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Aufgabe 2

Aufgaben
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Parabeln

In Abbildung 1 siehst du eine Brücke mit einem parabelförmigen Brückenbogen.
a)
Der Verlauf des Brückenbogens kann mit der Gleichung $\begin{array}[t]{rll}y=-0,1\cdot x^2+6,5\end{array}$ beschrieben werden. Die größte Höhe hat der Brückenbogen in der Mitte. Gib diese größte Höhe des Brückenbogens an (Längeneinheit in Metern).
(1 P.)

b)
Die Breite $b$ des Brückenbogens kann man mit Hilfe der Funktionsgleichung $\begin{array}[t]{rll}y=-0,1\cdot x^2+6,5\end{array}$ bestimmen. Berechne die Breite $b$ des Brückenbogens.
(3 P.)

c)
Eine Brücke darf für den Verkehr von Lastschiffen freigegeben werden, wenn Schiffe mit einer Breite von $10$ Metern und einer Höhe von $3$ Metern durch den Brückenbogen durchfahren können.
Die parabelförmigen Brückenbögen der drei Brücken A, B und C können mit den folgenden Gleichungen beschrieben werden:
Brücke A:$\begin{array}[t]{rll}y=-0,06\cdot x^2+2\end{array}$
Brücke B:$\begin{array}[t]{rll}y=-0,1\cdot x^2+6\end{array}$
Brücke C:$\begin{array}[t]{rll}y=-0,3\cdot x^2+6\end{array}$

Zwei der Brücken drüfen nicht für den Verkehr von Lastschiffen freigegeben werden. Kreuze diese beiden Brücken an und begründe jeweils, warum diese Brücken nicht für den Verkehr von Lastschiffen freigegeben werden dürfen.
(2 P.)

d)
In Abbildung 2 siehst du eine andere Brücke. Der Brückenbogen hat eine Breite von $10$ Metern. Der Verlauf des parabelförmigen Brückenbogens kann annähernd mit der Gleichung $\begin{array}[t]{rll}y=-0,105\cdot x^2+6\end{array}$ beschrieben werden.
Um wie viel Meter ist der Brückenbogen in der Mitte höher als an seinen Rändern? Berechne.
(2 P.)

#quadratischefunktion
Bildnachweise [nach oben]
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Parabeln

a)
$\blacktriangleright$ Schnittpunkt mit der $y$-Achse
Um den höchsten Punkt des Brückenbogens zu ermitteln, musst du den Schnittpunkt mit der $y$-Achse herausfinden. An dieser Stelle ist der $x$-Wert Null. Diesen Wert kannst du in die Gleichung einsezten und dann das entsprechende $y$ berechnen.
b)
$\blacktriangleright$ Schnittpunkt mit der $x$-Achse
Die Breite des Brückenbogens ergibt sich durch die Schnittpunkte des Brückenbogens mit der $x$-Achse. Hierzu setzt du $y=0$ und berechnest die beiden Werte für $x$. Der Abstand zwischen diesen beiden Punkten ist die Breite des Brückenbogens.
c)
$\blacktriangleright$ Punktkontrolle
Um herauszufinden, ob $10 \, \text {m}$ breite Schiffe durch den jeweiligen Brückenbogen passen, muss bei dem $x$-Wert $5$ und $-5$ (somit ergibt sich eine Breite von $10 \, \text {m}$) eingesetzt werden.
d)
$\blacktriangleright$ Punktkontrolle
Um die Höhendifferenz zu berechnen, benötigt man zuerst den höchstn Punkt. Den berechnest du, wie in der Aufgabe a). Die Höhe am Punkt $x=5$ berechnest du, wie in Aufgabe b). Im Anschluss bestimmst du die Höhendifferenz zwischen den beiden $y$-Werten.
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Parabeln

a)
$\blacktriangleright$ Schnittpunkt mit der $y$-Achse
Um den höchsten Punkt des Brückenbogens zu ermitteln, musst du den Schnittpunkt mit der $y$-Achse herausfinden. An dieser Stelle ist der $x$-Wert Null. Diesen Wert kannst du in die Gleichung einsetzen und dann den entsprechenden $y$-Wert berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} y &=& -0,1 \cdot 0^2 + 6,5 \\[5pt] y &=& 6,5 \end{array}$
Der Brückenbogen ist also an der höchsten Stelle $6,5 \, \text{m}$ hoch.
b)
$\blacktriangleright$ Schnittpunkt mit der $x$-Achse
Die Breite des Brückenbogens ergibt sich durch die Schnittpunkte des Brückenbogens mit der $x$-Achse. Hierzu setzt du $y=0$ und berechnest die beiden Werte für $x$. Der Abstand zwischen diesen beiden Punkten ist die Breite des Brückenbogens.
$\begin{array}[t]{rll} 0 &=& -0,1 \cdot x^2 + 6,5 &\quad \scriptsize \mid\; - 6,5 \\[5pt] -6,5 &=& -0,1 \cdot x^2 &\quad \scriptsize \mid\; : (-0,1) \\[5pt] 65 &=& x^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{} \\[5pt] x_1 &=& 8,06 \\[5pt] x_2 &=& -8,06 \end{array}$
Die Distanz zwischen $x_1$ und $x_2$ beträgt $8,06\, \text{m} \cdot 2 = 16,12 \, \text{m}$.
c)
$\blacktriangleright$ Punktkontrolle
Um herauszufinden, ob $10 \, \text {m}$ breite Schiffe durch den jeweiligen Brückenbogen passen, muss du für $x$ den Wert $5$ und $-5$ (somit ergibt sich eine Breite von $10 \, \text {m}$) einsetzen. Die Brücke muss an diesen Stellen mindestens $3\;\text{m}$ hoch sein. Da es sich um Parabeln handelt, reicht es aus für $x$ lediglich $5$ einzusetzen. Überprüfe dann, ob der $y$-Wert $\geq$ $3$ ist.
Brücke A:
$ \text{y} = -0,006 \cdot 5^2 + 2 = 0,5$
Brücke B:
$ \text{y} = -0,1 \cdot 5^2 + 6 = 3,5$
Brücke C:
$ \text{y} = -0,3 \cdot 5^2 + 6 = -1,5$
Das bedeutet, die zwei markierten parabelförmigen Brückenbögen der drei Brücken A, B und C dürfen nicht für den Verkehr von Lastschiffen freigegeben werden:
Brücke A:$\begin{array}[t]{rll}y=-0,06\cdot x^2+2\end{array}$
Brücke B:$\begin{array}[t]{rll}y=-0,1\cdot x^2+6\end{array}$
Brücke C:$\begin{array}[t]{rll}y=-0,3\cdot x^2+6\end{array}$
d)
$\blacktriangleright$ Punktkontrolle
Um die Höhendifferenz zu berechnen, braucht man zuerst den höchsten Punkt. Den berechnest du, wie in der Aufgabe a). Die Höhe am Punkt $x=5$ berechnest du, wie in Aufgabe b). Im Anschluss bestimmst du die Höhendifferenz zwischen den beiden $y$-Werten.
$ \text{y}_1 = -0,105 \cdot 0^2 + 6 = 6 \, \text{m}$
$ \text{y}_2 = -0,105 \cdot 5^2 + 6 = 3,375 \, \text{m}$
Der Brückenbogen ist in der Mitte $6 \, \text{m} - 3,375 \, \text{m} = 2,625 \, \text{m}$ höher.
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