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Aufgabe 1

Aufgaben
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Flächeninhalt

Auf einem quardratischen Blatt (gestrichelte Linie) wird ein sternförmiges Muster aufgezeichnet.
Der innere Bereich des Sterns (fein gestrichelte Linie) ist ein Quadrat mit der Seitenlänge $4\text{cm}$. Der Mittelpunkt des Quadrats stimmt mit dem Mittelpunkt $M$ des Blattes überein. Auf jede Seite dieses Quadrats sind gleichschenklige Dreiecke so aufgesetzt, dass deren Spitzen genau auf den Ecken des Blattes liegen und somit die Zacken des Sterns bilden.
a)
Der eingezeichnete Winkel $\alpha$ hat eine Größe von $69°$. Zeige rechnerisch, dass ein Schenkel eines der gleichschenkligen Dreiecke eine Länge von $\text{s}=5,58\;\text{cm}$ besitzt.
(2 P.)

b)
Der Stern wird anschließend aus dem quadratischen Blatt Papier ausgeschnitten. Wie viel Prozent der Fläche des Blattes bleiben nach dem Ausschneiden als Verschnitt übrig?
(6 P.)

#gleichschenkligesdreieck#trigonometrie#prozentrechnen
Bildnachweise [nach oben]
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a)
$\blacktriangleright$ Seitenberechnung
Um dir die Aufgaben zu erleichtern, solltest du die Regeln in geometrischen Figuren in Erinnerung rufen. Du sollst zunächst $s$ berechnen. Hierzu kannst du dir das gleichschenklige Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke unterteilen. Die untere Seite ergibt sich, indem du die $4 \, \text{cm}$ halbierst. Nun kannst du mit den Winkelsätzen im rechtwinkligen Dreieck die Seite $s$ berechnen.
b)
$\blacktriangleright$ Flächenberechnung
Um zu berechnen, wieviel Prozent der Fläche des Blattes nach dem Ausschneiden als Verschnitt übrig bleibt, muss erstmal die Teilfläche und die Gesamtfläche berechnet werden. Hierzu berechnest du ein Dreieck vom Wegschnitt und multiplizierst diese mit $4$.
Hierzu ist es sinnvoll ein Dreieck durch eine Höhe in zwei rechtwinklige Dreiecke zu unterteilen. Die Innenwinkel kannst du herausfinden, indem du weißt, dass der Gegenwinkel zu $\alpha$ ebenfalls $69°$ hat.
Um den prozentualen Anteil zu berechnen, dividierst du die Fläche von dem Wegschnitt durch die Gesamtfläche.
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a)
$\blacktriangleright$ Seitenberechnung
Um dir die Aufgaben zu erleichtern, solltest du die Regeln in geometrischen Figuren in Erinnerung rufen. Du sollst zunächst $s$ berechnen. Hierzu kannst du dir das gleichschenklige Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke unterteilen. Die untere Seite ergibt sich, indem du die $4 \, \text{cm}$ halbierst. Nun kannst du mithilfe des Cosinus die Seite $s$ berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} cos (69^{\circ})&=& \frac {2}{\text{s}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \text{s} \\[5pt] cos (69^{\circ}) \cdot s &=& 2 &\quad \scriptsize \mid\; :cos(69^{\circ}) \\[5pt] s&=& \dfrac{2}{cos(69^{\circ})} \\[5pt] &=& 5,58 \; \text{cm} \end{array}$
b)
$\blacktriangleright$ Flächenberechnung
Um zu berechnen, wieviel Prozent der Fläche des Blattes nach dem Ausschneiden als Verschnitt übrig bleibt, muss erstmal die Teilfläche und die Gesamtfläche berechnet werden. Hierzu berechnest du ein Dreieck vom Wegschnitt und multiplizierst diese mit $4$.
Hierzu ist es sinnvoll ein Dreieck durch eine Höhe in zwei rechtwinklige Dreiecke zu unterteilen. Die Innenwinkel kannst du herausfinden, indem du weißt, dass der Gegenwinkel zu $\alpha$ ebenfalls $69°$ hat. Durch den Nebenwinkel im inneren Quadrat von $90°$ ergibt sich $360° - 90 ° - 2 \cdot 69° = 132 ° $ Dieser Winkel wird durch die Höhe $n$ in zwei gleichgroße Teile getrennt. $\beta$ beträgt also:
$\beta=132°:2=66°$
Nun kannst du mithilfe des Sinus $m$ und $n$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} sin(66^{\circ}) &=& \frac{m}{5,58 \, \text{cm}}\mid\; \cdot 5,58 \;\text{cm}\\[5pt] m &=& sin(66^{\circ}) \cdot 5,58 \, \text{cm} \\[5pt] &\approx& 5,1 \,\text{cm} \end{array}$
Durch das Wissen, dass die Summe aller Innenwinkel im Dreieck $180°$ ergibt und die beiden restlichen Innenwinkel gleich groß sind, ergibt sich für $\gamma= \frac {180°-132°}{2}=24°$
$\begin{array}[t]{rll} sin(24^{\circ}) &=& \frac{n}{5,58 \, \text{cm}}\mid\; \cdot 5,58 \;\text{cm}\\[5pt] n &=& sin(24^{\circ}) \cdot 5,58 \, \text{cm} \\[5pt] &\approx& 2,27 \,\text{cm} \end{array}$
Nun kannst du den Flächeninhalt eines der äußeren Dreiecke berechnen, diesen mit $4$ multiplizieren und so den Flächeninhalt des Wegschnitts bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} A_{Rest}&=&4 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot 2m \cdot n\right) \\[5pt] &=& 4 \cdot m \cdot n \\[5pt] &=& 4 \cdot 5,1 \, \text{cm} \cdot 2,27 \, \text{cm} \\[5pt] &\approx& 46,31\,\text{cm} \end{array}$
Um nun den Prozentualen Anteil zu berechnen, benötigt man die Gesamtfläche. Bei einem Quadrat setzt sich diese aus der Multiplikation der Seiten zusammen.
$\begin{array}[t]{rll} A_{ges}&=& \left(2\cdot m\right)^2 \\[5pt] &=& 4 \cdot m^2 \\[5pt] &=& 4 \cdot \left(5,1\,\text{cm}\right)^2 \\[5pt] &=& 4 \cdot 26,01\,\text{cm}^2 \\[5pt] &=& 104,04\,\text{cm}^2 \end{array}$
Um den prozentualen Anteil zu berechnen, dividierst du die Fläche des Wegschnitts durch die Gesamtfläche.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{46,31\,\text{cm}^2}{104,04\,\text{cm}^2} &\approx& 0,445 \\[5pt] &=& 44,5\% \end{array}$
Demnach werden $44,5\%$ weggeschnitten.
Bildnachweise [nach oben]
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