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In den Aufgaben 1.1 bis 1.5 ist von den jeweils fünf Antwortmöglichkeiten genau eine Antwort richtig. Kreuze das jeweilige Feld an.
1.1
Für jede positive reelle Zahl $a$ ist die Funktion $f_a$ mit $f_a(x)= \ln(a\cdot x^2 -1)$ und $x\in \mathbb{D}_{f_a}$ gegeben.
Die erste Ableitungsfunktion der Funktion $f_a$ kann durch folgenden Funktionsterm beschrieben werden:
Die Abbildung zeigt den Graphen der ersten Ableitungsfunktion $f'$ einer ganzrationalen Funktion $f.$
Welche Aussage trifft im dargestellten Intervall auf die Funktion $f$ zu?
Die Funktion $f$ ist für $1\leq x\leq 2$ monoton fallend.
Die Funktion $f$ besitzt zwei Extremstellen.
Die Funktion $f$ besitzt zwei Wendestellen.
Der Graph der Funktion $f$ hat an der Stelle $1$ eine waagerechte Tangente.
Ein Glücksrad hat drei Sektoren, die mit den Zahlen $1,$ $2$ und $3$ beschriftet sind. Beim Drehen des Glücksrades wird sowohl die Zahl $1$ als auch die Zahl $3$ mit einer Wahrscheinlichkeit von $25\,\%$ angezeigt.
Das Glücksrad wird zweimal gedreht.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe der beiden gedrehten Zahlen höchstens $3$ ist, beträgt:
$\frac{1}{16}$
$\frac{3}{16}$
$\frac{1}{4}$
$\frac{5}{16}$
$\frac{3}{4}$
Für Aufgabe 1 erreichbare BE-Anzahl: 10
2
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=-x^3+3x^2-2x$ und $x \in \mathrm{R}$.
Die Abbildung zeigt ihren Graphen $G_f$, der bei $x=1$ den Wendepunkt $W$ hat.
2.1
Zeige, dass die Tangente an $G_f$ im Punkt $W$ die Steigung 1 hat.
(2 BE)
2.2
Betrachtet werden die Geraden mit positiver Steigung $m$, die durch $W$ verlaufen.
Gib die Anzahl der Schnittpunkte dieser Geraden mit $G_f$ in Abhängigkeit von $m$ an.
Gegeben sind die Geraden
$g:\quad \overrightarrow{x}=\pmatrix{3\\-3\\3} +r\cdot \pmatrix{3\\0\\-1}$ mit $r\in \mathbb{R}$ und $h:\quad \overrightarrow{x}= \pmatrix{3\\-3\\3} + s\cdot \pmatrix{1\\0\\3}$ mit $s\in \mathbb{R}.$
3.1
Gib die Koordinaten des Schnittpunkts von $g$ und $h$ an.
Zeige, dass $g$ und $h$ senkrecht zueinander verlaufen.
(2 BE)
3.2
Die Ebene $E$ enthält die Geraden $g$ und $h.$
Bestimme eine Gleichung von $E$ in parameterfreier Form.
Der Punkt $P(0\mid1\mid5)$ ist Eckpunkt eines Quadrats. Orthogonal zu der Ebene, in der dieses Quadrat liegt, verläuft die Gerade $g:\vec{x}=\pmatrix{5\\4\\1}+t\cdot\pmatrix{1\\0\\0}$ mit $t\in\mathrm{R}$.
5.1
Begründe, dass das Quadrat in der $yz$-Ebene liegt.
(2 BE)
5.2
Der Schnittpunkt der beiden Diagonalen des Quadrats liegt auf der Gerade $g$, der Punkt $Q(0\mid8\mid4)$ in der $yz$-Ebene.
Zeige, dass $Q$ einer der beiden Eckpunkte des Quadrats ist, die dem Eckpunkt $P$ benachbart sind.
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