Inhalt
Better Learning!
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
SN, Gymnasium
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 8
Klasse 12
Klasse 11
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Klasse 7
Klasse 6
Klasse 5
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Geo
Lernbereich
Digitales Schulbuch
Abitur GK (CAS)
Abitur LK (GTR)
Abitur LK (CAS)
Abitur GK (GTR)
Abitur GK (CAS)
BLF (GTR)
BLF (CAS)
Kompetenztest 8
BLF (GTR)
Prüfung
wechseln
Abitur GK (CAS)
Abitur LK (GTR)
Abitur LK (CAS)
Abitur GK (GTR)
Abitur GK (CAS)
BLF (GTR)
BLF (CAS)
Kompetenztest 8
Better Learning!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!

Teil B

Aufgaben
Download als Dokument:PDF
1
Gegeben sind die Funktionen $f$ und $g$ mit
$y = f(x)= \dfrac{2}{x^2} $ $\left(x \in D_f\right)$ und $y =g(x)= -\frac{1}{2}\cdot x +\frac{3}{2}$ $\left(x\in \mathbb{R}\right).$
Die Punkte $S_1$ und $S_2\left(2\mid \frac{1}{2}\right)$ sind die beiden gemeinsamen Punkte der Graphen der Funktionen $f$ und $g$.
1.1
Gib den größtmöglichen Definitionsbereich der Funktion $f$ an.
(1 BE)
#definitionsbereich
1.2
Zeige, dass der Punkt $S_1$ die Koordinaten $S_1(-1\mid 2)$ besitzt.
(2 BE)
1.3
Berechne den Abstand der Punkte $S_1$ und $S_2.$
(2 BE)
1.4
Der Punkt $A$ ist der Fußpunkt des Lotes vom Punkt $S_1$ auf die $x$-Achse.
Der Punkt $B$ ist der Fußpunkt des Lotes vom Punkt $S_2$ auf die $x$-Achse.
Ermittle den Flächeninhalt des Trapezes $ABS_2S_1.$
(2 BE)
#trapez
1.5
Der Graph einer linearen Funktion $h$ verläuft parallel zum Graphen der Funktion $g.$
Der Punkt $C(2\mid 1)$ liegt auf dem Graphen von $h.$
Bestimme eine Gleichung dieser Funktion $h.$
(2 BE)
2
Ein Pfeiler ist $3,60\,\text{m}$ hoch und besitzt die Form eines geraden Prismas. Die Grundfläche dieses Prismas ist das unregelmäßige Dreieck $ABC.$
Für die Grundfläche gilt: $\overline{AB}= 0,80\,\text{m},$ $\sphericalangle BAC = 48^{\circ}$ und $\sphericalangle CBA= 30^{\circ}.$
#prisma
2.1
Zeige rechnerisch, dass die Seite $\overline{AC}$ der Grundfläche die Länge $0,41\,\text{m}$ besitzt.
(2 BE)
2.2
Der Pfeiler besteht aus Stahl. Ein Kubikmeter dieses Stahls besitzt eine Masse von $7,85$ Tonnen.
Bestimme die Masse des Pfeilers.
(3 BE)
#masse
3
Teil B
Abb. 1: nicht maßstäblich
Teil B
Abb. 1: nicht maßstäblich
3.1
Jeder der beiden Torräume wird von einer Torraumlinie begrenzt, die wie folgt festgelegt ist:
Um die Endpunkte der Torlinie wird jeweils ein Kreisbogen (Viertelkreis) mit einem Radius von $6,00\,\text{m}$ gezogen bis er auf eine Strecke trifft, die in einem Abstand von $6,00\,\text{m}$ parallel zur Torlinie verläuft.
Berechne den prozentualen Anteil der Fläche der beiden Torräume an der Gesamtfläche des Handballspielfeldes.
(4 BE)
#prozent
3.2
Ein Torwart wirft einen Ball. Die Ausdehnung des Balls wird vernachlässigt. Um die Flugbahn dieses Balls zu beschreiben, wird ein Koordinatensystem ($1$ Längeneinheit entspricht $1$ Meter) festgelegt.
Der Koordinatenursprung befindet sich im Mittelpunkt der in der Abbildung dargestellten linken Torlinie. Die Mittelpunkte beider Torlinien liegen auf der $x$-Achse. Die $y$-Achse verläuft senkrecht zum Spielfeld.
Die Flugbahn des Balls wird durch einen Teil des Graphen der Funktion $f$ mit
$y = f(x)= -0,01\cdot x^2 +0,30\cdot x +1,60$ $(x\in \mathbb{R}, x\geq 2)$
$ y = f(x)= … $
beschrieben.
Der $y$-Wert gibt die jeweilige Höhe des Balls über dem Spielfeld an.
Der Torwart wirft den Ball im Punkt $A(2,00\mid f(2,00))$ ab.
3.2.1
Gib an, in welcher Höhe über dem Spielfeld der Torwart den Ball abwirft.
Bestimme die größte Höhe des Balls über dem Spielfeld bei dieser Flugbahn.
(3 BE)
3.2.2
Untersuche, ob der Ball bei dieser Flugbahn auf dem Spielfeld auftreffen könnte.
(2 BE)
3.2.3
Ein Spieler fängt den Ball im Punkt $B(x_B\mid 1,29).$
Jeder Punkt der gestrichelten Freiwurflinie (siehe Abbildung) hat von der Torlinie einen Abstand von $9,00\,\text{m}.$
Zeige, dass der Spieler den Ball senkrecht über einer Freiwurflinie fängt.
(3 BE)
3.3
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Torwart Marian einen Siebenmeterwurf hält, beträgt $22\,\%.$
Berechne die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
Marian hält einen von drei Siebenmeterwürfen.
Marian hält keinen von drei Siebenmeterwürfen.
(4 BE)
#wahrscheinlichkeit
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© 2017 – SchulLV.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen TI
Download als Dokument:PDF
1.1
$\blacktriangleright$  Größtmöglichen Definitionsbereich angeben
Bei $f$ handelt es sich um eine gebrochenrationale Funktion. Der Nenner des Bruchs darf nicht null werden. Mögliche Definitionslücken, sind also die Nullstellen des Nenners.
$\begin{array}[t]{rll} x^2&=& 0\\[5pt] x&=&0 \end{array}$
Der größtmögliche Definitionsbereich von $f$ ist also $D_f = \{x\mid x\in \mathbb{R}, x\neq 0 \}.$
1.2
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Schnittpunkts nachweisen
Für $f$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} f(-1)&=& \dfrac{2}{(-1)^2} \\[5pt] &=& \dfrac{2}{1}\\[5pt] &=& 2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &f(-1)\\[5pt] =& \dfrac{2}{(-1)^2} \\[5pt] =& \dfrac{2}{1}\\[5pt] =& 2 \end{array}$
Für $g$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} g(-1)&=&-\frac{1}{2}\cdot (-1) + \frac{3}{2}\\[5pt] &=& \frac{1}{2}+\frac{3}{2}\\[5pt] &=& 2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &g(-1)\\[5pt] =&-\frac{1}{2}\cdot (-1) + \frac{3}{2}\\[5pt] =& \frac{1}{2}+\frac{3}{2}\\[5pt] =& 2 \end{array}$
Der Punkt $S_1$ mit den Koordinaten $S_1(-1\mid 2)$ liegt auf den Graphen der beiden Funktionen $f$ und $g$ und ist daher der zweite gemeinsame Punkt der beiden Graphen.
1.3
$\blacktriangleright$  Abstand berechnen
Mit der Formel für den Abstand zweier Punkte ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} d\left(S_1,S_2\right)&=&\sqrt{\left(x_{S_2}-x_{S_1}\right)^2+\left(y_{S_2}-y_{S_1}\right)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{(2-(-1))^2+\left(\frac{1}{2}-2\right)^2}\\[5pt] &=& \dfrac{3\sqrt{5}}{2} \\[5pt] &\approx& 3,35 \end{array}$
$ d\left(S_1,S_2\right) \approx 3,35 $
Die beiden Punkte $S_1$ und $S_2$ haben einen Abstand von $\dfrac{3\sqrt{5}}{2}\approx 3,35$ Längeneinheiten.
1.4
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen
Teil B
Abb. 1: Skizze
Teil B
Abb. 1: Skizze
Mit der Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} A_{ABS_2S_1}&=& \frac{1}{2}\cdot \left(\overline{S_1A} + \overline{S_2B} \right) \cdot \overline{AB} \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left(2+\frac{1}{2} \right)\cdot 3 \\[5pt] &=& \frac{15}{4} \\[5pt] &=& 3,75 \end{array}$
$ A_{ABS_2S_1} = 3,75 $
Das Trapez $ABS_2S_1$ besitzt einen Flächeninhalt von $3,75$ Flächeneinheiten.
1.5
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung bestimmen
Eine mögliche Gleichung der Funktion $h$ hat die Form $y = h(x)= m\cdot x +b.$
Da der Graph von $h$ parallel zu dem von $g$ verlaufen soll, muss die Steigung identisch sein, also ist $m= -\frac{1}{2}.$
Der Punkt $C(2\mid 1)$ soll auf dem Graphen von $h$ liegen. Mit einer Punktprobe ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} h(x)&=& -\frac{1}{2}x+b &\quad \scriptsize \mid\;h(2) = 1 \\[5pt] 1&=& -\frac{1}{2}\cdot 2 +b \\[5pt] 1&=& -1+b &\quad \scriptsize \mid\;+1 \\[5pt] 2&=& b \end{array}$
$ 2 =b $
Eine Gleichung der Funktion $h$ ist $y = h(x) = -\frac{1}{2}x +2.$
#linearefunktion
2.1
$\blacktriangleright$  Seitenlänge nachweisen
Teil B
Abb. 2: Skizze (nicht maßstäblich)
Teil B
Abb. 2: Skizze (nicht maßstäblich)
Mit dem Sinussatz folgt dann:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{AC}}{\overline{AB}}&=&\dfrac{\sin \beta}{\sin \gamma} \\[5pt] \dfrac{\overline{AC}}{0,8\,\text{m}}&=&\dfrac{\sin 30^{\circ}}{\sin 102^{\circ}} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 0,8\,\text{m} \\[5pt] \overline{AC}&=&\dfrac{\sin 30^{\circ}}{\sin 102^{\circ}}\cdot 0,8\,\text{m} \\[5pt] \overline{AC}&\approx& 0,41\,\text{m} \end{array}$
$ \overline{AC}\approx 0,41\,\text{m} $
Die Seite $\overline{AC}$ ist also $0,41\,\text{m}$ lang.
#dreieck#sinussatz
2.2
$\blacktriangleright$  Masse berechnen
Der Flächeninhalt der Grundfläche ergibt sich mit der Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks wie folgt:
$\begin{array}[t]{rll} A_{G}&=& \frac{1}{2}\cdot \overline{AC} \cdot \overline{AB}\cdot \sin \alpha \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot 0,41\,\text{m} \cdot 0,8\,\text{m}\cdot \sin 48^{\circ} \\[5pt] \end{array}$
$ A_G = … $
Das Volumen des prismenförmigen Pfeilers ergibt sich dadurch mit der entsprechenden Formel zu:
$\begin{array}[t]{rll} V&=& A_G \cdot h&\quad \scriptsize \mid\;h =3,60\,\text{m} \\[5pt] &=&\frac{1}{2}\cdot 0,41\,\text{m} \cdot 0,8\,\text{m}\cdot \sin 48^{\circ} \cdot 3,60\,\text{m}\\[5pt] \end{array}$
$ V = … $
Die Masse ergibt sich daher zu:
$\begin{array}[t]{rll} M&=& \frac{1}{2}\cdot 0,41\,\text{m} \cdot 0,8\,\text{m}\cdot \sin 48^{\circ} \cdot 3,60\,\text{m}\cdot 7,85\,\frac{\text{t}}{\text{m}^3}\\[5pt] &\approx& 3,44\,\text{t} \end{array}$
$ M \approx 3,44\,\text{t} $
Der Pfeiler besitzt eine Masse von ca. $3,44$ Tonnen.
3.1
$\blacktriangleright$  Prozentualen Anteil berechnen
1. Schritt: Inhalt der Gesamtfläche berechnen
Der Flächeninhalt des rechteckigen Spielfeldes ergibt sich mit den beiden Seitenlängen $40,00\,\text{m}$ und $20,00\,\text{m}$ wie folgt:
$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{Gesamt}}&=&40,00\,\text{m}\cdot 20,00\,\text{m} \\[5pt] &=& 800,00\,\text{m}^2 \end{array}$
$ A_{\text{Gesamt}} = 800,00\,\text{m}^2$
2. Schritt: Flächeninhalt der Torräume berechnen
Beide Torräume setzen sich gemeinsam zusammen aus
  • vier Viertelkreisen mit dem Radius $6\,\text{m},$ die gemeinsam den Flächeninhalt eines Kreises mit dem Radius $6\,\text{m}$ haben,
  • und zwei Rechtecken mit den Seitenlängen $6\,\text{m}$ und $3\,\text{m}.$
Für den Gesamtflächeninhalt der beiden Torräume gilt mit der Formel für den Flächeninhalt eines Kreises:
$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{Torräume}}&=& \pi \cdot \left( 6\,\text{m}\right)^2+ 2\cdot 6\,\text{m}\cdot 3\,\text{m} \\[5pt] &\approx& 149,10\,\text{m}^2 \end{array}$
$ A_{\text{Torräume}}\approx 149,10\,\text{m}^2 $
3. Schritt: Prozentualen Anteil berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{A_{\text{Torräume}}}{A_{\text{Gesamt}}}&=& \dfrac{149,10\,\text{m}^2}{800,00\,\text{m}^2}\\[5pt] &\approx&0,1864\\[5pt] &=&18,64\,\% \end{array}$
$ \dfrac{A_{\text{Torräume}}}{A_{\text{Gesamt}}} \approx 18,64\,\% $
Die Flächen der beiden Torräume bilden gemeinsam ca. $18,64\,\%$ der gesamten Spielfeldfläche.
3.2.1
$\blacktriangleright$  Höhe des Abwurfs berechnen
Der Torwart wirft den Ball im Punkt $A(2,00\mid f(2,00))$ ab. Der $y$-Wert der Funktion $f$ gibt die Höhe des Balls über dem Spielfeld an.
$\begin{array}[t]{rll} f(2,00)&=& -0,01\cdot 2,00^2 +0,30\cdot 2,00 +1,60\\[5pt] &=& 2,16 \end{array}$
$ f(2,00) = 2,16 $
Der Torwart wirft den Ball in einer Höhe von $2,16\,\text{m}$ ab.
$\blacktriangleright$  Größte Höhe des Balls bestimmen
Bei dem Graphen der Funktion $f$ handelt es sich um eine nach unten geöffnete Parabel. Der Punkt, an dem sich der Ball am höchsten befindet, wird daher durch den Scheitelpunkt der Parabel beschrieben.
Mit der Scheitelpunktform ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& -0,01\cdot x^2 +0,30\cdot x +1,60 \\[5pt] &=& -0,01 \cdot \left(x^2-30x-160 \right)&\quad \scriptsize \mid\; \text{quadratische Ergänzung} \\[5pt] &=& -0,01\cdot \left(x^2-2\cdot 15\cdot x +15^2-15^2-160 \right)&\quad \scriptsize \mid\; \text{binomische Formel} \\[5pt] &=& -0,01\cdot \left( (x-15)^2-15^2-160 \right) \\[5pt] &=& -0,01\cdot \left((x-15)^2 -385 \right) \\[5pt] &=& -0,01\cdot \left(x-15 \right)^2 +3,85\\[5pt] \end{array}$
$ f(x)$ $= -0,01\cdot \left(x-15 \right)^2 +3,85 $
Die Koordinaten des Scheitelpunkts lauten also $S(15\mid 3,85).$ Die größte Höhe des Balls über dem Spielfeld beträgt also $3,85\,\text{m}.$
#scheitelpunktform#quadratischeergänzung
3.2.2
$\blacktriangleright$  Auftreffen innerhalb des Spielfeldes überprüfen
Der Auftreffpunkt des Balls auf dem Boden wird von dem Punkt beschrieben, in dem der Graph von $f$ für $x\geq 2$ die $x$-Achse schneidet.
Teil B
Abb. 3: 2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 2: zero
Teil B
Abb. 3: 2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 2: zero
Da beide Mittelpunkte der Torlinie auf der $x$-Achse liegen und der Mittelpunkt der in der Abbildung dargestellten linken Torlinie im Koordinatenursprung liegt, würde der Ball bei dieser Flugbahn $34,62\,\text{m}$ von der linken Torlinie entfernt auf dem $40,00\,\text{m}$ langen Spielfeld auftreffen.
3.2.3
$\blacktriangleright$  Lage des Fangpunkts nachweisen
Der Mittelpunkt der linken Torlinie wird durch den Punkt $(0\mid 0)$ beschrieben, der Mittelpunkt der rechten Torlinie durch $(40\mid 0).$ Die beiden Freiwurflinien sind in jedem Punkt genau $9$ Meter von der jeweiligen Torlinie entfernt. Auf jeder Freiwurflinie gibt es genau einen Punkt, der senkrecht unterhalb der Flugbahn des Balls liegt. Diese beiden Punkte haben im Koordinatensystem die Koordinaten $(9\mid 0)$ und $(31\mid 0).$
Teil B
Abb. 4: 2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 5: intersect
Teil B
Abb. 4: 2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 5: intersect
Der Ball wird also in dem Punkt gefangen, der im Koordinatensystem durch $(31\mid 1,29)$ beschrieben wird. Dieser Punkt liegt senkrecht über dem Punkt $(31\mid 0),$ der den Punkt auf der rechten Freiwurflinie beschreibt, der senkrecht unterhalb der Flugbahn des Balls liegt.
Der Ball wird also senkrecht über der Freiwurflinie gefangen.
3.3
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten berechnen
Die Wahrscheinlichkeit, dafür dass Marian einen Siebenmeterwurf hält, beträgt $22\,\% = 0,22,$ dafür dass er einen Siebenmeterwurf nicht hält also $78\,\% = 0,78.$ Für Ereignis $A$ gibt es drei Möglichkeiten, Marian kann entweder den ersten, zweiten oder dritten Siebenmeterwurf halten. Mit den Pfadregeln ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=& 0,22\cdot 0,78\cdot 0,78 +0,78 \cdot 0,22 \cdot 0,78 + 0,78\cdot 0,78\cdot 0,22 \\[5pt] &\approx& 0,4015\\[5pt] &=& 40,15\,\%\\[10pt] P(B)&=& 0,78\cdot 0,78\cdot 0,78 \\[5pt] &\approx& 0,4746\\[5pt] &=& 47,46\,\% \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(A)&\approx& 40,15\,\%\\[10pt] P(B)&\approx& 47,46\,\% \end{array}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $40,15\,\%$ hält Marian genau einen von drei Siebenmeterwürfen. Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $47,46\,\%$ hält er keinen von drei Siebenmeterwürfen.
#pfadregeln
Bildnachweise [nach oben]
[1]-[4]
© – SchulLV.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen Casio
Download als Dokument:PDF
1.1
$\blacktriangleright$  Größtmöglichen Definitionsbereich angeben
Bei $f$ handelt es sich um eine gebrochenrationale Funktion. Der Nenner des Bruchs darf nicht null werden. Mögliche Definitionslücken, sind also die Nullstellen des Nenners.
$\begin{array}[t]{rll} x^2&=& 0\\[5pt] x&=&0 \end{array}$
Der größtmögliche Definitionsbereich von $f$ ist also $D_f = \{x\mid x\in \mathbb{R}, x\neq 0 \}.$
1.2
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Schnittpunkts nachweisen
Für $f$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} f(-1)&=& \dfrac{2}{(-1)^2} \\[5pt] &=& \dfrac{2}{1}\\[5pt] &=& 2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &f(-1)\\[5pt] =& \dfrac{2}{(-1)^2} \\[5pt] =& \dfrac{2}{1}\\[5pt] =& 2 \end{array}$
Für $g$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} g(-1)&=&-\frac{1}{2}\cdot (-1) + \frac{3}{2}\\[5pt] &=& \frac{1}{2}+\frac{3}{2}\\[5pt] &=& 2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &g(-1)\\[5pt] =&-\frac{1}{2}\cdot (-1) + \frac{3}{2}\\[5pt] =& \frac{1}{2}+\frac{3}{2}\\[5pt] =& 2 \end{array}$
Der Punkt $S_1$ mit den Koordinaten $S_1(-1\mid 2)$ liegt auf den Graphen der beiden Funktionen $f$ und $g$ und ist daher der zweite gemeinsame Punkt der beiden Graphen.
1.3
$\blacktriangleright$  Abstand berechnen
Mit der Formel für den Abstand zweier Punkte ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} d\left(S_1,S_2\right)&=&\sqrt{\left(x_{S_2}-x_{S_1}\right)^2+\left(y_{S_2}-y_{S_1}\right)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{(2-(-1))^2+\left(\frac{1}{2}-2\right)^2}\\[5pt] &=& \dfrac{3\sqrt{5}}{2} \\[5pt] &\approx& 3,35 \end{array}$
$ d\left(S_1,S_2\right) \approx 3,35 $
Die beiden Punkte $S_1$ und $S_2$ haben einen Abstand von $\dfrac{3\sqrt{5}}{2}\approx 3,35$ Längeneinheiten.
1.4
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen
Teil B
Abb. 1: Skizze
Teil B
Abb. 1: Skizze
Mit der Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} A_{ABS_2S_1}&=& \frac{1}{2}\cdot \left(\overline{S_1A} + \overline{S_2B} \right) \cdot \overline{AB} \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left(2+\frac{1}{2} \right)\cdot 3 \\[5pt] &=& \frac{15}{4} \\[5pt] &=& 3,75 \end{array}$
$ A_{ABS_2S_1} = 3,75 $
Das Trapez $ABS_2S_1$ besitzt einen Flächeninhalt von $3,75$ Flächeneinheiten.
1.5
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung bestimmen
Eine mögliche Gleichung der Funktion $h$ hat die Form $y = h(x)= m\cdot x +b.$
Da der Graph von $h$ parallel zu dem von $g$ verlaufen soll, muss die Steigung identisch sein, also ist $m= -\frac{1}{2}.$
Der Punkt $C(2\mid 1)$ soll auf dem Graphen von $h$ liegen. Mit einer Punktprobe ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} h(x)&=& -\frac{1}{2}x+b &\quad \scriptsize \mid\;h(2) = 1 \\[5pt] 1&=& -\frac{1}{2}\cdot 2 +b \\[5pt] 1&=& -1+b &\quad \scriptsize \mid\;+1 \\[5pt] 2&=& b \end{array}$
$ 2 =b $
Eine Gleichung der Funktion $h$ ist $y = h(x) = -\frac{1}{2}x +2.$
#linearefunktion
2.1
$\blacktriangleright$  Seitenlänge nachweisen
Teil B
Abb. 2: Skizze (nicht maßstäblich)
Teil B
Abb. 2: Skizze (nicht maßstäblich)
Mit dem Sinussatz folgt dann:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{AC}}{\overline{AB}}&=&\dfrac{\sin \beta}{\sin \gamma} \\[5pt] \dfrac{\overline{AC}}{0,8\,\text{m}}&=&\dfrac{\sin 30^{\circ}}{\sin 102^{\circ}} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 0,8\,\text{m} \\[5pt] \overline{AC}&=&\dfrac{\sin 30^{\circ}}{\sin 102^{\circ}}\cdot 0,8\,\text{m} \\[5pt] \overline{AC}&\approx& 0,41\,\text{m} \end{array}$
$ \overline{AC}\approx 0,41\,\text{m} $
Die Seite $\overline{AC}$ ist also $0,41\,\text{m}$ lang.
#sinussatz#dreieck
2.2
$\blacktriangleright$  Masse berechnen
Der Flächeninhalt der Grundfläche ergibt sich mit der Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks wie folgt:
$\begin{array}[t]{rll} A_{G}&=& \frac{1}{2}\cdot \overline{AC} \cdot \overline{AB}\cdot \sin \alpha \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot 0,41\,\text{m} \cdot 0,8\,\text{m}\cdot \sin 48^{\circ} \\[5pt] \end{array}$
$ A_G = … $
Das Volumen des prismenförmigen Pfeilers ergibt sich dadurch mit der entsprechenden Formel zu:
$\begin{array}[t]{rll} V&=& A_G \cdot h&\quad \scriptsize \mid\;h =3,60\,\text{m} \\[5pt] &=&\frac{1}{2}\cdot 0,41\,\text{m} \cdot 0,8\,\text{m}\cdot \sin 48^{\circ} \cdot 3,60\,\text{m}\\[5pt] \end{array}$
$ V = … $
Die Masse ergibt sich daher zu:
$\begin{array}[t]{rll} M&=& \frac{1}{2}\cdot 0,41\,\text{m} \cdot 0,8\,\text{m}\cdot \sin 48^{\circ} \cdot 3,60\,\text{m}\cdot 7,85\,\frac{\text{t}}{\text{m}^3}\\[5pt] &\approx& 3,44\,\text{t} \end{array}$
$ M \approx 3,44\,\text{t} $
Der Pfeiler besitzt eine Masse von ca. $3,44$ Tonnen.
3.1
$\blacktriangleright$  Prozentualen Anteil berechnen
1. Schritt: Inhalt der Gesamtfläche berechnen
Der Flächeninhalt des rechteckigen Spielfeldes ergibt sich mit den beiden Seitenlängen $40,00\,\text{m}$ und $20,00\,\text{m}$ wie folgt:
$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{Gesamt}}&=&40,00\,\text{m}\cdot 20,00\,\text{m} \\[5pt] &=& 800,00\,\text{m}^2 \end{array}$
$ A_{\text{Gesamt}} = 800,00\,\text{m}^2$
2. Schritt: Flächeninhalt der Torräume berechnen
Beide Torräume setzen sich gemeinsam zusammen aus
  • vier Viertelkreisen mit dem Radius $6\,\text{m},$ die gemeinsam den Flächeninhalt eines Kreises mit dem Radius $6\,\text{m}$ haben,
  • und zwei Rechtecken mit den Seitenlängen $6\,\text{m}$ und $3\,\text{m}.$
Für den Gesamtflächeninhalt der beiden Torräume gilt mit der Formel für den Flächeninhalt eines Kreises:
$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{Torräume}}&=& \pi \cdot \left( 6\,\text{m}\right)^2+ 2\cdot 6\,\text{m}\cdot 3\,\text{m} \\[5pt] &\approx& 149,10\,\text{m}^2 \end{array}$
$ A_{\text{Torräume}}\approx 149,10\,\text{m}^2 $
3. Schritt: Prozentualen Anteil berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{A_{\text{Torräume}}}{A_{\text{Gesamt}}}&=& \dfrac{149,10\,\text{m}^2}{800,00\,\text{m}^2}\\[5pt] &\approx&0,1864\\[5pt] &=&18,64\,\% \end{array}$
$ \dfrac{A_{\text{Torräume}}}{A_{\text{Gesamt}}} \approx 18,64\,\% $
Die Flächen der beiden Torräume bilden gemeinsam ca. $18,64\,\%$ der gesamten Spielfeldfläche.
3.2.1
$\blacktriangleright$  Höhe des Abwurfs berechnen
Der Torwart wirft den Ball im Punkt $A(2,00\mid f(2,00))$ ab. Der $y$-Wert der Funktion $f$ gibt die Höhe des Balls über dem Spielfeld an.
$\begin{array}[t]{rll} f(2,00)&=& -0,01\cdot 2,00^2 +0,30\cdot 2,00 +1,60\\[5pt] &=& 2,16 \end{array}$
$ f(2,00) = 2,16 $
Der Torwart wirft den Ball in einer Höhe von $2,16\,\text{m}$ ab.
$\blacktriangleright$  Größte Höhe des Balls bestimmen
Bei dem Graphen der Funktion $f$ handelt es sich um eine nach unten geöffnete Parabel. Der Punkt, an dem sich der Ball am höchsten befindet, wird daher durch den Scheitelpunkt der Parabel beschrieben.
Mit der Scheitelpunktform ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& -0,01\cdot x^2 +0,30\cdot x +1,60 \\[5pt] &=& -0,01 \cdot \left(x^2-30x-160 \right)&\quad \scriptsize \mid\; \text{quadratische Ergänzung} \\[5pt] &=& -0,01\cdot \left(x^2-2\cdot 15\cdot x +15^2-15^2-160 \right)&\quad \scriptsize \mid\; \text{binomische Formel} \\[5pt] &=& -0,01\cdot \left( (x-15)^2-15^2-160 \right) \\[5pt] &=& -0,01\cdot \left((x-15)^2 -385 \right) \\[5pt] &=& -0,01\cdot \left(x-15 \right)^2 +3,85\\[5pt] \end{array}$
$ f(x)$ $= -0,01\cdot \left(x-15 \right)^2 +3,85 $
Die Koordinaten des Scheitelpunkts lauten also $S(15\mid 3,85).$ Die größte Höhe des Balls über dem Spielfeld beträgt also $3,85\,\text{m}.$
#scheitelpunktform#quadratischeergänzung
3.2.2
$\blacktriangleright$  Auftreffen innerhalb des Spielfeldes überprüfen
Der Auftreffpunkt des Balls auf dem Boden wird von dem Punkt beschrieben, in dem der Graph von $f$ für $x\geq 2$ die $x$-Achse schneidet.
Teil B
Abb. 3: F5 (G-Solv) $\to$ F1: ROOT
Teil B
Abb. 3: F5 (G-Solv) $\to$ F1: ROOT
Da beide Mittelpunkte der Torlinie auf der $x$-Achse liegen und der Mittelpunkt der in der Abbildung dargestellten linken Torlinie im Koordinatenursprung liegt, würde der Ball bei dieser Flugbahn $34,62\,\text{m}$ von der linken Torlinie entfernt auf dem $40,00\,\text{m}$ langen Spielfeld auftreffen.
3.2.3
$\blacktriangleright$  Lage des Fangpunkts nachweisen
Der Mittelpunkt der linken Torlinie wird durch den Punkt $(0\mid 0)$ beschrieben, der Mittelpunkt der rechten Torlinie durch $(40\mid 0).$ Die beiden Freiwurflinien sind in jedem Punkt genau $9$ Meter von der jeweiligen Torlinie entfernt. Auf jeder Freiwurflinie gibt es genau einen Punkt, der senkrecht unterhalb der Flugbahn des Balls liegt. Diese beiden Punkte haben im Koordinatensystem die Koordinaten $(9\mid 0)$ und $(31\mid 0).$
Teil B
Abb. 4: F5 (G-Solv) $\to$ F6: $\triangleright$ $\to$ F2: X-CAL
Teil B
Abb. 4: F5 (G-Solv) $\to$ F6: $\triangleright$ $\to$ F2: X-CAL
Der Ball wird also in dem Punkt gefangen, der im Koordinatensystem durch $(31\mid 1,29)$ beschrieben wird. Dieser Punkt liegt senkrecht über dem Punkt $(31\mid 0),$ der den Punkt auf der rechten Freiwurflinie beschreibt, der senkrecht unterhalb der Flugbahn des Balls liegt.
Der Ball wird also senkrecht über der Freiwurflinie gefangen.
3.3
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten berechnen
Die Wahrscheinlichkeit, dafür dass Marian einen Siebenmeterwurf hält, beträgt $22\,\% = 0,22,$ dafür dass er einen Siebenmeterwurf nicht hält also $78\,\% = 0,78.$ Für Ereignis $A$ gibt es drei Möglichkeiten, Marian kann entweder den ersten, zweiten oder dritten Siebenmeterwurf halten. Mit den Pfadregeln ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=& 0,22\cdot 0,78\cdot 0,78 +0,78 \cdot 0,22 \cdot 0,78 + 0,78\cdot 0,78\cdot 0,22 \\[5pt] &\approx& 0,4015\\[5pt] &=& 40,15\,\%\\[10pt] P(B)&=& 0,78\cdot 0,78\cdot 0,78 \\[5pt] &\approx& 0,4746\\[5pt] &=& 47,46\,\% \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(A)&\approx& 40,15\,\%\\[10pt] P(B)&\approx& 47,46\,\% \end{array}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $40,15\,\%$ hält Marian genau einen von drei Siebenmeterwürfen. Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $47,46\,\%$ hält er keinen von drei Siebenmeterwürfen.
#pfadregeln
Bildnachweise [nach oben]
[1]-[4]
© 2017 – SchulLV.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App