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Teil A

Aufgaben
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1
In den Aufgaben 1.1 bis 1.5 ist von den jeweils fünf Antwortmöglichkeiten genau eine Antwort richtig. Kreuze das jeweilige Feld an.
1.1
Für jede positive reelle Zahl $a$ ist die Funktion $f_a$ mit $f_a(x)= \ln(a\cdot x^2 -1)$ und $x\in \mathbb{D}_{f_a}$ gegeben.
Die erste Ableitungsfunktion der Funktion $f_a$ kann durch folgenden Funktionsterm beschrieben werden:
$\dfrac{1}{a\cdot x^2-1}$
$\dfrac{1}{2\cdot a\cdot x}$
$\dfrac{2\cdot a\cdot x}{a\cdot x^2-1}$
$\dfrac{2\cdot a\cdot x-1}{a\cdot x^2-1}$
$\dfrac{\mathrm e^{2\cdot a\cdot x}}{2\cdot a\cdot x}$
#ableitung
1.2
Die Abbildung zeigt den Graphen der ersten Ableitungsfunktion $f'$ einer ganzrationalen Funktion $f.$
Welche Aussage trifft im dargestellten Intervall auf die Funktion $f$ zu?
#extrempunkt#wendepunkt#ableitung
1.3
Welchen Wert hat das bestimmte Integral $\displaystyle\int_{0}^{2}(x+1)\;\mathrm dx?$
$-4$
$-2$
$2$
$3$
$4$
#integral
1.4
Ein Term zur Berechnung des Flächeninhalts eines beliebigen Dreiecks $ABC$ lautet:
$\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$
$\frac{1}{2}\cdot \left| \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}\right|$
$\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}$
$\frac{1}{2}\cdot \left|\overrightarrow{AB}\right|\times\left|\overrightarrow{AC}\right|$
$\frac{1}{2}\cdot \left|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}\right|$
#vektorbetrag#kreuzprodukt
1.5
Ein Glücksrad hat drei Sektoren, die mit den Zahlen $1,$ $2$ und $3$ beschriftet sind. Beim Drehen des Glücksrades wird sowohl die Zahl $1$ als auch die Zahl $3$ mit einer Wahrscheinlichkeit von $25\,\%$ angezeigt.
Das Glücksrad wird zweimal gedreht.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe der beiden gedrehten Zahlen höchstens $3$ ist, beträgt:
$\frac{1}{16}$
$\frac{3}{16}$
$\frac{1}{4}$
$\frac{5}{16}$
$\frac{3}{4}$
Für Aufgabe 1 erreichbare BE-Anzahl: 10
2
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=-x^3+3x^2-2x$ und $x \in \mathrm{R}$.
Die Abbildung zeigt ihren Graphen $G_f$, der bei $x=1$ den Wendepunkt $W$ hat.
#wendepunkt#tangente#zentraleraufgabenpool
3
Gegeben sind die Geraden
$g:\quad \overrightarrow{x}=\pmatrix{3\\-3\\3} +r\cdot \pmatrix{3\\0\\-1}$ mit $r\in \mathbb{R}$ und $h:\quad \overrightarrow{x}= \pmatrix{3\\-3\\3} + s\cdot \pmatrix{1\\0\\3}$ mit $s\in \mathbb{R}.$
3.1
Gib die Koordinaten des Schnittpunkts von $g$ und $h$ an.
Zeige, dass $g$ und $h$ senkrecht zueinander verlaufen.
(2 BE)
3.2
Die Ebene $E$ enthält die Geraden $g$ und $h.$
Bestimme eine Gleichung von $E$ in parameterfreier Form.
(3 BE)
#ebenengleichung#zentraleraufgabenpool
4
Betrachtet werden binomialverteilte Zufallsgrößen.
4.1
Die Zufallsgröße $X$ ist binomialverteilt mit $n=10$ und $p=0,8$. Eine der folgenden Abbildungen stellt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ dar.
Gib die beiden Abbildungen an, die die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ nicht darstellen. Begründe deine Angabe.
(3 BE)
4.2
Betrachtet wird die binomialverteilte Zufallsgröße $Y$ mit den Parametern $n$ und $p$.
Es gilt:
  • Der Erwartungswert von $Y$ ist 8
  • Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $Y$ ist symmetrisch
Ermittle den Wert von $n$.
(2 BE)
#binomialverteilung#zentraleraufgabenpool
5
Der Punkt $P(0\mid1\mid5)$ ist Eckpunkt eines Quadrats. Orthogonal zu der Ebene, in der dieses Quadrat liegt, verläuft die Gerade $g:\vec{x}=\pmatrix{5\\4\\1}+t\cdot\pmatrix{1\\0\\0}$ mit $t\in\mathrm{R}$.
5.1
Begründe, dass das Quadrat in der $yz$-Ebene liegt.
(2 BE)
5.2
Der Schnittpunkt der beiden Diagonalen des Quadrats liegt auf der Gerade $g$, der Punkt $Q(0\mid8\mid4)$ in der $yz$-Ebene.
Zeige, dass $Q$ einer der beiden Eckpunkte des Quadrats ist, die dem Eckpunkt $P$ benachbart sind.
(3 BE)
#zentraleraufgabenpool
Bildnachweise [nach oben]
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#hilfsmittelfreieaufgaben
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Lösungen
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1.1
$\blacktriangleright$  Ableitungsfunktion bestimmen
Die erste Ableitung von $\ln(x)$ ist $\frac{1}{x}.$ Mit der Kettenregel folgt:
$\begin{array}[t]{rll} f_a'(x)&=& \dfrac{2\cdot a\cdot x}{a\cdot x^2-1} \\[5pt] \end{array}$
Die dritte Antwortmöglichkeit ist also die richtige.
#kettenregel
1.2
$\blacktriangleright$  Aussagen überprüfen
Dargestellt ist der Graph von $f',$ aus dem du Aussagen über $f$ ableiten sollst. Beachte folgendes:
  • Extremstellen der ersten Ableitung $f'$ sind Wendestellen der Ausgangsfunktion $f.$
  • Nullstellen der ersten Ableitung $f'$ mit Vorzeichenwechsel, sind Extremstellen von $f.$
  • An den Stellen, an denen $f'$ nicht negativ ist, ist $f$ monoton steigend. An den Stellen, an denen $f'$ nicht positiv ist, ist $f$ monoton fallend.
Der abgebildete Graph hat zwei Extrempunkte. Der Graph von $f$ hat demnach zwei Wendepunkte.
Die dritte Antwortmöglichkeit ist die richtige.
1.3
$\blacktriangleright$  Integralwert bestimmen
Das Integral beschreibt den Inhalt der Fläche, die die Gerade zu $y=x+1$ mit den Koordinatenachsen und der Gerade zu $x=2$ einschließt.
Wie in der Skizze zu sehen ist, kann der Flächeninhalt über die Differenz der Flächeninhalte zweier rechtwinkliger Dreiecke berechnet werden. Das größere Dreieck hat die Kathetenlänge $a=b=3$ und damit den Flächeninhalt $4,5\,\text{FE}.$ Das kleinere hat analog den Flächeninhalt $0,5\,\text{FE}.$
$4,5-0,5 = 4$
Die richtige Antwortmöglichkeit ist die letzte. Alternativ kannst du das Integral auch berechnen.
1.4
$\blacktriangleright$  Term zur Berechnung des Flächeninhalts angeben
Die richtige Antwortmöglichkeit ist die letzte.
1.5
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit angeben
Die Wahrscheinlichkeit eine $1$ zu drehen, beträgt $p_1=\frac{1}{4}.$ Die Wahrscheinlichkeit für eine $3$ beträgt ebenfalls $p_3=\frac{1}{4}.$ Die Wahrscheinlichket eine $2$ zu drehen beträgt also $p_2=1-\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{2}.$
Mit den Pfadregeln ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} P(\text{Summe}\leq 3)&=&p_1\cdot p_1 +p_1\cdot p_2 +p_2\cdot p_1 \\[5pt] &=& \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}+ \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4} \\[5pt] &=& \frac{5}{16} \\[5pt] \end{array}$
$ …=\frac{5}{16} $
Die vierte Antwortmöglichkeit ist richtig.
#pfadregeln
2.1
$\blacktriangleright$  Steigung der Tangente nachweisen
Die Tangente $t$ berührt den Graphen $G_f$ an der Stelle $x=1$. Für ihre Steigung $m_t$ gilt also: $m_t=f'(1)$.
Bestimme zunächst die erste Ableitung $f'(x)$:
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&=&-3x^2+3\cdot2x-2 \\[5pt] &=&-3x^2 +6x-2 \end{array}$
Für die Steigung $m_t$ ergibt sich dann:
$\begin{array}[t]{rll} m_t&=&f'(1)&\quad \scriptsize \\[5pt] &=&-3\cdot 1+6\cdot1-2\\[5pt] &=&1 \end{array}$
2.2
$\blacktriangleright$  Anzahl der Schnittpunkte in Abhängigkeit von $\boldsymbol{m}$ angeben
Betrachte den Verlauf der Tangente im Punkt $W$: Sie hat die Steigung $m=1$ und berührt den Graphen $G_f$ nur im Punkt $W$.
Jede Gerade, die steiler verläuft, hat eine Steigung $m>1$ und schneidet den Graphen $G_f$ ebenfalls nur im Punkt $W$.
Jede Gerade, die flacher verläuft, hat eine Steigung $0<m<1$ und schneidet den Graphen $G_f$ in drei Punkten.
Zusammengefasst:
  • Für $0<m<1$ hat die Gerade drei Schnittpunkte mit $G_f$
  • Für $m>1$ hat die Gerade einen Schnittpunkt mit $G_f$
3.1
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Schnittpunkts angeben
Die beiden Stützvektoren von $g$ und $h$ stimmen überein. Dieser beschreibt die Koordinaten eines Punkts auf der jeweiligen Geraden. Die beiden Geraden $g$ und $h$ haben also den gemeinsamen Punkt $P(3\mid -3\mid 3).$
$\blacktriangleright$  Senkrechten Verlauf zeigen
Die Geraden verlaufen senkrecht zueinander, wenn ihre Richtungsvektoren senkrecht zueinander verlaufen. Das ist der Fall, wenn ihr Skalarprodukt Null ergibt.
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{3\\0\\-1}\circ \pmatrix{1\\0\\3}&=&3\cdot 1 +0\cdot 0 -1\cdot 3 \\[5pt] &=& 0 \end{array}$
$ … = 0 $
Die beiden Geraden verlaufen also senkrecht zueinander.
3.2
$\blacktriangleright$  Ebenengleichung bestimmen
Ein Normalenvektor von $E$ kann über das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren der Geraden bestimmt werden:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n}&=& \pmatrix{3\\0\\-1}\times \pmatrix{1\\0\\3}\\[5pt] &=& \pmatrix{0\cdot 3 -(-1)\cdot 0\\ (-1)\cdot 1 -3\cdot 3 \\ 3\cdot 0 -0\cdot 1} \\[5pt] &=& \pmatrix{0\\-10\\0} \\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{n} = \pmatrix{0\\-10\\0}$
Verwende beispielsweise die Normalenform. Als Stützvektor kannst du den der Geraden verwenden und erhältst dann:
$\begin{array}[t]{rrll} E: & \overrightarrow{n}\cdot \left[ \overrightarrow{x}-\overrightarrow{p}\right]&=&0 \\[5pt] & \pmatrix{0\\-10\\0} \cdot \left[ \overrightarrow{x}-\pmatrix{3\\-3\\3}\right]&=&0 \end{array}$
$ E:\quad … $
#kreuzprodukt#skalarprodukt
4.1
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeitsverteilung von $\boldsymbol{X}$ identifizieren
Die Zufallsgröße $X$ ist binomialverteilt mit $n=10$ und $p=0,8$. Folgende Diagramme stellen nicht die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ dar:
  • Diagramm 1 (Abbildung 8): Wegen $n=10$ kann die Wahrscheinlichkeit $P(X> 10)$ nicht größer als null sein.
  • Diagramm 3 (Abbildung 10): Bei einer binomialverteilten Zufallsvariable muss die Summe aller Wahrscheinlichkeiten genau $1$ ergeben. Die hier dargestellten Wahrscheinlichkeiten für $k=8$ und $k=9$ sind in Summe bereits größer als 1, deshalb ist hier keine Wahrscheinlichkeitsverteilung dargestellt.
4.2
$\blacktriangleright$  Parameter $\boldsymbol{n}$ berechnen
Die Zufallsgröße $Y$ ist binomialverteilt, wobei die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $Y$ symmetrisch ist. Damit folgt bereits der Parameter $p=0,5$.
Außerdem ist bekannt, dass der Erwartungswert von $Y$ 8 ist. Für den Erwartungswert gilt $E[Y]=n\cdot p$. Einsetzen ergibt:
$\begin{array}[t]{rll} 8&=&n\cdot 0,5&\quad \scriptsize \mid\; \cdot2\\[5pt] 16&=&n \end{array}$
$Y$ ist binomialverteilt mit $n=16$ und $p=0,5$.
5.1
$\blacktriangleright$  Lage des Quadrats begründen
Das Quadrat liegt in einer Ebene, die orthogonal zur Geraden $g$ verläuft. Der Richtungsvektor der Geraden $g$ ist der Richtungsvektor der $x$-Achse, d.h. die Gerade $g$ ist eine Parallele zur $x$-Achse.
Die $x$-Achse wiederum liegt orthogonal zur $yz$-Ebene. Also liegt das Quadrat in der $yz$-Ebene.
5.2
$\blacktriangleright$  Eigenschaften von Punkt $\boldsymbol{Q}$ nachweisen
Die Aufgabenstellung nennt zwei neue Punkte
  • Den Diagonalenschnittpunkt $D$ des Quadrats, der auf der Geraden $g$ liegt. Da das Quadrat in der $yz$-Ebene liegt, ist der Punkt also der Durchstoßpunkt der Geraden $g$ und der $yz$-Ebene.
  • Den Punkt $Q(0\mid8\mid4)$, der in der $yz$-Ebene liegt.
Im Quadrat schneiden sich die Diagonalen im rechten Winkel. Der Punkt $Q$ ist dann ein dem Punkt $P$ benachbarter Eckpunkt des Quadrats, wenn die Punkte $P$, $Q$, $D$ ein gleichschenkliges und rechtwinkliges Dreieck bilden.
1. Schritt: Koordinaten von $\boldsymbol{D}$ berechnen
$D$ ist der Punkt, in dem die Gerade $g$ die $yz$-Ebene durchstößt. Alle Punkte in der $yz$-Ebene haben die $x$-Koordinate $x=0$.
Betrachte deshalb die erste Zeile der Geradengleichung von $g$:
$\begin{array}[t]{rll} 0&=&5+t&\quad \scriptsize \mid\; -5\\[5pt] -5&=&t \end{array}$
Für $t=-5$ ergibt sich der Punkt $D(0\mid4\mid1)$.
2. Schritt: Eigenschaften von $\boldsymbol{Q}$ nachweisen
$Q$ ist der dem Punkt $P$ benachbarte Eckpunkt des Quadrats, wenn gilt:
  • Das Dreieck $PDQ$ ist gleichschenklig mit den Schenkeln $\overline{PD}$ und $\overline{QD}$
  • Das Dreieck $PDQ$ ist rechtwinklig im Punkt $D$.
Betrachte zunächst die beiden Schenkel:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{PD}&=&\left|\overrightarrow{PD}\right|&\quad \\[5pt] &=&\left|\pmatrix{0&-&0\\4&-&1\\1&-&5}\right|&\quad \\[5pt] &=&\left|\pmatrix{0\\3\\-4}\right|&\quad \\[5pt] &=&\sqrt{(0^2+3^2+(-4)^2)}&\quad \\[5pt] &=&\sqrt{9+16}&\quad \\[5pt] &=&5 \end{array}$
$ \overline{PD}=5 $
$\begin{array}[t]{rll} \overline{QD}&=&\left|\overrightarrow{QD}\right|&\quad \\[5pt] &=&\left|\pmatrix{0&-&0\\4&-&8\\1&-&4}\right|&\quad \\[5pt] &=&\left|\pmatrix{0\\-4\\-3}\right|&\quad \\[5pt] &=&\sqrt{(0^2+(-4)^2+(-3)^2)}&\quad \\[5pt] &=&\sqrt{16+9}&\quad \\[5pt] &=&5 \end{array}$
$ \overline{QD}=5 $
Da $\overline{PD}=\overline{QD}$, ist das Dreieck gleichschenklig.
Das Dreieck $PDQ$ ist außerdem rechtwinklig, wenn die Schenkel orthogonal zueinander stehen:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{PD}\circ\overrightarrow{QD}&=&\pmatrix{0\\3\\-4}\circ\pmatrix{0\\-4\\-3}&\quad \\[5pt] &=&0\cdot0+3\cdot(-4)+(-4)\cdot(-3)&\quad \scriptsize \\[5pt] &=&0-12+12&\quad \scriptsize \\[5pt] &=&0 \end{array}$
$ \overrightarrow{PD}\circ\overrightarrow{QD}=0 $
Damit ist gezeigt, dass das Dreieck $PDQ$ gleichschenklig und rechtwinklig ist. Dadurch ist nachgewiesen, dass der Punkt $Q$ ein Eckpunkt des Quadrats ist, der dem Punkt $P$ benachbart ist.
#vektorbetrag
Bildnachweise [nach oben]
[1],[2]
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