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1
In den Aufgaben 1.1 bis 1.5 ist von den jeweils fünf Antwortmöglichkeiten genau eine Antwort richtig. Kreuze das jeweilige Feld an.
1.1
Für jede positive reelle Zahl $a$ ist die Funktion $f_a$ mit $f_a(x)= \ln(a\cdot x^2 -1)$ und $x\in \mathbb{D}_{f_a}$ gegeben.
Die erste Ableitungsfunktion der Funktion $f_a$ kann durch folgenden Funktionsterm beschrieben werden:
$\dfrac{1}{a\cdot x^2-1}$
$\dfrac{1}{2\cdot a\cdot x}$
$\dfrac{2\cdot a\cdot x}{a\cdot x^2-1}$
$\dfrac{2\cdot a\cdot x-1}{a\cdot x^2-1}$
$\dfrac{\mathrm e^{2\cdot a\cdot x}}{2\cdot a\cdot x}$
#ableitung
1.2
Die Abbildung zeigt den Graphen der ersten Ableitungsfunktion $f'$ einer ganzrationalen Funktion $f.$
Welche Aussage trifft im dargestellten Intervall auf die Funktion $f$ zu?
#extrempunkt#wendepunkt#ableitung
1.3
Welchen Wert hat das bestimmte Integral $\displaystyle\int_{0}^{2}(x+1)\;\mathrm dx?$
$-4$
$-2$
$2$
$3$
$4$
#integral
1.4
Ein Term zur Berechnung des Flächeninhalts eines beliebigen Dreiecks $ABC$ lautet:
$\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$
$\frac{1}{2}\cdot \left| \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}\right|$
$\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}$
$\frac{1}{2}\cdot \left|\overrightarrow{AB}\right|\times\left|\overrightarrow{AC}\right|$
$\frac{1}{2}\cdot \left|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}\right|$
#vektorbetrag#kreuzprodukt
1.5
Ein Glücksrad hat drei Sektoren, die mit den Zahlen $1,$ $2$ und $3$ beschriftet sind. Beim Drehen des Glücksrades wird sowohl die Zahl $1$ als auch die Zahl $3$ mit einer Wahrscheinlichkeit von $25\,\%$ angezeigt.
Das Glücksrad wird zweimal gedreht.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe der beiden gedrehten Zahlen höchstens $3$ ist, beträgt:
$\frac{1}{16}$
$\frac{3}{16}$
$\frac{1}{4}$
$\frac{5}{16}$
$\frac{3}{4}$
Für Aufgabe 1 erreichbare BE-Anzahl: 10
2
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=-x^3+3x^2-2x$ und $x \in \mathrm{R}$.
Die Abbildung zeigt ihren Graphen $G_f$, der bei $x=1$ den Wendepunkt $W$ hat.
#wendepunkt#tangente#zentraleraufgabenpool
3
Gegeben sind die Geraden
$g:\quad \overrightarrow{x}=\pmatrix{3\\-3\\3} +r\cdot \pmatrix{3\\0\\-1}$ mit $r\in \mathbb{R}$ und $h:\quad \overrightarrow{x}= \pmatrix{3\\-3\\3} + s\cdot \pmatrix{1\\0\\3}$ mit $s\in \mathbb{R}.$
3.1
Gib die Koordinaten des Schnittpunkts von $g$ und $h$ an.
Zeige, dass $g$ und $h$ senkrecht zueinander verlaufen.
(2 BE)
3.2
Die Ebene $E$ enthält die Geraden $g$ und $h.$
Bestimme eine Gleichung von $E$ in parameterfreier Form.
(3 BE)
#ebenengleichung#zentraleraufgabenpool
4
Betrachtet werden binomialverteilte Zufallsgrößen.
4.1
Die Zufallsgröße $X$ ist binomialverteilt mit $n=10$ und $p=0,8$. Eine der folgenden Abbildungen stellt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ dar.
Gib die beiden Abbildungen an, die die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ nicht darstellen. Begründe deine Angabe.
(3 BE)
4.2
Betrachtet wird die binomialverteilte Zufallsgröße $Y$ mit den Parametern $n$ und $p$.
Es gilt:
  • Der Erwartungswert von $Y$ ist 8
  • Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $Y$ ist symmetrisch
Ermittle den Wert von $n$.
(2 BE)
#binomialverteilung#zentraleraufgabenpool
5
Der Punkt $P(0\mid1\mid5)$ ist Eckpunkt eines Quadrats. Orthogonal zu der Ebene, in der dieses Quadrat liegt, verläuft die Gerade $g:\vec{x}=\pmatrix{5\\4\\1}+t\cdot\pmatrix{1\\0\\0}$ mit $t\in\mathrm{R}$.
5.1
Begründe, dass das Quadrat in der $yz$-Ebene liegt.
(2 BE)
5.2
Der Schnittpunkt der beiden Diagonalen des Quadrats liegt auf der Gerade $g$, der Punkt $Q(0\mid8\mid4)$ in der $yz$-Ebene.
Zeige, dass $Q$ einer der beiden Eckpunkte des Quadrats ist, die dem Eckpunkt $P$ benachbart sind.
(3 BE)
#zentraleraufgabenpool
Bildnachweise [nach oben]
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#hilfsmittelfreieaufgaben
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