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Aufgabe 2

Aufgaben
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Aufgabe 2
Abb. 1: Angaben nicht maßstabsgetreu
Aufgabe 2
Abb. 1: Angaben nicht maßstabsgetreu
Eine Firma stellt pro Jahr $12$ Millionen Verpackungen her, in die Schoko-Drinks abgefüllt werden. In Zukunft soll die Menge an Verpackungsmüll reduziert werden. Dabei muss das Volumen der neuen Verpackungsform aber gleich groß bleiben.
a)
Bisher wird als Verpackungsform ein Quader genutzt.
$\blacktriangleright$
Skizziere das dazugehörige beschriftete Quadernetz.
(2 P.)
$\blacktriangleright$
Berechne, wie viel Verpackungsmaterial für den Quader benötigt wird.
(2 P.)
#quader
b)
Ein Auszubildender behauptet, dass es eine ganz einfache Lösung für das Verpackungsproblem gibt. Die Firma soll bei gleichem Volumen einen Würfel statt eines Quaders herstellen. So wird auf jeden Fall Verpackungsmaterial gespart.
$\blacktriangleright$
Ermittle die Kantenlänge des Würfels, der das gleiche Volumen wie die quaderförmige Verpackung hat.
(3 P.)
$\blacktriangleright$
Entscheide, ob der Auszubildende mit seiner Behauptung recht hat, und begründe deine Entscheidung.
(Wenn du die Oberfläche des Quaders in a) nicht berechnen konntest, rechne hier mit $Q_{Quader}=450~\text{cm}^2$ weiter.)
(2 P.)
#würfel#volumen
c)
Der Chef der Verpackungsfirma ist überrascht von dem einfachen Vorschlag des Auszubildenden. Deshlab möchte er den Unterschied beim Verpackungsmaterial für die gesamte Jahresproduktion wissen.
$\blacktriangleright$
Berechne, wie viel Verpackungsmaterial bei der gesamten Produktion eines Jahres gespart oder mehr gebraucht würde, falls die Verpackungsform tatsächlich ein Würfel statt eines Quaders wäre.
(Solltest du bei b) zu keinem Ergebnis gekommen sein, rechne für die Oberfläche des Würfels mit $O_{Würfel}=380~\text{cm}^2$ weiter.)
(3 P.)

Wahlteil zu B2

Bitte ankreuzen! Dieser Wahlteil soll gewertet werden (du musst insgesamt zwei Wahlteile bearbeiten):
nein
d)
Aufgabe 2
Abb. 2: Skizze der Pyramide
Aufgabe 2
Abb. 2: Skizze der Pyramide
(4 P.)
#pyramide
e)
Der Chefdesigner ist davon überzeugt, dass eine Dreieckspyramide die wenigsten einzelnen Flächen aller möglichen Verpackungsformen hat.
$\blacktriangleright$
Gib mindestens zwei mögliche Verpackungsformen an, die aus weniger einzelnen Flächen bestehen als eine Dreieckspyramide.
(2 P.)
Bildnachweise [nach oben]
[1], [2]
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Lösungen
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a)
$\blacktriangleright$  Quadernetz skizzieren
Für die Skizze des Quadernetzes gibt es viele Möglichkeiten. Eine davon ist:
Aufgabe 2
Abb. 1: Skizze des Quadernetzes
Aufgabe 2
Abb. 1: Skizze des Quadernetzes
Aufgabe 2
Abb. 2: Quadernetz mit Flächen $A_1$ und $A_2$
Aufgabe 2
Abb. 2: Quadernetz mit Flächen $A_1$ und $A_2$
#flächeninhalt
b)
$\blacktriangleright$  Kantenlänge des Würfels ermitteln
Für das Volumen des Quaders gilt:
$\begin{array}[t]{rll} V_Q&=& a\cdot b \cdot c&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 16~\text{cm}\cdot 4~\text{cm}\cdot 8~\text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 512~\text{cm}^3 \end{array}$
Das Volumen eines Würfels mit Seitenlänge $a$ kannst du mit
$V_W=a^3$
berechnen. Setzt du für das Volumen des Würfels nun das Quader-Volumen ein, kannst du die Kantenlänge des Würfels berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} 512~\text{cm}^3&=& a^3\quad \scriptsize \mid\; \sqrt[3]{\color{#0000}{x}} \\[5pt] 8~\text{cm}&=& a \end{array}$
Die Kantenlänge des Würfels ist $8~\text{cm}$ lang.
$\blacktriangleright$  Behauptung überprüfen
Ein Würfel hat $6$ Seiten deren Flächen du mit $A=a^2$ berechnen kannst. Für die Oberfläche gilt dann:
$\begin{array}[t]{rll} O_W&=&6\cdot a^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&6\cdot (8~\text{cm})^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 384~\text{cm}^2 \end{array}$
Dies ist kleiner als die zuvor berechnete Quaderoberfläche $O_Q=448~\text{cm}^2$. Also hat der Auszubildende recht.
c)
$\blacktriangleright$  Gespartes Material berechnen
Berechne zuerst, wie viel Material die Verpackungsfirma pro Verpackung sparen kann:
$\begin{array}[t]{rll} O_Q-O_W&=&448~\text{cm}^2-384~\text{cm}^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&64~\text{cm}^2 \end{array}$
$ O_Q-O_W=64~\text{cm}^2$
Es können also pro Verpackung $64~\text{cm}^2$ gespart werden. Da die Firma pro Jahr $12$ Millionen Verpackungen herstellt, kannst du die gesparte Menge für $12$ Millionen Verpackungen berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} 12~000~000\cdot 64~\text{cm}^2&=&768~000~000~\text{cm}^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$ 12~\text{Mio}\cdot 64~\text{cm}^2=… $
Da $1~\text{m}^2=10~000 ~\text{cm}^2$ gilt, kannst du größe der Fläche in $\text{m}^2$ angeben:
$768~000~000~\text{cm}^2=\dfrac{768~000~000}{10~000}\text{m}^2=76~800~\text{m}^2$
$ 768~000~000~\text{cm}^2=76~800~\text{m}^2$
Es können also $76~800~\text{m}^2$ Verpackung pro Jahr gespart werden.
d)
$\blacktriangleright$  Pyramide finden und begründen
Für das Volumen einer Pyramide gilt:
$V_P=\dfrac{1}{3}\cdot Grundfläche\cdot Höhe$
Da die Grundfläche einem Quadrat entspricht, kannst du die Formel umschreiben:
$V_P=\dfrac{1}{3}\cdot a^2\cdot h$
Das Volumen soll nun wieder $512~\text{cm}^3$ sein. Du kannst nun eine Variable festsetzen und die andere berechnen. Einfacher kannst du $h=a$ setzen. Damit gilt:
$\begin{array}[t]{rll} V_P&=&\dfrac{a^3}{3} &\quad \scriptsize \\[5pt] 512~\text{cm}^3&=&\dfrac{a^3}{3} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 3 \\[5pt] 1536~\text{cm}^3&=& a^3 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt[3]{\color{#0000}{x}} \\[5pt] 11,54~\text{cm}&\approx& a \end{array}$
Aufgabe 2
Abb. 3: Skizze Pyramide
Aufgabe 2
Abb. 3: Skizze Pyramide
Trage jetzt alle Maße in die Skizze ein:
Aufgabe 2
Abb. 4: Pyramide mit Maßen
Aufgabe 2
Abb. 4: Pyramide mit Maßen
#satzdespythagoras
e)
$\blacktriangleright$  Verpackungsformen angeben
Eine Dreieckspramide hat $4$ Seitenflächen. Mögliche Verpackungsformen mit weniger einzelnen Flächen sind:
  • Kugel
  • Zylinder
  • Kegel
Bildnachweise [nach oben]
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