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Aufgabe 5

Aufgaben
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Stereometrie

Aus einem Würfel wird der grün gefärbte Teilkörper herausgeschnitten (s. Abbildung).
a)
Berechne die Kantenlänge des Würfels.
(1 P.)
b)
Gib an, um welche Art von Körper es sich bei dem grün gefärbten Teilkörper handelt.
(1 P.)
c)
Berechne das Volumen des grün gefärbten Körpers.
(2 P.)
d)
Wähle aus den angegebenen Körpernetzen ein Netz aus, das zum grünen Teilkörper passt. Kreuze das von dir gewählte Netz an und markiere farbig alle Kanten des ausgewählten Netzes, die $14,6\;\text{cm}$ lang sind.
(2 P.)

Netz 1:


Netz 2:


Netz 3:

e)
Berechne die fehlende Kantenlänge $x$ der dreieckigen Grundflächen des grün gefärbten Teilkörpers.
(2 P.)
#prisma#dreieck#rechtwinkligesdreieck
Bildnachweise [nach oben]
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© 2016 – SchulLV.
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Stereometrie

a)
$\blacktriangleright$ Seitenberechnung
Um die Kantenlänge des Würfels zu berechnen, kannst du den angegebenen Winkel nutzen. Da das Dreieck zwischen dem grünen Körper und dem Würfel rechtwinklig ist, kannst du mit den Winkelsätzen die fehlende Seite berechnen.
b)
$\blacktriangleright$ Formbestimmung
Betrachte, wie der Körper aufgebaut ist.
c)
$\blacktriangleright$ Volumenberechnung Prisma
Um das Volumen des Körpers zu berechnen, brauchst du den Flächeninhalt der Grundfläche und die Höhe.
e)
$\blacktriangleright$ Kantenlänge berechnen
Die fehlende Kantenlänge lässt sich wieder mit dem Satz des Pythagoras bestimmen.
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Stereometrie

a)
$\blacktriangleright$ Seitenberechnung
Um die Kantenlänge des Würfels zu berechnen, kannst du den angegebenene Winkel nutzen. Da das Dreieck zwischen dem grünen Körper und dem Würfel rechtwinklig ist, kannst du mit den Winkelsätzen die fehlende Seite berechnen.
$\text{cos}(34,7°) = \frac{s}{14,6 \, \text {cm}} = 12 \, \text{cm}$
Die Kante des Würfels ist $12\;\text{cm}$ lang.
b)
$\blacktriangleright$ Formbestimmung
Es handelt sich um ein Prisma, da die Grundfläche ein Vieleck ist und die Seitenkanten parallel und gleich lang sind.
c)
$\blacktriangleright$ Volumenberechnung Prisma
Um das Volumen eines Prismas zu berechnen, benötigst du die Grundfläche und die Höhe. Die Grundfläche ist in der Zeichnung orange eingefärbt.
Flächeninhalt der Grundfläche
Um den Flächeninhalt zu berechnen, musst du die Höhe, die auch in orange eingefärbt ist, nutzen, um den Flächeninhalt des Dreiecks zu berechnen. Die Höhe ist $12 \, \text {cm}$ lang.
$\begin{array}[t]{rll} A_G &=& \frac{1}{2}\cdot a \cdot h \\[5pt] &=& \frac{1}{2} \cdot 12\,\text{cm} \cdot 12\,\text{cm} \\[5pt] &=& 72\,\text{cm}^2 \end{array}$
Volumen des Prismas
Das Volumen berechnest du mit der Formel: $ V= A_G \cdot h$
Daraus ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} V &=& 72\,\text{cm}^2 \cdot 12\,\text{cm} \\[5pt] &=& 864\,\text{cm}^3 \end{array}$
Das Volumen beträgt $864 \, \text{cm}^3$.
d)
$\blacktriangleright$ Faltnetz
Netz 1:


Netz 2:


Netz 3:

e)
$\blacktriangleright$ Kantenlänge berechnen
Die fehlende Kantenlänge lässt sich mit dem Satz des Pythagoras bestimmen. Doch dafür benötigst du $s_2$. Um $s_2$ berechnen zu können, benötigst du $s_1$, das du wiederum mit dem Satz des Pythagoras berechnen kannst. Hast du $s_1$ berechnet, subtrahierst du die Länge von der Kantenlänge und erhältst so $s_2$.
$\begin{array}[t]{rll} s_1 &=& \sqrt{\left(14,6\,\text{cm}\right)^2-\left(12\,\text{cm}\right)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{213,16\,\text{cm}^2-144\,\text{cm}^2} \\[5pt] &=& \sqrt{69,16\,\text{cm}^2} \\[5pt] &\approx& 8,32\,\text{cm} \\[10pt] s_2&=& a - s_1 \\[5pt] &=& 12\,\text{cm}-8,32\,\text{cm} \\[5pt] &=& 3,68\,\text{cm} \\[10pt] x &=& \sqrt{\left(3,68\,\text{cm}\right)^2 + \left(12\,\text{cm}\right)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{13,54\,\text{cm}^2 + 144\,\text{cm}^2} \\[5pt] &=& \sqrt{157,54\,\text{cm}^2} \\[5pt] &\approx& 12,55 \, \text{cm} \end{array}$
Die Kantenlänge beträgt $12,55\,\text{cm}$.
Bildnachweise [nach oben]
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