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Teil A

Aufgaben
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In den Aufgaben 1 bis 6 ist von den jeweils fünf Auswahlmöglichkeiten genau eine Antwort richtig. Kreuze das jeweilige Feld an.
1
In Cunewalde in der Oberlausitz sind originalgetreue Modelle sehenswerter Umgebindehäuser im Maßstab $1 : 5$ zu besichtigen. Das Modell eines Umgebindehauses hat eine Länge von $2,4 \,\text{m}.$ Dieses Umgebindehaus besitzt im Original eine Länge von:
$5,0\,\text{m}$
$9,6\,\text{m}$
$12,0\,\text{m}$
$14,4\,\text{m}$
$24,0\,\text{m}$
(1 BE)
#maßstab
2
Welches Volumen ist am größten?
$2\,\text{m}^3$
$20\,\text{dm}^3$
$20\,\text{Liter}$
$200\,\text{cm}^3$
$2.000\,\text{cm}^3$
(1 BE)
#volumen
3
Welche Abbildung stellt kein Trapez dar?
Teil A
Teil A
Teil A
Teil A
Teil A
(1 BE)
#trapez
4
Welche Gleichung besitzt im Bereich der reellen Zahlen die zwei Lösungen $x_1=-2$ und $x_2=0?$
$x^2-4=0$
$x^2+4=0$
$x\cdot (x-2) = 0$
$x\cdot (x+2) = 0$
$x^2-x-2=0$
(1 BE)
5
Der Graph welcher linearen Funktion schneidet die Koordinatenachsen in den Punkten $A(2\mid 0)$ und $B(0\mid -4)?$
$y = x-4\quad$ $(x\in \mathbb{R})$
$y = x-2\quad$ $(x\in \mathbb{R})$
$y = -2\cdot x-4\quad$ $(x\in \mathbb{R})$
$y = 2\cdot x-4\quad$ $(x\in \mathbb{R})$
$y = \frac{1}{2}\cdot x+2\quad$ $(x\in \mathbb{R})$
(1 BE)
#linearefunktion
6
In welchem Intervall ist die Funktion $f$ mit $y= f(x)=(x-1)^2+2\quad$ $(x\in \mathbb{R})$ monoton steigend?
$x\leq -2$
$x< -1$
$x\leq 0$
$x< 1$
$x \geq 1$
(1 BE)
#monotonie
7
Teil A
Abb. 1: nicht maßstäblich
Teil A
Abb. 1: nicht maßstäblich
7.1
Gib die Höhe dieses geraden Prismas an.
(1 BE)
7.2
Bestimme das Volumen des durch die Punkte $E,$ $F,$ $G,$ $H,$ $I$ und $J$ begrenzten Dachraumes.
(4 BE)
#prisma
8
Ein Schüler kauft für ein Konzert Karten der Preisstufe I zum Preis von jeweils $20\,$ Euro und Karten der Preisstufe II zum Preis von jeweils $12\,$ Euro. Er bezahlt für insgesamt $12$ Karten $200\,$ Euro.
Ermittle, wie viele Karten der Schüler von jeder Preisstufe gekauft hat.
(4 BE)
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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Lösungen
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1
$\blacktriangleright$  Originallänge bestimmenTeil A
$1\,\text{m}$ im Modell entspricht $5\,\text{m}$ in der Realität:
$2,4\,\text{m}\cdot 5 = 12,0\,\text{m}$
Die dritte Antwortmöglichkeit ist die richtige.
2
$\blacktriangleright$  Größtes Volumen bestimmen
Du kannst alle Angaben in dieselbe Einheit, beispielsweise $\text{dm}^3,$ umrechnen:
$\begin{array}[t]{rll} 2\,\text{m}^3&=& 2.000\,\text{dm}^3 \\[10pt] 20\,\text{dm}^3&=& 20\,\text{dm}^3 \\[10pt] 20\,\text{Liter}&=& 20\,\text{dm}^3 \\[10pt] 200\,\text{cm}^3&=& 0,2\,\text{dm}^3 \\[10pt] 2.000\,\text{cm}^3&=& 2\,\text{dm}^3 \\[10pt] \end{array}$
Die erste Antwortmöglichkeit ist die richtige.
3
$\blacktriangleright$  Trapeze auswählen
In einem Trapez muss es zwei gegenüberliegende Seiten geben, die parallel sind. In der letzten Figur ist das nicht der Fall. Hierbei handelt es sich um ein Drachenviereck.
Die richtige Antwortmöglichkeit ist die letzte.
4
$\blacktriangleright$  Gleichung auswählen
Du kannst die beiden Lösungen jeweils in die Gleichungen einsetzen, um zu überprüfen, ob sie die Gleichung erfüllen.
Die vierte Antwortmöglichkeit ist die richtige.
5
$\blacktriangleright$  Passende Funktion auswählen
Setze die $x$-Koordinaten der beiden Punkte $A$ und $B$ jeweils in den Funktionsterm ein und überprüfe, ob dabei die richtige $y$-Koordinate herauskommt.
Die vierte Antwortmöglichkeit ist die richtige.
6
$\blacktriangleright$  Intervall mit der passenden Steigung bestimmen
Bei dem Graphen von $f$ handelt es sich um eine nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt $(1\mid 2).$ $f$ ist also für $x\geq 1$ monoton steigend.
Die letzte Antwortmöglichkeit ist die richtige.
7
7.1
$\blacktriangleright$  Höhe angeben
Die Grundfläche des Prismas ist das Fünfeck $ABFIE.$ Da das Prisma gerade ist, entspricht die Höhe des Prismas der Länge der Strecken $\overline{IJ}$ und $\overline{BC}.$
Die Höhe des Prismas beträgt also $10,0\,\text{m}.$
7.2
$\blacktriangleright$  Volumen bestimmen
Der Dachraum besitzt ebenfalls die Form eines Prismas. Die Grundfläche ist das Dreieck $EFI.$
1. Schritt: Grundfläche des Prismas berechnen
Die Grundseite des Dreiecks ist $\overline{EF}.$ Diese ist genauso lang wie $\overline{AB} = 8,0\,\text{m}.$ Die Höhe $h_G$ des Dreiecks lässt sich mithilfe der angegebenen Höhe des Hauses $h= 6,5\,\text{m}$ und der Streckenlänge $\overline{AE} = 3,5\,\text{m}$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} h_G&=& h -\overline{AE} \\[5pt] &=& 6,5\,\text{m} - 3,5\,\text{m}\\[5pt] &=& 3,0\,\text{m} \end{array}$
Der Flächeninhalt des Dreiecks ist also:
$\begin{array}[t]{rll} G &=& \frac{1}{2}\cdot \overline{EF}\cdot h_G \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot 8,0\,\text{m} \cdot 3,0\,\text{m} \\[5pt] &=& 12,0\,\text{m}^2 \end{array}$
2. Schritt: Volumen berechnen
Die Höhe des Dachraumprismas entspricht der Höhe des gesamten Prismas. Das Volumen ergibt sich also zu:
$\begin{array}[t]{rll} V&=& G\cdot \overline{IJ} \\[5pt] &=& 12,0\,\text{m}^2 \cdot 10,0\,\text{m} \\[5pt] &=& 120,0\,\text{m}^3 \end{array}$
Das Volumen des Dachraumes beträgt $120,0\,\text{m}^3.$
8
$\blacktriangleright$  Aufteilung der Karten ermitteln
Bezeichne mit $x$ die Anzahl der Karten der Kategorie I und mit $y$ die Anzahl der Karten der Kategorie II. Aus der Aufgabenstellung kannst du dann folgendes lineares Gleichungssystem aufstellen:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&200 &=& 20\cdot x + 12\cdot y \\ \text{II}\quad&12&=& x +y \\ \end{array}$
Die zweite Gleichung kannst du nach $x$ oder $y$ auflösen.
$\begin{array}[t]{rll} \text{II} \quad 12 &=& x+y &\quad \scriptsize \mid\;-y \\[5pt] 12-y &=& x \end{array}$
$ 12-y = x $
Dies kannst du nun in die erste Gleichung einsetzen und diese nach $y$ lösen:
$\begin{array}[t]{rll} \text{I}\quad 200 &=& 20\cdot x +12\cdot y &\quad \scriptsize \mid\; x= 12-y \\[5pt] 200&=& 20\cdot (12-y) +12\cdot y \\[5pt] 200&=& 240 -20\cdot y +12\cdot y \\[5pt] 200&=& 240 - 8\cdot y &\quad \scriptsize \mid\; -240 \\[5pt] -40 &=& -8\cdot y &\quad \scriptsize \mid\; :(-8)\\[5pt] 5&=& y \end{array}$
$ 5 = y $
Daraus folgt für $x:$
$\begin{array}[t]{rll} x&=& 12-5 \\[5pt] &=& 7 \end{array}$
Der Schüler hat $7$ Karten der Preisstufe I und $5$ Karten der Preisstufe II gekauft.
#gleichungssystem
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