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2. Teil

Aufgaben
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Aufgabe1

Die folgende Abbildung stellt den Querschnitt eines zusammengesetzten Körpers dar. Dieser besteht aus einem Zylinder und zwei aufgesetzten Halbkugeln.
$a=13~\text{m}$
$b=4,5~\text{m}$
a)
Berechne das Volumen des Körpers.
(3 P.)
b)
Berechne den Oberflächeninhalt des Körpers.
(3 P.)
#volumen#flächeninhalt

Aufgabe 2

In der Abbildung siehst du ein symmetrisches Trapez.
Skizze
Abb. 2: Skizze nicht maßstäblich
Skizze
Abb. 2: Skizze nicht maßstäblich
a)
Berechne die Höhe $h$ des Trapezes.
(1,5 P.)
b)
Berechne die Länge der Seite $b$ und den Umfang des Trapezes.
(3,5 P.)
c)
Im gleichen Trapez verläuft die Strecke $c$ von Punkt $F$ zum Mittelpunkt $M$ des gegenüberliegenden Schenkels. Berechne die Länge der Strecke $c$.
Anmerkung:
Wenn du Aufgabenteil b) nicht gelöst hast, rechne mit einem Umfang von $29,46~\text{cm}$.
Skizze
Abb. 3: Skizze nicht maßstäblich
Skizze
Abb. 3: Skizze nicht maßstäblich
(2 P.)
#trapez

Aufgabe 3

Ein Gefäß enthält zwei rote und neun gelbe Kugeln.
a)
Timo zieht nacheinander zwei Kugeln, ohne die zuerst gezogene Kugel wieder zurückzulegen.
i)
Timo hat zu seinem Zufallsexperimnet das folgende Baumdiagramm gezeichnet.
Was hat er dabei nicht beachtet? Erläutere und korrigiere.
Baumdiagramm
Abb. 4: Baumdiagramm
Baumdiagramm
Abb. 4: Baumdiagramm
(2 P.)
ii)
Berechne die Wahrscheinlichkeit, mit der biede von Timo gezogene Kugeln geld sind.
(1 P.)
b)
Es werden wieder allle von Timo gezogenen Kugeln in das Gefäß zurückgelegt.
Katja zieht eine der elf Kugeln, stellt ihre Farbe fest und legt die Kugel wieder in das Gefäß zurück. Anschließend legt sie die eine weitere Kugel der gleichen Farbe zusätzlich in das Gefäß, dass sich nun $12$ Kugeln dariin befinden. Jetzt zieht sie erneut eine Kugel aus dem Gefäß.
i)
Zeichne ein zugehöriges Baumdiagramm und trage die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten ein.
(2 P.)
ii)
Berechne die Wahrscheinlichkeit, mit genau eine der beiden von Katja gezogenen Kugeln rot ist.
(2 P.)
#wahrscheinlichkeit#baumdiagramm

Aufgabe 4

Eratosthenes (276 v. Chr. bis 195 v. Chr.) war ein Freund des Archimedes und sebst einer der größsten Wissenschaftler seiner Zeit. Er versuchte als einer der ersten, den Erdumfang zu ermitteln.
Er nutze folgende Beobachtung: Während zu einem bestimmten Zeitpunkt im ägyptischen Syene (dem heutigen Assuan) die Sonnenstrahlen senkrecht in einen Brunnenschacht fallen, wirft ein Obelisk im nördlichen gelegenen Alexandria einen Schatten, da die parallel zuerinander einfallenden Sonnenstrahlen einen Winkel von $7,2^{\circ}$ mit dem Obelisken bilden.
Die Situation ist in der Skizze dargestellt:
Skizze
Abb. 5: Skizze nicht maßstäblich
Skizze
Abb. 5: Skizze nicht maßstäblich
a)
Erkläre, warum der Winkel $\alpha$ am Erdmittelpunkt $M$ genauso groß sein muss wie der Winkel zwischen den einfallenden Sonnenstrahlen und dem Obelisken.
(1 P.)
b)
Syeneist $5000$ stadien von Alexandra entfernt. Ein Stadion ist eine alte Maßeinheit, die twa eine Länge von $148,5~\text{m}$ entspricht. Zeige durch eine Rechnung, dass die beiden Städte etwa $742,5~\text{km}$ entfernt sind.
(1 P.)
c)
Berechne mithilfe der in Aufgabenteil a) und b) gemachten Angaben den Erdumfang in Kilometern.
(2 P.)
d)
Berechne mit dem Ergebnis aus Aufgabenteil c) den Erdradius und den Erdurchmesser.
Anmerkung: Wenn du den Aufgabenteil c) nicht gelöst hast, rechne mit einem Wert von $40.000~\text{km}$ für den Erdumfang.
(2 P.)

Aufgabe 5

Im Koordinatensystem sind die Graphen der Funktion $f$ und $g$ mit den Funktionsgleichungen $f(x)=0,25\cdot 3^x$ und $g(x)=0,25\cdot x^3$ dargestellt.
Graph
Abb. 7: Graph 2
Graph
Abb. 7: Graph 2
$ $ $ $
$ $
a)
Ordne den Graphen die zugehörigen Funktionsgleichungen zu.
Schreibe diese in das enntsprechende Kästchen.
(1 P.)
b)
i)
Entscheide, ob die folgenden Aussagen jeweils wahr oder falsch sind.
Kreuze an.
Aussagewahrfalsch
$1$„$g(x)$ ist eine Potenzfunktion.“$ $$ $
$2$„Bei einer Potenzfunktion steht die Variable im Exponenten.“$ $$ $
$3$„Es gibt Potenzfunktionen, deren Graphen einen Scheitelpunkt haben.“$ $$ $
$1$
„$g(x)$ ist eine Potenzfunktion.“
$2$
„Bei einer Potenzfunktion steht die Variable im Exponenten.“
$3$
„Es gibt Potenzfunktionen, deren Graphen einen Scheitelpunkt haben.“
Aussagewahrfalsch
$1 $$ $$ $
$2 $$ $$ $
$3 $$ $$ $
(3 P.)
ii)
Begründe deine Entscheidung für Aussage $3$.
(1 P.)
c)
Der Graph der Funktion mit der Funktionsgleichung $h(x)=0,5\cdot 2^{-x}$ ist in dem folgenden Koordinatensystem dargestellt.
Graph
Abb. 8: Graph h
Graph
Abb. 8: Graph h
i)
Spiegele den Graphen der Funktion $h$ an der $x$-Achse.
(1 P.)
ii)
Gib eine passende Funktionsgleichung zu deinem gespiegelten Graphen an.
Funktionsgleichung:
(1 P.)
#graph

Aufgabe 6

Snowboarder trainieren im Sommer gerne auf Wasser-Sprungschanzen. In der folgenden Abbildung ist eine solche Sprungschanze dargestellt (alle Längeneinheiten in Metern):
Skizze
Abb. 9: Wasser-Sprungschanze
Skizze
Abb. 9: Wasser-Sprungschanze
a)
die Form der Sprungschanze wird abschittsweise durch zwei quadratische und eine lineare Funktion beschrieben.
Ordne den Intervallen jeweils die passende Funktion $f$, $g$ oder $h$ zu:
mögliche Funktionsgleichungen
$f(x)=-0,4x+6,8$
$g(x)=0,05\cdot (x-16)^2+1,2$
$h(x)=-0,1\cdot x^2 +6,4$
(2 P.)
b)
Gib an, wie hoch der Absprungpunkt $A$ über der Wasseroberfläche liegt.
(1 P.)
c)
Camilla bahuptet: „Die Höhe der Schnaze am Punkt $C$ kann ich sowohl mit der Funktin $g$ als auch mit der Funktion $f$ berechnen.“
Erläutere, warum das so ist.
(1 P.)
d)
Gib die Koordinaten des tiefsten Punktes der Sprungschanze an.
(1 P.)
e)
Berechne den Höhenunterschied der Sprungschanze.
(2 P.)
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$  Volumen berechnen
Der Körper besteht aus einem Zylinder und zwei Halbkugeln. Die beiden Halbkugeln ergeben zusammen eine Vollkugel. Du musst also das Volumen des Zylinders und der Kugel einzeln berechnen und am Ende zummenaddieren. In der Skizze ist $a$ die Höhe des Zylindes und $b$ der Durchmesser des Zylinders und der Kugel.
Für den Zylinder gilt:
$\begin{array}[t]{rll} V_Z&=&\pi\cdot r^2 \cdot h \\[5pt] &=& \pi \cdot \left(\dfrac{4,5~\text{m}}{2}\right)^2 \cdot 13~\text{m} \\[5pt] &\approx&206,76~\text{m}^3 \end{array}$
Und für die Kugel:
$\begin{array}[t]{rll} V_K&=&\dfrac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^3 \\[5pt] &=&\dfrac{3}{4} \cdot \pi \cdot \left(\dfrac{4,5~\text{m}}{2}\right)^3 \\[5pt] &\approx&47,71~\text{m}^3 \end{array}$
Für das Gesamtvolumen gilt somit:
$\begin{array}[t]{rll} V&=&206,76~\text{m}^3+47,71~\text{m}^3 \\[5pt] &=&254,47~\text{m}^3 \end{array}$
b)
$\blacktriangleright$  Oberflächeninhalt berechnen
Die Oberfläche des Körpers besteht aus zwei Halbkugeln und der Mantelfläche des Zylinders. Die beiden Halbkugeln ergeben zusammmen wieder die Oberfläche einer Vollkugel. Für diese gilt:
$\begin{array}[t]{rll} O_K&=&4\cdot \pi r^2 \\[5pt] &=&4\cdot \pi \cdot \left(\dfrac{4,5~\text{m}}{2}\right)^2 \\[5pt] &\approx&63,62~\text{m}^2 \end{array}$
Für die Mantelfläche des Zylinders gilt:
$\begin{array}[t]{rll} O_{M_Z}&=&2 \cdot \pi \cdot r \cdot h \\[5pt] &=&\pi \cdot 4,5~\text{m} \cdot 13~\text{m} \\[5pt] &\approx&183,78~\text{m}^2 \end{array}$
Für die gesamte Oberfläche gilt somit:
$\begin{array}[t]{rll} O&=& 63,62~\text{m}^2+183,78~\text{m}^2 \\[5pt] &=& 247,40~\text{m}^2 \end{array}$
#zylinder#kugel

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$  Höhe berechnen
Betrachte das Dreieck, welches die Seite $b$ mit der Höhe $h$ und der Grundseite einschließt. Mithilfe des Tangens erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} \tan(65^{\circ})&=&\dfrac{h}{2~\text{cm}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 2~\text{cm} \\[5pt] 2~\text{cm}\cdot \tan(65^{\circ})&=&h \\[5pt] 4,29&\approx&h \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} \tan(65^{\circ})&=&\dfrac{h}{2~\text{cm}} \\[5pt] 4,29&\approx&h \end{array} $
b)
$\blacktriangleright$  Seite b berechnen
Die Seite $b$ kannst du mithilfe eines Sinus oder Kosinus oder mit dem Satz des Pythagoras berechnen. Mit dem Kosinus gilt:
$\begin{array}[t]{rll} \cos(65^{\circ})&=&\dfrac{2~\text{cm}}{b} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot b \\[5pt] b\cdot \cos(65^{\circ})&=&2~\text{cm}&\quad \scriptsize \mid\; :\cos(65^{\circ}) \\[5pt] b&=&\dfrac{2~\text{cm}}{\cos(65^{\circ})} \\[5pt] &=&4,73~\text{cm} \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} \cos(65^{\circ})&=&\dfrac{2~\text{cm}}{b} \\[5pt] b&=&4,73~\text{cm} \end{array} $
$\blacktriangleright$  Umfang berechnen
Für den Umfang des Trapezes musst du alle Seitenlängen aufsummieren. Da das Trapez symmetrisch ist, gilt für die Seite $a$:
$A=12~\text{cm}-2\cdot 2~\text{cm}=8~\text{cm}$
Somit gilt für den Umfang:
$U=12~\text{cm}+2\cdot 4,73~\text{cm}+8~\text{cm}=29,46~\text{cm}$
$ U=29,46~\text{cm} $
c)
$\blacktriangleright$  Strecke c berechnen
Skizze
Abb. 1: Skizze Trapez
Skizze
Abb. 1: Skizze Trapez
#tangens#kosinus#satzdespythagoras

Aufgabe 3

a)
i)
$\blacktriangleright$  Baumdiagramm bewerten
Timo hat vergessen, dass nach dem ersten Zug insgesamt nur noch $10$ Kugeln vorhanden sind. Somit stimmen die Wahrscheinlichkeiten für den zweiten Zug nicht. Richtig wäre das folgende Baumdiagramm:
Baumdiagramm
Abb. 2: Richtiges Baumdiagramm
Baumdiagramm
Abb. 2: Richtiges Baumdiagramm
ii)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für zwei gelbe Kugeln berechnen
Mithilfe der Pfadmultiplikationsregel kannst du die Wahrscheinlichkeit für zwei gelbe Kugeln berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} p(2 ~\times ~\text{gelb})&=&\dfrac{9}{11}\cdot \dfrac{8}{10} \\[5pt] &=&\dfrac{72}{110} \\[5pt] &\approx& 0,65 \end{array}$
b)
i)
$\blacktriangleright$  Baumdiagramm zeichnen
In diesem Fall sind die Wahrscheinlichkeiten für den ersten Zug gleich wie zuvor. Für den zweiten Zug befinden sich jedoch insgesamt $12$ Kugeln in dem Gefäß. Je nachdem welche Kugel beim ersten Zug gezogen wurde, steigt auch die Anzahl der gelben, bzw. roten Kugel um eine weitere Kugel. Für das Baumdiagramm erhältst du dann:
Baumdiagramm
Abb. 3: Baumdiagramm
Baumdiagramm
Abb. 3: Baumdiagramm
ii)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für eine rote Kugeln berechnen
Es gibt zwei Pfade, bei denen genau eine der beiden Kugeln von Katja rot ist. Wegen der Pfadadditionsregel, ,usst du die Wahrscheinlichkeiten der beiden Pfade addieren, um die gesuchte Wahrschienlichkeit zu erhalten:
$\begin{array}[t]{rll} p(1 ~\times ~\text{rot})&=&\dfrac{2}{11}\cdot \dfrac{9}{12}+\dfrac{9}{11}\cdot \dfrac{2}{12} \\[5pt] &=&\dfrac{36}{132} \\[5pt] &=&\dfrac{3}{11} \\[5pt] &\approx&0,27 \end{array}$
$p(1 ~\times ~\text{rot})\approx 0,27 $
#pfadregeln

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$  Winkelgröße erklären
Skizze
Abb. 4: Skizze Wechselwinkel
Skizze
Abb. 4: Skizze Wechselwinkel
b)
$\blacktriangleright$  Entfernung berechnen
Jedes Stadion ist $148,5~\text{m}$ lang. Für $5000$ Stadien gilt demnach:
$5000\cdot 148,5~\text{m}=742~500~\text{m}$
dies musst du noch in Kilometer umrechnen. Da $1000~\text{m}=1~\text{km}$, gilt:
$742~500~\text{m}=742,5~\text{km}$
Somit hast du die Entfernung von $742,5~\text{km}$ gezeigt.
c)
$\blacktriangleright$  Erdumfang berechnen
Du weißt;, dass ein Vollkreis $360^{\circ}$ besitzt. Bei einem Innenwinkel von $\alpha=7,2^{\circ}$ ist der Kreisausschnitt gearde $742,5~\text{km}$. Mit einem Dreisatz kannst du jetzt den Erdumfang berechnen:
$:7,2$
$\begin{array}{rrcll} &7,2^{\circ}&\mathrel{\widehat{=}}&742,5~\text{km}\\[5pt] &1^{\circ}&\mathrel{\widehat{=}}&103,125~\text{km}\\[5pt] &360^{\circ}&\mathrel{\widehat{=}}&37~125~\text{km}& \end{array}$
$:7,2$
$\cdot 360$
$\cdot 360$
$ \begin{array}{rrcll} &7,2^{\circ}&\mathrel{\widehat{=}}&742,5~\text{km}\\[5pt] &360^{\circ}&\mathrel{\widehat{=}}&37~125~\text{km}& \end{array} $
Der Erdumfang nach Eratosthenes ist also $37~125~\text{km}$.
d)
$\blacktriangleright$  Erdradius und -durchmesser berechnen
Für den Umfang eines Kreises gilt:
$\begin{array}[t]{rll} U&=&\pi \cdot d &\quad \scriptsize \mid\; :\pi \\[5pt] \dfrac{U}{\pi}&=&d \end{array}$
Setze in diese Formel dein ergebnis für den Umfang ein, um den Durchmesser zu erhalten:
$d=\dfrac{37~125~\text{km}}{\pi}\approx 11817,3~\text{km}$
Für den Radius gilt somit:
$r=\dfrac{11817,3~\text{km}}{2}\approx5908,7~\text{km}$
#radius#dreisatz

Aufgabe 5

a)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichungen zuordnen
Die Funktion $f(x)$ beschreibt ein exponentielles Wachstum, weshalb sie zum zweiten Graphen gehört. Die Funktion $g(x)$ hingegen ist eine Funktion $3.$ Grades und gehört somit zur ersten Abbildung.
Graph
Abb. 6: Graph 2
Graph
Abb. 6: Graph 2
$ $ $f(x)=0,25\cdot 3^x$
$f(x)=0,25\cdot 3^x$
b)
i)
$\blacktriangleright$  Aussagen beurteilen
Potenzfunktionen sind Funktionen von der Form $f(x)=a\cdot x^b$. Das $x$ fungiert also als Basis mit einer anderen Zahl als Exponent. dies ist bei der Funktion $g(x)$ der Fall, womis die erste Aussage wahr und die zweite falsch ist.
Steht im Exponenten eine gerade Zahl, erhältst du eine Funktion mit mindestens einem Extrempunkt (Minimum oder Maximum). Damit hat die Funktion einen Scheitelpunkt.
Aussagewahrfalsch
$1$„$g(x)$ ist eine Potenzfunktion.“$ \times$$ $
$2$„Bei einer Potenzfunktion steht die Variable im Exponenten.“$ $$ \times$
$3$„Es gibt Potenzfunktionen, deren Graphen einen Scheitelpunkt haben.“$\times $$ $
Aussagewahrfalsch
$1 $$\times $$ $
$2 $$ $$\times $
$3 $$\times $$ $
ii)
$\blacktriangleright$  Aussage 3 begründen
Wie schon erwähnt hat jede Funktion mit einem geraden Exponenten einen Scheitelpunkt. Zum Beispiel ist eine Parabel der Form $f(x)=a\cdot x^2$ auch eine Potenzfunktion, die einen Scheitelpunkt besitzt.
c)
i)
$\blacktriangleright$  Graphen spiegeln
Graph
Abb. 7: Gespiegelter Graph
Graph
Abb. 7: Gespiegelter Graph
ii)
$\blacktriangleright$  Fukntionsgleichung angeben
Wird eine Funktion an der $x$-Achse gespiegelt, so musst du vor die Funktionsgleichung ein „$-$“ schreiben. Dadurch wird jeder Punkt mit $P\left(x|f(x)\right)$ zu $P(x|-f(x))$ und dadurch gespiegelt.
Für die Funktionsgleichung gilt also:
$h_2(x)=-0,5\cdot 2^{-x}$
#exponentialfunktion#polynomfunktion

Aufgabe 6

a)
$\blacktriangleright$  Funktionen zuordnen
Schaue dir zunächst die vorgegebenen Funktionen an:
  • $f(x)$ ist eine Gerade mit negativer Steigung
  • $g(x)$ ist eine nach oben geöffnete Parabel mit Scheitelpunkt $S(16|1,2)$
  • $h(x)$ ist eine nach unten geöffnete Parabel mit Scheitelpunkt $S(0|6,4)$
Jetzt kannst du dir die einzelnen Intervalle der schanze näher anschauen:
  • Im Intervall $0\leq x \leq 2$ ist die Schanze nach unten gebogen. Es kommt also nur die nach unten geöffnete Parabel in Frage. Auch der Scheitelpunkt von $h(x)$ stimmt mit der Skizze überein.
  • Im Intervall $2\leq x \leq 12$ wird die Schanze durch eine Gerade beschrieben. Demnach muss die Funktionsgleichung $f(x)$ richtig sein.
  • Im Intervall $12\leq x \leq 20$ wird die Schanze durch eine nach oben geöffnete Parabel beschrieben. Hier kommt nur $g(x)$ in Frage und auch der Scheitelpunkt stimmt überein.
IntervallFunktionsgl.
$0\leq x \leq 2$$h(x)$
$2\leq x \leq 12$$f(x)$
$12 \leq x \leq 20$$g(x)$
b)
$\blacktriangleright$  Höhe des Absprungpunktes angeben
Der Absprungpunkt ist in der Skizze mit $A$ beschriftet und liegt bei $x=20$. Die Höhe kannst du am Graphen ablesen oder mithilfe der Funktion von $g$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} g(20)&=&0,05\cdot (20-16)^2+1,2 \\[5pt] &=&0,05 \cdot 16+1,2 \\[5pt] &=& 2 \end{array}$
$ g(20)=2 $
Der Absprungpunkt liegt $2$ Meter über der Wasseroberfläche.
c)
$\blacktriangleright$  Behauptung erläutern
Der Punkt $C$ ist bei bei $x=12$. Die $12$ ist sowohl im Intervall $2\leq x\leq 12$, als auch im Intervall $12\leq x \leq 20$ enthalten und wird somit von den beiden Funktionen $f$ und $g$ beschrieben. Deshalb kann man die Höhe der Schanze am Punkt $C$ mit beiden Funktionen berechnen.
d)
$\blacktriangleright$  Koordinaten des tiefsten Punktes angeben
Der tiefste Punkt der Schanze ist $B$. Dieser ist gerade der Scheitelpunkt der Funktion $g$, welcher bei $B(16|1,2)$ liegt.
e)
$\blacktriangleright$  Höhenunterschied berechnen
Bestimme zuerst die Höhe am höchsten Punkt der Schanze. Dies ist für den Punkt $D$ der Fall. Auch hier kannst du den Scheitelpunkt der Funktion $h$ ablesen mit $D(0|6,4)$. Somit liegt der höchste Punkt bei $6,40~\text{m}$ und der tiefste Punkt bei $1,2~\text{m}$. Für den Höhenunterschied gilt:
$6,4~\text{m}-1,2~\text{m}=5,2~\text{m}$
#graph
Bildnachweise [nach oben]
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