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Aufgabe 1

Aufgaben
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Auf einem Berg steht ein $12~\text{m}$ hoher Turm. Der Zugang zu diesem Turm soll durch einen Fahrstuhl erleichtert werden. Der Zugang zum Fahrstuhl soll über einen Tunnel erfolgen. Ein Techniker kann einige der für die Bauarbeiten nötigen Mäße direkt messen, andere Maße müssen später rechnerisch oder zeichnerisch ermittelt werden.
Der Techniker peilt aus einer Augenhöhe von $1,70~\text{m}$ den unteren Rand des Turmes unter einem Höhenwinkel von $14^{\circ}$ und den oberen Rand des Turmes unter einem Höhenwinkel von $19^{\circ}$ an.
Aufgabe 1
Abb. 1: Nicht maßstabsgetreue Skizze
Aufgabe 1
Abb. 1: Nicht maßstabsgetreue Skizze
a)
Für weitere Betrachtungen soll eine maßstabsgetreue Zeichnung angefertigt werden, in der der Turm sowie die Position des Technikers (ausgehend von dessen Augenhöhe) dargestellt sind.
$\blacktriangleright$
Bestimme die Innenwinkel dieses Dreiecks $ACD$.
(3 P.)
$\blacktriangleright$
Bestimme die Höhe, die der Turm im Maßstab $1:1000$ in der Zeichnung haben muss.
(1 P.)
$\blacktriangleright$
Zeichne das Dreieck $ACD$ mit Hilfe der zuvor ermittelten Turmhöhe.
(2 P.)
#dreieck
b)
Die vorherige Abbildung zeigt, wie der Bau des Tunnels und des Schachtes für den Fahrstuhl geplant sind. Für die weitere Berechnung soll hier angenommen werden, dass der Tunnel keine Höhe und der Fahrstuhl keine Breite hat.
$\blacktriangleright$
Berechne, wie tief der Schacht für den Fahrstuhl gebohrt werden muss.
(4 P.)
$\blacktriangleright$
Bestimme, wie lang die Bohrung für den Tunnel sein muss.
(Wenn du $BC$ nicht bestimmen konntest, rechne mit $BC=31~\text{m}$ weiter.)
(2P)
#dreieck

Wahlteil zu B1

Bitte ankreuzen! Dieser Wahlteil soll gewertet werden (du musst insgesamt zwei Wahlteile bearbeiten):
nein
c)
Nimm an, dass am oberen Rand des Turmes ein Lautsprecher montiert ist, der für Durchsagen genutzt wird.
$\blacktriangleright$
Bestimme, mit welcher zeitlichen Verzögerung der Techniker eine Durchsage hört, wenn die Schallgeschwindigkeit $340~\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ beträgt.
(Wenn du $AB$ nicht bestimmen konntest, rechne mit $AB=125~\text{m}$ weiter.)
(4 P.)
#dreieck
d)
„Eine Halbierung der Länge $AB$ führt zu einer Verdopplung des Höhenwinkels, unter dem er den Punkt $D$ anpeilt.“
$\blacktriangleright$
Überprüfe die hier getroffene Aussage.
(2 P.)
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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Lösungen
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a)
$\blacktriangleright$  Innenwinkel bestimmen
Den Winkel $\alpha=\sphericalangle BAD$ enspricht gerade der Differenz zwischen den beiden Höhenwinkeln. Also gilt für $\alpha$:
$\alpha=19^{\circ}-14^{\circ}=5^{\circ}$
Den Winkel $\delta=\sphericalangle ADC$ kannst du über die Winkelinnensumme des Dreiecks $ABD$ bestimmen:
$\delta=180^{\circ}-90^{\circ}-19^{\circ}=71^{\circ}$
Den fehlenden Winkel $\gamma=\sphericalangle ACD$ kannst du über die Winkelinnensumme im Dreieck $ACD$ bestimmen:
$\gamma=180^{\circ}-5^{\circ}-71^{\circ}=104^{\circ}$
$\blacktriangleright$  Höhe des Turms bestimmen
Der Turm soll $12~\text{m}=1200~\text{cm}$ hoch sein. Mit einem Dreisatz kannst du nun die Höhe in der Zeichnung bestimmen:
$\cdot 1,2$
Aufgabe 1
$\begin{array}{rrcll} &1000 ~\text{cm}&\mathrel{\widehat{=}}& 1 ~\text{cm}\\[5pt] &1200 ~\text{cm}&\mathrel{\widehat{=}}& 1,2 ~\text{cm}\\[5pt] \end{array}$ Aufgabe 1
$:\cdot 1,2$
$ 12~\text{m}=1200~\text{cm}\mathrel{\widehat{=}} 1,2~\text{cm} $
In der Zeichnung muss der Tum also $1,2~\text{cm}$ groß sein.
$\blacktriangleright$  Dreieck zeichnen
Starte mit einer senkrechten, $1,2~\text{cm}$ langen Linie für den Turm. Beschrifte diese mit $12~\text{m}$ oder $1,2~\text{cm}$ und den Punkten $C$ und $D$. Zeichne jetzt die beiden Winkel $\gamma$ und $\delta$ an die Punkte und zeichne beide Linien bis sie sich im Punkt $A$ schneiden:
Aufgabe 1
Abb. 1: Dreieck $ACD$
Aufgabe 1
Abb. 1: Dreieck $ACD$
#dreisatz
b)
$\blacktriangleright$  Tiefe des Schachtes berechnen
Die Tiefe des Fahrstuhls entspricht der Länge $BC+1,70~\text{m}$.
Berechne zunächst die Strecke $AC$ mithilfe des Sinussatzes:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{CD}{\sin(\alpha)}&=& \dfrac{AC}{\sin(\delta)}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot \sin(\delta) \\[5pt] \dfrac{CD\cdot \sin(\delta)}{\sin(\alpha)}&=& AC&\quad \scriptsize \\[5pt] \dfrac{12~\text{m} \cdot \sin(71^{\circ})}{\sin(5^{\circ})}&=& AC&\quad \scriptsize \\[5pt] 130,2~\text{m}&=& AC \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{CD}{\sin(\alpha)}&=& \dfrac{AC}{\sin(\delta)} \\[5pt] AC&=& 130,2~\text{m} \end{array}$
Jetzt kannst du mit dem Sinus die Strecke $BC$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \sin(\sphericalangle BAC)&=& \dfrac{BC}{AC} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot AC \\[5pt] \sin(\sphericalangle BAC)\cdot AC &=& BC &\quad \scriptsize \\[5pt] \sin(14^{\circ})\cdot 130,2~\text{m} &=& BC &\quad \scriptsize \\[5pt] 31,49\text{m} &=& BC \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \sin(\sphericalangle BAC)&=& \dfrac{BC}{AC} \\[5pt] BC&=& 31,49\text{m} \end{array}$
Somit gilt für den Fahrstuhlschacht:
$31,49~\text{m}+1,70~\text{m}=33,19~\text{m}$
$\blacktriangleright$  Länge des Tunnels bestimmen
Die Länge des Tunnels kannst du über $AB-95~\text{m}$ bestimmen. Die Strecke $AB$ kannst du im Dreieck $ABC$ mit dem Kosinus, dem Tangens oder dem Satz des Pythagoras berechnen. Mit dem Satz des Tangens sieht die Lösung folgendermaßen aus:
$\begin{array}[t]{rll} \tan(\sphericalangle BAC)&=& \dfrac{BC}{AB}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot AB \\[5pt] \tan(\sphericalangle BAC) \cdot AB&=& BC&\quad \scriptsize \mid\; :\tan(\sphericalangle BAC) \\[5pt] AB &=& \dfrac{BC}{\tan(\sphericalangle BAC)}&\quad \scriptsize \\[5pt] AB &=& \dfrac{31,49~\text{m}}{\tan(14^{\circ})}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=&126,3~\text{m} \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} \tan(\sphericalangle BAC)&=& \dfrac{BC}{AB}\\[5pt] \sphericalangle BAC&=&126,3~\text{m} \end{array} $
Für den Tunnel gilt also:
$126,3~\text{m}-95~\text{m}=31,3~\text{m}$
#kosinus#satzdespythagoras#sinussatz#tangens
c)
$\blacktriangleright$  Zeitliche Verzögerung bestimmen
Berechne zuerst den Weg, welchen der Schall zurücklegen muss. Dieser entspricht gerade der Strecke $AD$. Zum Beispiel mit dem Sinussatz erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{AD}{\sin(\gamma)}&=&\dfrac{CD}{\sin(\alpha)} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \sin(\gamma) \\[5pt] AD&=&\dfrac{CD\cdot \sin(\gamma)}{\sin(\alpha)} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{12~\text{m} \cdot \sin(104^{\circ})}{\sin(5^{\circ})} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&133,6~\text{m} \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} \dfrac{AD}{\sin(\gamma)}&=&\dfrac{CD}{\sin(\alpha)} \\[5pt] AD&=&133,6~\text{m} \end{array} $
Der Schall legt $340$ Meter pro Sekunde zurück. Für $133,6~\text{m}$ benötigt er also:
$\dfrac{133,6~\text{m}}{340~\dfrac{\text{m}}{\text{s}}}=0,3929\text{s}$
Der Techniker hört eine Durchsage mit einer zeitlichen Verzögerung von etwa $0,39$ Sekunden.
#sinussatz
d)
$\blacktriangleright$  Aussage überprüfen
Nimm an, dass die Strecke $AB$ halbiert wäre, also dass $AB=63,15~\text{m}$ gälte. Berechne jetzt den Höhenwinkel zu $C$ oder $D$, um die Aussage zu überprüfen. Mit dem Tangens gilt im Dreieck $ABC$:
$\begin{array}[t]{rll} \tan(\sphericalangle BAC)&=&\dfrac{BC}{AB} &\quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1} \\[5pt] \sphericalangle BAC&=&\tan^{-1}\left(\dfrac{BC}{AB}\right) &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\tan^{-1}\left(\dfrac{31,49~\text{m}}{126,3~\text{m}}\right) &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&26,5^{\circ} \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} \tan(\sphericalangle BAC)&=&\dfrac{BC}{AB} \\[5pt]] \sphericalangle BAC&=&26,5^{\circ} \end{array} $
Da $26,5^{\circ}\neq2\cdot 14^{\circ}$ ist, ist die Aussage falsch.
#tangens
Bildnachweise [nach oben]
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