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Aufgabe 4

Aufgaben
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Wachstum

Im Jahr 1913 veröffentlichte der Biologe Carlson eine Studie zum Wachstum von Hefekulturen. In einem Experiment bestimmte er durch Wiegen, wie die Hefemenge mit der Zeit zunimmt. In Abbildung 1 kannst du das Ergebnis seines Experiments sehen:
Die Kurven zeigt am Anfang ein starkes Anwachsen der Hefemenge, das nach einigen Stunden jedoch deutlich nachlässt bis die Hefemenge nahezu konstant bleibt. Die Form der Kurve veranlasste Carlson zu der Annahme, dass das Wachstum in der Anfangsphase exponentiell verläuft.
a)
Markiere in Abbildung 1 das Zeitintervall in der Kurve, in der das Wachstum exponentiell zu verlaufen scheint. Zeichne dazu den entsprechenden Teil der Kurve farbig nach.
(1 P.)
b)
Nach 2 Stunden waren $29,0\;\text{mg}$ und nach $4$ Stunden $71,1\;\text{mg}$ Hefe vorhanden
i)
Berechne mit diesen Werten den stündlichen Wachstumsfaktor, wenn es sich um exonentielles Wachstum handeln würde.
(2 P.)
ii)
Wieviel $\text{mg}$ Hefe müssten bei gleichbleibendem, exponentiellem Wachstum nach $6$ Stunden vorhanden sein? Berechne.
(1 P.)
iii)
Mit wieviel $\text{mg}$ Hefe hat Carlson seine Messung begonnen, wenn ein gleichbleibendes, exponentielles Wachstum vorausgesetzt wird? Berechne.
(1 P.)
c)
Karla wiederholt das Experiment von Carlson. Sie beginnt mit $12,3\;\text{mg}$ Hefe. Um $11:30$ Uhr misst sie bereits $25,8\;\text{mg}$ Hefe. Dabei fällt ihr auf, dass sie nicht notiert hat, wann sie mit dem Experiment begonnen hat. Berechne, wann Karla mit dem Experiment begonnen hat. Nimm dazu an, dass es sich um gleichbleibendes, exponentielles Wachstum mit dem stündlichen Wachstumsfaktor von $1,566$ wie in Carlsons Experiment handelt.
(3 P.)
#exponentielleswachstum
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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Wachstum

a)
$\blacktriangleright$ Exponentielles Wachstum eingrenzen
Betrachte, welcher Teil des Graphen dem exponentiellen Wachstum ähnlich sieht.
b)
i)
$\blacktriangleright$ Wachstumsfaktor bestimmen
Die normale Form der Exponentialfunktion lautet $ f(x) = B_0 \cdot k ^t $, wobei $B_0$ der Startwert, $k$ die Änderungsrate und $t$ die Zeit in Stunden beschreibt. Stelle mit den gegebenen Werten zwei Gleichungen auf und bestimme damit die Variablen.
Da der tatsächliche Startpunkt für die Berechnung des Wachstumsfaktor unwichtig ist, kannst du $B_0$ festlegen, indem du für die erste Gleichung den Zeitpunkt Null definierst. Die Zusammenhänge der zweiten Gleichung entsprechen dem Zustand nach zwei Stunden, demnach musst du für den Zeitpunkt $2$ festlegen.
ii)
$\blacktriangleright$ Bestand nach $6\,\text{h}$ bestimmen
Du kannst nun den fehlenden Wert der Funktionsgleichung, nämlich den Anfangsbestand, bestimmen. Dann setzt du für $t$ den entsprechnenden Wert ein und berechnest den Funktionswert.
iii)
$\blacktriangleright$ Startwert bestimmen
Den Startwert hast du bereits bestimmt.
c)
$\blacktriangleright$ $t$ bestimmen
Nun sollst du die Variable $t$ bestimmen und hast dafür Werte von zwei verschiedenen Messzeitpunkten gegeben. Nutze den ersten Wert als Startwert und berechne die Dauer, bis der zweite Wert erreicht ist. Ziehe die benötigte Zeit dann vom ersten Messwert ab.
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Wachstum

a)
$\blacktriangleright$ Exponentielles Wachstum eingrenzen
Das exponentielle Wachstum beschreibt nur den ersten Teil der Kurve. Bis zum Wendepunkt kann das Wachstum als Exponentialfunktion angesehen werden.
b)
i)
$\blacktriangleright$ Wachstumsfaktor bestimmen
Die normale Form der exponentiellen Funktion lautet $ \text{f} (x) = B_0 \cdot k ^t $, wobei $B_0$ der Startwert, $k$ die Änderungsrate und $t$ die Zeit in Stunden beschreibt. Stelle mit den gegebenen Werten zwei Gleichungen auf und bestimme damit die Variablen.
Gleichung 1: $ \text{f} (x) = B_0 \cdot k ^2 = 29 \, \text{mg}$
Gleichung 2: $ \text{f} (x) = B_0 \cdot k ^4 = 71,1 \, \text{mg}$
Da der tatsächliche Startpunkt für die Berechnung des Wachstumsfaktor unwichtig ist, kannst du $B_0$ festlegen, indem du für die erste Gleichung den Zeitpunkt Null definierst. Die Zusammenhänge der zweiten Gleichung entsprechen dem Zustand nach zwei Stunden, demnach musst du für den Zeitpunkt $2$ festlegen. Daraus erhältst du $k$:
$ \text{f} (x) = 29 \cdot k ^2 = 71,1 \, \text{mg}$
Nun kannst du $k$, den stündlichen Wachstumsfaktor, berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} 29\,\text{mg} \cdot k ^2 &=& 71,1\,\text{mg} &\quad \scriptsize \mid\; :29\,\text{mg} \\[5pt] k ^2 &=& \frac {71,1}{29} &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{} \\[5pt] k &=& 1,6 \end{array}$
Der Wachstumsfaktor ist $k=1,6$.
ii)
$\blacktriangleright$ Bestand nach $6\,\text{h}$ bestimmen
Du kannst nun den fehlenden Wert der Funktionsgleichung, nämlich den Anfangsbestand, bestimmen. Dann setzt du für $t$ den Wert $6$ ein und berechnest den Wert.
$\begin{array}[t]{rll} B_0 \cdot 1,6 ^2 &=& 29\,\text{mg} \\[5pt] B_0 \cdot 2,56 &=& 29\,\text{mg} &\quad \scriptsize \mid\; : 2,56 \\[5pt] B_0 &=& 11,3\,\text{mg} \end{array}$
Hieraus ergibt sich die exponentielle Funktionsgleichung:
$\text{f}(x) = 11,3\,\text{mg} \cdot 1,6 ^t$
Um nun den Wert für $t=6$ zu ermitteln, setzt du den Wert ein und berechnest das entsprechende $y$.
$\begin{array}[t]{rll} \text{f}(x) &=& 11,3\,\text{mg} \cdot 1,6 ^6 \\[5pt] y &=& 190,05 \, \text {mg} \end{array}$
Der Anfangsbestand beträgt also $190,05\;\text{mg}$.
iii)
$\blacktriangleright$ Startwert bestimmen
Um die vorherige Aufgaben zu lösen, haben wir den Startwert bereits berechnet. Dieser Wert beträgt $B_0=11,3 \, \text {mg}$.
c)
$\blacktriangleright$ $t$ bestimmen
Nun sollst du die Variable $t$ bestimmen und hast dafür Werte von zwei verschiedenen Messzeitpunkten gegeben. Den Startwert $B_0=12,3\;\text{mg}$ und den Wert um 11:30 von $25,8\;\text{mg}$. Außerdem ist der Wachstumsfaktor gegeben, sodass du $t$, also den Zeitfaktor um 11:30 berechnen kannst. Mit diesem Faktor wird dann die Startuhrzeit zurück gerechnet.
$\begin{array}[t]{rll} 25,8\;\text{mg} &=& 12,3\;\text{mg} \cdot 1,566^t &\quad \scriptsize \mid\; : 12,3\;\text{mg} \\[5pt] 2,0976 &=& 1,566^t &\quad \scriptsize \mid\; \text{log}_{1,566} (2,0976) \\[5pt] t &=& 1,65 \end{array}$
$1,65$ Stunden zuvor hat Karla mit dem Experiment begonnen. Das entspricht einer Stunde und $39$ Minuten. Das Experiment begann also um 9:51.
Bildnachweise [nach oben]
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