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Teil B

Aufgaben
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1.
Für $x\in\mathbb{R}$ und $0\leq x\leq2\cdot\pi$ ist die Funktion $f$ mit $y=f(x)=1,5 \cdot \sin (2\cdot x)$ gegeben.
#sinusfunktion
1.1
Gib die Koordinaten eines lokalen Maximumpunktes des Graphen von $f$ im vorgegebenen Definitionsbereich an.
(2 BE)
#extrempunkt
1.2
Bestimme den Abstand der beiden lokalen Maximumpunkte des Graphen von $f$ im vorgegebenen Definitionsbereich.
Gib die Bedeutung dieses Abstandes für die Funktion $f$ an.
(3 BE)
#extrempunkt
1.3
Gib den Wertebereich von $f$ an.
(1 BE)
#wertebereich
1.4
Es gibt lineare Funktionen, deren Graph jeweils durch den Punkt $P (0\mid \frac{3}{2})$ verläuft und mit dem Graphen von $f$ im vorgegebenen Definitionsbereich genau einen Punkt gemeinsam hat.
Gib eine mögliche Funktionsgleichung einer solchen linearen Funktion an.
(2 BE)
#linearefunktion
2.
Eine gerade Pyramide mit quadratischer Grundfläche besitzt die Höhe $80 \, \text {cm}$. Dir Seitenlänge der Grundfläche beträgt $50 \, \text {cm}$.
2.1
Berechne das Volumen dieser Pyramide.
Gib dieses Volumen in Liter an.
(3 BE)
#volumeneinheiten#pyramide
2.2
Berechne die Größe der Oberfläche dieser Pyramide.
(4 BE)
3
Teil B
Abb. 1: nicht maßstäblich
Teil B
Abb. 1: nicht maßstäblich
Der Mittelpunkt der Grundfläche des Panometers liegt im Koordinatenursprung $O$.
Die Schnittlinie des Kuppeldachs kann durch den Graphen der Funktion $f$ mit $y=f(x)=-0,0124 \cdot x^2+40,0$ $(x\in D_f)$ beschrieben werden.
3.1
Ermittle die maximale Höhe des Panometers.
(2 BE)
3.2
Die Außenmauer des Panometers ist $30,0 \, \text {m}$ hoch.
Bestimme den Durchmesser der Grundfläche des Panometers.
(3 BE)
3.3
Berechne den Flächeninhalt des Panoramabildes.
(2 BE)
3.4
Teil B
Abb. 3: nicht maßstäblich
Teil B
Abb. 3: nicht maßstäblich
(4 BE)
3.5
Personen- gruppeAnteil der Personen-gruppe in ProzentGerettete der Personen-gruppe in Prozent
Kinder$4,9$$51,4$
Frauen$19,1$$74,4$
Männer$76,0$$20,0$
Personen- gruppeAnteil der Personen-gruppe in ProzentGerettete der Personen-gruppe in Prozent
Kinder$4,9$$51,4$
Frauen$19,1$$74,4$
Männer$76,0$$20,0$
#prozent
3.5.1
Ermittle die Anzahl der Kinder an Bord der Titanic zum Zeitpunkt des Untergangs.
(2 BE)
3.5.2
Bestimme die Anzahl der geretteten Frauen beim Untergang der Titanic.
(2 BE)
Bildnachweise [nach oben]
[1]-[3]
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#gtr
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Lösungen
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1.1
$\blacktriangleright$  Koordinaten eines lokalen Maximumpunktes angebenTeil B
Der Graph von $f$ geht durch verschiedene Streckungen aus dem Graphen der allgemeinen Sinusfunktion mit $g(x)= \sin(x)$ hervor.
Daher lassen sich die lokalen Maximumpunkte des Graphen von $f$ aus den lokalen Maximumpunkten des Graphen von $\sin(x)$ herleiten.
Der Graph zu $\sin x$ besitzt lokale Maximumpunkte an den Stellen $x = \frac{\pi}{2},$ $x = \frac{5\pi}{2},$ $x = \frac{9\pi}{2},$ … mit der Periode $2\pi.$
Durch den Faktor $2$ im Funktionsterm $f(x)= 1,5\cdot \sin (2\cdot x)$ wird der zugehörige Graph entlang der $x$-Achse gestaucht. Die Periode wird auf $\pi$ verkürzt. Der erste lokale Maximumpunkt befindet sich daher schon bei $x = \frac{\pi}{4}.$
Bei der Funktion zu $\sin(x)$ beträgt der Funktionswert in jedem Maximumpunkt $1.$ Durch den Faktor $1,5$ im Funktionsterm von $f$ wird der Graph entlang der $y$-Achse gestreckt. Der Funktionswert im lokalen Maximumpunkt muss also mit $1,5$ multipliziert werden und beträgt daher $1,5.$
Die Koordinaten eines lokalen Maximumpunktes im vorgegebenen Definitionsbereich $0\leq x \leq 2\cdot \pi$ lauten also $H\left(\frac{\pi}{4}\mid 1,5 \right).$
1.2
$\blacktriangleright$  Abstand der beiden lokalen Maximumpunkte bestimmen
Die Funktion $f$ ist periodisch und besitzt die Persiode $\pi.$ Der zweite lokale Maximumpunkt im vorgegebenen Definitionsbereich hat daherdie Koordinaten $H_2\left(\frac{5}{4}\pi \mid 1,5\right).$ Der Abstand der beiden Maximumpunkte beträgt $\pi$ und entspricht der kleinsten Periode der Funktion $f.$
1.3
$\blacktriangleright$  Wertebereich angeben
Der Wertebereich der allgemeinen Funktion $g$ mit $g(x)=\sin(x)$ ist $W_g = \{y \mid y\in \mathbb{R}, -1\leq y \leq 1\}.$ Durch den Faktor $1,5$ im Funktionsterm von $f$ erhöht sich der kleinstmögliche und der größtmögliche Funktionswert um den Faktor $1,5.$
$W_f=\{y\mid y\in \mathbb{R} , -1,5\leq y \leq 1,5\}$
$W_f=\{y\mid y\in \mathbb{R} , -1,5\leq y \leq 1,5\}$
1.4
$\blacktriangleright$  Gleichung einer linearen Funktion angeben
Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Durch den Punkt $P$ ist der $y$-Achsenabschnitt der gesuchten Gerade $h$ vorgegeben:
$h: \, y = m\cdot x +\frac{3}{2}$
Die Steigung muss nun so bestimmt werden, dass die Gerade den Graphen von $f$ für $0\leq x \leq 2\cdot \pi$ genau einmal schneidet.
Du kannst dir den Graphen von $f$ zur Übersicht in deinem GTR anzeigen lassen.
Du kannst beispielsweise die Gerade verwenden, die durch den Punkt $\left(\frac{\pi}{4}\mid -1,5 \right)$ verläuft. Damit erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} y &=& m\cdot x +\frac{3}{2} &\quad \scriptsize \mid\; \left(\frac{\pi}{4}\mid -1,5 \right) \\[5pt] -1,5 &=& m\cdot \frac{\pi}{4} + \frac{3}{2} &\quad \scriptsize \mid\;- \frac{3}{2} \\[5pt] -3 &=& m\cdot \frac{\pi}{4} &\quad \scriptsize \mid\;:\frac{\pi}{4} \\[5pt] \frac{-12}{\pi} &=& m \end{array}$
$ m =\frac{-12}{\pi} $
Eine mögliche Geradengleichung ist:
$y =\frac{-12}{\pi} x + \frac{3}{2} $
#geradengleichung
2.1
$\blacktriangleright$  Volumen der Pyramide berechnen
1. Schritt: Größe der Grundfläche berechnen
Die Grundfläche ist quadratisch und besitzt die Seitenlänge $a = 50\,\text{cm}.$ Der Flächeninhalt der Grundfläche ist also:
$G = 50\,\text{cm} \cdot 50 \,\text{cm} = 2.500\,\text{cm}^2$
$ G = 2.500\,\text{cm}^2 $
2. Schritt: Volumen berechnen
Die Höhe der Pyramide beträgt $h = 80\,\text{cm}.$ Mit der Formel für das Volumen einer Pyramide folgt:
$\begin{array}[t]{rll} V &=& \frac{1}{3} \cdot G \cdot h \\[5pt] &=& \frac{1}{3}\cdot 2.500\,\text{cm}^2 \cdot 80\,\text{cm} \\[5pt] &=& \frac{200.000}{3}\,\text{cm}^3 \end{array}$
$ V=\frac{200.000}{3}\,\text{cm}^3 $
$\blacktriangleright$  Volumen in Liter angeben
$1$ Liter entspricht $1.000\,\text{cm}^3.$
$\frac{200.000}{3}\,\text{cm}^3 = \frac{200}{3}\,l \approx 66,7\,l$
$ … \approx 66,7\,l $
Das Volumen der Pyramide beträgt ca. $66,7\,l.$
2.2
$\blacktriangleright$  Größe der Oberfläche berechnen
Da die Pyramide gerade und quadratisch ist, sind alle vier Seitenflächen gleich groß. Die Größe der Oberfläche setzt sich daher wie folgt zusammen:
$O = G + 4\cdot A$
Dabei ist $A$ der Flächeninhalt einer der dreieckigen Seitenflächen.
1. Schritt: Höhe der Seitenfläche berechnen
Teil B
Abb. 1: Skizze der Pyramide
Teil B
Abb. 1: Skizze der Pyramide
Die Grundseite der dreieckigen Seitenfläche ist $a=50\,\text{cm}$ lang. Die zugehörige Höhe $h_a$ kannst du mit dem Satz des Pythagoras berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} h^2 + \left(\frac{a}{2} \right)^2 &=& h_a^2 \\[5pt] \left(80\,\text{cm} \right)^2 + \left( \frac{50\,\text{cm}}{2}\right)^2 &=& h_a^2 \\[5pt] 7.025\,\text{cm}^2&=& h_a^2 \\[5pt] 83,82\,\text{cm}&\approx& h_a \end{array}$
$ h_a \approx 83,82\,\text{cm} $
2. Schritt: Flächeninhalt der Seitenfläche berechnen
Mit der Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks ergibt sich nun:
$\begin{array}[t]{rll} A &=& \frac{1}{2}\cdot a \cdot h_a \\[5pt] &=& \frac{1}{2} \cdot 50\,\text{cm} \cdot 83,82\,\text{cm} \\[5pt] &=& 2.095,5\,\text{cm}^2 \\[5pt] \end{array}$
$ A=2.095,5\,\text{cm}^2 $
3. Schritt: Größe der Oberfläche berechnen
$\begin{array}[t]{rll} O &=& G + 4\cdot A \\[5pt] &=& 2.500\,\text{cm}^2 + 4\cdot 2.095,5\,\text{cm}^2 \\[5pt] &=& 10.882\,\text{cm}^2 \end{array}$
$ O= 10.882\,\text{cm}^2 $
Die Oberfläche der Pyramide ist ca. $ 10.882\,\text{cm}^2$ groß.
#satzdespythagoras
3.1
$\blacktriangleright$  Maximale Höhe es Panometers ermitteln
Die maximale Höhe des Panometers entspricht dem maximalen Funktionswert von $f.$ Betrachte den Funktionsterm von $f:$
$f(x)= -0,0124\cdot x^2 +40,0$
Bei dem Graphen von $f$ handelt es sich um eine nach unten geöffnete Parabel. Ihr höchster Punkt ist daher der Scheitelpunkt. Die Koordinaten des Scheitelpunkts kannst du direkt aus der Funktionsgleichung ablesen: $S(0\mid 40,0).$
Die maximale Höhe des Panometers beträgt also $40,0\,\text{m}.$
#scheitelpunkt
3.2
$\blacktriangleright$  Durchmesser der Grundfläche bestimmen
Teil B
Abb. 2: Höchster Punkt der Außenmauer $P$
Teil B
Abb. 2: Höchster Punkt der Außenmauer $P$
Der Radius der Grundfläche ergibt sich aus der $x$-Koordinate des eingezeichneten Punkts $P,$ der auf dem Graphen von $f$ in einer Höhe von $y=30,0$ liegt. Bestimme also $x$ mit $f(x) = 30,0.$
Dafür kannst du deinen GTR verwenden:
$\blacktriangleright$ Casio fx-CG
Bestimme den $x$-Wert zum $y$-Wert $30,0$ mit dem X-CAL-Befehl.
F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F2: X-CAL
F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F2: X-CAL
Du erhältst $f(28,4)\approx 30,0.$ Der Radius der Grundfläche ist daher ca. $28,4\,\text{m}.$ Der Durchmesser der Grundfläche beträgt also ca. $56,8\,\text{m}.$
#gtr
3.3
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen
Das Bild hat die Form der Mantelfläche eines geraden Kreiszylinders mit der Höhe $h= 32,0\,\text{m}$ und dem Grundkreisradius $r = 16,7\,\text{m}.$
Der Flächeninhalt des Bildes lässt sich also über $A = h \cdot U$ berechnen. Dabei ist $U$ der Umfang des Grundkreises.
Mit der Formel für den Umfang eines Kreises ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} U &=& 2\cdot \pi \cdot r \\[5pt] &=& 2\cdot \pi \cdot 16,7\,\text{m} \\[5pt] &\approx& 104,93\,\text{m} \end{array}$
Der Flächeninhalt ergibt sich dann zu:
$\begin{array}[t]{rll} A &=& h\cdot U \\[5pt] &\approx& 32,0\,\text{m} \cdot 104,93\,\text{m} \\[5pt] &=& 3.357,76\,\text{m}^2 \\[5pt] \end{array}$
Der Flächeninhalt des Panoramabildes beträgt ca. $3.357,76\,\text{m}^2.$
3.4
$\blacktriangleright$  Überprüfen, ob die Kamera beide Punkte gleichzeitig erfassen kann
Teil B
Abb. 3: Skizze Dreieck $P_1AP_2$
Teil B
Abb. 3: Skizze Dreieck $P_1AP_2$
Mit dem Kosinussatz kannst du $\alpha$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} a^2 &=& b^2 +c^2 - 2\cdot b\cdot c \cdot \cos \alpha \\[5pt] (9,7\,\text{m})^2&=& (17,1\,\text{m})^2 +(15,8\,\text{m})^2 -2\cdot 17,1\,\text{m} \cdot 15,8\,\text{m} \cdot \cos \alpha \\[5pt] 94,09\,\text{m}^2 &=& 542,05\,\text{m}^2-540,36\,\text{m}^2\cdot \cos \alpha &\quad \scriptsize \mid\; -542,05\,\text{m}^2 \\[5pt] -447,96\,\text{m}^2 &=& -540,36\,\text{m}^2\cdot \cos \alpha &\quad \scriptsize \mid\; :(-540,36\,\text{m}^2) \\[5pt] \frac{447,96}{540,36} &=& \cos \alpha &\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1} \\[5pt] 34,0^{\circ}&\approx& \alpha \end{array}$
$ \alpha \approx 34,0^{\circ} $
Die Kamera kann also beide Punkte $P_1$ und $P_2$ gleichzeitig erfassen.
#dreieck#kosinussatz
3.5.1
$\blacktriangleright$  Anzahl der Kinder berechnen
Zum Zeitpunkt des Untergangs waren $2.224$ Personen an Bord der Titanic. Davon waren laut Tabelle $4,9\,\%$ Kinder:
$2.224 \cdot 0,049 = 108,976 \approx 109$
Zum Zeitpunkt des Untergangs waren ca. $109$ Kinder an Bord der Titanic.
3.5.2
$\blacktriangleright$  Anzahl der geretteten Frauen berechnen
1. Schritt: Anzahl der Frauen an Bord berechnen
Von den $2.224$ Personen an Bord waren $19,1\,\%$ Frauen:
$2.224 \cdot 0,191 = 424,784 \approx 425$
An Bord waren ca. $425$ Frauen.
2. Schritt: Anzahl geretteter Frauen berechnen
Von den $425$ Frauen, die an Bord waren, wurden $74,4\,\%$ gerettet:
$425 \cdot 0,744 = 316,2 \approx 316$
Beim Untergang der Titanic wurden $316$ Frauen gerettet.
Bildnachweise [nach oben]
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