Teil A

In den Aufgaben 1.1 bis 1.5 ist von den jeweils fünf Antwortmöglichkeiten genau eine Antwort richtig. Kreuze das jeweilige Feld an.

Für jede positive reelle Zahl $a$ ist die Funktion $f_a$ mit $f_a(x)= \ln(a\cdot x^2 -1)$ und $x\in \mathbb{D}_{f_a}$ gegeben.
Die erste Ableitungsfunktion der Funktion $f_a$ kann durch folgenden Funktionsterm beschrieben werden:

Die Abbildung zeigt den Graphen der ersten Ableitungsfunktion $f'$ einer ganzrationalen Funktion $f.$
Welche Aussage trifft im dargestellten Intervall auf die Funktion $f$ zu?

Welchen Wert hat das bestimmte Integral $\displaystyle\int_{0}^{2}(x+1)\;\mathrm dx?$

Ein Term zur Berechnung des Flächeninhalts eines beliebigen Dreiecks $ABC$ lautet:

Ein Glücksrad hat drei Sektoren, die mit den Zahlen $1,$ $2$ und $3$ beschriftet sind. Beim Drehen des Glücksrades wird sowohl die Zahl $1$ als auch die Zahl $3$ mit einer Wahrscheinlichkeit von $25\,\%$ angezeigt.
Das Glücksrad wird zweimal gedreht.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe der beiden gedrehten Zahlen höchstens $3$ ist, beträgt:

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=-x^3+3x^2-2x$ und $x \in \mathrm{R}$.
Die Abbildung zeigt ihren Graphen $G_f$, der bei $x=1$ den Wendepunkt $W$ hat.

Gegeben sind die Geraden $g:\quad \overrightarrow{x}=\pmatrix{3\\-3\\3} +r\cdot \pmatrix{3\\0\\-1}$ mit $r\in \mathbb{R}$ und $h:\quad \overrightarrow{x}= \pmatrix{3\\-3\\3} + s\cdot \pmatrix{1\\0\\3}$ mit $s\in \mathbb{R}.$

Betrachtet werden binomialverteilte Zufallsgrößen.

Der Punkt $P(0\mid1\mid5)$ ist Eckpunkt eines Quadrats. Orthogonal zu der Ebene, in der dieses Quadrat liegt, verläuft die Gerade $g:\vec{x}=\pmatrix{5\\4\\1}+t\cdot\pmatrix{1\\0\\0}$ mit $t\in\mathrm{R}$.

$\blacktriangleright$  Ableitungsfunktion bestimmen Die erste Ableitung von $\ln(x)$ ist $\frac{1}{x}.$ Mit der Kettenregel folgt: $\begin{array}[t]{rll} f_a'(x)&=& \dfrac{2\cdot a\cdot x}{a\cdot x^2-1} \\[5pt] \end{array}$ Die dritte Antwortmöglichkeit ist also die richtige.

$\blacktriangleright$  Aussagen überprüfen Dargestellt ist der Graph von $f',$ aus dem du Aussagen über $f$ ableiten sollst. Beachte folgendes:

• Extremstellen der ersten Ableitung $f'$ sind Wendestellen der Ausgangsfunktion $f.$
• Nullstellen der ersten Ableitung $f'$ mit Vorzeichenwechsel, sind Extremstellen von $f.$
• An den Stellen, an denen $f'$ nicht negativ ist, ist $f$ monoton steigend. An den Stellen, an denen $f'$ nicht positiv ist, ist $f$ monoton fallend.

Der abgebildete Graph hat zwei Extrempunkte. Der Graph von $f$ hat demnach zwei Wendepunkte.
Die dritte Antwortmöglichkeit ist die richtige.

$\blacktriangleright$  Integralwert bestimmen

$\blacktriangleright$  Term zur Berechnung des Flächeninhalts angeben Die richtige Antwortmöglichkeit ist die letzte.

$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit angeben Die Wahrscheinlichkeit eine $1$ zu drehen, beträgt $p_1=\frac{1}{4}.$ Die Wahrscheinlichkeit für eine $3$ beträgt ebenfalls $p_3=\frac{1}{4}.$ Die Wahrscheinlichket eine $2$ zu drehen beträgt also $p_2=1-\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{2}.$
Mit den Pfadregeln ergibt sich: Die vierte Antwortmöglichkeit ist richtig.

$\blacktriangleright$  Steigung der Tangente nachweisen Die Tangente $t$ berührt den Graphen $G_f$ an der Stelle $x=1$. Für ihre Steigung $m_t$ gilt also: $m_t=f'(1)$.
Bestimme zunächst die erste Ableitung $f'(x)$: $\begin{array}[t]{rll} f'(x)&=&-3x^2+3\cdot2x-2 \\[5pt] &=&-3x^2 +6x-2 \end{array}$ Für die Steigung $m_t$ ergibt sich dann: $\begin{array}[t]{rll} m_t&=&f'(1)&\quad \scriptsize \\[5pt] &=&-3\cdot 1+6\cdot1-2\\[5pt] &=&1 \end{array}$

$\blacktriangleright$  Anzahl der Schnittpunkte in Abhängigkeit von $\boldsymbol{m}$ angeben Betrachte den Verlauf der Tangente im Punkt $W$: Sie hat die Steigung $m=1$ und berührt den Graphen $G_f$ nur im Punkt $W$. Jede Gerade, die steiler verläuft, hat eine Steigung $m>1$ und schneidet den Graphen $G_f$ ebenfalls nur im Punkt $W$.
Jede Gerade, die flacher verläuft, hat eine Steigung $0<m<1$ und schneidet den Graphen $G_f$ in drei Punkten. Zusammengefasst:

• Für $0<m<1$ hat die Gerade drei Schnittpunkte mit $G_f$
• Für $m>1$ hat die Gerade einen Schnittpunkt mit $G_f$

$\blacktriangleright$  Koordinaten des Schnittpunkts angeben Die beiden Stützvektoren von $g$ und $h$ stimmen überein. Dieser beschreibt die Koordinaten eines Punkts auf der jeweiligen Geraden. Die beiden Geraden $g$ und $h$ haben also den gemeinsamen Punkt $P(3\mid -3\mid 3).$ $\blacktriangleright$  Senkrechten Verlauf zeigen Die Geraden verlaufen senkrecht zueinander, wenn ihre Richtungsvektoren senkrecht zueinander verlaufen. Das ist der Fall, wenn ihr Skalarprodukt Null ergibt. Die beiden Geraden verlaufen also senkrecht zueinander.

$\blacktriangleright$  Ebenengleichung bestimmen Ein Normalenvektor von $E$ kann über das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren der Geraden bestimmt werden: Verwende beispielsweise die Normalenform. Als Stützvektor kannst du den der Geraden verwenden und erhältst dann:

$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeitsverteilung von $\boldsymbol{X}$ identifizieren Die Zufallsgröße $X$ ist binomialverteilt mit $n=10$ und $p=0,8$. Folgende Diagramme stellen nicht die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ dar:

• Diagramm 1 (Abbildung 8): Wegen $n=10$ kann die Wahrscheinlichkeit $P(X> 10)$ nicht größer als null sein.
• Diagramm 3 (Abbildung 10): Bei einer binomialverteilten Zufallsvariable muss die Summe aller Wahrscheinlichkeiten genau $1$ ergeben. Die hier dargestellten Wahrscheinlichkeiten für $k=8$ und $k=9$ sind in Summe bereits größer als 1, deshalb ist hier keine Wahrscheinlichkeitsverteilung dargestellt.

$\blacktriangleright$  Parameter $\boldsymbol{n}$ berechnen Die Zufallsgröße $Y$ ist binomialverteilt, wobei die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $Y$ symmetrisch ist. Damit folgt bereits der Parameter $p=0,5$.
Außerdem ist bekannt, dass der Erwartungswert von $Y$ 8 ist. Für den Erwartungswert gilt $E[Y]=n\cdot p$. Einsetzen ergibt: $\begin{array}[t]{rll} 8&=&n\cdot 0,5&\quad \scriptsize \mid\; \cdot2\\[5pt] 16&=&n \end{array}$ $Y$ ist binomialverteilt mit $n=16$ und $p=0,5$.

$\blacktriangleright$  Lage des Quadrats begründen Das Quadrat liegt in einer Ebene, die orthogonal zur Geraden $g$ verläuft. Der Richtungsvektor der Geraden $g$ ist der Richtungsvektor der $x$-Achse, d.h. die Gerade $g$ ist eine Parallele zur $x$-Achse.
Die $x$-Achse wiederum liegt orthogonal zur $yz$-Ebene. Also liegt das Quadrat in der $yz$-Ebene.

$\blacktriangleright$  Eigenschaften von Punkt $\boldsymbol{Q}$ nachweisen Die Aufgabenstellung nennt zwei neue Punkte

• Den Diagonalenschnittpunkt $D$ des Quadrats, der auf der Geraden $g$ liegt. Da das Quadrat in der $yz$-Ebene liegt, ist der Punkt also der Durchstoßpunkt der Geraden $g$ und der $yz$-Ebene.
• Den Punkt $Q(0\mid8\mid4)$, der in der $yz$-Ebene liegt.

Im Quadrat schneiden sich die Diagonalen im rechten Winkel. Der Punkt $Q$ ist dann ein dem Punkt $P$ benachbarter Eckpunkt des Quadrats, wenn die Punkte $P$, $Q$, $D$ ein gleichschenkliges und rechtwinkliges Dreieck bilden. 1. Schritt: Koordinaten von $\boldsymbol{D}$ berechnen $D$ ist der Punkt, in dem die Gerade $g$ die $yz$-Ebene durchstößt. Alle Punkte in der $yz$-Ebene haben die $x$-Koordinate $x=0$. Betrachte deshalb die erste Zeile der Geradengleichung von $g$: $\begin{array}[t]{rll} 0&=&5+t&\quad \scriptsize \mid\; -5\\[5pt] -5&=&t \end{array}$ Für $t=-5$ ergibt sich der Punkt $D(0\mid4\mid1)$. 2. Schritt: Eigenschaften von $\boldsymbol{Q}$ nachweisen $Q$ ist der dem Punkt $P$ benachbarte Eckpunkt des Quadrats, wenn gilt:

• Das Dreieck $PDQ$ ist gleichschenklig mit den Schenkeln $\overline{PD}$ und $\overline{QD}$
• Das Dreieck $PDQ$ ist rechtwinklig im Punkt $D$.

Betrachte zunächst die beiden Schenkel: Da $\overline{PD}=\overline{QD}$, ist das Dreieck gleichschenklig. Das Dreieck $PDQ$ ist außerdem rechtwinklig, wenn die Schenkel orthogonal zueinander stehen:
Damit ist gezeigt, dass das Dreieck $PDQ$ gleichschenklig und rechtwinklig ist. Dadurch ist nachgewiesen, dass der Punkt $Q$ ein Eckpunkt des Quadrats ist, der dem Punkt $P$ benachbart ist.