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Aufgabe 3

Aufgaben
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Wahrscheinlichkeit

Bei einem Spiel werden nacheinander zwei Kugeln aus einer Urne mit blauen und gelben Kugeln gezogen. Die untere Zeile im Baumdiagramm gibt den jeweiligen Ausgang der Spielrunde an.
a)
Formuliere Regeln, welche Kugeln man ziehen muss, damit man eine Spielrunde gewonnen oder verloren hat, oder wann man zwei neue Kugeln ziehen muss.
(1,5 P.)
b)
Wird eine Kugel direkt, nachdem sie gezogen wurde, wieder in die Urne zurückgelegt oder nicht? Begründe deine Meinung.
(1,5 P.)
c)
Wie viele blaue und wie viele gelbe Kugeln sind am Anfang in der Urne? Kreuze die richtige Lösung an.
(1 P.)
Möglichkeit 1Möglichkeit 2Möglichkeit 3
4 blaue
8 gelbe
8 blaue
4 gelbe
5 blaue
7 gelbe
d)
Ergänze die fehlenden Wahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm.
(2 P.)
e)
Gib die Wahrscheinlichkeiten für den jeweiligen Ausgang nach einer Spielrunde an.
(1,5 P.)
Ausgang einer Spielrundegewonnenverloren2 neue Kugeln ziehen
Wahrscheinlichkeit
f)
In einer Diskussion behauptet Tonio, die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen sei in Wirklichkeit größer als die in Aufgabenteil e) errechnete Wahrscheinlichkeit. Erkläre, warum Tonio mit seiner Aussage Recht hat.
(2 P.)
#pfadregeln#wahrscheinlichkeit
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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Wahrscheinlichkeit

a)
$\blacktriangleright$ Spielregeln
  • Zieht man erst eine blaue und dann eine gelbe Kugel …, genauso, wenn man erst eine … und dann eine … Kugel zieht.
  • Zieht man erst …, dann …, so hat man gewonnen.
  • Nachdem man zwei gelbe Kugeln in Folge gezogen hat, … .
b)
$\blacktriangleright$ Mit und ohne Zurücklegen
Wenn man die Kugel wieder zurücklegt, darf sich die Gesamtanzahl der Kugeln nicht verändern. Betrachte die Wahrscheinlichkeiten.
c)
$\blacktriangleright$ Kugelanzahl
Dadurch, dass im zweiten Schritt $11$ Kugeln in der Urne sind, kann man davon ausgehen, dass zu Beginn $12$ Kugeln in der Urne waren. $\frac{1}{3}$ der Kugeln ist dabei blau und die restlichen Kugeln gelb. Teilt man nun die Gesamtzahl durch $3$ ergibt sich die Anzahl der jeweiligen Kugeln.
d)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten für Pfade
Um die restlichen Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, ist es wichtig zu beachten, dass die Wahrscheinlichkeiten einer Pfadebene in Summe immer $1$ ergeben müssen.
e)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten berechnen
Für den jeweiligen Ausgang der Spielrunden können die einzelnen Wahrscheinlichkeiten berechnet werden. Hierzu gibt es die Pfadmultiplikationsregel. Die Einzelwahrscheinlichkeiten des Pfads werden zu dem entsprechenden Ergebnis multipliziert. Bei gleichen Ergebnissen (hier nur bei dem Ereignis „verloren“) werden die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten addiert.
f)
$\blacktriangleright$ Überlegungen zur Wahrscheinlichkeit
Tonio behauptet, die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen sei größer. Grund für seine Annahme ist, dass die Kugeln bei einem bestimmten Fall neu gezogen werden.
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Wahrscheinlichkeit

a)
$\blacktriangleright$ Spielregeln
  • Zieht man erst eine blaue und dann eine gelbe Kugel, hat man verloren, genauso, wenn man erst eine gelbe und dann eine blaue Kugel zieht.
  • Zieht man erst eine blaue und dann erneut eine blaue Kugel, so hat man gewonnen.
  • Nachdem man zwei gelbe Kugeln in Folge gezogen hat, ist man erneut dran.
b)
$\blacktriangleright$ Mit und ohne Zurücklegen
Wenn man die Kugel wieder zurücklegt, darf sich die Gesamtzahl der Kugeln nicht verändern. Vergleiche hierfür nun die Wahrscheinlichkeiten entlang des rechten Astes. Im ersten Zugschritt ist die Gesamtzahl durch $3$ teilbar. Dies ist im zweiten Schritt nicht mehr der Fall. Somit hat sich die Kugelanzahl verändert und das Spiel wird ohne zurücklegen gespielt.
c)
$\blacktriangleright$ Kugelanzahl
Dadurch, dass im zweiten Schritt $11$ Kugeln in der Urne sind, kann man davon ausgehen, dass zu Beginn $12$ Kugeln in der Urne waren. $\frac{1}{3}$ der Kugeln ist dabei blau und die restlichen Kugeln gelb. Teilt man nun die Gesamtzahl durch $3$ ergibt sich die Anzahl der jeweiligen Kugeln.
Möglichkeit 1Möglichkeit 2Möglichkeit 3
4 blaue
8 gelbe
8 blaue
4 gelbe
5 blaue
7 gelbe
d)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten für Pfade
Um die restlichen Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, ist es wichtig zu beachten, dass die Wahrscheinlichkeiten einer Pfadebene in Summe immer $1$ ergeben müssen.
e)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten berechnen
Für den jeweiligen Ausgang der Spielrunden können die einzelnen Wahrscheinlichkeiten berechnet werden. Hierzu gibt es die Pfadmultiplikationsregel. Die Einzelwahrscheinlichkeiten des Pfads werden zu dem entsprechenden Ergebnis hin multipliziert. Bei gleichen Ergebnissen (hier nur bei dem Ereignis „verloren“) werden die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten addiert.
Ausgang einer Spielrundegewonnenverloren2 neue Kugeln ziehen
Wahrscheinlichkeit $ \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{11} = 9,9 \%$$ \frac{1}{3} \cdot \frac{8}{11} + \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{11} = 48,8 \%$$ \frac{2}{3} \cdot \frac{7}{11} = 42,2 \%$
f)
$\blacktriangleright$ Überlegungen zur Wahrscheinlichkeit
Tonio behauptet, die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen sei größer. Grund für seine Annahme ist, dass die Kugeln nach zwei gelben Kugeln neu gezogen werden, ohne dass der Ausgang des Spiels feststeht. Dadurch besteht erneut die Möglichkeit zu gewinnen. Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist also größer als $9,9 \%$.
Bildnachweise [nach oben]
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