gegebenen Werte einsetzen: $\text{r} = \frac{2,5\; \text{cm}}{2}= 1,25\; \text{cm}$
Umfang: $\text{U} = 2 \cdot \pi \cdot 1,25\; \text{cm}=7,85 \; \text{cm} $
Flächeninhalt: $\text{A} = \pi \cdot (1,25\; \text{cm})^2=4,91 \; \text{cm}^2 $
b)
$\blacktriangleright$ Kreisumfang
Berechne nun den Umfang eines Kreises, aus dem gegebenen Flächeninhalt. Hierzu kannst du die Formeln aus Aufgabe a) verwenden und nach $\text{r}$ umstellen. Dann kannst du mit dem ermittelten Radius den Umfang berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} U &=& \pi \cdot r^2 \\[5pt] 12,57 \; \text{cm}^2 &=& \pi \cdot \text{r}^2 &\quad \scriptsize \mid\;: \pi \\[5pt] \frac{12,57 \; \text{cm}^2}{\pi} &=& \text{r}^2 &\quad \scriptsize \mid\;: \sqrt{} \\[5pt] \text{r}&=& 2 \;\text{cm} \end{array}$
c)
$\blacktriangleright$ Flächeninhalt Figur
Um den Flächeninhalt der Figur zu berechnen, solltest du die Figur in Teile unterteilen, die gut zu berechnen sind. Der Flächeninhalt der einzelnen eingefärbten Flächen lässt sich gut bestimmen und im Anschluss kannst du die Flächeninhalte addieren.
Fläche $1$: Hierbei handelt es sich um einen Halbkreis, der über die hell orangene Fläche hinausgeht.
$\text{A}_1 = \frac{\pi \cdot2^2}{2} = 2 \pi = 6,28 \; \text{cm}^2$
Fläche $2$: Auch das ist ein Halbkreis, wobei der Radius halb so groß ist, wie bei dem blauen Halbkreis.
$\text{A}_2 = \frac{\pi \cdot1^2}{2} = 0,5 \pi = 1,6 \; \text{cm}^2$
Fläche $3$: Hier kommt an der einen Stelle die orangene Fläche hinzu, während an der anderen Stelle die hell orangene Fläche abgezogen wird. Somit kannst du die beiden Flächen für die Berechnung der Gesamtfläche ignorieren.
Fläche $1$ $+$ Fläche $2$ $+$ Fläche $3$ $= 7,85 \; \text{cm}^2$

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$ Treppenformel prüfen
Nun sollst du für die angegebenen Werte überprüfen, ob die Treppenformel erfüllt ist. Hierzu kannst du die gegebenen Werte in die Formel eintragen, das Ergebnis berechnen und dann bewerten.
Treppenformel : $2 \cdot \text{h} + \text{t}$
$ 2 \cdot 15 \,\text{cm} + 35 \,\text{cm} = 65 \,\text{cm} $
Da das Ergebnis im angegebenen Intervall ist, ist die Treppenformel erfüllt.
b)
$\blacktriangleright$ Treppenformel aus Winkel berechnen
Nun hast du nicht die Höhe und die Tiefe der Stufe gegeben, sondern einen Winkel. Da es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, kannst du mit dem Tangens die Höhe berechnen. Im Anschluss kannst du, wie in Aufgabenteil a) die Treppenformel überprüfen.
c)
$\blacktriangleright$ Treppenformel prüfen
Bei der Zeichnung hast du nicht die Diagonale für eine Treppenstufe gegeben, sondern für drei Treppenstufen. Wenn du nun die Gesamtlänge durch drei teilst, hast du die Diagonale einer Stufe ermittelt. Mit dem Satz des Pythagoras kannst du danach die Höhe und schließlich die Treppenformel berechnen.
Diagonale $\text{d} = 60 \; \text{cm} : 3 = 20 \; \text{cm}$
Satz des Pythagoras:
$\begin{array}[t]{rll} d^2 &=& t^2 + h^2 \quad \scriptsize \mid\ -t^2 \\[5pt] h^2 &=& d^2-t^2 \\[5pt] &=& \left(20\,\text{cm}\right)^2 - \left(15\,\text{cm}\right)^2 \\[5pt] &=& 400\,\text{cm}^2 - 225\,\text{cm}^2 \\[5pt] &=& 175\,\text{cm}^2 \quad \scriptsize \mid\ \sqrt{} \\[5pt] h &\approx& 13,23\,\text{cm} \end{array}$
Treppenformel : $2 \cdot \text{h} + \text{t}$
$ 2 \cdot 13,23 \,\text{cm} + 15 \,\text{cm} = 41,46 \,\text{cm} $
Da das Ergebnis im angegebenen Intervall ist, ist die Treppenformel erfüllt.

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$ Lineares Gleichungssystem lösen
Zur Lösung des linearen Gleichungssystems bieten sich drei Verfahren, das Additions-, das Gleichsetzungs- und das Einsetzungsverfahren an. Wir wählen für diese Aufgaben das Einsetzungsverfahren, stellen also die erste Gleichung nach $x$ um und setzen dieses Ergebnis dann in der zweiten Gleichung für $x$ ein, um $y$ zu berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \text{I}. \; 0,5x-4y&=& -1 &\quad \scriptsize \mid\;+ 4y \\[5pt] \text{I}. \; 0,5x &=& -1+4y &\quad \scriptsize \mid\ \cdot 2 \\[5pt] \text{I}. \; x &=& -2+8y \\[5pt] \\[5pt] \text{II}. \; 1,5 \cdot (-2+8y)+2y &=& 11 &\quad \scriptsize \mid\ \text{ausmultiplizieren} \\[5pt] \text{II}. \; -3+12y+2y &=& 11 &\quad \scriptsize \mid\ \text{zusammenfassen} \\[5pt] \text{II}. \; -3+14y &=& 11 &\quad \scriptsize \mid\ +3 \\[5pt] \text{II}. \; 14y &=& 14 &\quad \scriptsize \mid\ :14 \\[5pt] \text{II}. \; y &=& 1 \end{array}$
Nun kannst du den $y$-Wert in die erste Gleichung einsetzen und $x$ ermitteln. Hieraus folgt: $x=-2+8 \cdot 1=6$.
b)
$\blacktriangleright$ Lineares Gleichungssystem lösen
Um das Gleichungssystem zu lösen bietet sich das Einsetzungsverfahren an, da eine Gleichung bereits nach einer Variablen umgestellt ist. Hierzu setzt du im ersten Schritt die Gleichung I. für $y$ in die zweite Gleichung ein. Dabei ist es wichtig, die Gleichung I. in Klammern zu belassen, die dann ausmultipliziert werden muss. Im Anschluss werden entsprechende Werte zusammengefasst und nach $x$ umgestellt. Das Ergebnis für $x$ kann man dann in die Gleichung I. einsetzen und so $y$ berechnen.
c)
$\blacktriangleright$ Lineares Gleichungssystem lösen
Die Lösung für das Gleichungssystem ergibt sich daraus, dass du die beiden linearen Funktionen als Geraden in das Koordinatensystem einträgst und dann ihren Schnittpunkt bestimmst. Hierzu markierst du ausgehend vom $y$-Achsenabschnitt das entsprechende Steigungsdreieck und zeichnest dann eine Gerade ein.
Im Koordinatensystem kannst du nun den Schnittpunkt der beiden Geraden ablesen. Dieser liegt bei $(2 \mid 0)$.

Aufgabe 5

a)
$\blacktriangleright$ Volumen der Kugel bestimmen
Um das Volumen einer Kugel zu berechnen, hilft dir folgende Formel:
$V=\frac {4}{3} \; \cdot \; \pi \; \cdot \; r^3$
$V=\frac {4}{3} \; \cdot \; \pi \; \cdot \; r^3$
Der Ballon hat einen Durchmesser von $8\,\text{m}$, um nun zu überprüfen, ob das angegebene Volumen stimmt, kannst und es mit der Formel berechnen. Achtung, die Formel nutzt den Radius und du hast den Durchmesser angegeben. Den Durchmesser musst du also noch halbieren, um den Radius zu erhalten.
$\begin{array}[t]{rll} V &=& \frac {4}{3} \; \cdot \; \pi \; \cdot \; \left(4\; \text{m}\right)^3 \\[5pt] &\approx& 268,1 \; \text{m}^3 \end{array}$
Rundet man das Ergebnis, hat der Ballon in etwa ein Volumen von $270\,\text{m}^3$.
b)
$\blacktriangleright$ Gewicht berechnen
Um das zu berechnen, musst du sowohl das Gesamtgewicht von Agnes, Benedikt und dem Ballongewicht bestimmen als auch die Tragleistung des Ballons. Für das Gesamtgewicht kannst du alle Teilgewichte addieren. Die Tragleistung berechnest du, indem du die Kubikmeterzahl des gesamten Ballons mit der tragbaren Masse pro Kubikmeter multiplizierst.
Zu tragendes Gewicht: $55 \; \text{kg} + 83 \; \text{kg} + 180 \; \text{kg} = 316 \; \text{kg} $
tragbares Gewicht: $268,1 \; \text{m}^3 \; \cdot 1 \; \text{kg} = 268,1 \; \text{kg}$
Das Gewicht ist zu hoch und die beiden Freunde können nicht gemeinsam mit dem Ballon aufsteigen.
c)
$\blacktriangleright$ Volumen der Kugel bestimmen
Erneut kannst du die Volumenberechnung durchführen. Bei halbem Durchmesser halbiert sich folglich auch der Radius, den du für deine Berechnung brauchst.
$\begin{array}[t]{rll} V &=& \frac {4}{3} \; \cdot \; \pi \; \cdot \; \left(2\; \text{m}\right)^3 \\[5pt] &\approx& 33,5 \; \text{m}^3 \end{array}$
Die halbe Masse bedeutet $270 \; \text{m}^3 : 2 = 135 \; \text{m}^3$ . Somit stimmt Matthias Behauptung nicht.
d)
$\blacktriangleright$ Oberfläche der Kugel berechnen
Um die Oberfläche der Kugel zu berechnen hilft dir folgende Formel:
$\text{V}=4 \; \cdot \; \pi \; \cdot \; \text{r}^2$
$\text{V}=4 \; \cdot \; \pi \; \cdot \; \text{r}^2$
Um nun die Oberfläche des Ballons berechnen zu können, setzt du die entsprechenden Werte in die Formel ein.
$\begin{array}[t]{rll} V &=& 4 \; \cdot \; \pi \; \cdot \; \left(4\; \text{m}\right)^2 \\[5pt] &\approx& 201,06 \; \text{m}^2 \end{array}$
Für die gesamte Umhüllung der Kugel benötigt man $201,06 \; \text{m}^2$ Kunststofffaser.

Aufgabe 6

a)
$\blacktriangleright$ Boxplot auswerten
Bei einem Boxplot werden alle Wurfergebnisse aufsteigend angeordnet und dann ausgewertet. Der Median gibt hierbei genau den mittleren Wert an. Das obere und untere Quartil jeweils $25 \%$ der kleinsten oder größten Werte. Um nun zu entscheiden, welche Aussagen stimmen, schaust du dir die Werte aus der Abbildung genau an.
Aussagerichtigfalschkann man
nicht entscheiden
Dennis Schröder hat in der Saison 2013-2014 in der Hälfte der Spiele mindestens 4 Punkte erzielt.
Dennis Schröder hat in der Saison 2013-2014 in keinem Spiel mehr als 6 Punkte erzielt.
Dennis Schröder hat in der Saison 2014-2015 in jedem Spiel Punkte erzielt.
Dennis Schröder hat in der Saison 2014-2015 in genau einem Spiel 24 Punkte erzielt.
b)
$\blacktriangleright$ Boxplot auswerten
Der maximale Wert in der Saison 2014-2015 liegt zwar bei $24$, das bedeutet aber nicht, dass dieser Wert genau einmal geworfen wurde. Der Wert wurde mindestens einmal geworfen, vielleicht aber auch häufiger.
c)
i)
$\blacktriangleright$ Boxplot auswerten
Um nun die Werte zu bestimmen, die für dieses Boxplot zutreffen, ist erstmal die Gesamtzahl der Ergebnisse wichtig. Hier gibt es $13$ Spiele in der Meisterschaft. Der Median ist also der mittlerste Wert, also der $7$. Wert in der Tabelle. Das untere Quartil ist die Grenze bei den unteren $25\%$ der Werte, also beim $4$. Wert und das obere beim $10$. Wert.
MinimumMaximumMedianUnteres QuartilOberes Quartil
$0$$18$$9$$5$12
ii)
$\blacktriangleright$ Boxplot zeichnen
Um nun das zugehörige Boxplot zu zeichnen, trage Minimum, Maximum, die Quartile und den Median in ein Koordinatensystem ein. Vergiss nicht, die Achsen zu beschriften.

Aufgabe 7

Der Wirkstoff von Kopfschmerztabletten wird im Körper exponentiell abgebaut. Dabei nimmt die Wirkstoffmenge im Körper um $20\%$ pro Stunde ab. Eine Kopfschmerztablette enthält $500\,\text{mg}$ des Wirkstoffs.
a)
$\blacktriangleright$ Prozentrechnung
Um den Wirkstoffgehalt nach einer Stunde zu berechnen, musst du von der Startmenge $500\,\text{mg}$ $20\%$ abziehen. Es befinden sich also noch $80\%$ des Wirkstoffs im Blut.
$ 500\,\text{mg} \;\cdot \; 0,8 = 400 \,\text{mg}$
b)
$\blacktriangleright$ Exponentialfunktion bestimmen
Für die Erstellung der Exponentialfunktion musst du die einzelnen Variablen der allgemeinen Form durch bestimmte Werte füllen. Die allgemeine Exponentialfunktion hat die Form : $f(x)=b \, \cdot \, a^t$.
Das $b$ gibt hierbei den Startwert von $500\,\text{mg}$ an. $t$ steht für die Zeit in Stunden und $a$ ist Wachstumsfaktor, hier $0,8$, da sich die Menge des Wirkstoffs pro Stunde um $20\%$ verringert.
Aus diesen Überlegungen entsteht die Funktionsgleichung: $\text{f(x)}=500\,\text{mg} \, \cdot \, 0,8^t$
c)
$\blacktriangleright$ Funktionswert bestimmen
Um den Wert nach $3$ Stunden zu ermitteln, setze $3$ für $t$ in die Funktionsgleichung ein und berechne die Wirkstoffmenge im Körper. Verglichen werden soll das Ergebnis mit der halben Startmenge also $500 \,\text{mg}: 2 = 250 \,\text{mg}$
$f(3)=500\,\text{mg} \, \cdot \, 0,8^3= 256 \,\text{mg}$
Wenn man diesen Wert rundet, stimmt die Aussage.
d)
$\blacktriangleright$ Funktionswert bestimmen
Um dieses Ergebnis zu ermitteln, ist es sinnvoll beide Werte getrennt zu berechnen und dann zu addieren. Mit der Funktionsgleichung lässt sich ermitteln, wie viel Wirkstoff nach $90$ Minuten (das entspricht $1,5$ Stunden) im Blut ist. Hierzu werden dann die $500\,\text{mg}$ einer neuen Tablette addiert.
$f(1,5)=500\,\text{mg} \, \cdot \, 0,8^{1,5}\approx 357,77 \,\text{mg}$
$357,77 \,\text{mg} + 500\,\text{mg} = 857,77 \,\text{mg}$
Nachdem er die zweite Tabelette eingenommen hat, beträgt die Wirkstoffemenge im Körper des Patienten $857,77 \,\text{mg}$.
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© 2016 – SchulLV.
[2]
© 2016 – SchulLV.
[3]
© 2016 – SchulLV.
[4]
© 2016 – SchulLV.
[5]
© 2016 – SchulLV.
[6]
© 2016 – SchulLV.
[7]
© 2016 – SchulLV.
[8]
© 2016 – SchulLV.
[9]
© 2016 – SchulLV.
[10]
© 2016 – SchulLV.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App