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Wahlaufgaben

Aufgaben
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Wahlaufgabe 5.1

Wahlaufgaben
Abb. 1: nicht maßstäblich
Wahlaufgaben
Abb. 1: nicht maßstäblich
a)
Zeichne das Rechteck und den Halbkreis in einem geeigneten Maßstab.
b)
Ein Rahmenglaser fertigt ein solches Rundbogenfenster an. Ein Quadratmeter Glas kostet inklusive Zuschnitt $42,00\,€.$
  • Berechne den Flächeninhalt der Glasscheiben für dieses Rundbogenfenster.
  • Gib den Preis für das Glas des Rundbogenfensters an.
c)
Der Rand jeder Glasscheibe eines Rundbogenfensters wird mit biegsamen Leisten befestigt.
Berechne die gesamte Länge dieser Leisten.
(8 BE)
#rechteck#maßstab#kreis

Wahlaufgabe 5.2

Paul erhält nach seiner Ausbildung einen monatlichen Bruttolohn von $1.900,00\,€.$
Folgende Abzüge stehen auf seiner Lohnabrechnung:
Lohnsteuer$180,00\,€$
Solidaritätszuschlag$5,5\,\%$ von der Lohnsteuer
Krankenversicherungsbeitrag$9,1\,\%$ vom Bruttolohn
Sozialversicherungsbeitrag$21,3\,\%$ vom Bruttolohn
Folgende Abzüge stehen auf seiner Lohnabrechnung:
Lohnsteuer$180,00\,€$
Solidaritäts-zuschlag$5,5\,\%$ von der Lohnsteuer
Kranken-versicherungs-beitrag$9,1\,\%$ vom Bruttolohn
Sozial-versicherungs-beitrag$21,3\,\%$ vom Bruttolohn
a)
Berechne den Nettolohn, den Paul erhält.
b)
Nach seinem ersten Arbeitsjahr möchte Paul ein Motorrad kaufen. Dafür spart er jeden Monat $10\,\%$ seines Nettolohns als Anzahlung.
Angebot zur Finanzierung
Laufzeit$1$ Jahr
Jahreszinssatz$3,7\,\%$
Monatliche Rate für $11$ Monate$150,00\,€$
Abschlussrate im 12. Monat
(8 BE)
#jahreszins#prozent
Bildnachweise [nach oben]
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Wahlaufgabe 5.1

a)
$\blacktriangleright$  Im Maßstab zeichnen
Im Maßstab $1\,:\,10$ ergeben sich folgende Maße. Für die Breite gilt:
$:10$
Wahlaufgaben
$\begin{array}{rrcll} &1\,\text{cm in der Zeichnung}&\mathrel{\widehat{=}}&10\,\text{cm in der Realität}\\[5pt] &0,1\,\text{cm in der Zeichnung}&\mathrel{\widehat{=}}&1\,\text{cm in der Realität}\\[5pt] &6,2\,\text{cm in der Zeichnung}&\mathrel{\widehat{=}}&62\,\text{cm in der Realität}& \end{array}$ Wahlaufgaben
$:10$
$\cdot 62$
Wahlaufgaben
Wahlaufgaben
$\cdot 62$
$ 6,2\,\text{cm}$ in der Zeichnung $\mathrel{\widehat{=}} 62\,\text{cm}$ in der Realität
Für die Höhe:
$:10$
Wahlaufgaben
$\begin{array}{rrcll} &1\,\text{cm in der Zeichnung}&\mathrel{\widehat{=}}&10\,\text{cm in der Realität}\\[5pt] &0,1\,\text{cm in der Zeichnung}&\mathrel{\widehat{=}}&1\,\text{cm in der Realität}\\[5pt] &7,2\,\text{cm in der Zeichnung}&\mathrel{\widehat{=}}&72\,\text{cm in der Realität}& \end{array}$ Wahlaufgaben
$:10$
$\cdot 72$
Wahlaufgaben
Wahlaufgaben
$\cdot 72$
$ 7,2\,\text{cm}$ in der Zeichnung $\mathrel{\widehat{=}} 72\,\text{cm}$ in der Realität
Wahlaufgaben
Abb. 1: Maßstab $1\,:\,10$
Wahlaufgaben
Abb. 1: Maßstab $1\,:\,10$
b)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt der Glasscheibe berechnen
1. Schritt: Flächeninhalt der Scheibe in Halbkreisform berechnen
Der Durchmesser des Halbkreises ist $d= 62,00\,\text{cm},$ der Radius ist die Hälfte davon: $r = 31,00\,\text{cm}. $ Mit der Formel für den Flächeninhalt eines Kreises ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} A_H&=& \frac{1}{2}\cdot \pi \cdot r^2 \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \pi \cdot (31,00\,\text{cm})^2 \\[5pt] &\approx& 1.509,54\,\text{cm}^2 \end{array}$
$ A_H \approx 1.509,54\,\text{cm}^2$
Die Fläche der Fensterscheibe in Form eines Halbkreises ist ca. $ 1.509,54\,\text{cm}^2$ groß.
2. Schritt: Flächeninhalt der rechteckigen Glasscheibe berechnen
Mit der Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks folgt:
$\begin{array}[t]{rll} A_R&=& a\cdot b \\[5pt] &=& 62,00\,\text{cm}\cdot 72,00\,\text{cm}\\[5pt] &=& 4.464\,\text{cm}^2 \end{array}$
$ A_R = 4.464\,\text{cm}^2 $
Der Flächeninhalt der rechteckigen Fensterscheibe beträgt $4.464\,\text{cm}^2.$
3. Schritt: Gesamtflächeninhalt berechnen
$1.509,54\,\text{cm}^2 + 4.464\,\text{cm}^2 = 5.973,54\,\text{cm}^2$
$ 5.973,54\,\text{cm}^2 $
Der Flächeninhalt der beiden Glasscheiben des Rundbogenfensters beträgt ca. $5.973,54\,\text{cm}^2.$
$\blacktriangleright$  Preis für das Glas angeben
1. Schritt: Umrechnung der Einheiten
Der Preis ist pro Quadratmeter angegeben. Der Flächeninhalt muss also noch umgerechnet werden:
$5.973,54\,\text{cm}^2 $ $\approx 0,60\,\text{m}^2$
2. Schritt: Preis berechnen
$\begin{array}[t]{rll} P&=& 0,60\,\text{m}^2 \cdot 42,00\,\dfrac{€}{\text{m}^2} \\[5pt] &=& 25,20\,€ \end{array}$
$ P = 25,20\,€ $
Das Glas des Rundbogenfensters kostet ca. $25,20\,€.$
c)
$\blacktriangleright$  Länge der Leisten berechnen
Die Gesamtlänge der benötigten Leisten setzt sich zusammen aus dem Umfang der rechteckigen Glasscheibe und dem Umfang der Fensterscheibe in Halbkreisform.
$\begin{array}[t]{rll} U_H&=& 62,00\,\text{cm} + \frac{1}{2}\cdot 2\cdot \pi \cdot r \\[5pt] &=& 62,00\,\text{cm} + \frac{1}{2}\cdot 2\cdot \pi \cdot 31,00\,\text{cm} \\[5pt] &=& 62,00\,\text{cm} + \pi \cdot 31,00\,\text{cm} \\[5pt] &\approx& 159,39\,\text{cm} \\[10pt] U_R&=& 2\cdot 62,00\,\text{cm} +2\cdot 72,00\,\text{cm} \\[5pt] &=& 268,00\,\text{cm} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} U_H&\approx& 159,39\,\text{cm} \\[10pt] U_R&=& 268,00\,\text{cm} \end{array}$
Die Gesamtlänge ergibt sich also zu:
$159,39\,\text{cm} + 268\,\text{cm} = 427,39\,\text{cm}$
$ 427,39\,\text{cm} $
Die Gesamtlänge der Leisten beträgt $ 427,39\,\text{cm}.$
#dreisatz

Wahlaufgabe 5.2

a)
$\blacktriangleright$  Nettolohn berechnen
1. Schritt: Solidaritätszuschlag berechnen
Der Solidaritätszuschlag beträgt $5,5\,\%$ der Lohnsteuer. Die Lohnsteuer beträgt $180,00\,€.$
$:100$
Wahlaufgaben
$\begin{array}{rrcll} &180\,€&\mathrel{\widehat{=}}&100\,\%\\[5pt] &1,80\,€&\mathrel{\widehat{=}}&1\,\%\\[5pt] &9,90\,€&\mathrel{\widehat{=}}&5,5\,\%& \end{array}$ Wahlaufgaben
$:100$
$\cdot 5,5$
Wahlaufgaben
Wahlaufgaben
$\cdot 5,5$
$ 9,90\,€\mathrel{\widehat{=}}5,5\,\% $
Der Solidaritätszuschlag beträgt also $9,90\,€.$
2. Schritt: Krankenversicherungsbeitrag berechnen
Der Krankenversicherungsbeitrag entspricht $9,1\,\%$ von $1.900,00\,€:$
$:100$
Wahlaufgaben
$\begin{array}{rrcll} &1.900,00\,€&\mathrel{\widehat{=}}&100\,\%\\[5pt] &19,00\,€&\mathrel{\widehat{=}}&1\,\%\\[5pt] &172,90\,€&\mathrel{\widehat{=}}&9,1\,\%& \end{array}$ Wahlaufgaben
$:100$
$\cdot 9,1$
Wahlaufgaben
Wahlaufgaben
$\cdot 9,1$
$ 172,90\,€\mathrel{\widehat{=}}9,1\,\% $
Von Pauls Lohn werden $172,90\,€$ für den Krankenversicherungsbeitrag abgezogen.
3. Schritt: Sozialversicherungsbeitrag berechnen
Der Sozialversicherungsbeitrag entspricht $21,3\,\%$ von $1.900,00\,€:$
$:100$
Wahlaufgaben
$\begin{array}{rrcll} &1.900,00\,€&\mathrel{\widehat{=}}& 100\,\%\\[5pt] &19,00\,€&\mathrel{\widehat{=}}& 1\,\%\\[5pt] &404,70\,€&\mathrel{\widehat{=}}& 9,1\,\%& \end{array}$ Wahlaufgaben
$:100$
$\cdot 21,3$
Wahlaufgaben
Wahlaufgaben
$\cdot 21,3$
$ 404,70\,€\mathrel{\widehat{=}} 9,1\,\% $
Von Pauls Lohn werden $404,70\,€$ für den Sozialversicherungsbeitrag abgezogen.
4. Schritt: Lohn nach Abzug berechnen
Der Nettolohn ergibt sich zu:
$1.900,00\,€ - 180,00\,€ - 9,90\,€ - 172,90\,€ - 404,70\,€= 1.132,50\,€$
$\begin{array}[t]{rll} &1.900,00\,€ \\[5pt] -& 180,00\,€ \\[5pt] -& 9,90\,€ \\[5pt] -& 172,90\,€ \\[5pt] -& 404,70\,€ \\[5pt] =& 1.132,50\,€\\[5pt] \end{array}$
Pauls Nettolohn beträgt $1.132,50\,€.$
b)
$\blacktriangleright$  Anzahlung angeben
$:100$
Wahlaufgaben
$\begin{array}{rrcll} &1.132,50\,€&\mathrel{\widehat{=}}&100\,\%\\[5pt] &11,325\,€&\mathrel{\widehat{=}}&1\,\%\\[5pt] &113,25\,€&\mathrel{\widehat{=}}&10\,\%& \end{array}$ Wahlaufgaben
$:100$
$\cdot 10$
Wahlaufgaben
Wahlaufgaben
$\cdot 10$
$ 113,25\,€\mathrel{\widehat{=}}10\,\%$
Jeden Monat spart Paul also $113,25\,€$ für die Anzahlung. Insgesamt hat er nach einem Jahr also:
$12\cdot 113,25\,€= 1.359\,€$
Im ersten Jahr spart Paul $1.359\,€$ für die Anzahlung für das Motorrad.
$\blacktriangleright$  Jahreszinsen berechnen
$1.359\,€$ hat Paul für die Anzahlung angespart. Übrig bleiben also noch:
$3.000 - 1.359\,€ = 1.641\,€$
Die Jahreszinsen sind also $3,7\,\%$ von $1.641\,€:$
$:100$
Wahlaufgaben
$\begin{array}{rrcll} &1.641\,€&\mathrel{\widehat{=}}&100\,\%\\[5pt] &16,41\,€&\mathrel{\widehat{=}}&1\,\%\\[5pt] &60,72\,€&\mathrel{\widehat{=}}&3,7\,\%& \end{array}$ Wahlaufgaben
$:100$
$\cdot 3,7$
Wahlaufgaben
Wahlaufgaben
$\cdot 3,7$
$ 60,72\,€\mathrel{\widehat{=}}3,7\,\% $
Die Jahreszinsen für den Restbetrag betragen ca. $60,72\,€.$
$\blacktriangleright$  Abschlussrate berechnen
Paul muss insgesamt den noch fehlenden Betrag zuzüglich der Jahreszinsen zurückzahlen:
$1.641\,€ + 60,72\,€ =1.701,72\,€ $
$ 1.701,72\,€$
Er zahlt $11$ Monate lang $150,00\,€$ zurück:
$11\cdot 150,00\,€ = 1.650,00\,€$
$ 1.650,00\,€ $
Im 12. Monat bleibt also noch folgender Betrag zurückzuzahlen:
$1.701,72\,€ -1.650,00\,€ = 51,72\,€ $
$ 51,72\,€ $
Die Abschlussrate beträgt $51,72\,€.$
#dreisatz
Bildnachweise [nach oben]
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